代数的思维方式有哪些特点
《线性代数》课程特点与学习方法探究
社科研究
Hale Waihona Puke 160读天下《线性代数》课程特点与学习方法探究
文 _ 贾婷婷 吕秀敏
摘要：线性代数课程有较强的抽象性和复杂性，内 容丰富，内在联系性强，学习难度较大，本文分析 了线性代数的特点，指出了线性代数课程的特点， 明确了学习方法，希望能帮助学习这门课程的学生 树立正确的学习理念，掌握正确的学习方法，提升 学习能力，取得良好的考试成绩。 关键词：线性代数；课程特点；学习方法 一、引言 线性代数是我国高等学校开设的一门重要课 程，它在自然科学、工程科学甚至社会科学方面都 有十分广泛的应用，它既是人们认识客观世界运动 变化规律的有力工具，又是学生学习其他专业课程 的重要基础。学习这门课程能够培养学生的数学思 维能力、逻辑分析能力以及利用数学工具分析和解 决问题的能力，数学家戈丁在其著作《数学概观》 中说 “如果不熟悉代数的概念， 要去学习自然科学， 现在看来就和文盲差不多。” 线性代数的重要性不言而喻，但这门课程概 念繁多，内容抽象，运算复杂，方法新颖，对学生 的思维能力和学习能力要求较高。学生对这门课程 比较陌生，从初等数学到高等数学的巨大跨越更， 认为课程难度太大，容易丧失学习信心，下面我们 将通过分析线性代数的课程特点，有针对性的提出 意见和建议，力求对学生学习本课程有所帮助。 二、线性代数课程的特点 1、初等数学与线性代数的区别与联系 线性代数以函数为研究对象，就这点而言， 线性代数与初等数学一脉相承，中学代数讨论的一 般是含有两个未知量以及含有三个未知量的方程 组，而在线性代数中，由于引入了行列式概念，我 们研究的方程组的未知量个数不再有局限，矩阵概 念的引入使我们还可以研究方程个数不等于未知量 个数的线性方程组。再借助线性变换、线性空间等 理论知识，我们还能够解决一个线性方程组是否有 解，以及如果有解，如何求出方程组的全部解的问 题。由此可见，对线性方程组而言，线性代数研究 的范围远远大于中学代数，从这个意义上说，线性 代数是中学代数的拓展和提高。 2、线性代数具有高度的抽象性 尽管线性代数是中学代数的继承和发展，但 是不论从内容的抽象程度还是从解决问题的方法来 说，都与中学代数有着很大差异，线性代数的突出
代数解题思想“三个善于”理念
刍议代数解题思想的“三个善于”理念摘要：代数的解题思想包括很多方面，但究其根本，培养学生的代数推理能力，保证其能够通过不同的辅助元素来分析问题、找出代数问题的本质、利用反向证明的方法解决问题是形成良好数学思维方式的关键。
本文通过教学总结，提出了“三个善于”的代数解题思想，为学生能够找出代数知识的内在联系，以最直接有效地方式来解决问题提供了帮助。
关键词：代数；解题思想；理念代数的解题思想是展示数学思维的重要途径，是数学思想的灵魂所在，它蕴涵于应用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程之中。
对代数而言，思维有着很明显的活跃性，在这种活跃的解题思维中有着几方面固定的思维程序。
本人通过教学总结，简称其为“三个善于”，从三个方面来指导代数解题思想，培养学生的解题能力，使学生能够找出代数知识的内在联系，以最直接有效地方式找出解决问题的途径。
一、善于分析问题本质代数问题的本质分析要求对问题进行明确地梳理。
有效地引领学生在梳理代数问题所涉及的基本数学知识的基础上，抓住本质，有意识地渗透清晰的解题思路，帮助学生感悟分析数学问题的基本意义。
在梳理问题的过程中，教师要指导学生明确问题所提供的数学知识，这些知识其实就是解决问题的关键，也是解决问题的本质所在。
例如分数求和的题，可能会涉及分数知识、倒数知识、通分、约分等。
在此基础上，多留时间和空间给学生，挖掘学生思维的潜能，掌握分析数量关系的方法，然后总结出问题的实质不是简单的通分计算，因为通分的话会有很大的困难。
所以问题的本质应该就是合理的分解，形成分数的加减形式。
至此，原式的问题很快就可以解决了。
总之，善于分析问题本质的解题思路就是要教会学生能够针对不同的数学问题，分解问题层次，逐步剔除各种解不通的情况，找出解题关键，最终形成合理的解题思路，方便地解决数学问题。
二、善于构造辅助元素目前的数学教学，更注重对数学的核心能力——思维能力的考查。
而思维能力的发展主要体现在对代数解题思想的形成方面。
代数方法和算术方法的特点
代数方法和算术方法的特点代数方法和算术方法是数学中常见的两种解题方法。
代数方法是通过使用代数符号和方程式来解决问题，而算术方法则是通过运用数学运算符号和计算过程来解决问题。
两种方法各有特点，下面将详细介绍它们。
代数方法：代数方法是一种抽象思维的数学解题方法。
它不仅注重结果，更注重解题的过程和思维方式。
代数方法具有以下几个特点：1.符号化思维：代数方法运用了各种符号和代数表达式，可以将问题抽象化。
这使得问题转化为方程式，可以更加清晰地描述问题的本质，并寻求解决方法。
2.一般性：代数方法不仅仅适用于某个具体问题，而是具有一般性。
它不拘泥于特定的数值，而是着重关注问题中的各个变量和它们之间的关系。
这使得代数方法具有普适性，可以解决各种问题。
3.逻辑思维：代数方法需要进行逻辑推理和推导。
通过建立数学模型和方程，运用逻辑推理定律和数学公式来解决问题。
这培养了人们的逻辑思维能力，提高了问题解决能力。
4.抽象思维：代数方法追求问题的本质和规律，它不仅仅是求解具体问题，更是在寻找问题的普遍规律。
通过抽象化的思维方式，可以将问题与实际情况分离，从而更好地理解和解决问题。
算术方法：算术方法是数学解题中最基本的方法之一。
它是通过运用计算过程和运算符号来解决问题，具有以下特点：1.具体性：算术方法强调具体数值和具体计算过程。
它注重精确的计算和结果，适用于需要求解具体数值和进行具体运算的问题。
2.实用性：算术方法是日常生活中最常用的数学方法之一。
无论是简单的加减乘除还是复杂的百分比、比例等，都可以通过算术方法解决。
因此，掌握算术方法对我们的日常生活和工作都非常重要。
3.可视化：算术方法强调直观和可视化。
通过具体的计算过程和运算符号，可以让问题更加清晰地呈现在我们面前。
这有助于我们更好地理解问题，快速准确地找到解决办法。
4.操作性：算术方法强调具体的操作过程。
通过运用数学运算符号，逐步进行计算，逐步靠近最终答案。
这培养了我们的操作能力和灵活思维，提高了我们的计算速度和准确性。
列举数学方法的特点
列举数学方法的特点数学方法是指数学领域中用来解决问题和推导结论的具体方法和技巧。
不同的数学方法具有不同的特点，下面将列举一些常见的数学方法及其特点，并对其进行解释。
一、代数方法代数方法是研究数与数之间的关系的一种数学方法，通过符号和变量的运算来研究数学问题。
代数方法具有以下特点：1. 抽象性：代数方法通过使用符号和变量，抽象出数学问题的一般性质，从而可以研究更一般的问题。
2. 计算性：代数方法通过符号运算和方程求解等计算方法，可以得到具体的数值结果，从而解决实际问题。
3. 推广性：代数方法可以通过推导和变换，将已知的结论推广到更一般的情况，从而扩展应用范围。
4. 归纳性：代数方法通过归纳和推理，从已知的特殊情况得出一般性的结论，从而形成一般性的理论。
二、几何方法几何方法是研究空间和图形的形状、大小、位置和变换等性质的一种数学方法，通过图形、图像和空间的表示来研究数学问题。
几何方法具有以下特点：1. 直观性：几何方法通过图形和图像的表示，可以直观地理解和解决问题，使抽象的数学问题变得具体可见。
2. 可视性：几何方法通过图形和图像的变换和构造，可以观察和分析问题的不同方面和性质，从而得到结论。
3. 可证明性：几何方法通过构造证明、推理和推导等逻辑方法，可以证明和推测问题的性质和结论，具有严密性和可靠性。
4. 应用广泛性：几何方法在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用，可以解决实际问题。
三、数论方法数论方法是研究整数性质和整数运算规律的一种数学方法，通过对整数的性质和规律的研究，解决数学问题。
数论方法具有以下特点：1. 离散性：数论方法研究整数的性质和规律，与连续性无关，具有离散性的特点。
2. 纯粹性：数论方法研究整数的性质和规律，不涉及实数和复数等其他数域的概念，具有纯粹性的特点。
3. 抽象性：数论方法通过抽象出整数的一般性质和规律，研究更一般的数学问题，具有抽象性的特点。
4. 应用广泛性：数论方法在密码学、编码理论、组合数学等领域有广泛的应用，可以解决实际问题。
从算术思维到代数思维的转换初探-算术思维和代数思维的特点
从算术思维到代数思维的转换初探算术思维和代数思维的特点一、算术思维和代数思维算术思维侧重于程序思维，强调的是利用数量计算求出答案的过程.这个过程具有情境性、特殊性和计算性的特点，甚至是直观的。
而代数思维的运算过程具有结构性，和算术运算不同的是其侧重将关系符号化，而且不具有直观性。
对于同一个问题，用代数思维和算术思维方式都能求得问题的解，虽然结果是一样的，但是运算和思维的逻辑是不一样的。
例如：盒子中的皮球与外面的6个皮球加起来共有23个，求盒子中一共有多少个皮球？可以列算数式23-6=（）来解答，也可以用代数式6+X=23来解。
我所教的高年级学生中，大部分学生就选择了前一种解题方式来解答，从表达式中，直接展示出题目和答案之间的关系体现了算术思维；还有少部分学生是用后者的方法来解答的。
后一种方法则体现了代数思维，即对具体的情境问题进行分析并转化为方程式，成了一种纯粹的符号运算。
二、在代数学习中可能会遇到的困难从算术思维向代数思维转换的过程中，光有练习是不够的，最重要的是要经历一个质变的过程。
学生在小学阶段已经接触过一些代数思想，例如用“设未知量为X”建立方程的方法解数学应用题，当然，他们对“未知量X”含义的了解是非常肤浅的。
进入初中后，学生要学习比较系统的代数内容，学习中会产生许多困难。
在这个过程中，会遇到的困难有：第一，符号意义的不连续；字母代数是由常量数学到变量数学转变的开端。
通过有关数、式、方程等内容的学习，学生不但要掌握各种概念、运算法则，而且要学习各种代数变形的思想方法；第二，运算客体出现扩充；从运算的角度说，代数运算主要是一种形式化的符号变换，其抽象程度较高；第三，经常会出现程序逆向思维。
当前，学生对概念的发生发展过程、概念的内涵与外延的周密性，特别是对概念间的内在联系的认识水平普遍较低。
鉴于上述的三个方面的困难，如何从算术思维向代数思维过渡呢？三、从算术思维向代数思维的转换的教学策略1.从数字到符号的转换从数字向符号转变，通俗地讲，就是用符号代替数字，使解题的焦点转移。
1-7 算术思维与代数思维有什么区别
算术思维与代数思维有什么区别严格地说，很难用几句话将“什么是算术思维”和“什么是代数思维”做出一个明确的界定并进行区别。
但简单地理解，算术思维是指向于问题结果的思维方式，它关注的是通过怎样的计算能得到问题的结果。
代数思维是指向于过程和结构的思维方式，它关注的是题目中的未知结果与其他已知信息之间存在怎样的关系，以及如何把这种关系（用等式）表征出来。
我们来看下面的例子：很明显，以上思路一体现的是算术思维，而思路二体现的是代数思维，在小学里代数思维主要是指方程的思维。
比较两种思维方式可以发现，它们之间有以下一些区别：（1）算术思维的思考方向是求出这个问题应该用什么计算方法，怎么算，指向算法，所求的问题不参与其中，是一个思维目标，且过程中的每一步都是这样的；代数思维的思考方向是已知的条件和未知的问题之间存在怎样的相等关系，怎么把这个关系表示出来，指向关系，所求的问题参与其中，是相等关系中的一员，这是最大的区别。
（2）算术思维解决问题的过程基本是一个逆向思考的过程，而方程解决问题的思维过程与题目的叙述过程更为一致。
（3）算术思维过程中的每一步都具有情景性与意义性，即每一步的计算结果都指向于一个具体的中间问题，从头到尾步步相连，环环相扣；而代数思维则明显分为两步，第一步是根据相等关系列出方程，这一步与题目情景密切相关；第二步是求这个方程的解，这一步是去情景的，即与题目的情景和中间问题无关，因为解方程是按照既定的方法和程序进行的。
张奠宙先生在他的《数学文化教程》（高等教育出版社，2013年6月）中写道：“打一个比方：如果将要求的答案比喻为在河对岸的一块宝石。
那么算术方法好像摸石头过河，从我们知道的岸边开始。
一步一步摸索着接近要求的目标。
而代数方法却不同，好像是将一根带钩的绳子甩过河，钩住对岸的未知数（建立了一种关系），然后利用这个绳子（关系）慢慢地拉过来，最终获得这块宝石。
两者的思维方向相反，但结果相同。
”这个比方打得非常直观形象。
小学数学核心素养下的代数思维培养
小学数学核心素养下的代数思维培养小学数学的核心素养是指学生在数学学习中应该具备的基本、重要、不可或缺的能力和素质。
代数思维是数学学习中的一种重要思维方式，是数学中最基本、最核心的内容之一。
在小学阶段，培养学生的代数思维能力，对于学生今后的数学学习、逻辑思维和创新能力的提高具有重要的作用。
因此，本文将从小学数学核心素养出发，探讨如何培养代数思维。
小学数学核心素养包括基本的数学知识、思维能力、方法技能、情感态度等方面，是学生在数学学习过程中必备的能力素质。
其中，代数思维是数学学习的核心，也是小学数学核心素养之一。
二、代数思维的培养1、认识代数思维代数思维主要是指把具体的事物用符号来表示，通过变量、常数的关系建立数学模型，运用代数符号求解问题的能力。
代数思维不仅仅用于数学领域，还被广泛应用于各个学科和实际生活中。
例如，在物理学中可以用代数方法求解物理学问题，在生活中可以用代数方法计算成本和效益等。
在小学数学教学中，引导学生尝试用符号表示具体的事物，例如用字母表示未知数，然后用算式表达问题，这样可以激发学生发挥想象力和创造力，培养代数思维能力。
3、加强代数思维训练在教学过程中，可以采取一些简单的方法进行训练。
例如，提供一些代数符号的练习题，让学生通过组合符号思考问题；设计一些代数游戏，让学生在游戏过程中感受到代数的奥妙；选择一些实际生活中的问题，引导学生用代数方法解决问题。
在日常学习和生活中，养成代数思维的习惯也是非常重要的。
例如，学生可以将教科书上的数学问题以代数格式记录下来，带有符号的数字更易于展现数学问题的本质；学生也可以在数学作业中尝试使用代数符号解决问题，提高代数思维的灵活性和应用能力。
小学阶段，代数知识主要包括代数式的理解和运用、简单方程的解法、图形的代数表示等方面。
这些知识不仅是小学数学教学的基础，更是代数思维培养的基础。
下面以代数式的理解和运用为例，具体介绍如何进行代数思维的培养。
（1）代数式的理解和运用教师可以选择一些常用的代数式，例如 a+b=b+a、a×b=b×a、a(b+c)=ab+ac等等，进行讲解并让学生加以理解和运用。
代数(算术)思维与几何思维
第三章代数（算术）思维与几何思维“就几何和代数的学习而言，我们究竟应当采取‘分割’的作法，还是应当采取‘整合’的路子？”“当然，我们不应停留在纯粹的理论争论，而应积极地开展相应的实践活动；但是，就现实而言，有些问题之所以始终长期‘悬而未决’，其主要原因并不在于缺乏必要的实践，恰恰相反，这在很大程度上即是表明了相应的理论研究尚未达到应有的深度。
※我就是这样常常实践，却不思考理论的指导意义。
事实上，如果在理论的指导之下再进行实验，可以少走很多弯路。
在我重读《课程标准》之后，我对分层教学实践活动的认识又深了一层。
对理论的渴望重新上升到新的高度。
※小学教材中“数与代数”、“空间与图形”是怎样“整合”在一起的？每一册中，以“单元”为单位，相对独立地呈现；以习题为形式，把这两大内容适时地综合。
3.1“凝聚”：算术与代数思维的基本形式所谓“凝聚”（encapsulation），笼统地说即是指由“过程”（process）向“对象”（entity）的转化。
具体地说，在数学，特别是算术和代数中，有不少概念在最初是作为过程得到引入的，但最终又转化成了对象——对此我们不仅可以具体地研究它们的性质，也可以此为直接对象去施行进一步的运算（对于所说的“运算”，应作广义的理解，即其未必是指具体的运算，也可包括任何一种数学运作，甚至不一定要有明确的算法。
）“凝聚”这一概念在数学教育领域中出现应当是是近一二十年的事；需强调的是，这又应被看成数学学习心理学、乃至数学教育专业化发展的一个重要成果，因为，相关的研究清楚地表明了这样一点：数学学习心理学（数学教育）不应被看成一般的学习心理学（一般教育理论）在数学教育领域中的简单应用，恰恰相反，我们应当切实立足于实际的数学教学与学习活动，并通过相对独立的研究引出自己的理论成果。
毋宁说，我们所反对的主要是这样一种简单化的观点，即是讲“数学学习心理学”（数学教育学）简单地等同于“一般学习心理学（一般教育学）+数学的例子”，也即只是在一般学习心理学（教育学）的理论框架中简单地去嵌入若干数学的实例，因为，数学学习心理学（数学教育学）如有独立存在的必要，显然应当特别重视数学学习活动（与数学活动）的特殊性。
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（4）代数作为结构的研究。
从广义上说，算术和代数密不可分，算术是代数的基础，代数是算术 研究的深入；从狭义上说，算术与代数存在区别，主要表现在研究对象不
同：算术主要研究计数、数的性质和相关运算法则，具有抽象化、特殊化
程，这一步与题目情景密切相关；第二步是求这个方程的解，这一 步是去情景的，即与题目的情景和中间问题无关，因为解方程是按 照既定的方法和程序进行的。
代数思维的特点：
①从表现形式看，代数思维是一种形式的符号操作。具体包括三个方 面：1.表征，即用符号或者有符号组成的代数式、方程、不等式、函数去 表示数学（或他学科或现实生活）中的对象和结构；2.符号变换，即各种 表征之间的等价或不等价的转化；3.意义建构，即解释或发现形式符号或
代数的思维方式有哪些特点？
2013408010122 张冬冬
算术思维和代数思维的联系和区别
定义
在古代数学研究者看来，“算术”与“代数”是不分家的。中 国传统数学代表作《九章算术》，其内容就涉及数的运算、数论初 步、方程、测量、面积、体积、勾股等算术、代数、集合等绝大部 分初等数学知识。
随着学科分支的细化，算术与代数也逐渐被区分开来。在现代
的特点；而代数则主要研究运算过程中产生的结构、关系，具有抽象化、 一般化的特点，由此也带来了算术学习与代数学习中思维方式的不同。
小学数学中的代数思维
小学数学中“数”的学习主要体现了算数思维的运用，而“代 数”的初步学习主要体现了代数思维的运用。 算术思维是特殊化思维，而代数思维是一般化思维。算术针对 特定情境中的具体问题进行具体分析，采用的是特殊化思维方式， 常常借助假设增加辅助信息，逆向解决问题。而代数由于引进了符 号，则可以脱离具体情境，概括问题的一般化特征，再用算式表达 出来，一般顺向解决问题。 比如"鸡兔同笼。问题的算术方法就需要借助具体鸡和兔的数 量和头的数量进行思考，而代数方法则考虑问题的一般情况，即“ 鸡的脚数+兔的脚数=鸡兔总脚数”。更概括地说是“各分量的数目 相加，等于总量”。因而，算术思维具有依赖性，拓展空间较小； 而代数思维抽象化程度高，拓展空间相对较大。
简单地说，代数是研究数字和符号的运算理论和方法的教学分 支。“代数”可以理解为“以符号代替数字进行运算”，即“数 字符号化”，代数是研究数字和文字的运算理论和方法，更确切地 说，是研究实数和负数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理
论和方法的数学分支学科。
根据犹塞斯金（Usiskin,1989）的观点概括代数：
表达式背后的数学结构或实际模型以及各种符号操作的意义与作用。
②从思维形式上看，代数思维是一种基于规则的推理。 ③代数思维是一种数学建模活动。
④代数思维的核心是一般化的思想。
事实上，代数的本质就是发现处理问题的一般模式，因此，一般化的 思想应该成为代数学习的基础。
严格地说，很难用几句话将“什么是算术思维”和“什么是代数思 维”做出一个明确的界定并进行区分。但简单地理解，算术思维是指向 于问题结果的思维方式，它关注的是通过怎样的计算能得到问题的结果。 代数思维是指向于过程和结构的思维方式，它关注的是题目中的未知结
汉语词典中，“算术”一词被定义为：数学的一个分支，是数学中 最基础、最初等的部分。主要研究零和正整数、正分数和记数法， 在加、减、乘、除、乘方、开方运算下产生的数的性质、运算法则 以及在社会实践中的应用。
“代数”则被定义为： 人们用抽象的数学符号代替具体的数字进行运算，这就发展成
为另一个数学分支——代数。
果与其他已知信息之间存在怎样的关系，以及如何把这种ห้องสมุดไป่ตู้系（用等式）
表征出来。
Thank you
End
小学数学中的代数思维
（1）代数思维的思考方向是已知的条件和未知的问题之间存在怎 样的相等关系，怎么把这个关系表示出来，指向关系，所求的问题 参与其中，是相等关系中的一员，这是最大的区别。 （2）代数思维中解决问题的思维过程与题目的叙述过程更为一致。
（3）代数思维过程明显分为两步，第一步是根据相等关系列出方