平面向量的线性运算---平面向量的加减法
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
个向量，其起点是减向量b的终点，
B b O a
A
终点是被减向量a的终点．
巩固知识
典型例题
例5 已知如图所示向量a 、b ，请画出向量a − b．
a b
解 如图所示，以平面上任一点O
为起点，作 OA =a，OB =b，连接BA，
则向量 BA 为所求，即
巩固知识
例6
OD AD ＝b，试用a, b表示向量AO 、 ．
典型例题
在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图， AB ＝a，
解
AC ＝a＋b， BD ＝b − a，
因为O分别为AC，BD的中点，所以 1 1 1 1 AO AC （a＋b）＝ a＋ b， 2 2 2 2 1 1 1 1 OD BD （b − a）＝ a＋ b， 2 2 2 2
• 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 • 向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则
动脑思考
探索新知
（1）a＋b与b＋a相等吗？请画出图来说明．
（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？
动脑思考
a
探索新知
B
b
A
a
a+b
b C
一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A
强化练习
OB 2 BC CA．
AB 1 BC CD ；
1 AD； OA． 2
平面向量的线性运算
——向量的减法运算
预备知识：相反向量
• 类比实数的相反数的概率，定义相反向量： – 与a长度相等，方向相反的向量， 叫做a的相反向 量，记作-a ; -a与a互为相反向量 – 规定：零向量的相反向量仍是零向量 – 所以: 1、-(-a)=a；2、a+(-a)=(-a)+a=0； 3、a=-b，b=-a，a+b=0 • 向量的减法：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于 加上这个向量的相反向量
AD 是船的实际航行速度，显然
AD
2 2 AB AC
122 52
=13．
tan CAD 12 5
C
A
利用计算器求得 CAD 6723 即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约6723．
巩固知识
典型例题
OA OB OA (OB)= OA BO BO OA BA ．
即
OA OB BA ．
（7．2）
观察图可以得到：起点相同的 a－b
兴趣导入
观察下图可以看出向量 OC与向量a共线，并且
a
O
A
B
C
3a是一个向量，其方向与a的方向相同,其模是a的模的3倍，即 |3a| = 3|a| ．
动脑思考
探索新知
一般地，实数 与向量a的积是一个向量，记作 a，它的模为
| a || || a |
（7．3）
若| a | 0，则当 0 时, a的方向与a的方向相同，当
向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．
运用知识
强化练习
计算： （1）3(a − 2 b) − 2(2 a＋b)； （2）3 a − 2(3 a − 4 b)＋3(a − b)．
（1） − a − 8b ； （2）5b ．
自我反思
目标检测
向量、向量的模、向量相等是如何定义的？
当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、 位移等，这种量叫做向量（矢量） 向量的大小叫做向量的模．向量a, AB 的模依次 记作 a ，AB． 向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量 a与向量b相等，记作a = b ．
0时， a的方向与a的方向相反．
由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当 0 时，有
a ∥ b a b．
（7．4）
动脑思考
一般地，有 0a= 0, λ0 = 0 ．
探索新知
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于 任意向量a, b及任意实数、，向量数乘运算满足如下的法则： 向量加法及数乘运算 1a 1 a，1 a a ； 在形式上与实数的有关运算规 2 a a a ； 律相类似，因此，实数运算中 的去括号、移项、合并同类项 3 a a a； 等变形，可直接应用于向量的 运算中．但是，要注意向量的 运算与数的运算的意义是不同 a ４ ． b a b． 的 请画出图形来，分别验证这些法则．
D C B
探索新知
如图所示，ABCD为平行四边形，由于
A
AD BC， 根据三角形法则得
AB AD AB BC AC．
AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．
这说明，在平行四边形ABCD中， 所表示的向量就是AB 与 AC
O a A b
BA = a − b ．
B
运用知识
计算：
强化练习
BC 2 BA ．
AB 1 AD ；
1 DB； AC． 2
创设情境
OC 3 a
a a a
向量加法满足交换律和结合律： a b b a (a+b)+c a (b c)
以上两个运算律可以推广到任意多个向量.
巩固知识
典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流 速度为5 km/h，求该船的实际航行速度． 解 如图所示，AB表示船速，AC 为水流 B D 速度，由向量加法的平行四边形法则，
从运动的合成看向量运算
• 在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海 探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到 上海，那么这两次位移之和是什么？
位移 AB + BC = AC
C 上海 台北 香港 A B
创设情境
兴趣导入
王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到 达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行 走200 m到达学校（C处）（如 图）．王涛同学这两次位移的 总效果是从家（A处）到达了学 校（C处）．
这时也必须“首尾相连”.
探究一：当向量共线时，如何相加？
(1)同向 (2)反向
a
a
b
A B C B
b
C A
AC = a + b
规定： 0 0 a a a
AC = a + b
探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？
• 数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c) • 向量的加法具备吗？你能否画图解释？
继续探索
活动探究
读书部分：阅读教材相关章节 书面作业：教材习题７.1Ａ组（必做） 教材习题７.1Ｂ组（选做） 实践调查：试着用向量的观点解释 生活中的一些问题．
温故知新 零向量 长度等于 零 的向量，记作 0 方向 相同或相反 的非零向量.
向量a，b平行，记作 a∥b .
单位向量 长度等于 1个单位 的向量
平行向量
(共线向量)
规定：零向量与任一向量 平行 长度 相等 且方向 相同 的向量.
相等向量
向量a，b相等，记作 a＝b
平面向量的线性运算
——向量的加法运算
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质： (1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
已知向量a, b , 求作向量a b
A·
a
B
向量加法法则
b a
ab
作法：
BC ， 依次作 AB a， b 则向量 AC 叫做向量a与向量b的和，
记作a＋b ，即
a b AB BC AC．
（7．1）
求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法 叫做向量加法的三角形法则．
动脑思考
AB 1 BC CD ；
1 AD； OA． 2
动脑思考
为向量a与向量b的差．即 设a OA ， b
探索新知
与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义 a − b = a＋(−b)．
OB ，则
a
b
b
O
a (b)
a
b
a b
向量减法法则
a
b b
B
a
ab
A
O
a
ba
A
b
B
作法：在平面内任取一 O, 作OA a, OB b, 则BA a b. 点
• 要点:1.平移到同一起点；2.指向被减向量.
探究三：当向量共线时，如何相减？
(1)同向
a b
a b
(2)反向
a
b
a
b
a b
探究四：平行四边形法则的两条对角线
D C
a
A
AC a b BD AD AB a b
b
B
动脑思考
探索新知
根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂 成什么角度时，双臂受力最小？
Байду номын сангаас用知识
计算：
2.2 平面向量的线性运算
2.2 平面向量的线性运算2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ= ；②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+ ．⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ==．5、向量共线定理：向量()0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．设()11,a x y =，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．课堂训练 一．选择题1．下列命题正确的是（ ） Ａ．若∥a b ，则a 与b 同向Ｂ．若∥a b ，则a 与b 同向或反向 Ｃ．若a =0，则a 与0共线Ｄ．若a 不为0，则a 与0不共线且3AC CB =-，设2．如图1所示，向量 ，，OAOBOC 的终点A B C ，，在一条直线上，=OA p ，= OB q ，= OC r ，则以下等式中成立的是（ ）Ａ．1322r p q =-+Ｂ．2r p q =-+baCBAa b C C -=A -AB =BＣ．3122r p q =- Ｄ．2r q p =-+3．如图2所示，在菱形ABCD 中，120DAB ∠= ，则以下说法错误的是（ ） Ａ．与AB 相等的向量只有一个（不含AB本身） Ｂ．与AB 的模相等的向量只有4个（不含AB本身） Ｃ．BD 的长度恰为DAＤ．CB 与DA不共线4．将1[2(28)4(42)]12+--a b a b 化简成最简式为（ ） Ａ．2a b - Ｂ．b a - Ｃ．a b - Ｄ．2b a -5．已知G 是ABC △的重心，如图1所示，则GA GB GC +-=（ ） Ａ．0 Ｂ．4GEＣ．4GDＤ．4GF6．若9AB = ，6AC = ，则BC的取值范围为（ ）Ａ．[315]，Ｂ．[39]， Ｃ．(315)，Ｄ．[69]，二．填空题7．已知非零向量1e 和2e 不共线，欲使t 12+e e 和1+e t 2e 共线， 则实数t 的值为 ．8．平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点，N 为BC 的中点．设AB = a ，AD = b ，则=MN （用a ，b 表示）．9．已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC AB ∠==，a ，AC = c ，BC =b ，则a bc ++= ．10．已知OA = a ，OB = b ，若12OA = ，5OB =，且90AOB ∠= ，则-=a b ． 11．在菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，1AB = ，则BC DC +=．12．在静水中划船速度是10米／分钟，水流速度10米／分钟，如果船从岸边径直沿垂直于水流方向行走，那么船实际行进速度应是 ．实际行进方向与水流方向的夹角为 ． 三．解答题13．两个非零向量12，e e 不共线．（1）若= AB 12e e +，BC = 1228e e +，CD =123()-e e ，求证：，，A B D 三点共线； （2）求实数k ，使k 12e e +与12+e k 2e 共线．14．一艘军舰从基地A 出发向东航行了200海里到达基地B ，然后又改变航向向东偏北60 航行了400海里到达C 岛，最后又改变航行，向西航行了200海里到达D 岛．（1）试作出向量AB BC CD，，；（2）求AD ．15．如图4，在ABC △中，在AC 上取点N ，使得13AN AC =，在AB 上取点M ，使得13AM AB =，在BN 的延长线上取点P ，使得12NP BN =，在CM 的延长线上取点Q ，使得12MQ CM =，用向量的方法证明P A Q ，，三点共线．16．一架飞机向北飞行300 km ，然后改变方向向西飞行400 km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成．17．已知ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，用向量a ，b 分别表示向量OC ，OD，DC ，BC ．18．飞机从甲地以北偏西15˚的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙地以南偏东75˚的方向飞行1400km 到达丙地．试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？第19题．如图，13AM AB = ，13AN AC =．求证：13MN BC = ．同步提升一.选择题(每题5分)1.设b →是a →的相反向量,则下列说法错误的是( ) A .a →与b →的长度必相等 B .a bC .a →与b →一定不相等 D .a →是b →的相反向量2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a →、b →、c →,则向量OD 等于( ) A .a b c ++ B .a b c -+ C .a b c + - D .a b c-- 3.(如图)在平行四边形ABCD 中,下列正确的是( ).A .AB CD = B .AB AD BD -=C .AD AB AC += D .AD BC 0+= 4.+++等于( ) A . B . C .AC D .CA5.化简SP PS QP OP ++-的结果等于( )A 、B 、C 、D 、A AB OC = B AB ∥DEC AD BE =D AD FC =7.下列等式中,正确的个数是( )①a b b a +=+ ②a b b a = --③0a a -=- ④(a )a --= ⑤a (a )0+-=A .5B .4C .3D .28.在△ABC 中,AB a = ,AC b = ,如果a||b|=|,那么△ABC 一定是( ).A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .钝角三角形9.在ABC ∆中,BC a =,CA b =,则AB 等于( )A .a b +B .(a b )-+C .a b -D .b a -10.已知a 、b 是不共线的向量,AB a b λ=+ ,AC a b μ=+(λ、R μ∈),当且仅当( )时, A 、B 、C 三点共线. ()1A λμ+= ()1B λμ-=()1C λμ=-()1D λμ=二.填空题(每题5分)11.ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB a,AD b ==,则MA = ______,MB = ______,MC = ______,MD =______.12.已知向量a 和b 不共线,实数x ,y 满足b y x a b a y x)2(54)2(-+=+-,则=+y x ______13.在ABCD 中,AB a,AD b ==,则AC = ______,DB = ______.14.已知四边形ABCD 中,1AB DC 2=,且AD BC = 则四边形ABCD 的形状是______.三.解答题15.化简下列各式:(1)=++++______;(2)()()AB MB BO BC OM ++++=______.（3）=-++-)()(______.16.某人从A 点出发向西走了10m ,到达B 点,然后改变方向按西偏北︒60走了15m 到达C 点,最后又向东走了10米到达D 点.(1)作出向量AB ,,(用1cm 长线段代表10m 长);(2)求DA17.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于点O ,E 、F 分别是AC 和BD 的中点,分别写出 (1)图中与、共线的向量; (2)与相等的向量.CDABNM18.在直角坐标系中,画出下列向量: (1)a 2= ,a的方向与x 轴正方向的夹角为 60,与y 轴正方向的夹角为 30;(2)a 4=,a的方向与x 轴正方向的夹角为 30,与y 轴正方向的夹角为 120;(3)a=,a的方向与x 轴正方向的夹角为 135,与y 轴正方向的夹角为 135.19.在ABC ∆所在平面上有一点P ,使得=++,试判断P 点的位置.20.如图所示,在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 边中点,点N 在BD 上且BD BN 31=,求证:M 、N 、C 三点共线.2.2 平面向量的线性运算 课堂训练参考答案一．选择题 1~5 CADDD 6 A 二．填空题7．1± 8．1()2-a b 9．2 10．13 11．45三．解答题 第13题．（1）证明：=++= AD AB BC CD 1266+=e e 6AB， A B D ∴，，三点共线；（2）解： k 12+e e 与12e +k 2e 共线， ∴k 12+=e e λ（12e ＋k 2e ），(2)λ∴-k 1e ＋(1)k λ-2e =0，201k k k λλ-=⎧∴⇒=⎨-⎩，，第14题．解：（1）向量ABBC CD ，，如右图所示．（2）根据题意，易知AB 和CD 方向相反，故AB 与CD共线．又AB CD = ，∴在四边形ABCD 中，AB CD∥，四边形ABCD 是平行四边形， AD BC ∴= ，400AD BC ∴==海里．第15题．证明：111()()222AP NP NA BN CN BN NC BC =-=-=+=，111()()222QA MA MQ BM CM BM MC BC =-=-=+= ，AP QA ∴= ，P A Q ∴，，三点共线．第16题．飞机飞行的路程是700 km ；两次位移的合成是向北偏西约53˚方向飞行500 km ．第17题．OC a =- ，OD b =- ，DC b a =- ，BC a b =--．第18题．丙地在甲地的北偏东45˚方向，距甲地1400km ．第19题．证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC = ，13AM AB = ，所以1133MN AC AB =- ()1133AC AB BC =-= ．同步提升参考答案 一.选择题(每题5分)1.C2. B3.C4.B5. B6.D7.C8.A9.B 10.D 二.填空题(每题5分)11.111(a b ),(a b ),(a b )222-+-+ ,1(b a )2-12.1 13.a b + ,a b- 14.等腰梯形三.解答题(每题10分)15.(1)0(2)AC （3）016.【解答】(1)如图,(2)∵-=,故四边形ABCD 为平行四边形, )m (15==DA BC17.【解答】与EF 共线的向量有AB 、; 与CO 共线的向量有CE ,CA ,OE ,OA ,; 与EA 相等的向量是18.【解答】19.【解答】 PA PB PC AB ++=()PA PA AB PC AB ∴+++=,故-=2A ∴、P 、C 三点共线,且P 是线段AC 的三分点中靠近A 的那一个20.【解答】提示:可以证明MC 3MN =CDABNM。
平面向量的运算规则
平面向量的运算规则平面向量是研究平面上有大小和方向的量，常用于解决几何问题和物理问题。
为了对平面向量进行运算，我们需要了解平面向量的运算规则。
本文将介绍平面向量的加法、减法、数乘和数量积的运算规则，以及向量的共线性和平行性。
一、平面向量的加法规则对于平面上的两个向量A和A，它们的加法规则如下：A + A = A + A即向量的加法满足交换律。
二、平面向量的减法规则对于平面上的两个向量A和A，它们的减法规则如下：A - A≠ A - A向量的减法不满足交换律。
减法运算可以通过将减法转化为加法进行计算：A - A = A + (-A)其中，-A表示向量A的反向向量，即大小相等，方向相反。
三、平面向量的数乘规则对于平面上的向量A和一个实数A，它们的数乘规则如下：AA = AA即数乘满足交换律。
数乘后的向量与原向量大小相等，方向与原向量平行或反向。
四、平面向量的数量积规则平面向量的数量积又称为点积或内积。
对于平面上的两个向量A和A，它们的数量积规则如下：A·A = AA cosθ其中，A·A表示向量A和A的数量积，AA为A和A的模的乘积，θ为A和A之间的夹角。
根据数量积的定义，我们可以得到以下结论：1. 若A·A = 0，则A与A垂直，即A和A互相垂直。
2. 若A·A > 0，则A与A夹角为锐角。
3. 若A·A < 0，则A与A夹角为钝角。
五、平面向量的共线性和平行性对于平面上的两个向量A和A，它们的共线性和平行性判断规则如下：1. 共线性判断：若存在一个实数A，使得A = AA，则A与A共线，且方向相同或相反。
2. 平行性判断：若A与A共线且方向相同或相反，则A与A平行。
总结：平面向量的运算规则包括加法、减法、数乘和数量积。
其中，加法满足交换律，减法不满足交换律，数乘满足交换律。
数量积可以判断向量的垂直性和夹角的锐钝性。
同时，共线性和平行性的判断也是平面向量运算中的重要内容。
平面向量的线性运算知识点总结
平面向量的线性运算知识点总结平面向量是数学中的重要概念之一，它们具有方向和大小，并且可以进行线性运算。
本文将对平面向量的线性运算相关知识进行总结，包括加法、数乘和线性组合三个方面。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量合成为一个新向量的运算。
具体而言，设有两个向量A和B，它们的加法运算符号为"＋"，则其加法公式为：A +B = (Aₓ + Bₓ, Aᵧ + Bᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量，Bₓ和Bᵧ分别表示向量B在坐标系中的x轴和y轴上的分量。
需要注意的是，向量的加法满足交换律和结合律。
即：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)二、平面向量的数乘数乘是指将向量与一个实数相乘得到一个新向量的运算。
具体而言，设有一个向量A和一个实数k，它们的数乘运算符号为"·"，则其数乘公式为：k·A = (k·Aₓ, k·Aᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量。
数乘的运算法则如下：1. 若k>0，则k·A的方向与A的方向相同。
2. 若k<0，则k·A的方向与A的方向相反。
3. 若k=0，则k·A的方向为零向量。
4. |k·A| = |k|·|A|三、平面向量的线性组合线性组合是指将多个向量按一定比例相加得到一个新向量的运算。
具体而言，设有n个向量A₁、A₂、...、Aₙ和n个实数k₁、k₂、...、kₙ，它们的线性组合公式为：k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ线性组合的运算法则如下：1. 线性组合的次序不影响结果，即k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ =kₙAₙ + ... + k₂A₂ + k₁A₁。
2. 向量的线性组合满足数乘与加法的结合律，即k₁(A₁ + A₂) =k₁A₁ + k₁A₂。
平面向量的线性运算(一)
课题：平面向量的线性运算（一）一、教学目标：（1）掌握向量加、减法的运算法则，并理解其几何意义；（2）会用平行四边形法则和三角形法则作两个向量的和向量、差向量，培养数形结合的能力；（3）通过将向量运算与实数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。
二、教学重点、难点：（1）重点：向量加法的运算（三角形法则、平行四边形法则）、向量的减法运算及其几何意义。
（2）难点：对向量加法法则和减法的定义的理解，特别是向量减法的定义的理解。
三、教学方法：问题式教学、小组合作、自主探究． 四、教学过程： （一）课题引入以前由于大陆和台湾没有直航，因此从上海到台北乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北，这两次位移的结果是什么呢？（二）新知探究阅读教材第80页并思考力F 对橡皮条产生的效果与力F 1 和 F 2共同作用产生的效果相同吗？合力F 与F 1 ,F 2 有怎样的关系呢？改变力F 1 和 F 2的大小和方向，重复以上的实验，你能发现F 与F 1 ,F 2之间的关系吗？ 1. 向量的加法：【问题1】向量加法的运算法则：【问题2】三角形法则和平行四边形法则的几何意义:台北上海香港【问题3】用三角形法则和平行四边形法则作图求和向量时应注意什么？【问题4】类比实数的加法交换律和结合律，思考对于任意向量 a ，b 的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探究？【问题5】若a 与b共线，如何作出 + a b ？2. 向量的减法：【问题1】相反向量的定义：【问题2】向量减法的定义及运算法则：【问题3】 向量减法的几何意义：【问题4】若a 与b共线，如何作出 - a b ？【问题5】 ||a 、 ||b 、 +||a b 、 -||a b 之间有何联系？【问题6】向量减法的三角形法则与向量加法的三角形法则有何异同？（三）典型例题O Aaaab b b例1．已知向量、，求作向量+. ba解:1.三角形法则（首尾相接，首指向尾为和）如图，在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=。
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，具有广泛的应用领域。
本教案旨在通过线性运算的教学来帮助学生深入理解平面向量的概念和运算法则。
二、知识点梳理1. 平面向量的定义和表示方法2. 平面向量的加法和减法运算3. 数乘运算及其性质4. 平面向量的数量积及其性质5. 平面向量的分解与合成三、教学步骤1. 概念讲解(1) 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
常用的表示方法有坐标表示和向量符号表示。
2. 加法和减法运算(1) 加法运算- 向量的加法满足交换律和结合律。
- 加法运算可以通过平行四边形法则进行计算。
(2) 减法运算- 向量的减法可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。
- 通过平行四边形法则可以将减法运算转化为加法运算。
3. 数乘运算及其性质(1) 数乘运算- 数乘运算指的是将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量。
- 数乘运算可以改变向量的大小和方向。
(2) 数乘运算的性质- 数乘的加法法则：(k1 + k2)a = k1a + k2a- 数乘的数乘法则：(k1k2)a = k1(k2a)4. 数量积及其性质(1) 数量积的定义- 数量积，也称点积或内积，是两个向量的乘积，结果是一个实数。
- 数量积的计算方法为两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值。
(2) 数量积的性质- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)- 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c5. 分解与合成(1) 向量的分解- 分解是将一个向量表示为多个已知向量的线性组合。
- 可以使用平行四边形法则或三角函数来进行向量的分解。
(2) 向量的合成- 合成是根据给定向量和它们的系数，通过线性组合得到一个新的向量。
四、案例演练1. 解决实际问题(1) 给定向量A(-3, 4)和向量B(2, 5)，求A + B和2A - B的结果。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算平面向量是解决平面几何问题的重要工具。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加减法、数量乘法和应用特殊运算规则的向量乘法。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其应用。
一、平面向量的基本概念在平面直角坐标系中，向量由两个有序实数对表示，分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
设向量 a 的分量为 (a1, a2)，则向量 a 可表示为 a = a1i + a2j，其中 i 和 j 分别是 x 轴和 y 轴的单位向量。
二、平面向量的加法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其和为 c = (a1 +b1)i + (a2 + b2)j。
向量的加法满足交换律、结合律和零向量的存在性。
三、平面向量的减法设有两个平面向量 a = a1i + a2j， b = b1i + b2j，其差为 c = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j。
向量的减法也满足交换律和结合律。
四、平面向量的数量乘法设有平面向量 a = a1i + a2j，实数 k，k与向量 a 的数量积为 k * a =ka1i + ka2j。
数量乘法满足结合律、分配律和对数乘法的分布律等性质。
五、平面向量的线性运算应用1. 向量共线与平行若有两个非零向量 a 和 b，当且仅当存在实数 k，使得 a = kb，称向量 a 和 b 共线。
若向量 a 和 b 共线且方向相同或相反，则称向量 a 和b 平行。
2. 向量的线性组合设有向量组 a1, a2, ..., an，其中每个向量的形式为 ai = ai1i + ai2j。
对于任意给定的实数 k1, k2, ..., kn，向量 b = k1a1 + k2a2 + ... + knan 称为向量组 a1, a2, ..., an 的线性组合。
3. 向量的共面性若存在不全为零的实数 k1, k2, k3，使得 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0，称向量组 a1, a2, a3 共面。
(完整版)平面向量的线性运算
ABabbaa a O =−→−OBA B O B a abb=−→−OB a +b ABAa +b向量的线性运算（一）1.向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
表示：→--AB −→−+BC =→--AC ．规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）作法：在平面内任意取一点O ，作→--OA =a →--→--OB =→--OA +→--AB a +b2.向量的加法法则（1）共线向量的加法：同向向量反向向量（2）不共线向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：→--AB −→−+BC=→--AC ．平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线→--AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。
如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作→--AB =a ，=−→−BC b ，则向量−→−AC 叫做a与b 的和，记作a +b ，即a +b +=−→−AB =−→−BC −→−AC【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况：探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |; （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加3.向量加法的运算律（1）向量加法的交换律：a +b =b +a（2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a +(b +c ) 证明：如图：使=−→−AB a , =−→−BC b , =−→−CD c 则(a +b )+c =−→−AC +=−→−CD −→−AD ，a + (b +c )=−→−AB −→−+BD −→−=AD ,∴(a +b )+c =a +(b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．例题：例1. O 为正六边形的中心，作出下列向量：（1）−→−OA +−→−OC （2）−→−BC +−→−FE （3）−→−OA +−→−FE例2．如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水aaab bba +ba +b ABC ABCD三角形法则平行四边形法则的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。
2.掌握平面向量的线性运算方法。
3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。
二、教学重点平面向量的线性运算。
三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。
四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。
五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。
六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。
2.新课讲解（1）向量加法。
如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。
如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。
如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。
向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。
平面向量的线性运算及练习试题
平面向量的线性运算学习过程知识点一：向量的加法1定义已知非零向量,a b ,在平面内任取一点A,作AB ＝a ,BC ＝b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a b +,即a b +＝AB ＋BC ＝AC ． 求两个向量和的运算,叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时,要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量.②两个向量的和仍然是一个向量,其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．2向量加法的平行四边形法则以点O 为起点作向量a OA = ,OB b =,以OA,OB 为邻边作OACB ,则以O 为起点的对角线所在向量OC 就是,a b 的和,记作a b +=OC ;说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和,而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和,但两共线向量求和时,则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=，3特殊位置关系的两向量的和①当向量a 与b 不共线时,a +b 的方向不同向,且|a +b |<|a |+|b |；②当a 与b 同向时,则a +b 、a 、b 同向,且|a +b |=|a |+|b |,③当a 与b 反向时,若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同,且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同,且|a +b|=|b |-|a |.4向量加法的运算律①向量加法的交换律：a +b =b +a②向量加法的结合律：a +b +c =a + b +c知识点二：向量的减法1相反向量：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a ;2①向量a 和-a 互为相反向量,即 –-a .②零向量的相反向量仍是零向量．③任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a ＋-a ＝-a ＋a ＝0．④如果向量,a b 互为相反向量,那么a ＝-b ,b ＝-a ,a ＋b ＝0．3向量减法的定义：向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与b 的差.即： a - b = a + - b 求两个向量差的运算叫做向量的减法.4向量减法的几何作法在平面内任取一点O,作,OA a OB b ==,则BA a b =-．即a b -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量,这就是向量减法的几何意义． 说明：①AB 表示a b -.强调：差向量“箭头”指向被减数②用“相反向量”定义法作差向量,a - b = a + - b , 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一.知识点三：向量数乘的定义1定义：一般地,我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa ,它的长度与方向规定如下：⑴|λa |＝|λ||a |⑵当0λ>时,λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时,λa 的方向与a 的方向相反． 当0λ=时,λa ＝02 向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律：设λ、μ为实数,λμa ；λ＋μa ＝λa a ；λa ＋b ＝λa ＋λb ．知识点四：向量共线的条件向量a a ≠0与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b ＝λa ．学习结论1两个向量的和仍然是向量,它的大小和方向可以由三角形法则和平行四边形法则确定,这两种法则本质上是一致的．共线向量加法的几何意义,为共线向量首尾相连接,第一个向量的起点与第二个向量的终点连接所得到的有向线段所表示的向量．2a b -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量3实数与向量不能相加减,但实数与向量可以相乘．向量数乘的几何意义就是几个相等向量相加．4向量a a ≠0与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b ＝λa ;练习例1．已知任意两个非零向量,a b ,作,2,3OA a b OB a b OC a b =+=+=+,试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系． 解：∵ AB ＝OB －OA ＝a+2b －a+b ＝b, 且 AC ＝OC －OA ＝a+3b －a+b ＝2 b,∴ AC ＝2AB ．所以,A 、B 、C 三点共线．例2.如图,平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ,且AB ＝a ,AD ＝b ,试用a ,b 表示向量,,,MA MB MC MD ．解析：AM MC ==1()2a b +,所以1()2MA a b =-+,DM MB =MA AB =+1()2a b =-所以1()2MD b a =- 例3.一艘船从长江南岸A 点出发以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的流速为向东2 km/h ．⑴试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度保留两个有效数字；⑵求船实际航行速度的大小与方向用与江水速度间的夹角表示,精确到度.分析：速度是一个既有大小又有方向的量,所以可以用向量表示,速度的合成也就是向量的加法.解析：⑴如图,设AD 表示船向垂直于对岸行驶的速度,AB 表示水流的速度,以AD 、AB 作邻边作平行四边形ABCD,则AC 就是船实际航行的速度.⑵在Rt △ABC 中,|AB |＝2,|BC |＝5,∴ |AC |＝22222529 5.4AB BC +=+=≈ ∵ tan ∠CAB ＝52,∴ 68CAB ∠≈︒答：船实际航行速度的大小约为 km/h,方向与水的流速间的夹角为约为68°.1.2006上海理如图,在平行四边形ABCD 中,下列结论中错误的是A →--AB ＝→--DC ； B →--AD ＋→--AB ＝→--AC ；C →--AB －→--AD ＝→--BD ； D →--AD ＋→--CB ＝→0． 2．2007湖南文若O 、E 、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是A ．EF OF OE =+ B. EF OF OE =-C. EF OF OE =-+D. EF OF OE =--3．2003辽宁已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上不包括端点A 、C,则=AP A ．)1,0(),(∈+λλAD AB B ．)22,0(),(∈+λλBC AB C ．)1,0(),(∈-λλAD AB D ．)22,0(),(∈-λλBC AB 4.2008辽宁理已知O ,A ,B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足20AC CB +=,则OC =A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+ 5．2003江苏；天津文、理O 是平面上一定点,A B C 、、是平面上不共线的三个点,动点P满足[)(),0,,AB AC OP OA P AB AC λλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心6．2005全国卷Ⅱ理、文已知点(3,1)A ,(0,0)B ,(3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC相交于E ,那么有BC CE λ=,其中λ等于A ２B 12C －３D －137．设b a ,是两个不共线的非零向量,若向量b a k 2+与b k a +8的方向相反,则k=__________.8.2007江西理．如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N,若AB ＝ m AM ,AC ＝n AN ,则m ＋n 的值为 ．9．2005全国卷Ⅰ理ABC ∆的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OC OB OA m OH ++=,则实数m =10.2007陕西文、理如图,平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中OA 与OB 的夹角为120°,OA 与OC 的夹角为30°,且OA ＝OB ＝1,OC ＝22.若OC ＝μλμλμλ+∈+则R),,(OB OA 的值为 .例1. B ． 例2．Ａ． 例3．B.三基础训练：1. C ； 2．B. 3．A ． 4. A ． 5．B 6．C ； 7．_—4__；8. 2 ．9． 1 ；10. 62.AB C D四拓展与探究：11、D ．； 12. (,0)-∞,13(,)22.平面向量的线性运算复习课复习目标：• 1、掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义.• 2、掌握向量数乘运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.• 3、了解向量的线性运算性质及其几何意义.重点:向量加、减、数乘运算及其几何意义.难点:应用向量线性运算的定义、性质灵活解决相应的问题.一、学案导学 自主建构复习1:向量的加法 复习2:向量的减法已知向量a 和向量b ,作向量a +b . 已知向量a 和向量b ,作向量a -b .复习3：向量的数乘 复习4：平面向量共线定理 已知向量 a ,作向量3a 和-3a .二、合作共享 交流提升1、填空： ------ ----- --------(4)___ABCD AB AD AB AD BAD +=-∠=在平行四边形中，若则2、判断题：1相反向量就是方向相反的向量 (1)AD CA +=(2)AB CB DC --=(3)AB AC BD CD -+-=2 3AB OA OB =-4 在△ABC 中,必有0AB BC CA ++=5若0AB BC CA ++=,则A 、B 、C 三点必是一个三角形的三个顶点;32,,,OA OB OC A B C =-若则三3、点是否共线三、案例剖析 总结规律例1:根据条件判断下列四边形的形状(1)AD BC = 1(2)3AD BC = (3),AD BC AB AD ==且 (4);(OA OC OB OD O +=+是四边形所在平面内一点） (5)AC AB AD =+(6),ABCD AC BD O AO OC DO OB ==四边形的对角线与相交于点，并且例2、如图,在 OAB ∆ 中,延长BA 到C,使AC=BA,在OB 上取点D,使BD=与OA 交于E,设OA a OB b ==，，请用 a b OC DC ，表示向量， .例3、设▱ABCD 一边AB 的四等分点中最靠近B 的一点为E,对角线BD 的五等分点中靠近B 的一点为F,求证：E 、F 、C 三点在一条直线上．AB BA +=四、反馈矫正 形成能力跟踪训练：1、有一边长为１的正方形ABCD,设,BC b AC c ==求：()1a b c ++ ()2a b c +- ()3a b c -+2、已知A 、B 、C 是不共线的三点,O 是△ABC 内的一点,若OA OB OC ++ = 0,则O 是△ABC 的——————填内心、重心、垂心、外心等.。
平面向量的线性运算
平面向量的线性运算在数学中，平面向量是向量的一种，它在平面内具有长度和方向，可以用有向线段表示。
平面向量之间可以进行线性运算，包括加法和数乘。
本文将详细介绍平面向量的线性运算及其性质。
一、平面向量的定义平面向量是指具有大小和方向的向量，它们通常用加粗的小写字母表示，如a、a等。
平面向量可以用有向线段表示，线段的起点表示向量的起点，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个平面向量a和a，它们的加法定义为：a + a = a + a这意味着向量的加法满足交换律，顺序不影响结果。
加法的几何解释为将两个向量的起点相连，然后将它们的箭头相连，新向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。
三、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设有一个平面向量a和一个实数a，它们的数乘定义为：aa = aa数乘有以下性质：1. 数乘满足结合律：(aa)a = a(aa)，其中a和a为实数。
2. 数乘满足分配律：(a + a)a = aa + aa，其中a和a为实数。
3. 数乘满足分配律：a(a + a) = aa + aa，其中a为实数，a和a为平面向量。
四、线性组合线性组合是指将一组向量与一组实数相乘并求和得到一个新的向量。
设有a个平面向量a₁、a₂、...、aa和a个实数a₁、a₂、...、aa，它们的线性组合定义为：a₁a₁ + a₂a₂ + ... + aaaa线性组合是向量加法和数乘的联合运算，这个概念在线性代数中具有重要的应用。
五、线性运算的性质1. 交换律：向量加法满足交换律，即a + a = a + a。
2. 结合律：向量加法满足结合律，即(a + a) + a = a + (a + a)，其中a、a和a为平面向量。
3. 分配律：向量加法和数乘满足分配律，即a(a + a) = aa + aa，(a + a)a = aa + aa，其中a、a为实数，a和a为平面向量。