高中数学求数列通项的常用方法
数列通项的五种求法
数列通项的五种求法求数列的通项公式是高中数学中最为常见的题型之一，它既可考查等价转化与化归的数学思想，又能反映考生对等差与等现象数列理想的深度，具有一定的技巧性，因此经常渗透在高考和竞赛中，要正确写出数列通项，其关键是：找出n a 与n 的对应关系，而其中数列的通项求法比较灵活。
下面分别介绍几种常见的数列通项的求法，请同学们学习。
一、常规数列的通项例1 写出下列数列的一个通项公式。
(1) 3, 5, 7, 9.... (2) 3, 5, 9, 17. (3)⋯,638,356,154,32 (4)⋯,917,710,1,32 解 （1）（方法一）注意观察，该数列前四项均为奇数，所以归纳出它的通项公式是a n =2n+1.（方法二）发现后一项比前一项都多2，前4项依次可写成a 1=3, a 2=3+2, a 3=3+2×2, a 4=3+2×3, ∴a n =3+2(n-1).（2）观察发现，前四项依次为2+1，22+1，23+1，24+1，∴a n =2n +1.（3）每一项的分子均为偶数，分母依次为1×3，3×5，5×7，7×9，…，均是相邻的两奇数之积，∴.)12)(12(2+-=n n na n（4）各项依次可写成，，，，，⋯9177105532分子依次是项数的平方数加1，∴.1212++=n n a n 小结 认真观察（注意分解式子）所给数据的结构特征，正确写出对应的表达式。
二、摆动数列的通项例2 写出下列数列的一个通项公式。
（1）1，5，1，5，1，5，…. （2）⋯--,78,54,32,1. （3）1，2，2，4，3，8，4，16，….解 （1）（方法一）∵奇数项均为1，偶数项均为5，∴⎩⎨⎧=，a n 5,1为n n 为正偶数.正奇数，（方法二）∵1与5的平均数为3，∴前四项依次可看成3-2，3+2，3-2，3+2. ∴a n =3+(-1)n ×2.（2）前四项可写成.122)1(,72)1(,52,32)1(,12113210--=∴⨯-⨯---n a n n n （3）∵a 1=1, a 3=2, a 5=3, a 7=4,…, ∴当n 为奇数时,21+=n a n , ∵a 2=2, a 4=4, a 6=8, a 8=16,…, ∴当n 为偶数时，.22n n a =∴⎪⎩⎪⎨⎧+=，n a n n 22,21为n n 为.正偶数正奇数，小结 这类题需要看清奇、偶项的正、负，可用(-1)n 或(-1)n+1等形式表示，或用分段形式表示。
通项公式求解方法大全
例说高中数学数列问题的通项求解形式1：累加/累乘（迭代）()()11/n n n na a a kf n kf n a ++-== 例题1：已知数列{}n a ，其中1n a =，满足1n n a a n +-=，试求数列的通项。
解法1：（迭代）()()()()()()1122111121112n n n n n n n a a a a a a a a n n ----=-+-+⋅⋅⋅+-+=-+-+⋅⋅⋅++=+解法2：（累加）()()213211211211123112221n n n n n n a a a a n n n n a a n a a a n a a n ---⎫-=⎧⎪⎪-=⎪⎪--⎪⎪+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⇒-=+++⋅⋅⋅+-=⇒=+⎨⎬⎪⎪-=-⎪⎪-=-⎪⎪⎩⎭变式1：已知数列{}n a ，其中1n a =，满足()111n n a a n n +-=+，试求数列的通项。
解法1：（迭代）()()()()1112211111111111111121212n n n n n n n a a n n n na a a a a a a a n n n n n -----==---⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-+=-+-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭解法2：（累加）21321121112112311121121111n n n n n n a a a a a a a n na a n n a a n n ---⎫⎧-=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪-=-⎪⎪⎪⎪+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⇒-=-⇒=-⎨⎬⎪⎪⎪⎪-=---⎪⎪⎪⎪-=-⎪⎪-⎩⎭变式2：已知数列{}n a ，其中1n a =，满足1n n a a +-=，试求数列的通项。
解法1：（迭代）()()()11122111 n nn n n n na aa a a a a a a a-----==∴=-+-+⋅⋅⋅+-+=++=解法2：（累加）21321121n nn nn na aa aa a aa aa a---⎫⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎪⎪+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⇒-==⎨⎬⎪-=⎪⎪⎪-=⎩⎭例题2：已知数列{}n a，其中1na=，满足11nna na n++=，试求数列的通项。
数列通项公式的求解方法总结
数列通项公式的求解方法总结求数列的通项公式是数列中一类常见的题型，这类题型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老师的教学。
一、累加法：利用an=a1+（a2-a1）+…（an-an-1）求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如an+1=an+f（n）的递推数列通项公式的基本方法（f（n）可求前n项和）.例1.已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。
解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+ （a2-a1）+a1=[2（n-1）+1]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1=2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1=2+（n-1）+1=（n-1）（n+1）+1=n2所以数列an的通项公式为an=n2。
例2：在数列{an}中，已知an+1= ，求该数列的通项公式.备注：取倒数之后变成逐差法。
解：两边取倒数递推式化为：=+，即-=所以-=，-=，-=…-=.…，将以上n-1个式子相加，得：-=++…+即=+++…+==1-故an==二、累乘法：利用恒等式an=a1…（an≠0，n？叟n）求通项公式的方法称为累乘法，累乘法是求型如：an+1=g（n）an的递推数列通项公式的基本方法（数列g（n）可求前n项积）.例3.已知数列{an}中a1=，an=·an-1（n？叟2）求数列{an}的通项公式。
解：当n？叟2时，=，=，=，…=将这n-1个式子累乘，得到=，从而an=×=，当n=1时，==a1，所以an= 。
注：在运用累乘法时，还是要特别注意项数，计算时项数容易出错.三、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1（n？叟2），等差数列或等比数列的通项公式。
求数列通项公式的十种方法
求数列通项公式的十种方法求解数列的通项公式是高中数学中的一个重要问题，通常需要运用数学分析方法、递推关系、差分方法等多种技巧。
下面将列举十种常见的方法来求解数列的通项公式。
方法一：等差数列的通项公式对于等差数列 an = a1 + (n - 1) * d，其中 a1 为首项，n 为项数，d 为公差。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法二：等差数列的求和公式对于等差数列 S = (n / 2) * (a1 + an)，其中 S 为前 n 项和，a1 为首项，an 为末项，n 为项数。
可以通过求和公式推导出等差数列的通项公式。
方法三：等比数列的通项公式对于等比数列 an = a1 * r^(n - 1)，其中 a1 为首项，r 为公比，n 为项数。
通项公式可以直接通过公式计算得出。
方法四：等比数列的求和公式对于等比数列S=(a1*(r^n-1))/(r-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
可以通过求和公式推导出等比数列的通项公式。
方法五：递推关系法对于一些递推关系的数列，可以通过寻找规律，构建递推关系来求解数列的通项公式。
例如斐波那契数列就可以通过递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1，来求解通项公式。
方法六：二项式展开法对于一些满足二项式展开的数列，可以通过展开得到二项式系数，然后通过系数的通项公式来求解数列的通项公式。
例如二项式数列(x+1)^n的展开系数就是通过n阶二项展开推导出来的。
方法七：差分法通过对数列进行差分操作，找到规律来求解数列的通项公式。
例如，如果差分的结果是一个等差数列，那么原数列就是一个二次或高次多项式。
方法八：线性递推法对于一些线性递推关系的数列，可以通过构建矩阵形式或特征方程的方法来求解数列的通项公式。
例如，对于一阶线性递推数列a(n)=p*a(n-1)+q，可以通过特征方程x-p*x-q=0来求解通项公式。
方法九：插值法通过给定数列中的若干项，利用 Lagrange 插值公式来推导数列的通项公式。
高中数学数列通项公式的求法技巧大全
数列通项公式的求法技巧大全一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
求几种数列通项公式的常用方法
求几种数列通项公式的常用方法作者：兰党军刘志英来源：《理科考试研究·高中》2015年第04期数列知识是高中学生将来上大学后学习高等数学最重要的基础知识之一，因此，数列知识始终是高考考试的重点，同时也是学生学习的难点之一.纵观近几年有关高考数列考查的题型，一般都是求数列的通项公式.而在高中数学中求数列的通项公式的方法较多，下面只介绍几种常用方法.一、观察法就是观察各项的特点，找出各项与项数n的规律性关系.例1根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…；（2）112，245，3910，41617，…（3）1，23，12，25，…；（4）12，-23，34，-45，….解（1）变形为：101-1，102-1，103-1，104-1，…∴通项公式为：an=10n-1.（2）an=n+n2n2+1.（3）an=2n+1.（4）an=（-1）n+1·nn+1.二、公式法如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接根据所给条件求得a1，d（或q），从而依据等差（或等比）数列的通项公式写出所求通项.例2等差数列{an}是递减数列，且a2·a3·a4=48，a2+a3+a4=12，则数列的通项公式是（）.A.an=2n-12B.an=2n+4C.an=-2n+12D.an=-2n+10解析设等差数列的公差为d，由已知（a3+d）·a3·（a3+d）=48，3a3=12，解得a3=4，d=±2.又{an}是递减数列，∴d=-2，a1=8.∴an=8+（n-1）（-2）=-2n+10，故选（D） .例3已知等比数列{an}的首项a1=1，公比0解析由题意，bn+1=an+2+an+3，又{an}是等比数列，公比为q.∴bn+1bn=an+2+an+3an+1+an+2=q，故数列{bn}是等比数列，b1=a2+a3=a1q+a1q2=q（q+1），∴bn=q（q+1）·qn+1=qn（n+1）.三、叠加法通常对于型如an+1=an+f（n）类的通项公式，只要f（1）+f（2）+…+f（n）能进行求和，则宜采用此方法求解.例4在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+1n）an+n+12n.设bn=ann，求数列{bn}的通项公式.解析（1）由已知可得an+1n+1=ann+12n，∴bn+1-bn=12n，故b2-b1=12，b3-b2=122，b4-b3=123，…，bn-bn-1=12n-1，将以上n-1式子相加便得bn-b1=12+122+123+…+12n-1=12[1-（12）n-1]1-12=1-（12）n-1，又可得b1=1，故bn=2-12n-1.四、叠乘法通常对于型如an+1=f（n）·an类的通项公式，当f（1）·f（2）·…·f（n）的值可以求得时，宜采用此方法.例5在数列{an}中，a1=1，（n+1）·an+1=n·an，求an的表达式.解析由（n+1）·an+1=n·an得an+1an=nn+1，ana1=a2a1·a3a2·a4a3·…·anan-1=12·23·34·…·n-1n=1n，所以an=1n.五、待定系数法用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列{an}为等差数列，则an=bn+c，Sn=bn2+cn（b、c为常数）；若数列{an}为等比数列，则an=Aqn-1，Sn=Aqn-A（Aq≠0，q≠1）.例6已知数列{cn}中，c1=b1+b，cn=b·cn-1+b1+b，其中b是与n无关的常数，且b≠±1.求出用n和b表示的an的关系式.解析递推公式一定可表示为：cn-λ=b（cn-1-λ）的形式.由待定系数法知：λ=bλ+b1+b.∵b≠1，∴λ=b1-b2，∴cn-b1-b2=b（cn-1-b1-b2）.故数列{cn-b1-b2}是首项为c1-b1-b2=b2b2-1，公比为b的等比数列，故cn-b1-b2=b2b2-1bn-1=bn+1b2-1.∴cn=bn+1-bb2-1.六、辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的等差或等比数列，从而利用这个新数列求其通项公式.例7设数列{an}的首项a1∈（0，1），an=3-an-12，n=2，3，4，….求{an}的通项公式.解析由an=3-an-12得an=-12an-1+32，设an-t=-12（an-1-t），即an=-12an-1+32t，对比an=-12an-1+3得t=1.又a1-2≠0，所以{an-1}是首项为a1-1，公比为-12的等比数列，得an-1=（a1-1）·（-12）n-1，∴an=1+（a1-1）（-12）n-1.例8在数列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=23an+1+13an，求an.解析在an+2=23an+1+13an两边减去an+1，得an+2-an+1=-13（an+1-an）∴{an+1-an}是以a2-a1=1为首项，以-13为公比的等比数列，∴an+1-an=（-13）n-1，由累加法得：an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=（-13）n-2+（-13）n-3+…（-13）+1+1=1-（-13）n-11+13=34[1-（-13）n-1]+1=74-34（-13）n-1.七、数学归纳法思路：由已知条件先求出数列前几项，由此归纳猜想出an，再用数学归纳法证明例9数列{an}满足a1=4且an=4-4an-1 （n≥2），求an.解通过递推关系求出数列前几项如下a1=4=2+21 a2=4-4a1=3=2+22 a3=4-4a2 =83 =2+23a4=4-4a3=52=2+24a5=4-4a4=125=2+25a6=4-4a5=73=2+26猜想：通项公式为an=2+2n.下面用归纳法给出证明：显然，当n=1时，a1=4=2+21 ，等式成立假设当n=k时，等式成立，即ak=2+2k则当n=k+1时，ak+1=4-4ak=4-42+2k=4-2kk+1=2+2-2kk+1=2+2k+1.由归纳法原理知，对一切n∈N+都有an=2+2n.总之，有关高考数学考查求数列通项公式的知识时很“灵活”、方法较多，因此需要学生具备灵活运用数学知识的能力，尤其要具备将其他数列能转化成比较熟悉的等差或等比数列的能力.这样才能“以不变应万变”，取得较好的成绩.。
高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习(含答案)
高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习（含答案）1、定义法：直接求首项和公差或公比。
2、公式法：1 (1) (2)n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子．例、数列{}n a 的各项都为正数，且满足()()2*14nna S n N +=∈，求数列的通项公式．解一：由()()2*14nna S n N +=∈得()()()221114411n n n n n aS S a a +++=-=---化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为10,2n n n a a a +>∴-=，又()2111441S a a ==-得11a =，故{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =-．解二：由()()2*14nn a S n N +=∈，可得()11,12n n n a S S n -=-∴=--≥化简可得)211n S -=，即1=，又11S =，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴n =，从而2n S n =，所以121n n n a S S n -=-=-，又11a =也适合，故21n a n =-．练习：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足120n n n a S S -+=（2n ≥），a 1=21，求n a ． 答案：a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n ．扩展一：作差法例、在数列}{n a 中，11a =，212323(1)n a a a na n n ++++=-+，求n a ．解：由212323(1)n a a a na n n ++++=-+，得2123123(1)(2)1n a a a n a n n -++++-=-+-，两式相减，得66n na n =-+，∴ 1 (=1)66 (2)n n a n n n⎧⎪=-⎨≥⎪⎩．练习（理）：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求n a ．解：由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，得1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+，两式相减，得1n n n a a na +-=，即11(2)n na n n a +=+≥，所以13222122![(1)43]2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=又由已知，得2122a a a =+，则211a a ==，代入上式，得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以，{}n a 的通项公式为 1 (1)! (2)2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩．扩展二、作商法例、在数列}{n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ••••=，求n a ．解：∵2123n a a a a n ••••=，∴21232(1)n a a a a n -••••=-，故当2n ≥时，两式相除，得22(1)n n a n =-， ∴221 (=1) (2)(1)n n a n n n ⎧⎪=⎨≥⎪-⎩．3、 叠加法：对于型如)(1n f a a n n =-+类的通项公式．例、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .答案：na n 14-=. 例、已知数列{}n a 满足112231n n n n a a ++=++-（*n N ∈），352a =，求通项n a .解：由112231n nn n aa ++=++-，两边同除以12n +，得()111131112222n n n n n n n a a n ++++-=-+≥，列出相加得121212121332323212212121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=---n a a n n n n又由已知求得16a =，∴()*231n n n n N a n ∈=•++．练习：已知数列}a {n 满足3a 132a a 1nn 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．答案：1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=．4、叠乘法：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 的类型例（理）、已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式．解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅121[2(11)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-++⨯⨯(1)1(1)(2)21122[(1)32]53325!n n n n n n n n n ---+-+++-=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!n n n n a n --=⨯⨯⨯．练习：在数列{a n }中，112a =，11(1n n n a a a n --=⋅+≥2），求n a ． 答案：）1(1+=n n a n ． 5、构造法：型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a +1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-． 练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ． 答案：12-=n na ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nn n n qa p q a q ，令nn n a b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解．例、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 n a n )+1，令b n =2 n a n ，则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3） 易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =n n 2332+-． 练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ．答案：31()222nn a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--，∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件， 得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B +-=，解得A=－4，B=6，所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+， ∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462n n a n -=+-． 点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解． 练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ． 答案：a n nn -+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A=－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n-+=69912·()． (4) f(n)为非等差数列，非等比数列法一、构造等差数列法例、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+． 练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。
求数列通项公式的常见类型及方法
ZHON GXUE JIA OX UE CA NKAO解题方法与技巧69E-mail:zxjxcklk@求数列通项公式的常见类型及方法广西崇左市高级中学(532200) 农芳棉数列是高中数学的重要内容之一,也是历年高考的重点和热点内容,而数列推理题是新出现的命题热点,它主要是以等差数列和等比数列为载体,以数列的通项为主线的试题出现.因此在高考复习中掌握一些简单常见的数列求通项的策略很有必要.现将求数列通项公式的常见类型及其方法归纳如下.一、已知数列的前几项,求其通项公式根据数列前几项求数列通项公式应掌握几种技巧:(1)符号规律,若各项符号为正负相间时,则必有(-1)n 或(-1)n +1因式;(2)乘方规律,即每一项都与同一个数的乘方有密切关系;(3)分式中分子分母的特征;(4)拆项后的特征.找规律时,要看给出的项的分子分母有什么变化规律,可以适当变形,使它们的结构变得一致,再用含n 的式子表示出来.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着 从特殊到一般 的思想,由不完全归纳法得出的结果是不可靠的,若根据数列前几项求数列通项公式出现在选择题,要注意代值检验,若出现在解答题就用完全归纳法来证明它的正确性.!例1∀ 根据下面各数列的前几项的值写出数列的一个通项公式:(1)1,13,935,1763,3399,#;(2)-3,2,-5,3,-7,4,#(3)1,3,7,15,31,#解:(1)将数列写成:31∃3,53∃5,95∃7,177∃9,339∃11,观察分子分母与项数n 之间的联系,易知其通项公式为a n =2n +1(2n -1)(2n +1).(2)这是一个与(-1)n有关的数列,可将数列写成-37,410,-513,616,-719,822,#,可知分母组成以3为公差的等差数列,分子组成以3为首项、1为公差的等差数列,因此其通项公式为a n =(-1)n n +23m +4;(3)考虑数列的差分数列{a n +1-a n }.a 2-a 1=2,a 3-a 2=4,a 4-a 3=8,#,a n -a n -1=2n -1.将这n -1个式累加,得a n -a 1=2+22+23+#+2n -1=2n -2,所以a n =2n -1.二、已知数列的前n 项和S n 的关系式,求数列的通项公式a n利用S n 与a n 的关系式a n =S 1(n =1);S n -S n -1(n %2),求通项a n ,!例2∀ 已知数列{a n }的前项和S n =n 2-13n -1,求数列的通项公式a n .解:当n =1时,a 1=S 1=12-13∃1-1=-13;当n %2时,a n =S n -S n -1=n 2-13n -1-(n -1)2+13n +1=2n -14.验证:当n =1时,a 1=2∃1-14=-12&S 1,所以a n =-13(n =1);2n -14(n %2).解此类题目应注意:当n =1时,a 1若适合S n -S n -1,则n =1的情况可并入n %2时的通项a n ;当n =1时,a 1若不适合S n -S n -1,则用分段函数的形式表示.三、已知数列的前项和S n 和通项a n 的关系式,求数列的通项公式a n利用S n 与a n 的关系式a n =S 1(n =1),S n -S n -1(n %2),求通项a n ,若a n 和S n 在一个等式中,一般可利用a n 与S n 的关系消去a n 或S n ,构造关于{S n }或{a n }的递推公式,再进一步确定a n 与S n .!例3∀ 数列{a n }的前n 项和S n =1+2a n ,求其通项公式a n .解:∋S n =1+2a n ,(a n =S n -S n -1=1+2a n -1-2a n -1.(-a n =-2a n -1.(a n a n -1=2(n %2).又a 1=S 1=1+2a 1,(a 1=-1,(数列是以-1为首项,2为公比的等比数列.(a n =(-1)∃2n -1=-2n -1.四、已知数列{a n }的递推关系,求其通项公式(1)若已知数列的递推关系形如a n +1=a n +f (n),其中{f (n)}的前n 项可求和.此种类型的数列求其通项公式a n 时,采取累加法.!例4∀ 在数列{a n }中已知a 1=1,a n +1=a n +n,求其通项a n .解:∋a n +1=a n +n,(a n +1-a n =n,(a 2-a 1=1,a 3-a 2=2,a 4-a 3=3,#(a n -a n -1=n -1.把这n -1个等式两边分别相加,得a n -a 1=1+2+3+#+n =n(1+n)2,(a n =n 2+n +22.(2)若已知数列的递推关系形如a n +1=g(n)a n ,其中{g(n)}的前n 项的乘积容易化简.此种类型的数列求其中学教学参考解题方法与技巧70(中旬)2009.6总第17期通项公式a n 时,采取累乘法.!例5∀ 在数列{a n }中,已知a n +1=n +2n a n ,a 1=4,求其通项a n .解:∋a n +1=n a n ,a 1=4,(n +1a n =n.(a 21=3,a 32=4,a 43=5,#,a n -1n -2=n ,a nn -1=n -1.(a 2a 1∃a 3a 2∃a 4a 3∃a 5a 4∃#∃a n -2a n -3∃a n -1a n -2∃a n a n -1=31∃2∃3∃4∃#∃n -3∃n -2∃n -1.(a n a 1=1∃2.(a n =2n(n +1).当n =1时,此式也得a 1=4.(a n =2n(n +1).(3)若已知数列的递推关系形如a n +1=c ∃a n +d(c,d 为常数),求其通项a n 常用构造新数列法.因为形式像直线方程y =kx +b,所以可以考虑变形为点斜式y -m =k(x -m)的形式,即a n +1+m =c(a n +m),构造出新等比数列{a n +m}.!例6∀ 在数列{a n }中,已知a 1=3,a n +1=2a n +3,求其通项a n .解:∋a n +1=2a n +3,设其变形为a n +1+m =2(a n +m),再展开得a n +1=2a n +m,要等于2a n +3,所以m =3.(构造新数列{a n +3},且此数列是以a 1+3为首项,2为公比的等比数列.(a n +3=(a 1+3)2n -1=6∃2n -1.(a n =6∃2n -1-3.(4)若已知数列的递推关系形如a n +1=c ∃a n +f (n)(c 为常数),求其通项a n 也可用构造新数列法.!例7∀ 在数列{a n }中已知a 1=1,a n +1=2a n +n,求其通项a n .解:由例6的思想,将a n +1=2a n +n 恒等变形为(a n +1+n +1)=2(a n +n)+1,此式子又可看成新数列{a n +n}的递推关系.令b n =a n +n,则有b n +1=2b n +1,此式又形如例6,令b n +1+1=2(b n +1),所以新数列{b n +1}是以b 1+1为首项、2为公比的等比数列,所以b n +1=(b 1+1)2n -1,又b 1+1=a 1+1+1=3,所以b n =3∃2n -1-1,所以a n =3∃2n -1-n -1.(5)若已知数列的递推关系形如a n +1=p a n +rq n(p&q,q &0,r &0),常转化为求以p 为公比的等比数列{a n +p -qq n}的通项来解决,当p =q 时,则转化为求以q 为公差的等差数列{a nq}的通项来解决.!例8∀ 在数列{a n }中,已知a 1=2,a n +1= a n +n +1+(2- )2n,n )N +, >0,求其通项a n .解:由a n +1= a n + n +1+(2- )2n = a n + n +1+2n +1- ∃2n,两边同时除以 n +1得a n +1n +1=a n n +1+n +1n +1-nn ,即(a n +1-a n +1)-(a n -2n)=1.所以数列{a n n -n n }是以a 1-=0为首项、1为公差的等差数列.所以n -n n =n -1,所以a n =(n -1) n +2n.(6)若已知数列的递推关系形如ba n +1+ca n a n +1-da n =0,则采取等式两边除以a n a n +1,得a n -a n +1=-c,令b n =a n ,则变为b n +1=d b n +d,则又变为类型(3),故解法同类型(3).!例9∀ 已知数列{a n }的首项a 1=35,a n +1=3a n2a n +1,n )N +,求{a n }的通项公式.解:由a n +1=3a n2a n +1,得a n +1+2a n a n +1-3a n =0,即a n +1=3∃a n +3.令b n =a n,则数列{b n }的递推关系为b n +1=13∃b n +23,此时解法与类型(3)一样,故数列b n +1-1=13(b n -1).所以数列{b n -1}是以b 1-1=1a 1-1=23为首项,3为公比的等比数列.所以b 1-1=a 1-1=3(3)n -1,所以a n =n3n +2.(7)若已知数列的递推关系形如a n +1=p (a n )r (p ,r 为常数,且p >0,a n >0),求a n 时常采用递推关系式两边取对数的方法.!例10∀ 已知数列{a n }的首项a 1=3,a n +1=3a 2n ,求{a n }的通项公式.解:由a n +1=3a 2n 得lg a n +1=lg3a 2n =lg3+2lg a n ,令b n=lg a n ,则b n +1=2b n +lg3,此时解法与类型(3)一样,所以b n +1+lg3=2(b n +lg3),所以数列{b n +lg3}为等比数列,所以b n +lg3=2n -1∃2lg3=2nlg3,所以a n =32n-1.由以上几种类型可知,在处理数列的递推关系问题时,化归转化是重要的数学思想方法之一,如果我们能将复杂的递推关系转化为简单的递推关系,尤其转化为等差等比数列的递推关系,就能使得问题迎刃而解.(责任编辑:金 铃)。
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求数列通项公式的方法本文章总结了求数列通项公式的几种常见的方法，分别有：公式法，累加法，累乘法，待定系数法，对数变换法，迭代法，数学归纳法，换元法。
希望对大家有所帮助~~~ 关键字：数列，通项公式，方法 一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n na n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2nna 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231nn n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.nn a n =+-评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为1231nn n a a +-=⨯+，进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
例4 已知数列{}n a 满足1132313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 112232112232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1333333n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯， 则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 评注：本题解题的关键是把递推关系式13231nn n a a +=+⨯+转化为111213333n n n n n a a +++-=+，进而求出112232111122321()()()()333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+，即得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。
三、累乘法例5 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nn n a n a +=+⨯转化为12(1)5n n na n a +=+，进而求出13211221n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。
例6已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥①所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+②用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥故11(2)n na n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=③由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=。
所以，{}n a 的通项公式为!.2n n a =评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为11(2)n na n n a +=+≥，进而求出132122n n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
四、待定系数法例7 已知数列{}n a 满足112356nn n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设1152(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯④将1235nn n a a +=+⨯代入④式，得12355225n n n n n a x a x ++⨯+⨯=+⨯，等式两边消去2n a ，得135525n n n x x +⋅+⋅=⋅，两边除以5n ，得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-⑤由1156510a -=-=≠及⑤式得50nn a -≠，则11525n n nn a a ++-=-，则数列{5}n n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n nn a -=+。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1235nn n a a +=+⨯转化为1152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}nn a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
例8 已知数列{}n a 满足1135241nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设1123(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+⑥将13524nn n a a +=+⨯+代入⑥式，得1352423(2)n n n n n a x y a x y ++⨯++⨯+=+⨯+整理得(52)24323nnx y x y +⨯++=⨯+。
令52343x x y y +=⎧⎨+=⎩，则52x y =⎧⎨=⎩，代入⑥式得115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+⑦由11522112130a +⨯+=+=≠及⑦式，得5220nn a +⨯+≠，则115223522n n nn a a +++⨯+=+⨯+， 故数列{522}n n a +⨯+是以1152211213a +⨯+=+=为首项，以3为公比的等比数列，因此1522133n n n a -+⨯+=⨯，则1133522n n n a -=⨯-⨯-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+⨯+转化为115223(522)n nn n a a +++⨯+=+⨯+，从而可知数列{522}n n a +⨯+是等比数列，进而求出数列{522}nn a +⨯+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。
例9 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ ⑧将212345n n a a n n +=+++代入⑧式，得2222345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++，则 222(3)(24)(5)2222n n a x n x y n x y z a xn yn z +++++++++=+++等式两边消去2n a ，得22(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++，解方程组3224252x x x y y x y z z +=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，则31018x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，代入⑧式，得2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ ⑨由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠及⑨式，得2310180n a n n +++≠则2123(1)10(1)18231018n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +⨯+⨯+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=⨯，则42231018n n a n n +=---。