高中数学第2章变化率与导数3计算导数课件
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北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念与导数的几何意义习题课 课件
2013-8-20
练习 1.求下列函数的导函数 1 3 ⑴y x ⑵y x ⑶ y x2 2 x 3 3
解:⑴ y
y x
x x 1
x
x x x x
x x x y y lim lim x 0 x x 0
2013-8-20
D
3.已知 f ( x0 ) 0 , f ( x 0 )
1 ,则 lim △ x 0 2
19 2 8 f ( x 3△ x ) ___ . 3 △x 2
0
2013-8-20
1.过点 ( 1, 0) 作抛物线 y x 2 x 1的切线， 则其中一条切线为 ） （ (A) 2 x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0 解析：设 ( x1 , y1 ) 为作抛物线 y x 2 x 1上一点，则在该点处切 线的斜率为 y 2 x1 1 ,于是过点 ( x1 , y1 ) 的抛物线的切线的方程为
C
.
9 x 4 y 12 0 或 y 0
2013-8-20
1 3 3 9 练习 3.⑴如图已知曲线 y x 上的一点 P ( , ) , 3 2 8 求点 P 处的切线方程. 9 2 解:∵ y x ,∴ y | 3 . x 4 2 9 即点 P 处的切线的斜率等于 . 4 ∴在点 P 处的切线方程 9 9 3 是 y (x ) , 8 4 2 即 9 x 4 y 12 0 .
2013-8-20
练习 1.求下列函数的导函数 1 3 2 y x ⑴y x ⑵ ⑶ y x 2x 3 3
解:⑶ △ y ( x △x)2 2( x △x ) 3 ( x 2 2 x 3)
练习 1.求下列函数的导函数 1 3 ⑴y x ⑵y x ⑶ y x2 2 x 3 3
解:⑴ y
y x
x x 1
x
x x x x
x x x y y lim lim x 0 x x 0
2013-8-20
D
3.已知 f ( x0 ) 0 , f ( x 0 )
1 ,则 lim △ x 0 2
19 2 8 f ( x 3△ x ) ___ . 3 △x 2
0
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1.过点 ( 1, 0) 作抛物线 y x 2 x 1的切线， 则其中一条切线为 ） （ (A) 2 x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0 解析：设 ( x1 , y1 ) 为作抛物线 y x 2 x 1上一点，则在该点处切 线的斜率为 y 2 x1 1 ,于是过点 ( x1 , y1 ) 的抛物线的切线的方程为
C
.
9 x 4 y 12 0 或 y 0
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1 3 3 9 练习 3.⑴如图已知曲线 y x 上的一点 P ( , ) , 3 2 8 求点 P 处的切线方程. 9 2 解:∵ y x ,∴ y | 3 . x 4 2 9 即点 P 处的切线的斜率等于 . 4 ∴在点 P 处的切线方程 9 9 3 是 y (x ) , 8 4 2 即 9 x 4 y 12 0 .
2013-8-20
练习 1.求下列函数的导函数 1 3 2 y x ⑴y x ⑵ ⑶ y x 2x 3 3
解:⑶ △ y ( x △x)2 2( x △x ) 3 ( x 2 2 x 3)
高三理科数学第一轮复习§2.10：变化率与导数、导数的计算
第二章：函Leabharlann 、导数及其应用 §2.10：变化率与导数、导数的计算
第二章：函数、导数及其应用 §2.10：变化率与导数、导数的计算
解析
第二章：函数、导数及其应用 §2.10：变化率与导数、导数的计算
第二章：函数、导数及其应用 §2.10：变化率与导数、导数的计算
第二章：函数、导数及其应用 §2.10：变化率与导数、导数的计算
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解析
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解析
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解析
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第二章：函数、导数及其应用 §2.10：变化率与导数、导数的计算
解析
导数的概念及其几何意义课件高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册
第二章
§2
导数的概念及
其几何意义
学习目标
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念及实际背景．
2.理解导数的几何意义．
核心素养：数学运算、数学抽象
新知学习
新知引入
前面我们研究了两类变化率问题：一类平均变化率，另一类是瞬时变化率.在解决瞬时变化率问题时，都
采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，问题的答案也是一样的表示形式.下面我们进
关键点二：|f ′x0|越大⇔在 x0 处瞬时变化越快；|f ′x0|越小⇔在
x0 处瞬时变化越慢.
即时巩固
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f ′(x0)． ( √ )
(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处瞬时变化率较大．
断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.
随堂小测
1+∆ − 1
2∆
∆→0
1.已知函数y＝f (x)是可导函数，且f ′(1)＝2，则 lim
1
A．2
B．2
C．1
＝( C )
D．－1
2.已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( B )
＜0，故B符合．
(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成
预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单
位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
A
B
C
D
解析：从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不
§2
导数的概念及
其几何意义
学习目标
1. 经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念及实际背景．
2.理解导数的几何意义．
核心素养：数学运算、数学抽象
新知学习
新知引入
前面我们研究了两类变化率问题：一类平均变化率，另一类是瞬时变化率.在解决瞬时变化率问题时，都
采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，问题的答案也是一样的表示形式.下面我们进
关键点二：|f ′x0|越大⇔在 x0 处瞬时变化越快；|f ′x0|越小⇔在
x0 处瞬时变化越慢.
即时巩固
判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f ′(x0)． ( √ )
(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处瞬时变化率较大．
断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.
随堂小测
1+∆ − 1
2∆
∆→0
1.已知函数y＝f (x)是可导函数，且f ′(1)＝2，则 lim
1
A．2
B．2
C．1
＝( C )
D．－1
2.已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(xA)与f ′(xB)的大小关系是( B )
＜0，故B符合．
(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成
预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单
位时间内的运输量)逐步提高的是( B )
A
B
C
D
解析：从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不
人教版高中数学选修2-2全套课件
(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
高中数学第二章变化率与导数2.2导数的概念及其几何意义课件北师大选修2_2
=
������(������0
+
������)-������(������0) ������
,曲线割线的斜率就是函数的平均
(2)切线的斜率.
当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的最终位置为
直线AD,这条直线AD叫作此曲线在点A的切线.则当Δx→0时,割线
AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率,即 切线AD的斜率.
1.导数的概念
定义:设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变到
f(x1),函数值y关于x的平均变化率为
������ ������
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0),
当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那
么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变
化率为函数y=f(x)在x0点的导数.
计算公式:f'(x)= lim
������ 1 →������ 0
f(xx11)--fx(0x0)=������������x������→������0
§2.2 导数的概念及其几何意义
学习目标
思维脉络
1.通过实例分析,体会由平 均变化率过渡到瞬时变化
率的过程,了解导数概念建 立的背景. 2.理解瞬时变化率的含义, 并知道瞬时变化率就是导
数. 3.会求函数 f(x)在某一点 x0 处的导数. 4.理解导数的几何意义,并 能利用几何意义解决相关
问题. 5.会求与导数相关的切线 问题.
高中数学 第二章 变化率与导数 2.4.1 导数的加法与减法法则课件42高二选修22数学课件
x 2 2 x f ( x) g ( x) 2 x 2 x ln 2.
第八页，共十七页。
( 2 )函数 y x ln x 是 f ( x ) x 与
函数 g ( x ) ln x 的差 ,由导数公式表 ,
分别得出
f ( x ) 1 , g ( x ) 1 .
2x
x
利用函数差的求导法则
方程。点P处的切线方程为L：y -14/3=5(x-2)。即：15x-3y-16=0。导数的加法与减法法则是什么。几个常见的函数的导
数是什么
No
Image
12/8/2021
第十七页，共十七页。
(2)y=x4-x2-x+3.
y' 4x3 2x 1
第十三页，共十七页。
练习移3动. ，已设知p点处p的在切曲线线的(q倾ūxiàyn斜) 角x为3α，x则α32的取上
值范范围为
02或 34
解因为k=f(x)=3x2 1≥ -1即tanα≥-1 所以(suǒyǐ)α角的取值范围0 为2或 34
第十四页，共十七页。
练习4:
已知曲线(qūxiàny) 13x3+x上一点P(2,134),
求:(1)点P处的切线L的斜率和方程;
(2).切线L和坐标轴所围成的三角形面积。
解 :(1)由 导 数 公 式 得 :f(x) 1 3x31 1 33x21x21.
故 点 P 的 切 线 斜 率 是 :f(x0)2215.
可得 :
x ln x
f ( x ) g ( x )
1
1.
2x x
提示 : (tíshì)
对于(duìyú)常见的几
个函数的导数,
可以熟记,以便
第八页，共十七页。
( 2 )函数 y x ln x 是 f ( x ) x 与
函数 g ( x ) ln x 的差 ,由导数公式表 ,
分别得出
f ( x ) 1 , g ( x ) 1 .
2x
x
利用函数差的求导法则
方程。点P处的切线方程为L：y -14/3=5(x-2)。即：15x-3y-16=0。导数的加法与减法法则是什么。几个常见的函数的导
数是什么
No
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第十七页，共十七页。
(2)y=x4-x2-x+3.
y' 4x3 2x 1
第十三页，共十七页。
练习移3动. ，已设知p点处p的在切曲线线的(q倾ūxiàyn斜) 角x为3α，x则α32的取上
值范范围为
02或 34
解因为k=f(x)=3x2 1≥ -1即tanα≥-1 所以(suǒyǐ)α角的取值范围0 为2或 34
第十四页，共十七页。
练习4:
已知曲线(qūxiàny) 13x3+x上一点P(2,134),
求:(1)点P处的切线L的斜率和方程;
(2).切线L和坐标轴所围成的三角形面积。
解 :(1)由 导 数 公 式 得 :f(x) 1 3x31 1 33x21x21.
故 点 P 的 切 线 斜 率 是 :f(x0)2215.
可得 :
x ln x
f ( x ) g ( x )
1
1.
2x x
提示 : (tíshì)
对于(duìyú)常见的几
个函数的导数,
可以熟记,以便
高考数学一轮复习 第二章 第十节 变化率与导数导数的计算课件 理
解
．
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变化率与导数、导数的计算
考点一：导数的运算
题组练透
求下列函数的.导数
(1)y x2 sinx;
(2)y lnx பைடு நூலகம்; x
cosx (3)y ex ;
(4)y xsin(2x)cos2(x);
2
2
(5)y ln(2x5).
类题通法
函数求导的遵循原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等 变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减 少运算量，提高运算速度，减少差错. (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式， 但在求导前利用代数或三角恒等式等变形 将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免 使用商的求导法则，减少运算量． (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复 合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然 后求导．
考点二：导数的几何意义
角度一：求切线方程
1.(201.云 5 南一)检 函数f(x) l nx2x x
的图象在(1点 ,2)处的切线方程 ( 为)
A2.x y40
B2. x y0
C.x y30
D.x y10
角度二：求切点坐标
2.(201.江 4 西高 )若考曲y线 xlnx上 点P处的切线平行 2x与 y直 10线 ,则 点P的坐标 __是 _____.____
角度三：求参数的值
3.已知f (x) ln x, g(x) 1 x2 mx 7
2
2
(m 0),直线l与函数f (x), g(x)的图象都相切，
且与f (x)图象的切点为(1, f (1)),则m的值为
A. 1
高中数学 第二章 变化率与导数 2.4.1 导数的加法与减法法则课件32高二选修22数学课件
（1）设 f (x) x2与 g(x) 2x，则
导数(dǎo shù)
公式
由函数(hánshù)和的求导法则
可得：
12/8/2021
第八页，共十六页。
（2）由函数(hánshù)差的求导法则 可得：
12/8/2021
第九页，共十六页。
动手做一做
1. 求下列函数(hánshù)的导数：
y 2 2 33 x
2.4.1 导数(dǎo shù)的加减法法则
12/8/2021
第一页，共十六页。
复习(fùxí)回顾
＊ 计算导数(dǎo shù)的步骤：
求导“三步曲”： 求 y
＊ 导函数(hánshù)定义：
求 y x
求 lim y x0 x
f (x是) x的函数，称之为 f ( x的) 导函数，也简称导
数。
12/8/2021
第四页，共十六页。
求 f(x)xx2的导函数。
∴ x (x 2 ) 1 2 x (x x 2 )
所以(suǒyǐ)
同理
12/8/2021
第五页，共十六页。
概括(gàikuò)
两个函数(hánshù)和（差）的导数，等于这两个函数(hánshù)导
数的和（差），即
12/8/2021
12/8/2021
第二页，共十六页。
＊ 常用导数(dǎo shù)公式：
（1） C0(C为 常 数 ) （2） (xn)nxn1(nR) （3） (sinx)cosx （4） (cosx)sinx （5） （6）
12/8/2021
第三页，共十六页。
？？
问题：
我们前面学习了求单个函数的导数的方法， 如果(rúguǒ)给出两个函数并已知它们的导数，如何求 它们的和、差、积、商的导数呢？
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数学D 选修2-2
第二章 变化率与导数
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
2．基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)＝c，则f′(x)＝_____0___； (2)若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝_____α_x_α－_；1 (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝_____co_s__x； (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝___－__s_in__x；
4．求函数y＝
1 的导数． x
解析：
方法一：∵Δy＝
x＋1 Δx－
1＝ x
x－ x＋Δx xx＋Δx
＝
－Δx xx＋Δx· x＋
x＋Δx，
∴y′＝Δlxi→m 0 ΔΔxy＝Δlxi→m 0
－1 xx＋Δx· x＋ x＋Δx
1 (5)若f(x)＝tan x，则f′(x)＝____c_o_s2__x；
(6)若f(x)＝cot x，则f′(x)＝___－__s_in1_2_x；
数学D 选修2-2
第二章 变化率与导数
课前预习学案
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课后演练提升
(7)若f(x)＝ax，则f′(x)＝___a_x_ln__a_(a>0)； 特别地，若f(x)＝ex，则f′(x)＝_____e_x__；
数学D 选修2-2
第二章 变化率与导数
课前预习学案
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课后演练提升
§3 计算导数
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第二章 变化率与导数
课前预习学案
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课后演练提升
课前预习学案
数学D 选修2-2
第二章 变化率与导数
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
我们知道，圆的面积S是半径r的函数，S＝πr2；圆的周长l 也是圆半径r的函数，l＝2πr.类似地，球的体积是半径R的函 数，V＝43πR3；球的表面积也是半径R的函数，S表＝4πR2.
a，要注意ln
a所
处的位置，可从下面两个方面加深理解与记忆：
①对公式(logax)′，可用换底公式得到：(logax)′＝
ln (ln
ax)′＝ln1a(ln
x)′＝ln1a·1x＝xln1 a，这样就明确了公式中ln
a
的来历，从而易记．
②区分公式的结构特征，既要区分“(ln x)′与(logax)′” 和“(ex)′与(ax)′”又要区分“(logax)′与(ax)′”，找出差异 和联系，记忆公式．
x，要注意不完全是sin x、cos x交替，后者还有“一”．同样
对公式(tan
x)′＝
1 cos2x
和(cot
x)′＝－
1 sin2x
，也有类似地正、
余交替，但又有区别．
数学D 选修2-2
第二章 变化率与导数
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
(2)对公式(logax)′＝
1 xln
a
和(ax)′＝axln
你能运用导数的知识说出“圆的面积与周长的关系”及 “球的体积与表面积的关系”的实质吗？
[提示] 圆的面积的导数是圆的周长，球的体积的导数是 球的表面积．
数学D 选修2-2
第二章 变化率与导数
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
1．导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数， fx＋Δx－fx
答案： B
数学D 选修2-2
第二章 变化率与导数
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
3．若f(x)＝3x，则f′(0)＝__________. 解析： f′(x)＝3x·ln 3，∴f′(0)＝ln 3. 答案： ln 3
数学D 选修2-2
第二章 变化率与导数
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
(1)“函数在一点处的导数”，就是当自变量的改变量趋近于 零时，该点的函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限， 它是一个数值，不是变量．
数学D 选修2-2
第二章 变化率与导数
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
(2)“导函数”：如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点
都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)
内每一个确定的值x，都对应着一个导数值f′(x)，这样就在开
区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这一新函数称
为y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′，即
f′(x)＝y′＝Δlxi→m 0
ΔΔyx＝Δlxi→m 0
fx＋Δx－fx Δx .
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第二章 变化率与导数
课前预习学案
课堂互动讲义
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(3)导函数简称导数，所以求导数要弄清是求导函数还是求 在一点处的导数，它们一个是函数一个是常数，是一般与个别 的关系．
(4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0 时的函数值．
所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导数， 再计算这点的导数值．
1 (8)若f(x)＝logax，则f′(x)＝____x_l_n_a_(a>0，且a≠1)，
1 特别地，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝_____x___.
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第二章 变化率与导数
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(1)对公式(sin x)′＝cos x和(co3xln 3；②[f(x0)]′＝f′(x0)； ③[f(x0)]′＝0；④(ln 2)′＝12.
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
解析： ①式为指数函数求导公式，正确；f(x0)是常数，
故[f(x0)]′＝0，故③式正确；②式错误；ln 2是常数，故(ln
2)′＝0，④式错误．
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第二章 变化率与导数
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1．若f(x)＝cosπ4，则f′(x)为( )
A．－sinπ4
B．sinπ4
C．0 解析： 答案：
D．－cosπ4
f′(x)＝cos
π4′＝0.
C
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导数值记为f′(x)：f′(x)＝ Δ_lx_i→m__0_______Δ_x______，则f′(x) 是关于x的函数，称_f_′(_x_)___为__f(_x_)____的导函数，通常也简称 为导数．
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第二章 变化率与导数
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“函数y＝f(x)在点x0处的导数”、“ 导函数”、“导数”三者之间的区别与联系