复变试卷
复变函数题库(包含好多考试卷,后面都有问题详解)
5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则 一定不存在. ( )
6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )
7.若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C .
( )
8.若数列 收敛，则 与 都收敛. ( )
9.若f(z)在区域D解析，则|f(z)|也在D解析. ( )
1.设 ，则 .
2.若 ，则 ______________.
3.函数ez的周期为__________.
4.函数 的幂级数展开式为__________
5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
，
证明 是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
一. 判断题. (20分)
1.若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.（）
2.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（）
3.函数 与 在整个复平面有界.（）
4.若f(z)在区域D解析，则对D任一简单闭曲线C都有 .
7.方程 在单位圆的零点个数为________.
8.设 ，则 的孤立奇点有_________.
9.函数 的不解析点之集为________.
10. .
三.计算题. (40分)
1.求函数 的幂级数展开式.
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域取定函数 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 处的值.
3.计算积分： ，积分路径为（1）单位圆（ ）的右半圆.
4.求 .
四.证明题. (20分)
1.设函数f(z)在区域D解析，试证：f(z)在D为常数的充要条件是 在D解析.
复变函数期中试卷
复变函数期中试卷一．选择题 （10*2.5） 1.设复数Z 满足arg （Z+2）=3π，arg （Z-2）=π65,那么Z=（）A.-1+3iB.-3+iC.-21+23i D-23+21i2.设x ，y 为实数，Z 1=x+11+yi ，Z 2=x-11+yi ，且有1Z +2Z =12，则动点（x ，y ）的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 3.下列函数中为解析函数的是（）A.x 2-y 2-2xyiB.x 2+xyiC.2（x-1）y+i(y 2-x 2+2x)D.x 3+iy 3 4.函数f(z)=z 的解析区域是（）A.复平面B.除去原点的复平面C.除去实轴的复平面D.除去原点和负实轴的复平面5.设c 是从0到+2πi 的直线段，则积分dz ze c ⎰5=（）A.1-2πeB.-1-2πeC.1+2πeiD.1-2πei6.设v(x,y)在区域D 内为u(x,y)的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（） A.v(x,y)+iu(x,y) B.v(x,y)-iu(x,y) C.u(x,y)-iv(x,y) D.x u ∂∂-i xv∂∂ 7.设a n =4)1(++-n nin (n=1,2,……),则∞→n lim a n =（）A.0B.1C.iD.不存在 8.若幂级数n n nz a∑∞=0在z=1+2i 处收敛，那么该级数在z=2处的收敛性为（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定 9.函数32cos -z zπ在i z -=2内奇点个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 10.z=1是函数（z-1）sin11-z d 的（） A.可去奇点 B.一级极点 C.一级零点 D.本性奇点二.填空题 （3*8）1.设z =5，arg （z-i ）=π43，则z=-------------------------- 2.对于映射w=zi ,则圆周x 22)1(-+y =1的像曲线为----------------- 3.复数1i 的模为--------------------4.方程1-e z -=0的全部解为------------------------------5.设c 为正向圆周14=-z ，则dz z z z c⎰-+-22)4(23=------------------------------------ 6.幂级数120)2(+∞=∑n n nz i 的收敛半径R=---------------------------------------7.函数)(1i z z -在1<i z -<+∞内的洛朗展开式为----------------------------------------------8.设f(z)=5cos 1zz-,z 则Res []0),(z f =------------------------------------------------ 三．解答题1.函数w=z 2把下列曲线映射成w 平面上怎样的曲线？（9）1）以原点为中心，2为半径的第一象限里的圆弧2）倾角3πθ=的直线3）双曲线x 22y -=42.设f （z ）=u(x,y)+iv(x,y)为z=x+iy 的解析函数，且已知xu(x,y)-yv(x,y)+x 22y -=0,求函数f(z).(10)3.分别设y=x 与y=x 2,算出积分)(102iy x i+⎰+dz 的值.（10）4.求下列函数在指定点z 0处的泰勒展开式，并求出它们的收敛半径（10）（1）11+-z z ，z 0=1 （2）21z ，z 0=-1（3）z341-，z 0=1+i5.将函数)1()2(--z z z m 在0<1-z <1内展开成洛朗级数（10）试卷答案一：选择题A B C D A B C A D D二：填空题（1）-1+2i （2）Re(w)=21（3）e πk 2-(k=0,2,1±±….)（4）2k πi (k=0,......2,1±±)（5）10πi （6）22（7）()120121+∞=∑+-n n nz n (z <1)-（8）-241三：解答题1． 解：设z=iy x + =r(cos θθsin i +),()ϕϕsin cos i R iv u w +=+=则2z w = 相当于xy v y x u 2,22=-=或θϕ2,2==r R（1） 当z 的模r 为2，幅角由0变至2π时，对应的w 的模R 为4 ，幅角ϕ由0变至π。
复变函数
《复变函数》试题（十）一、 判断题（4x10=40分）：1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。
（ ）2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在。
（ ） 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。
( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。
（ ）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
（ ）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。
（ ）7、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。
（ ） 8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。
（ ）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。
（ ）二、填空题（4x5=20分）1、函数e z 的周期为__________。
2、幂级数∑+∞=0n n nz 的和函数为__________。
3、设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________。
4、∑+∞=0n n nz 的收敛半径为_________。
5、=)0,(Res n zze _____________。
三、计算题（8x5=40分）：1、.))(9(2||2⎰=+-z dz i z z z 2、求).,1(Res 2i z e iz-+3、nn i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121。
4 设22(,)ln()u x y x y =+。
求),(y x v ，使得),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且满足(1)ln 2f i +=。
其中D z ∈（D 为复平面内的区域）。
5、求0154=+-z z ，在|z|<1内根的个数《复变函数》试题（十一）一、判断题。
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题（一）三 . 计算题（ 40 分）：dz1、|z z 0 | 1 ( z z )n__________. （ n 为自然数）f ( z)12.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z 2 1 ，则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n，则 nn ______________.Res(ez8.n,0)z________，其中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若zlimf (z) ___是f (z) 的极点，则z z.1. 设( z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}内的罗朗展式 .1dz.2.|z| 1cos zf ( z) 3 2 71，其中 C { z :| z |3} ，试求 f '(1 i ).3.d设Czwz 14. 求复数 z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数， 那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f (z)z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1 的值 .《复变函数》考试试题（二）二. 填空题 . (20 分)1.设z i ，则| z |__,arg z__, z__2.设 f ( z)(x2 2 xy) i (1 sin( x2y2 ), z x iy C，则lim f (z)________.z1idz_________. （n为自然数）3.|z z0 |1 ( z z )n4.幂级数nz n的收敛半径为 __________ .n05.若 z0是 f(z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f ' ( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.18.设 f ( z)1z2，则 f ( z) 的孤立奇点有_________.9.函数 f (z)| z |的不解析点之集为________.10.Res( z41,1)____ . z三.计算题 . (40 分)1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值.计算积分： Ii1）单位圆（| z |1）3.| z | dz，积分路径为（i的右半圆 .sin zdzz22( z)4.求2.四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（三）二. 填空题 .(20 分)11.设 f ( z)，则f(z)的定义域为___________.z212.函数 e z的周期为_________.3.若 z nn 2 i (1 1 )n，则 lim z n __________.1 nn n4. sin 2 z cos 2z___________.dz5.|z z 0 | 1 ( z z )n_________. （ n 为自然数）6.幂级数nx n的收敛半径为 __________.n 07.设f (z)1，则 f ( z ) 的孤立奇点有 __________.z218. 设ez1，则 z___ .9.若z 0 是 f (z) 的极点，则 limf ( z) ___ .z z 010.Res( e z,0)____.z n三. 计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z 2e z在圆环域 0z内展为 Laurent 级数 .n!n2. 试求幂级数nnz的收敛半径 .n3. 算下列积分：e zdz，其中C 是| z| 1.Cz 2 (z29)4. 求z 9 2z 6z28z 2 0 在 | z |<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及 M ，使得当| z|R 时| f (z) |M | z |n ，证明f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数14套题目和答案
《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则Cz f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1.=-⎰=-1||00)(z z nz z dz __________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→nz z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re nz ze s ________，其中n 为自然数.9.zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2..cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=Cd zz f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D内为常数. 2. 试证: ()(1)f z z z =-在割去线段0R e 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0R e 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）1、 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nnf .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z nz z dz _________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________. 10.____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分) 1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dz z zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若nn ni nn z )11(12++-+=，则=∞→nz n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z nz z dz _________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nz ze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()z f z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-Czz z z e )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数. 四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时nz M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数测试题与答案
复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1．当z 11ii时，100 z z75 50z 的值等于（）（A）i（B）i （C）1 （D）12．设复数z满足arc(z 2) ，35arc(z 2) ，那么z （）61 3（A） 1 3i （B） 3 i （C）i2 23 1（D）i2 23．复数z tan i ( ) 的三角表示式是（）23 3（A）)]sec [cos( ) i sin( （B）sec [cos( ) i sin( )]2 2 2 23 3（C）)]sec [cos( ) i sin( （D）sec [cos( ) i sin( )]2 2 2 2 4．若z为非零复数，则 2 z2z 与2zz 的关系是（）2 2（A）z z 2zz2 2（B）z z 2zz2 2（C）z z 2zz（D）不能比较大小５．设x, y 为实数，z1 x 11 yi, z x 11 yi 且有z1 z 12，则动点(x, y)2 2的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线６．一个向量顺时针旋转，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为31 3i ，则原向量对应的复数是（）（A）2（B）1 3i （C） 3 i （D） 3 i1复变函数测验题７．使得22 zz 成立的复数z是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数８．设z为复数，则方程z z 2 i 的解是（）3（A）i43（B）i43（C）i43（D）i4z i９．满足不等式2z i的所有点z构成的集合是（）（A）有界区域（B）无界区域（C）有界闭区域（D）无界闭区域10．方程z 2 3i 2 所代表的曲线是（）（A）中心为2 3i ，半径为 2 的圆周（B）中心为 2 3i ，半径为２的圆周（C）中心为 2 3i ，半径为 2 的圆周（D）中心为2 3i ，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）z 1（A）2z 2（B）z 3 z 3 4z a（C） 1 ( a 1)1 az（D）z z az a z aa c 0 (c 0)12．设( ) 1 , 1 2 3i ,z 5 i,f ，则f (z ) （）z z z 1 z2 2（A） 4 4i （B）4 4i （C）4 4i （D） 4 4i13．Im( z) Im(limx xz zz0 )（）（A）等于i （B）等于i （C）等于0 （D）不存在14．函数f (z) u( x, y) iv( x, y) 在点z0 x iy 处连续的充要条件是（）0 0（A）u( x, y)在(x0 , y ) 处连续（B）v(x, y) 在( x0 , y0 ) 处连续（C）u( x, y)和v( x, y) 在( x0 , y0 ) 处连续（D）u( x, y) v( x, y) 在( x0 , y0 ) 处连续2复变函数测验题15．设z C 且z 1 ，则函数 f (z)2zzz1的最小值为（）（A） 3 （B） 2 （C） 1 （D） 1二、填空题1．设(1 i)( 2i )(3 i)z ，则z (3i)(2 i )2．设z (2 3i)( 2 i) ，则a rg z3．设3z 5,a rg( z i ) ，则z44．复数(cos5(cos3iis in5sin32)2)的指数表示式为65．以方程z 7 15i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z 2 z 2 5 所表示的区域是曲线的内部2z 1 i７．方程1所表示曲线的直角坐标方程为2 (1 i)z８．方程z 1 2i z 2 i 所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射iz2 y 2，圆周x ( 1) 1的像曲线为2 410．lim (1 z 2z )z 1 i三、若复数z满足zz (1 2i)z (1 2i )z 3 0 ，试求z 2 的取值范围．3复变函数测验题2四、设a0 ，在复数集C 中解方程z 2 z a.五、设复数z i ，试证z21 z是实数的充要条件为z 1 或I M (z) 0 .1 1六、对于映射z ) ，求出圆周z 4的像.(2 zz1 z七、试证１. 0 ( 0)2z2的充要条件为z1 z z z ；2 1 2z1 z k j k j n ２.0 ( 0, , , 1, 2, , ))j 的充要条件为z2z1 z2 z n z1 z2 z .n八、若lim ( ) 0f z Ax x ，则存在0 ，使得当10 z z 时有 f ( z) A .2 x y九、设z x iy，试证z x y2.十、设z x iy，试讨论下列函数的连续性：1.f2xy( z) 2 2x y, z 00, z 02.f3xy( z) 2 2x y, z 00, z 04复变函数测验题第二章解析函数一、选择题：1．函数2f 在点 z 0处是 ( )(z) 3 z（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导2．函数 f (z)在点 z可导是 f ( z) 在点z 解析的 ( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是 ( )（A ）设 x, y 为实数，则 cos(xiy) 1（B ）若 z是函数 f (z) 的奇点，则f (z) 在点 z 0 不可导（C ）若 u, v 在区域 D 内满足柯西 - 黎曼方程，则 f (z) u iv 在 D 内解析（D ）若 f (z) 在区域 D 内解析，则 if ( z) 在 D 内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是 ( )22（A ） x y 2 x yi2（B ） xxyi2xx2（C ） 2( x 1) y i( y2 )（D ） x 3iy 32z5．函数 f (z)z Im( ) 在z 0 处的导数 ()（A ）等于 0（B ）等于 1（C ）等于 1（D ）不存在2xy yi yaxy x2226．若函数 f (z) x 2() 在复平面内处处解析，那么实常数a ( ) （A ） 0（B ）1（C ） 2（D ） 27．如果 f (z) 在单位圆 z1 内处处为零，且 f (0)1，那么在 z1内 f (z)( )（A ） 0（B ）1（C ） 1（D ）任意常数8．设函数 f (z) 在区域 D 内有定义，则下列命题中，正确的是5复变函数测验题（A）若f ( z) 在D内是一常数，则 f (z) 在D内是一常数（B）若Re( f (z)) 在D内是一常数，则 f (z) 在D内是一常数（C）若f (z) 与f ( z) 在D内解析，则 f ( z) 在D内是一常数（D）若arg f (z) 在D内是一常数，则 f (z)在D 内是一常数9．设 2 2f ( z) x iy ，则f (1 i) ( )（A）2 （B）2i （C）1 i （D）2 2i10．ii 的主值为 ( )（A）0 （B）1 （C）e2 （D）e 211．ze 在复平面上( )（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析12．设f (z) sin z ，则下列命题中，不正确的是( )（A）f (z)在复平面上处处解析（B）f ( z) 以2为周期（C）iz e izef (z) （D）f (z) 是无界的213．设为任意实数，则 1 ( )（A）无定义（B）等于1（C）是复数，其实部等于 1 （D）是复数，其模等于1 14．下列数中，为实数的是( )（A）3(1 i) （B）cosi （C）l n i （D）3e2i15．设是复数，则( )（A）z 在复平面上处处解析（B）z的模为z（C）z 一般是多值函数（D）z的辐角为z的辐角的倍6复变函数测验题二、填空题1．设f (0) 1, f (0) 1 i ，则limz 0f(z)z12．设f (z) u iv 在区域D 内是解析的，如果u v是实常数，那么 f (z) 在D内是3．导函数u vf (z) i 在区域D 内解析的充要条件为x x4．设3 33 3 2 2f (z) x y ix y ，则f ( i )2 25．若解析函数 f (z) u iv 的实部 2 y2u x ，那么f (z)6．函数f (z) z Im( z) Re( z) 仅在点z处可导157．设f (z) z (1 i)z5，则方程 f (z) 0 的所有根为8．复数ii 的模为9．I m{ln( 3 4i )}z10．方程1 e 0的全部解为三、设 f (z) u(x, y) iv( x, y) 为z x iy 的解析函数，若记z z z z z z z z ww(z, z) u( , ) iv( , ) ，则02 2i 2 2i z．四、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数1．f ( z) cosx cosh y i sin x sinh y;x x2．f ( z) e (x c osy y s in y) ie ( y c osy ix sin y);7五、设w3 2zw e z 0 ，求dwdz,2dw2dz.六、设2xy (x iy), z 0f (z) 2 4 试证f (z) 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.x y0, z 0七、已知 2 y2u v x ，试确定解析函数 f (z) u iv .八、设s 和n为平面向量，将s按逆时针方向旋转即得n .如果f (z) u iv 为解析函数，2则有usvnu v, （n s与s n分别表示沿s , n 的方向导数）.九、若函数 f (z) 在上半平面内解析，试证函数 f (z) 在下半平面内解析.十、解方程sin z i cosz 4i .8第三章复变函数的积分一、选择题：2 至1 i 的弧段，则1．设c为从原点沿y x(c2 ( ) x iy )dz1 5（A）i6 61 5（B）i6 61 5（C）i6 61 5（D）i6 6z2．设c为不经过点1 与1的正向简单闭曲线，则dz为( )2(z 1)(z 1) c（A）i2（B）i2（C）0 （D）(A)(B)(C) 都有可能sinz3．设c1 : z 1 为负向，c2 : z 3 正向，则dz2zc c1 c2()（A） 2 i （B）0（C）2i （D）4 icosz4．设c为正向圆周z 2 ，则dz2(1 z)c()（A）sin1 （B）sin1（C） 2 i sin1 （D）2 i sin15．设c为正向圆周13z cos1z 2z ，则dz22 (1 z)c( )（A）2i(3cos1 sin1) （B）0（C）6 i cos1 （D） 2 i sin1e6．设f ( z) d ，其中z 4 ，则f ( i）( )z 4（A） 2 i （B） 1 （C）2 i （D）17．设f (z) 在单连通域 B 内处处解析且不为零， c 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分f (z) 2 f(z) c f (z)f(z)dz( )（A）于2 i （B）等于 2 i （C）等于0 （D）不能确定9复变函数测验题8．设c是从0到i1 的直线段，则积分2ze （）z dzz dzc（A）1e2(B)1e2e e(C) 1 i (D) 1 i2 2sin( z)42 y2 x9．设c为正向圆周 2 0x ，则dz2c z 1()2（A）i22（B） 2 i （C）0 （D）i210．设c为正向圆周z i 1, a i ，则cz c osz2(a i)dz( )（A）2 ie （B）2ei（C）0 （D）i cosi11．设f (z) 在区域D 内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于 D ．如果f 在c上的值为2，那么对c内任一点z0 , f (z0 ) ( )(z)（A）等于0 （B）等于1 （C）等于 2 （D）不能确定12．下列命题中，不正确的是( )（A）积分z a r1z adz的值与半径r(r 0) 的大小无关（B）( 2 2 ) 2x iy dz , 其中c为连接i 到i 的线段c（C）若在区域 D 内有f (z) g(z) ，则在D 内g (z)存在且解析（D）若f (z) 在0 z 1 内解析，且沿任何圆周 c : z r(0 r 1)的积分等于零，则f (z)在z 0处解析10复变函数测验题13 ．设c为任意实常数，那么由调和函数 2 y2u x 确定的解析函数 f ( z) u iv 是( )2 (A) iz c2（B）iz ic2（C）z c2（D）z ic14．下列命题中，正确的是( )（A）设v1 ,v2 在区域D 内均为u的共轭调和函数，则必有v1 v2（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C）若f (z) u iv 在区域D 内解析，则ux为D 内的调和函数（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设v(x, y) 在区域D 内为u( x, y)的共轭调和函数，则下列函数中为 D 内解析函数的是( )（A）v( x, y) iu(x, y) （B）v(x, y) iu( x, y)（C）u( x, y) iv(x, y) （D）uxivx二、填空题1．设c为沿原点z 0到点z 1 i 的直线段，则2zdzc2．设c为正向圆周z 4 1，则c2z(z3z24)2dz3．设sin( )2f (z) d , 其中z 2 ，则f (3)z24．设c为正向圆周z 3 ，则c z zz dz5．设c为负向圆周z 4 ，则cze(z i)5d z11复变函数测验题6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的7．设f ( z) 在单连通域B 内连续，且对于 B 内任何一条简单闭曲线c都有( ) 0f z dz ，那c么f (z) 在B内8．调和函数( x, y) xy 的共轭调和函数为9．若函数 3 2u( x, y) x axy 为某一解析函数的虚部，则常数a10．设u( x, y) 的共轭调和函数为v( x, y)，那么v( x, y) 的共轭调和函数为三、计算积分3.z R6z2 ,其中R 0, R 1 且R 2 ;dz(z 1)( z2)4.dz4 2 2 2z z z2．四、设 f (z)在单连通域 B 内解析，且满足 1 f (z) 1 ( x B).试证１．在B 内处处有 f (z) 0；f (z)２．对于B 内任意一条闭曲线c，都有dz 0f ( z) c五、设 f (z)在圆域z a R 内解析，若max f (z) M (r )(0 r R)z a r，n! M (r )( n n)则( 1,2, )f (a)nr.12复变函数测验题六、求积分z 1zezdz，从而证明0e .cos cos(sin )dcos cos(sin )d七、设f ( z) 在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b ，试求极限f ( z)lim dz并由此推证 f (a) f (b)（刘维尔Liouville 定理）.R (z a)( z b)z R八、设f (z) 在z R ( R 1)内解析，且f (0) 1, f (0) 2 ，试计算积分z 1(z 1) 2f (z)2zdz并由此得出22 ( i )cos f e d2之值.九、设 f (z) u iv 是z的解析函数，证明2 2 22 2ln(1 f (z) ) ln( 1 f ( z) ) 4 f (z)222 xy(1 f (z) )2 .2 y2十、若u u(x ) ，试求解析函数 f (z) u iv .13复变函数测验题第四章级数一、选择题：n( 1) ni1．设( 1,2, ) lim a ( )a n n ，则nn 4n（A）等于0 （B）等于1 （C）等于i （D）不存在2．下列级数中，条件收敛的级数为( )（A）13i(n 12n)（B）nn(34i)1 n!（C）n 1nin（D）nn(1)1 n 1i3．下列级数中，绝对收敛的级数为( )（B）1 i(1n n n1)（B）n 1([1)nn in2](C)nni2 ln n（D）n(1)n in1 2n4．若幂级数nc n z在z 1 2i 处收敛，那么该级数在z 2处的敛散性为( )n 0（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）不能确定5 ．设幂级数n 0n n 1c n z , nc z 和nn 0n0cn znn 11的收敛半径分别为R1 , R2 , R3 ，则R1 , R ,R 之间的关系是( )2 3（A）R1 R R （B）R1 R2 R32 3（C）R1 R2 R3 （D）R1 R2 R36．设0q 1 ，则幂级数q 的收敛半径R ( )n zn znn 014复变函数测验题（A）q（B）1q（C）0（D）7．幂级数nsin2n 1n(z2n)的收敛半径R ( )（A） 1 （B）2 （C） 2 （D）8．幂级数n 0n( 1)n 1nz1在z 1 内的和函数为（A）ln(1z) （B）ln(1 z)（D）1ln (D)1 zln11 zze9．设函数的泰勒展开式为cosznc n z，那么幂级数n 0 n 0nc n z 的收敛半径R ( )（A）（B）1 （C）（D）210．级数1 12 1z zz2z的收敛域是 ( )（A）z 1 （B）0z 1 （C）1 z （D）不存在的11．函数12z在z 1 处的泰勒展开式为( )n n1 z（A）( 1) ( 1) ( 1 1)n zn1 n z n 1 z（B）( 1) ( 1) ( 1 1)n 1 n 1n （D）( 1)n ( 1 1)（C）( 1) ( 1 1)1 z 1 z n zn zn 1 n 115复变函数测验题12．函数sinz，在z 处的泰勒展开式为( )2n( 1)2 zn 1（A）(z ) ( )(2n 1)! 2 2 n 0n( 1)2 zn（B）(z ) ( )(2n)! 2 2 n 0n 1 ( 1)2n 1（C）(z ) ( z )(2n 1)! 2 2 n 0n 1( 1)2n（D）( z ) ( z )(2n)! 2 2 n 013．设f (z) 在圆环域H : R z z R 内的洛朗展开式为1 0 2nc ( 0)，c为H内n z zc ( 0)，c为H内n绕z0 的任一条正向简单闭曲线，那么c(z f(z)2z0 )dz( )(A)2 ic （B）2ic1 （C）2ic2 （D）2 if (z0 )114．若n n3 ( 1) , n 0,1,2,cn ，则双边幂级数n4 , n 1, 2,nnc n z 的收敛域为( )（A）141z （B）3 z 4 31（C）z41（D）z315．设函数1f (z) 在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有m 个，那么z(z 1)( z 4)m ( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）416复变函数测验题二、填空题1 ．若幂级数nc n z i)在z i 处发散，那么该级数在z 2 处的收敛性(n 0为．2．设幂级数nc n z 与n[Re(c n )]z 的收敛半径分别为R1 和R2 ，那么R1 与R2 之间的关n 0 n 0系是．3．幂级数(2i ) 的收敛半径Rn z2nn z2n1n 04．设f (z) 在区域D 内解析，z0 为内的一点， d 为z0 到D的边界上各点的最短距离，那么当z z d0 时，nf (z) c n (z z0 )成立，其中c n ．n 05．函数arctan z 在z 0处的泰勒展开式为．6 ．设幂级数nc n z的收敛半径为R ，那么幂级数n c z n 的收敛半径(2 1)nn 0 n 0为．7．双边幂级数n 1 znn 1z( 1) 2 ( 1) (1 )n 1 n 1(z 2) 2n的收敛域为．18．函数z eez在0z 内洛朗展开式为．9．设函数cot z在原点的去心邻域0 z R内的洛朗展开式为nc n z ，那么该洛朗级数n收敛域的外半径R ．10．函数1z(z i )在1z i 内的洛朗展开式为．17复变函数测验题三、若函数11z2z在z 0处的泰勒展开式为n 0na n z ，则称a n 为菲波那契(Fibonacci)数列，试确定a满足的递推关系式，并明确给出a n 的表达式．n四、试证明z z z1．e 1 e 1 z e( z );z2．(3e) z e 1 (e 1) z ( z 1);五、设函数 f (z) 在圆域z R内解析，n ( k)f (0)kS n zk!k 0试证n 1 n 11 z d1．S (z) f ( ) ( z r R) n .n 12 i zrn 1z f ( )2．f ( z S ( )）(z) d z r R 。
复变函数试卷
1.复数i 258-2516z=的辐角为（）A ． arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 212．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ ）A ． 圆B ．直线C ．椭圆D ．双曲线 3．复数)5,-isin5-3(cosz ππ=的三角表示式为（ ）A ．)54isin,543(cos -ππ＋ B ．)54isin,543(cosππ－C ．)54isin,543(cosππ＋ D ．)54isin,543(cos-ππ－4．设z=cosi ，则（ ）A ．Imz=0B ．Rez=πC ．|z|=0D ．argz=π 5．复数i 3e +对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．设w=Ln(1-I),则Imw 等于（ ）A ．4π－ B ． 1,0,k ,42k ±=ππ－C ．4πD ． 1,0,k ,42k ±=+ππ7．函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03argz 0<<<z π＜映射成W 平面上的区域（ ）A ．4||,032argz 0<<<w π＜ B ．4||,03argz 0<<<w π＜ C ． 2||,032argz 0<<<w π＜ D ．2||,03argz 0<<<w π＜8．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰+-cn a z z f 1)()(等于（ ）A ．)()!1(2)1(a fn i n ++π B ．)(!2a f n i π C ．)(2)(a ifn π D ．)(!2)(a fn i n π9．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰+-cn i z dz 1)(等于（ ）A ． 1B ．2πiC ．0D ．iπ2110．设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰cz dz ||等于（ ）A ．0B ．2πiC ．2πD ．－2π 11．设函数f(z)=⎰zd e 0ζζζ，则f （z ）等于（ ）A ．1++z z e zeB ．1-+z z e zeC ．1-+-z z e zeD ．1+-z z e ze 12．设积分路线C 是帖为z=-1到z=1的上半单位圆周，则⎰+c2dz z1z 等于（ ）A ．i 2π+B ．i -2πC ．i -2-πD ．i 2-π+13．幂级数∑∞=1n 1-n n!z的收敛区域为（ ）A ．+∞<<|z |0B ．+∞<|z |C ．-1|z |0<<D ．1|z |<14．3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的（ ）A ． 一阶极点B ．可去奇点C ．一阶零点D ．本性奇点 15．z=-1是函数41)(z z cot +π的（ ）A ． 3阶极点B ．4阶极点C ．5阶极点D ．6阶极点 16．幂极数∑∞=+1n nz (2n)!1)!n （的收敛半径为（ ）A ． 0B ．1C ．2D ．＋∞ 17．设Q （z ）在点z=0处解析，1)-z(z Q(z)f(z)=,则Res[f(z),0]等于（ ）A ． Q （0）B ．－Q （0）C ．Q ′（0）D ．－Q ′（0）18．下列积分中，积分值不为零的是（ ）A ．2|1-z C 3)dz,2z (z c3=++⎰为正向圆周｜其中B ．5|zC dz,e cz =⎰为正向圆周｜其中C ．1|z C dz,sinz z c=⎰为正向圆周｜其中 D ．2|z C dz,1-z cosz c=⎰为正向圆周｜其中19．映射2z z w 2+=下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（ ）A ．21|1z |>+ B ．21|1z |<+ C ．21|z |>D ．21|z |<20．下列映射中，把角形域4argz 0π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ）A ．1-z 1z w 44+= B ．1z 1z w 44＋－=C ．iz i z w 44＋－= D ．i-z i z w 44+=二、填空题（本大题共10空，每空2分，共30分）21．复数484z +=i 的模|z|＝_____________________。
复变函数 复习资料
《复变函数》试卷一、单项选择题1． 以下命题正确的是[ A ]A ．1z iz i =B ．零的辐角为零C ．3i i <D ．对任意复数z 有sin 1z ≤2．若1(3)153x i y i i++-=++，则[ D ] A ．1,11x y =-=- B ．1,11x y =-=C ．1,11x y ==-D ．1,11x y ==3．设()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，则[ B ]A ．()u v f z i x y ∂∂'=+∂∂B ．()u v f z i x x∂∂'=+∂∂ C ．()u v f z i y y ∂∂'=+∂∂ D ．()u v f z i y x ∂∂'=+∂∂ 4．下列说法正确的是[ C ]A ．如果0()f z '存在，则()f z 在0z 处解析B ．如果(,)u x y 和(,)v x y 在区域D 内可微，则()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析C ．如果()f z 在区域D 内处处可导，则()f z 在区域D 内解析D ．如果()f z 在区域D 内解析，则()f z 在区域D 内一定不解析5．下列等式中不正确的是[ B ]A ．(1)(21)Ln k i π-=+ （k 为整数）B ．2Lnz Lnz Lnz +=C ．2z k i z e e π+= （k 为整数）D ．22sin cos 1i i +=6．设2222()(2)f z x axy y i bx xy y =+-+++在复平面内处处解析（其中,a b 为常数），则[ C ]A ．2,1a b ==B ．1,2a b ==C ．2,1a b ==-D ．1,2a b =-=7．设Γ为单位圆周1z =，则积分Im zdz Γ⎰的值为[ D ]A ．i πB ．i π-C ．πD ．π-8．级数1!nn n n z n ∞=∑的收敛圆为[ A ] A ．1z e<B ．z e <C ．1z <D ．2e z <9．0z =是函数2()(1)z f z z e =-的[ C ] A ．一级零点 B ．二级零点C ．三级零点D ．四级零点10．设51()sin ,f z z z=则[]Re (),0s f z =[ D ] A ．1 B ．15!C ．1-D ．011.函数2)(z z f =在复平面上 ( C )A.处处不连续B.处处连续，处处不可导C.处处连续，仅在点0=z 处可导D.处处连续，仅在点0=z 处解析12.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则ba b a --1的值 ( B ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大13、设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( B )A.i 1+B.iC.1-D.014、设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=⎰dz z z C n ，则整数n 等于 ( D )A.1-B.0C.1D.215、0=z 是21)(ze zf z -=的 ( A ) A.1阶极点 B.2阶极点 C.可去奇点 D.本性奇点二、填空题（每空4分，共20分）11．Arg = 223k ππ-+ 12．若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_____整函数_____。
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标准答案
一、填空题：（每题3分 共21分）
1．12的三角表达式 cos(2)sin(2) (0,1,2,)44
k i k k ππ
ππ+++=±± 。
2．i
i = 1
(2)2
(0,1,2,)k e k π
-+=±± 。
3．设 0||1, ||1,z z <= 则 0
01z z z z
-=- 1 。
4．幂级数
!n
n n z
+∞
=∑的和函数的解析域 空集 。
5．分式线性函数、指数函数的映照特点分别是： 保角性、保圆性、保对称性、
保伸缩性 ， 将带形域映照为角形域 。
6．若L [()]()f t F s =， 则L [()]f at b += 1()b s a
s e F a a。
二、简答题：（每题6分 共18分）
1．叙述函数()f z 在区域D 内解析的几种等价定义。
答 （1）区域D 内可导，则称()f z 在区域D 内 (2分) （2）若()f z 的实部、虚部均为D 内的可微函数，且柯西—黎曼方程成立，则称()f z 为在D
内的解析函数。
(2分) （3）若()f z 的虚部为实部的共轭调和函数，则称()f z 在区域D 内解析。
(2分)
2．若0z 分别为()f z 及()g z 的m 阶及n 阶零点，则
()
()
g z f z 在0z 具有什么性质。
答 若n m >，则0z 为
()
()
g z f z 的n m -阶零点； (2分)
若n m =，则0z 为
()
()
g z f z 的可去奇点； (2分) 若n m <，则0z 为()
()
g z f z 的m n -阶极点； (2分)
3．叙述将上半平面Im()0z >保形映照为单位圆盘||1w <且将0z 0(Im()0)z >映照为0w =的分式线性函数0
i z z w e
z z θ
-=-产生的关键步骤。
答（1）0z 映照为0w =，0z 映照为w =∞，有0
()z z f z z z λ
-=- (3分) （2）当z x =时，1w =，有i e θ
λ= (2分) （3）0
00
(Im()0)i z z w e
z z z θ
-=>-使得Im()0z >映为1w < (1分)
三、计算题：（每题7分 共49分） 解 1．求()Re()f z z z =的解析点；
2()()f z x i y
x x i x y =+⋅=+ ∴ 2, u x v
x y ==,
2u x x ∂=∂， v x y
∂=∂， 0u
y ∂=∂， v y x ∂=∂仅在(0,0)处成立 (5分) ∴ ()f z 处处不解析。
(2分)
2．求1
()(2)(3)
z f z z z -=
-+在2||3z <<时的罗朗级数；
解 1141114
()() 2[] 22523513(1)
3
f z z z z z z =
+=+-+-+（分）（分）
100124(1) 3553
n n n
n n n n z z +∞+∞+==-=+∑∑（分）
3．求积分 ||,C
I z dz =
⎰
C 为沿单位圆(||1)z =的左半圆从i -到i 的曲线。
解 i z e θ
=2（分）
∴ 22
32 2i I i e
d i π
θ
πθ-==⎰（分）（分）
4．求积分 22||11
(9)z I dz z z ==
-⎰ 。
解 22||11
(9)
z z I dz z =-=⎰2（分）0212()| 30 29
z i z π='=⋅=-（分）（分）
5．求积分 ||2
1
sin
,1
z I dz z ==-⎰
解 35
111111sin
(0|1|)113!(1)5!(1)
z z z z z =-+-<-<+∞---- 3（分） ∴ 11C -= 2（分） ∴ 2I i π= 2（分）
6、求函数(2)(2)t f t --的傅里叶变换.
解 1
(2)(2)[2(2)]2(2)]2
t f t tf t f t --=----- 2（分） ∴ F 11
[(2)(2)]22t f t --=-⋅F 2
[()]|2tf t ωω=--⋅ F [(2)]f t - 2（分）
14i =
F 221
[()()]|2()|2it f t F ωωωωω=-=---⋅ 2（分）
1()()422
F F i ωω
'=--- （1分）
7．求函数
422
54
s s ++的拉普拉斯逆变换。
解 4222
2211
()54314
s s s s =-++++ 4（分） ∴ L -14
2221
[]sin sin 25433
t t s s =-++ 3（分）
四、证明及解方程（每题6分 共12分）
1．证明：
2()i t e dt ωπδω+∞
-∞
=⎰。
证明
()1
i t t e dt ωδ+∞
--∞
=⎰
2（分） ∴ 1
1()2i t e d t ωωδπ
+∞
-∞
⋅=⎰
2（分）
∴
2()
i t e dt ωπδω+∞
-∞
=⎰
2（分） 2．解方程：0
'()() 1 , (0)0t
y t y d y ττ+
==⎰。
解 11
()()sY s Y s s s +=
3（分）
∴ 2
1
()1
Y s s =+ 1（分） ∴ ()s i n
y t t = 2（分）。