高中数学选修1,1《变化率与导数》教案
1.1 变化率与导数 导学案(教师版)
§1.1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念内容要求 1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．知识点1 函数的变化率定义实例平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，简记作：ΔyΔx①平均速度；②曲线割线的斜率瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝0lim x ∆→ΔyΔx①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率 若一质点的运动方程为s ＝t 2＋1，则在时间段[1，2]中的平均速度是________． 解析 v －＝（22＋1）－（12＋1）2－1＝3.答案 3知识点2 函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0limx ∆→Δy Δx ＝ 0limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .【预习评价】设f (x )＝2x ＋1，则f ′(1)＝________． 解析 f ′(1)＝0lim x ∆→f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝0lim x ∆→ [2（1＋Δx ）＋1]－（2×1＋1）Δx ＝2.答案 2题型一 平均变化率【例1】 已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当Δx 越来越小时，函数h (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3.①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1； ②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2； ③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1，1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.规律方法 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.【训练1】 求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．解 函数f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 f （x 0＋Δx ）－f （x 0）（x 0＋Δx ）－x 0＝[3（x 0＋Δx ）2＋2]－（3x 20＋2）Δx＝6x 0·Δx ＋3（Δx ）2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.题型二 物体运动的瞬时速度【例2】 一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3(时间单位：s ，位移单位：m)做直线运动，求这辆汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度．解 设在t ＝2 s 附近的时间增量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2.因为Δs Δt ＝8＋2Δt ，0lim t ∆→ΔsΔt ＝0lim t ∆→(8＋2Δt )＝8，所以这辆汽车在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s.规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s 与时间t 的函数关系式求出位移增量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；(2)求时间t 0到t 0＋Δt 之间的平均速度v －＝ΔsΔt ，(3)求0lim t ∆→ΔsΔt 的值，即得t ＝t 0时的瞬时速度．【训练2】 一质点按规律s (t )＝at 2＋2t ＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度为4 m/s ，求常数a 的值． 解 ∵Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝[a (1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋1]－(a ＋3) ＝a ·(Δt )2＋(2a ＋2)·Δt ， ∴ΔsΔt ＝a ·Δt ＋2a ＋2. 在t ＝1 s 时，瞬时速度为0limt ∆→ΔsΔt＝2a ＋2，即2a ＋2＝4，∴a ＝1.方向1 求函数在某点处的导数【例3－1】 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数． 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3（Δx ）2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4，∴y ′|x =1＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→(3Δx ＋4)＝4.方向2 已知函数在某点处的导数求参数【例3－2】 已知函数y ＝ax －1x 在x ＝1处的导数为2，求a 的值．解∵Δy＝a(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫a－11＝aΔx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝aΔx＋Δx1＋ΔxΔx＝a＋11＋Δx，∴limx∆→ΔyΔx＝limx∆→⎝⎛⎭⎪⎫a＋11＋Δx＝a＋1＝2，从而a＝1.规律方法求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝limx∆→ΔyΔx.【训练3】利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．解由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝limx∆→f（2＋Δx）－f（2）Δx，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－3(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝limx∆→－（Δx）2－ΔxΔx＝limx∆→(－Δx－1)＝－1.课堂达标1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在时间段[2，2.1]中相应的平均速度是()A．4 B．4.1 C．0.41 D．3解析v－＝（3＋2.12）－（3＋22）0.1＝4.1.答案 B2．函数f (x )在x 0处可导，则0lim h ∆→f （x 0＋h ）－f （x 0）h ( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 均无关 答案 B3．若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6B ．18C ．54D ．81解析 因为Δs Δt ＝3（3＋Δt ）2－3×32Δt＝18Δt ＋3（Δt ）2Δt ＝18＋3Δt ，所以lim t ∆→ΔsΔt ＝18.答案 B4．若一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.解析 Δs Δt ＝7（t ＋Δt ）2＋8－（7t 2＋8）Δt＝7Δt ＋14t ，当0lim t ∆→ (7Δt ＋14t )＝14t ＝1时，t ＝114.答案 1145．已知函数f (x )＝x ，则f ′(1)＝________． 解析 f ′(1)＝0lim x ∆→f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝0lim x ∆→1＋Δx －1Δx＝0limx ∆→11＋Δx ＋1＝12.答案 12课堂小结利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)作比求平均变化率Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ；(3)取极限得导数f ′(x 0)＝0lim x ∆→ΔyΔx .简记为一差、二比、三极限.基础过关1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析 Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝2（1＋Δx ）2－2Δx＝4＋2Δx . 答案 C2.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2解析 Δy Δx ＝f （3）－f （1）3－1＝1－32＝－1.答案 B3．如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/sD ．4.8 m/s解析 物体在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得． 答案 A4．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于________． 解析 因为f ′(1)＝0lim x ∆→f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝0lim x ∆→a （1＋Δx ）＋4－a －4Δx ＝a ，所以f ′(1)＝a ＝2. 答案 25．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．解析 v 初＝s ′|t ＝0＝0lim t ∆→s （0＋Δt ）－s （0）Δt＝0lim t ∆→ (3－Δt )＝3.答案 36．求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2（Δx ）2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16.∴y ′|x =3＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→ (2Δx ＋16)＝16.7．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值． 解 由导数的定义知，f ′(x )＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝2x ，g ′(x )＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）3－x 3Δx ＝3x 2.∵f ′(x )＋2＝g ′(x )，∴2x ＋2＝3x 2， 即3x 2－2x －2＝0， 解得x ＝1－73或x ＝1＋73.能力提升8．设f (x )为可导函数，且满足0lim x →f （1）－f （1－2x ）2x ＝－1，则f ′(1)为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析 令x →0，则Δx ＝1－(1－2x )＝2x →0，所以 0lim x → f （1）－f （1－2x ）2x ＝0lim x ∆→f （1）－f （1－Δx ）Δx＝f ′(1)＝－1. 答案 B9．设函数f (x )可导，则0lim x ∆→f （1＋Δx ）－f （1）3Δx 等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13f ′(1)D ．f ′(3)解析 根据导数的定义，得 f ′(1)＝0lim x ∆→f （1＋Δx ）－f （1）Δx ，所以0lim x ∆→f （1＋Δx ）－f （1）3Δx ＝13f ′(1)，故选C. 答案 C10．过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1，2)和Q (1＋Δx ，2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________．解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1) ＝2Δx ＋(Δx )2，∴ΔyΔx ＝2＋Δx ， ∴割线斜率为2＋Δx .当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1. 当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001. 答案 2.1 2.00111．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f （1）f ′（0）的最小值为________． 解析 由导数的定义，得f ′(0)＝0lim x ∆→f （Δx ）－f （0）Δx＝0lim x ∆→a （Δx ）2＋b （Δx ）＋c －cΔx ＝0lim x ∆→[a ·(Δx )＋b ]＝b ＞0.又⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，∴ac ≥b 24，∴c >0. ∴f （1）f ′（0）＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2.当且仅当a ＝c ＝|b |2时等号成立． 答案 212．一质点M 按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值． 解 因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt .所以当t ＝2时，质点M 的瞬时速度为0lim t ∆→Δs Δt ＝4a ， 即4a ＝8，所以a ＝2.创新突破13．用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x 在x ＝1处的导数． 解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·（1＋1＋Δx ）， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·（1＋1＋Δx ）， ∴0lim x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→－11＋Δx ·（1＋1＋Δx ） ＝－11＋0×（1＋1＋0）＝－12，∴y ′|x =1＝f ′(1)＝－12.。
高中数学变化率与导数精品教学设计
变化率与导数教学设计一、内容与内容解析变化是自然界的普遍现象，丰富多彩的变化问题随处可见。
函数是描述运动变化规律的重要工具。
如何定量刻画千变万化的变化现象，是数学研究的重要课题。
17世纪创立的微积分就源于研究运动物体的变化规律，它是数学发展中的里程碑。
本节课的核心内容是平均变化率和瞬时变化率。
这是微积分中的两个核心概念，有着极其丰富的实际背景和广泛的应用。
对于宏观地描述一个简单的变化过程，可以利用平均变化率的这个指标，但是随着对变化问题研究的深入和细化，用平均变化率已经不足刻画一个较复杂的变化问题，需要引进瞬时变化率的概念。
由平均变化率的概念拓展至瞬时变化率的概念，这不是两个平行概念间的迁移，而是在原有概念基础上的质的飞跃。
如果说平均变化率是静态的概念，那么瞬时变化率则是一个动态的概念。
其蕴涵的无限分割的微分的思想，无限逼近的极限的思想是两个极为重要的数学思想。
因此本节课的重点是理解瞬时变化率的概念，学会用瞬时变化率来“度量”变化过程。
二、目标与目标解析抽象的数学往往都具有丰富的实践背景，变化率概念的形成和发展也不例外。
课堂教学需要再现数学概念的形成与发展过程，让学生体会数学的重要思想和丰富内涵，感受数学工具在解决实际问题的作用，使学生认识到数学概念的形成也是人的思想的自然合理、符合逻辑的发展过程。
因此确定本节课的教学目标为：1.从具体案例中，发现平均变化率是在刻画变化规律中过程的重要指标作用和局限性。
2.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，激发学生求变、求新的学习热情。
3.自然合理地形成微分、逼近、极限等数学观点，体会微积分的思想及其内涵，理解导数就是瞬时变化率。
三、教学问题诊断分析函数是刻画运动变化的重要数学模型，函数的图象与性质是学生定性分析变化现象的重要认知基础。
或许学生能够从函数图象上感受函数变化的快与慢。
但学生往往缺乏从定量和抽象的层面去分析数学问题本质的习惯与能力。
高中数学选修1-1教学设计-变化率问题+导数的概念
3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念1.理解函数在某点附近的平均变化率.(重点)2.了解导数的概念并会求函数在某点处的导数.(难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系.(易错点)[基础·初探]教材整理1 变化率问题阅读教材P72～P74“思考”部分，完成下列问题.函数的变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比.(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx表示x2－x1是相对于x1的一个增量，Δx可以为零.( )(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零.( )(3)ΔyΔx表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率.( )【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 导数的概念阅读教材P74导数的概念～P75例1以上部分，完成下列问题.1.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率(1)定义式：lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx .(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值.(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢. 2.函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx .判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关.( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量.( ) (3)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零.( ) (4)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×[小组合作型]平均变化率(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为______，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________.(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.【自主解答】 (1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx 2＋2]－x 20＋Δx＝6x 0·Δx ＋Δx 2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.(2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)]＝－(Δx)2＋3Δx，∴ΔyΔx＝－Δx2＋3ΔxΔx＝－Δx＋3.【答案】(1)6x0＋3Δx12.3 (2)－Δx＋3求平均变化率的主要步骤1.计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).2.计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.3.得平均变化率ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1.[再练一题]1.求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【导学号：97792034】【解】在x＝1附近的平均变化率为：k 1＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－1Δx＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为：k 2＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为：k 3＝f＋Δx－fΔx＝＋Δx2－32Δx＝6＋Δx.若Δx＝1 3，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k1＜k2＜k3，故在x＝3附近的平均变化率最大.若一物体的运动方程为s ＝⎩⎨＋t －2，0≤3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s).求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度. 【精彩点拨】根据问题选择对应的函数解析式→根据平均速度和瞬时速度的概念求解 【自主解答】 (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s).(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)，所以Δs Δt ＝Δt 2－12Δt Δt＝(3Δt －12)(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s).求物体瞬时速度的步骤1.设非匀速直线运动的规律s ＝s (t ).2.求时间改变量Δt 和位置改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0).3.求平均速率v ＝ΔsΔt.4.计算瞬时速率：当Δt →0时，ΔsΔt→v (常数).[再练一题]2.质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s).求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.【解】 v ＝lim Δt →0s ＋Δt －sΔt＝lim Δt →0＋Δt 2－2×22Δt＝lim Δt →0(2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝s 3－s 13－1＝2×32＋3－2×12＋32＝8(cm/s).[探究共研型]探究导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？【提示】导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.(1)求函数y＝x在x＝1处的导数；(2)求函数y＝x2＋ax＋b在x处(a，b为常数)的导数.【精彩点拨】本题求函数的导数，可以按照“求导数的三步曲”来求解. 【自主解答】(1)Δy＝1＋Δx－1，Δy Δx ＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1，lim Δx→011＋Δx＋1＝12，∴y′|x＝1＝1 2 .(2)Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，Δy Δx ＝x＋aΔx＋Δx2Δx＝(2x＋a)＋Δx，lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，∴f′(x)＝2x＋a.1.求函数f(x)在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限.2.利用定义求函数y＝f(x)在点x0处的导数的两个注意点：(1)在求平均变化率ΔyΔx时，要注意对ΔyΔx的变形与约分，变形不彻底可能导致limΔx→0ΔyΔx不存在；(2)当对ΔyΔx取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式.[再练一题]3.求函数y＝x－1x在x＝1处的导数.【导学号：97792035】【解】∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→2，∴f′(1)＝2，即函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.1.已知函数y＝f(x)＝x2＋1，当x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41.【答案】 B2.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A.f′(x)＝aB.f′(x)＝bC.f′(x0)＝aD.f′(x0)＝b【解析】ΔyΔx＝f x＋Δx－f x0Δx＝a＋b·Δx，f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(a＋b·Δx)＝a.【答案】 C3.一质点按规律s(t)＝2t2运动，则在t＝2时的瞬时速度为__________. 【解析】s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴limΔt→0s＋Δt－sΔt＝limΔt→0Δt2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.【答案】84.设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.【解析】f′(1)＝limΔx→0f＋Δx－fΔx＝limΔx→0a＋Δx＋4－a＋Δx＝a，又∵f′(1)＝2，∴a＝2.【答案】 25.求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数.【解】Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.。
北师大版高中数学(选修1-1)《第三章变化率与导数》word教案
=f (x +∆x )-f (x )第三章 变化率和导数 3．1．1 瞬时变化率—导数教学目标：(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的 定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的 运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是 方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我 们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数 f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。
从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点 Q 运动，随着点 P 无限逼近点 Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点 Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用 Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点 Q 处的变化趋势 二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设 P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线 PQ 的斜率为 k PQ =f ( x ) - f ( x )1 0 x - x1 0，设 x 1－x 0△= x ，则 x 1 △= x ＋x 0，∴ k PQ =f ( x + ∆x ) - f ( x )0 0 ∆x当点 P 沿着曲线向点 Q 无限靠近时，割线 PQ 的斜率就会无限逼近点 Q 处切线斜率，即当 △x 无限趋近于 0 时， k0 0∆x无限趋近点 Q 处切线斜率。
2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：k = f ( x 0 +∆x ) - f ( x 0 )∆x，当 △x 无限趋近于 0 时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。
高中数学选修1-1《变化率问题》教案
人教版选修1-1第三章导数及其应用P72—74t (d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)C (34, 33.4)T (℃)210教材分析本节课是导数的起始课，教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。
这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。
二、教学目标分析1、知识与技能：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
2、过程与方法：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。
3、情感态度与价值观：体会平均变化率的思想及内涵，使学生逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法，培养学生互相合作的风格以及勇于探究、积极思考的学习精神。
三、重点与难点分析:根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：平均变化率的实际意义和数学意义难点：平均变化率概念的理解和运用四、学情分析1、有利因素：高二学生个性活泼、思维活跃、积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的意志与能力。
2、不利因素：学生两极分化开始形成，学生个体差异比较明显。
五、教法学法根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法：探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。
遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。
依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。
六、教学过程设计（一）创设情景、激发热情[情境1]：法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。
2019-2020年高中数学《变化率与导数》教案1 新人教A版选修1-1
2019-2020年高中数学《变化率与导数》教案1 新人教A版选修1-1 [教学目的]1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。
[教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点[教学方法]讲授启发，自学演练。
[授课类型]：新授课[课时安排]：1课时[教具]：多媒体、实物投影仪[教学过程]一、复习提问(导数定义的引入)1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度)2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在关系，那么我们就会计算任意一段的平均速度，通过平均速度来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？（2）新课我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。
先计算2秒之前的时间段内的平均速度，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉表格1问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）关于这些数据，下面的判断对吗？2．当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1。
3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段上的平均速度；5． -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1。
分析:秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1。
高中数学选修1,1《变化率与导数》教案
高中数学选修1,1《变化率与导数》教案高中数学选修1-1《变化率与导数》教案【一】一、内容和内容解析本节内容选自课标实验教材人教A版，是导数的起始课，主要内容有变化率问题和导数的概念。
导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。
大纲教材中导数概念学习的起点是极限，这种建立概念的方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质理解。
课标教材则不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴涵着极限的描述性定义)，这种直观形象的方法中蕴含了逼近的思想，这样定义导数的优点是：1.使学生将更多精力放在导数本质的理解上;2.学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义.基于上述分析，本节课的教学重点是：丰富学生的感性经验，运用逼近的思想方法引导学生探索理解导数的思想及内涵。
二、目标和目标解析1.通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵;2.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会逼近的思想方法;3.经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。
通过概念的形成过程体会从特殊到一般的数学思想方法。
三、教学问题诊断分析1.吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键之一。
对于吹气球问题要用函数的观点分析变化过程中的自变量和函数值，自然地引导学生建立半径r关于体积V的函数关系式;在吹气过程中要注意观察或者想象，并把实际操作转化为相应的数学语言，比如当吹入差不多大小相同的一口气时，是指气球的体积的增量相同等。
高中数学教学课例《变化率与导数》课程思政核心素养教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《变化率与导数》
称
本节是选修 1-1 第三章导数及其应用的第一节，本
节的内容概念性很强。本节的重难点是 教材分析
重点：理解平均变化率，瞬时变化率，导数的概念
难点：导数概念的理解
1、了解导数概念的实际背景
教学目标
2、会求函数在某一点附近的平均变化率
3、会利用导数的定义求函数在某点处的导数
学生学习能
学生的基础都很差，通过组内探究找出困惑，各个
力分析 小组分别分析，老师做总结。
先从学生的认知角度出发，通过简单的图像了解到 教学策略选
其变化率，让学生了解变化率，从而得出导数的概念。 择与设计
先从一般抽象出来，得到导数的概念。
通过对函数图像的研究，了解到其变化率，最先感
受图形的变化，让学生认识到变化率，得出自变量的增 教学过程
量与函数值的增量的比值是平均变化率。当自变量的增
量趋近于零时，得出瞬时变化率。从而得出导数的概念。
课例研究综
因为我们学生的基础相当糟糕，所以在讲解过程
述
Байду номын сангаас
中，讲解很慢，在讲解过程中我发现学生对这种抽象的
概念很难理解。应该给他们足够多的时间去消化，而且
对后面的求到公式很重要。
我在本节课中也有很多的不足，知识的把握程度不
够，综合能力较弱，为了更好的提升自己和给学生更深
的理解，我会更加努力认真上好每一节课
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问题1：大家可能有过吹气球的经验。在吹气球的过程中，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。这个过程中的自变量和函数值分别是谁?试建立它们之间的函数关系，从数学角度如何描述上述变化过程呢?
设计意图：通过分析生活实例，提炼数学模型，为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。
变化率的几何意义是什么?
图4
设计意图：从几何角度得到平均变化率的几何意义，体现数形结合的思想。
r(v0??v)?r(v0)。?v?0?vlim
问题8对于一般函数f(x)在x?x0处的瞬时变化率如何表示呢?
设计意图：引导学生舍弃具体问题的实际意义，抽象得出函数在某点处的瞬时变化率，即导数，帮助学生实现认识上的飞跃。
高中数学选修1,1《变化率与导数》教案
一、内容和内容解析
本节内容选自课标实验教材人教A版，是导数的起始课，主要内容有变化率问题和导数的概念。
导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。
2.对于利用平均速度解决瞬时速度的问题还是第一次，很难做到一次到位，因此，从平均变化率向瞬时变化率的过渡是本节课的一个难点;同时，这个问题所涉及到的逼近思想，学生虽然在数学1二分法的学习中已经有所接触，但是没有经过反复练习，运用起来还是有一定难度，所以，逼近思想的渗透、逼近方法的应用将是本节课的一个难点。
大纲教材中导数概念学习的起点是极限，这种建立概念的方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质理解。
课标教材则不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴涵着极限的描述性定义)，这种直观形象的方法中蕴含了逼近的思想，这样定义导数的优点是：
x2?x1?x
其中△x、△y的值可正、可负，但△x值不能为0，△y的值可以为0。
x?x
若函数f(x)为常函数时△y =0。变式：
f(x)?f(x)f(x?? x)?f(x)
?
x?x? x
2
1
1
1
2
1
。
21
?问题4观察函数f(x)的平均变化率，结合直线的斜率分析平均
f(x)?f(x)
x2?x1
?y?x
图1
问题2怎样才能更准确的描述运动员的运动状态呢?
设计意图：分析实例，抽象数学模型，为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景，并使学生初步感受平均变化率的不足，激发进一步探求新知的欲望。
师生活动：
问题2
中的平均变化率计算公式v?
h(t2)?h(t1)
t2?t1
并借助于几何画给予直观解释。
3.分析归纳，得到概念
五、教学过程设计
1.创设情境、引入新课
教师介绍：微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要方法和手段。在本章中，学生将通过大量的实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，那么，我们先来研究变化率的问题，引出新课。
设计意图：充分挖掘章引言的教学价值，它说明了三方面的问题：首先，简明的指出了函数和微积分的关系;其次，概述了微积分的创立史及它的地位;第三，概述本章的学习内容。
问题3对比问题1和问题2中的平均变化率计算关系式，他们有什么共同特点?对于一般函数f(x),如何计算其平均变化率?
设计意图：让学生结合两个实例，对比、分析，抽象概括出一般形式，经历由特殊到一般的数学过程。
师生活动：学生讨论，分析，归纳根据前面的实例，得到结论：
f(x2)?f(x1)称为函数f(x)从x1到x2的平均变化定义：一般地,函数y=f(x)中，式子21f(x2)?f(x1)?y率，则?
师生活动：回忆吹气球的过程(或者让学生现场吹气球)，建立半径r关于体积V的函
数关系：r(V)?
r(V2)?r(V1)
。通过观察和计算，用数据解释上述现象，并通过几何画板演示，更逼真的
V2?V1
感受上述现象。图1直观地演示了当球的体积增大(黑色部分面积变大，绿色越来越薄)时，半径增大越来越小。图2演示当A，B两点向右运动时，自变量的增量保持不变，但是平均变化率越来越小。
1.使学生将更多精力放在导数本质的理解上;
2.学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义.
基于上述分析，本节课的教学重点是：丰富学生的感性经验，运用逼近的思想方法引导学生探索理解导数的思想及内涵。
二、目标和目标解析
1.通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵;
师生活动：在前面两个问题的基础上提出导数的概念：
一般地，函数f(x)在x?x0处的瞬时变化率是：
lim
y?|f?(x0)?lim称为函数y = f (x)在x = x0处的导数,记作f?(x0)或x ?x，即：?x?00?x?0f(x? x)?f(x) ?y?lim? x? x00 ?x?0 f(x0? x)?f(x0) .? x
基于上述分析本节课的教学难点是：帮助学生理解气球平均变化率问题和逼近的思想方法的应用。
四、教学支持条件分析
在教学中适时地使用信息技术，充分发挥信息技术的优势，帮助学生更好地理解概念1.通过将计算结果实物投影，让学生积极主动地参与到课堂中来，使学生保持高水平的思维活动;
2.通过几何画板演示，使学生对概念的理解更直观，生动。
2.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会逼近的思想方法; 3.经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。通过概念的形成过程体会从特殊到一般的数学思想方法。
三、教学问题诊断分析
1.吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键之一。对于吹气球问题要用函数的观点分析变化过程中的自变量和函数值，自然地引导学生建立半径r关于体积V的函数关系式;在吹气过程中要注意观察或者想象，并把实际操作转化为相应的数学语言，比如当吹入差不多大小相同的一口气时，是指气球的体积的增量相同等。