高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数出手,求切线不再愁素材新人教A版选修2-2教案
人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.1.2导数的概念
第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数的观点A 级基础稳固一、选择题1． y＝ x2在 x＝ 1 处的导数为 ()A． 2x B． 2 C． 2＋ x D． 1分析：由于 f(x)＝ x2，x＝ 1，因此y＝ f(1＋x)－ f (1)＝ (1＋x)2－ 1＝ 2x＋ (x)2，所以y＝(2＋x)＝ 2.x答案： B2．一物体运动知足曲线方程s＝4t2＋ 2t－ 3，且 s′(5)＝ 42(m/s)，其实质意义是 () A．物体 5 秒内共走过42 米B．物体每 5 秒钟运动42 米C．物体从开始运动到第 5 秒运动的均匀速度是42 米/秒D．物体以 t＝ 5 秒时的刹时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的行程为42 米分析：由导数的物理意义知，s′ (5)＝ 42(m/s)表示物体在t＝ 5 秒时的刹时速度．答案： D3．设函数 f (x)在点 x0邻近有定义，且有 f(x0＋x)－ f(x0 )＝ a x＋ b(x)2，(a，b 为常数 )，则 ()A． f′ (x)＝ a B． f′ (x)＝ bC． f′ (x0)＝ a D． f′ (x0)＝ b分析：由于 f′(x＝f（ x0＋x）－f（x）＝0)xa x＋ b（x）2＝(a＋ b x)＝ a，因此 f′(xx0)＝a.答案： C4．已知 y＝x＋ 4，则 y′|x1＝ ________．＝555A. 2B. 10C. 5 D．－10分析：由题意知y＝1＋x＋ 4－ 1＋ 4＝5＋x－5，y＋－5＋－5所以＝5x1＝5x＝. 所以 y′|xx x＝xx＝5x （ 5＋ x ＋5） 10.答案： B5．假如某物体做运动方程为s ＝ 2(1－ t 2)的直线运动 (s 的单位为 m ， t 的单位为 s)，那么 其在 1.2 s 末的刹时速度为 ()A ．－ 4.8 m/sB ．－ 0.88 m/sC ． 0.88 m/sD ． 4.8 m/s解 析 ： 运 动 物 体 在1.2s 末 的 瞬 时 速 度 即 为 s 在 1.2 处 的 导数 ， 所 以f （ 1.2＋ t ）－ f （ 1.2）＝t222[1－（ 1.2＋t ） ]－ 2×（ 1－ 1.2 ）＝2(－ 答案： A 二、填空题6．设函数t － 2.4)＝－ 4.8(m/s)．f(x)知足f （ 1）－ f （ 1－ x ）＝－ 1，则 f ′(1)＝ ________．x分析： f （ 1）－ f （ 1－ x ） ＝ f （ 1－ x ）－ f （ 1）＝ f ′(1)＝－ 1.x－ x答案：－ 17．函数 f(x)＝ x 2＋ 1 在 x ＝ 1 处可导，在求 f ′(1)的过程中，设自变量的增量为x ，则函数的增量y ＝ ________．分析：y ＝ f(1＋ x)－ f(1) ＝－ (1 2＋ 1)＝2 x ＋ ( x)2.答案： 2 x ＋ (x)28．某物体做匀速直线运动，其运动方程是 s ＝ vt ，则该物体在运动过程中其均匀速度与任何时辰的刹时速度的大小关系是________．s （ ＋t ）－ s （ t ）分析： v 0＝＝ s t 0＝ttv （ t 0＋ t ）－ v （ t 0）＝v tt＝ v.t答案：相等三、解答题19．利用导数的定义，求函数y ＝ x 2＋ 2 在点 x ＝ 1 处的导数． 解：由于y ＝ 1 2＋2 － 1 ＝（ x ＋ x ） x 2＋ 2－ 2x x －（x ） 2，因此y ＝－ 2x － x ，（ x ＋ x ） 2· x 2 x （ x ＋ x ） 2· x 2因此 y ′＝y ＝ － 2x － x2＝－ 23，（ x ＋2xx ） · xx因此 y ′|x ＝1＝－ 2.10．在自行车竞赛中，运动员的位移与竞赛时间t 存在关系 s(t)＝ 10t ＋ 5t 2(s 的单位是 m ，t 的单位是 s)．(1)求 t ＝ 20，t ＝ 0.1 时的s 与s ；t(2)求 t ＝ 20 时的速度．解： (1) 当 t ＝ 20， t ＝ 0.1 时，s ＝ s(20＋ t)－ s(20)＝ 10(20＋ 0.1)＋ 5(20＋ 0.1)2－ (10 ×20＋ 5× 202)＝ 1＋ 20＋ 5×0.01＝21.05.因此s 21.05 ＝ 210.5.＝ 0.1ts（ ＋ t）＋（＋ t） 2－ 10t － 5t 2(2)v ＝＝10 t 5 t ＝tt5（t ） 2＋ 10 t ＋ 10tt(5 t ＋ 10＋ 10t)＝ 10＋ 10t ，t＝因此 t ＝ 20 时的速度即为10＋ 10×20＝ 210(m/s)．B 级 能力提高1．某物体运动规律是 s ＝ t 2 － 4t ＋ 5，若此物体的刹时速度为 0，则 t ＝ ()A ．3B ．2.5C ．2D ．1分析： s ＝ (t ＋ t)2－ 4(t ＋t) ＋ 5－ ( t 2－ 4t ＋ 5)＝ 2t t ＋ ( t)2－ 4 t ，由于 v ＝st＝ 2t － 4＝ 0，因此 t ＝ 2.答案： C2．婴儿从出生到第24 个月的体重变化如下图，第二年婴儿体重的均匀变化率为________kg/ 月．分析：第二年婴儿体重的均匀变化率为14.25－ 11.25＝ 0.25(kg/月 )．24－ 12答案： 0.253．若一物体运动方程是 (s 的单位是 m ， t 的单位是 s)3t 2＋ 2（ t ≥3），s ＝29＋ 3（ t － 3） 2（ 0≤t ＜ 3） .求： (1) 物体在 t ∈内的均匀速度；(2) 物体的初速度v 0；(3) 物体在 t ＝ 1 时的刹时速度．解： (1) 由于物体在 t ∈内的时间变化量为t ＝ 5－3＝ 2，物体在 t ∈内的位移变化量为：＝ × 2＋ 2－ (3 ×32＋ 2)＝ 3×(52－ 32s 3 5 )＝ 48，因此物体在 t ∈上的均匀速度为 s 48 ＝ 24(m/s)．＝ 2t (2) 求物体的初速度 v 0 即求物体在 t ＝ 0 时的刹时速度．由于物体在 t ＝ 0 邻近的均匀变化率为s （ ＋）－ （ ） ＝＝ ftftt29＋ 3[（ 0＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 0－ 3） 2＝ 3t － 18.t因此物体在 t ＝ 0 处的刹时变化率为，s (3 t － 18)＝－ 18，t ＝即物体的初速度为－ 18 m/s.(3)物体在 t ＝ 1 时的刹时速度即为函数在 t ＝ 1 处的刹时变化率．由于物体在 t ＝ 1 邻近的均匀变化率为：s （ ＋ ）－ （ ）＝ f 1 t f 1 ＝ tt29＋ 3[（ 1＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 1－ 3） 2t － 12，＝ 3t因此物体在 t ＝ 1 处的刹时变化率为：s ＝ (3 t － 12)＝－ 12.t即物体在 t ＝ 1 时的速度为－ 12 m/s.。
导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
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(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
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第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1 数系的扩充和复数的概念 第20课时 数系的扩充和复数的概念 第21课时 复数的几何意义 3．2 复数代数形式的四则运算 第22课时 复数代数形式的加减运算及其几何意义 第23课时 复数代数形式的乘除运算 第三章 章末专题整合
目标导航 1．了解函数的平均变化率的概念，会根据具体函数求出函数的平均 变化率． 2．理解瞬时速度的含义，了解并感受当Δt→0，用平均速度来逼近t0 时刻的瞬时速度的思想． 3．理解导数的概念，能利用导数的定义求某些函数的导数．
2 新视点· 名师博客 1.要准确了解平均变化率的概念 (1)Δx，Δy是一个整体符号，而不是Δ与x，y相乘． (2)x1，x2是定义域内不同的两点，因此Δx≠0，但Δx可正也可 负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应Δx＝x2－x1的改变量，Δy的值可正可负，也 可为零，因此，平均变化率可正可负，也可为零． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy ＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)． (4)在平均变化率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的 平均变化率也不一定相同．
知识点二 平均速度 1.设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，在t0到t0＋Δt这段时间 ft0＋Δt－ft0 Δs 内，物体运动的平均速度是 v ＝ ＝ Δt . Δt Δs 2．在匀速直线运动中，比值 Δt 是恒定的．在非匀速直线运动 Δs 中，比值 Δt 不是恒定的．要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物 Δs 体在每一时刻运动的快慢程度．注意结合物理学中的 Δt .
【练习1】 若函数f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近一点 Δy Q(2＋Δx,3＋Δy)，则 ＝( ) Δx A．4 B．4Δx C．4＋Δx D．Δx
导数的概念
B．2m/s D．0m/s
第一章 导数及其应用
[解析] ΔS＝－4(2＋Δt)2＋16(2＋Δt)＋4×22－16×2＝－4(Δt)2，
2 ΔS －4Δt ∴ ＝ ＝－4Δt， Δt Δt
ΔS ∴v＝lim ＝lim(－4Δt)＝0. Δt→0 Δt Δt→0 ∴物体在 t＝2s 时的瞬时速度为 0m/s.
数 学 选 修 人 教 A 版
Δs (2)当 t＝2，Δt＝0.001 时，求 ； Δt (3)求质点 M 在 t＝2 时的瞬时速度．
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2-2·
第一章 导数及其应用
[ 思路分析 ]
2
先求 Δs ， Δs ＝ s(t ＋ Δt) － s(t) ＝ 2(t ＋ Δt)2 ＋ 3 － (2t2 ＋ 3) ＝ 4t· Δt ＋
[解析]
f1＋Δx－f1 1 1 原式＝3 lim ＝3f ′(1)． Δ x Δx→0
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第一章 导数及其应用
4 ． 由导数的定义可求得，函数 f(x) ＝ x2 － 2x 在 x ＝ 1 处的导数 f ′(1) ＝
0 ______. 导学号 84624031
f1＋Δx－f1 [解析] f ′(1)＝ lim Δx Δx→0 1＋Δx2－21＋Δx＋1 ＝ lim Δx Δx→0
新课标导学
数 学
选修2-2 ·人教A版
第一章
导数及其应用 1.1 变化率与导数
1.1.2 导数的概念
1
自主预习学案
2
3
互动探究学案
课时作业学案
第一章 导数及其应用
自主预习学案
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第一章 导数及其应用
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在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
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探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
高中数学第1章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念a22a高二22数学
f2＋Δx2－Δxf2－Δx，∴ lim Δx→0f2＋Δx－f2－Δx 3Δx
＝23Δlixm→0 f2＋Δx2－Δxf2－Δx＝23f′(2)，故选 D.
答案：D
12/12/2021
第二十页，共三十六页。
题型三 函数变化率的应用 已知正弦函数 y＝sin x，求该函数在 x＝0 和 x＝π2附
第二十九页，共三十六页。
3．若函数 f(x)＝(2a＋1)x＋1，f ′(1)＝3，则实数 a 的值为
() A．2
B．1
1 C.2
D.－12
解析：∵f′(1)＝ lim Δx→0
2a＋11＋ΔΔxx－2a＋1＝2a＋1＝3，
∴a＝1.故选 B.
答案：B
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第三十页，共三十六页。
4．设 f(x)存在导数，且满足lim Δx→0
近的平均变化率，比较平均变化率的大小，并说明其含义． 【思路探索】 由于 Δx 可正可负，因此求出ΔΔxy后，要对 Δx
分类讨论．
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第二十一页，共三十六页。
【解】 当自变量从 0 变到 Δx 时，函数的平均变化率为
k1＝sin
Δx－sin Δx
0＝sinΔxΔx.
当自变量从π2变到 Δx＋π2时，函数的平均变化率为
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第二十四页，共三十六页。
一物体的运动方程为 s＝5t2＋9，则其在
t＝________时的瞬时速度为 30.
解析：由 lim Δt→0
ΔΔst ＝
lim
Δt→0
5t＋Δt2＋Δ9t－5t2＋9＝
lim
Δt→0
(10t＋
5Δt)＝10t＝30，解得 t＝3. 答案：3
人教a版数学高二选修2-2习题_第一章_导数及其应用_1.1.1变化率问题 有答案
人教a 版数学高二选修2-2习题_第一章_导数及其应用_1.1.1变化率问题 有答案1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题A 级 基础巩固一、选择题1．已知函数y ＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 解析：Δy ＝(2＋0.1)2＋1－(22＋1)＝0.41. 答案：B2．物体的运动规律是s ＝s (t )，物体在t 至t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( )A.v －＝s （t ）tB.v －＝s （Δt ）ΔtC.v －＝Δs ΔtD.v －＝s （t ＋Δt ）Δt解析：v －＝s （t ＋Δt ）－s （t ）Δt ＝Δs Δt .答案：C3．一运动物体的运动路程s (t )与时间x 的函数关系为s (t )＝－t 2＋2t ，则s (t )从2到2＋Δt 的平均速度为( )A ．2－ΔtB ．－2－ΔtC ．2＋ΔtD ．(Δt )2－2Δt解析：因为s (2)＝－22＋2×2＝0，所以s (2＋Δt )＝－(2＋Δt )2＋2(2＋Δt )＝－2Δt －(Δt )2， 所以s （2＋Δt ）－s （2）2＋Δt －2＝－2－Δt .答案：B4．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的表面积的增加量ΔS 等于( )A ．8πR ΔRB ．8πR ΔR ＋4π(ΔR )2C ．4πR ΔR ＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2解析：ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR ΔR ＋4π(ΔR )2. 答案：B5．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则ΔyΔx ＝( ) A ．4 B ．4＋2(Δx )2 C ．4＋2ΔxD ．4x解析：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2×(Δx )2＋4×Δx ，所以ΔyΔx＝2Δx ＋4. 答案：C 二、填空题6．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x 的平均变化率为________．解析：Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx ＝－29.答案：－297．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．解析：因为Δx ＝1，所以2＋Δx ＝3，Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－16.所以k AB ＝ΔyΔx ＝－16. 答案：－168．函数y＝1x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为________．解析：因为Δy＝1（x0＋Δx）2－1x20，所以y＝1x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率0为Δy Δx ＝1（x0＋Δx）2－1x20Δx＝－2x0＋Δx（x0＋Δx）2x20.答案：－2x0＋Δx （x0＋Δx）2x20三、解答题9．比较函数f(x)＝2x与g(x)＝3x，当x∈时，平均增长率的大小．解：设f(x)＝2x在x∈时的平均增长率为k1，则k1＝f（2）－f（1）2－1＝2.设g(x)＝3x在x∈时的平均增长率为k2，则k2＝g（2）－g（1）2－1＝6.因为k1<k2，故当x∈时，g(x)的平均增长率大于f(x)的平均增长率．10．若函数f(x)＝－x2＋x在(Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．解：因为函数f(x)在上的平均变化率为：Δy Δx ＝f（2＋Δx）－f（2）Δx＝－（2＋Δx）2＋（2＋Δx）－（－4＋2）Δx＝－4Δx＋Δx－（Δx）2Δx＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因为Δx＞0，所以Δx的取值范围是(0，＋∞)．B级能力提升1．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①解析：Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.所以k 3＞k 2＞k 1＞k 4.答案：B2．设C 是成本，q 是产量，且C (q )＝3q 2＋10，若q ＝q 0，则产量增加量为10时，成本增加量为________．解析：ΔC ＝C (q 0＋10)－C (q 0)＝3(q 0＋10)2＋10－(3q 20＋10)＝3(q 20＋20q 0＋100)－3q 20＝60q 0＋300.答案：60q 0＋3003．路灯距地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线匀速离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯10 s 内身影的平均变化率．解：(1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD //BE ，则AB AC ＝BE CD，即yy ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x .(2)84 m/min ＝1.4 m/s ，在内自变量的增量为x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，f(x2)－f(x1)＝14×14－14×0＝72.所以f（x2）－f（x1）x2－x1＝7214＝14.即人离开路灯10 s内身影的平均变化率为14 .。
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.1.3
第一章 导数及其应用
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1.1.3 导数的几何意义
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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[思路点拨]
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第一章 导数及其应用
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求曲线上某点(x0，y0)处切线方程的步骤： 求出f′x0即切线斜率 ↓ 写出切线的点斜式方程 ↓ 化简切线方程
时，割线 PQ 逼近点 P 的切线 l，从而割线的斜率逼近切线 l 的
斜率．因此，函数 f(x)在 x＝x0 处的导数就是切线 l 的斜率 k， 即
k＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
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第一章 导数及其应用
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1 ． 设 f′(x0) ＝ 0 ， 则 曲 线 y ＝ f(x) 在 点 (x0 ， f(x0)) 处 的 切 线
()
A．不存在
B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直
D．与x轴相交
解析： 在点(x0，f(x0))处切线斜率为0的直线与x轴平行或 重合，故选B.
答案： B
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
人教A版必修1高一数学17导数的概念及其意义、导数的运算【课件】
A.12 B. C.24 D.
【解析】由,得 ，，， ，故选C.
5.［北师选必二P72习题2-5第2（1）题变式］已知二次函数 ，设，若函数的导函数 的图象如图所示，则( )
D
A.， B.， C.， D.，
【解析】依题意，， ，所以.由题图知，即 ,得，令,则,由根与系数的关系知,所以 的另一个零点为，即，所以有， ，故选D．
B
A.5 B. C. D.
【解析】设与直线平行的直线的方程为.设直线与曲线 相切于点，由得，则，解得，则，所以切点为．此时 ,符合题意.点到直线的距离,所以的最小值为 .故选B．
9.［人A选必二P82探究与发现变式］牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法.如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，的图象在横坐标为 的点处的切线与轴的交点的横坐标为，的图象在横坐标为的点处的切线与 轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到,， ,，它们越来越接近 .若，，则用牛顿法得到的的近似值 约为( )
导数的几何意义
贰
教材知识萃取
导数的几何意义函数 在 处的导数 的几何意义，就是曲线 在点 处的切线的斜率 ，即 ③_______.相应地，切线方程为④__________________________.
教材知识萃取
规律总结奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.（3）复合函数的导数复合函数 的导数和函数 ， 的导数间的关系为 ⑫________，即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积.
注意 （1）要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.
导数的概念及其意义、导数的运算
目录
壹
导数的概念及运算
贰
导数的几何意义
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1
导数出手，求切线不再愁
由导数的几何意义可知，函数()fx在点0x处的导数0()fx¢就是曲线()yfx=在点
00(())Pxfx，处的切线的斜率,此时切线方程为000
()()yyfxxx
．利用上述结论，可以
速求曲线的各种类型切线的方程,下面举例说明.
类型一：已知切点，求曲线的切线方程
例1 曲线3231yxx在点(11)，处的切线方程为
解析：由2()36fxxx,则在点(11)，处斜率(1)3kf，故所求的切线方程为
(1)3(1)yx，即32yx.应填32yx
.
点评：此类题型较为简单，只须求出曲线的导数()fx，并代入点斜式方程即可．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
例2若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，求l的方程.
解析：∵直线l与直线480xy垂直,∴直线l的斜率4k=.
设00()Pxy，为切点，则切点处的导数值为03044xxyx|.
∴01x．于是得到切点(1)P，1.
∴切线l的方程为14(1),430yxxy-=---=即.
点评：此类题型可利用斜率0(kfx)求出切点00()Pxy，,再用点斜式方程加以解决．
类型三:已知过曲线上一点，求切线方程
例3 求过曲线3235yxx上的点M(11)，的切线方程．
解析：由3235yxx，知236yxx.
设切点为00()Pxy，，则切线的斜率为020036xxyxx|．
∴
曲线在点P处的切线方程为20000(36)()yyxxxx．
322
00000
(35)(36)()yxxxxxx
．
又切线过点(11)，，于是有322000001(35)(36)(1)xxxxx．
整理得3220000320,(1)(2)0xxxx即.
2
∴01x，或02x．
故所求切线方程为9100xy，或y=－1．
点评：(1)要特别注意“在点Ｍ处的切线”与“过点Ｍ的切线”的区别,前者说明点Ｍ就
是切点，而后者仅能说明曲线的切线经过点Ｍ，M也可能不是切点，两者不能混淆.
(2)求过曲线上一点Ｍ的切线方程的策略是：先设出切点00(())Pxfx，，再将点Ｍ的坐标
代入含参数0x的切线方程，解出0x，即可求出切线方程.
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
例4 已知函数33yxx，过点(016)A，作曲线()yfx的切线，求此切线方程．
解析：曲线方程为33yxx，点(016)A，不在曲线上．
设切点为00()Mxy，，则点M的坐标满足30003yxx．
∵200()3(1)fxx，故切线的方程为20003(1)()yyxxx．
点(016)A，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)xxxx．
化简得308x，解得02x．
∴切点为(22)M，，切线方程为9160xy．
点评: 此类题的求解策略是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一
或类型三；若点A不在曲线上，，则应先设出切点并求之,便可得切线方程．
由上述例子可知，导数法求切线方程具有思路简单清晰，步骤简洁流畅等优点，可谓是
解决切线问题的一条捷径，建议熟练掌握！