03-5 计算固有频率的近似法解读
固有频率参数的理解
固有频率参数的理解固有频率是由物体的质量、刚度和几何形状等因素决定的。
物体的质量越大，刚度越高，几何形状越薄，则固有频率越高。
在理论上，固有频率可以通过求解振动系统的运动方程来得到，而在实际工程中，可以通过测量物体的振动响应来计算。
固有频率的计算是通过求解下面的固有频率方程得到的：ωn=2πf=√(k/m)其中，ωn为固有角频率，f为固有频率，k为系统的刚度，m为系统的质量。
1.物体的固有频率代表了物体本身的固有振动模式。
对于一个简谐振动系统，固有频率是系统能够自由振动的频率。
物体的不同频率分量会以不同的振动模态表现出来，而固有频率即为物体不同振动模态对应的频率。
2.固有频率可以用于设计和分析振动系统。
在机械工程、土木工程、航空航天等领域中，固有频率参数是设计和分析振动系统性能的重要依据。
通过准确估计固有频率，可以确定振动系统的稳定性和共振情况，并对系统的振动特性进行优化。
3.固有频率决定了物体的共振特性。
当外界激励频率接近物体的固有频率时，物体很容易发生共振现象。
共振会导致物体振幅增大，造成系统失稳和破坏。
因此，在设计实际工程中，需要避免共振频率接近工作频率，以确保系统的稳定性。
4.固有频率参数对于结构的安全性和寿命预测具有重要意义。
通过准确测量分析结构的固有频率，可以了解结构在振动加载下的响应，判断结构的稳定性和耐久性，并进行相应的调整和改进，以保证结构的正常运行和使用寿命。
5.固有频率可用于模态分析。
模态分析是通过测量和分析物体的振动响应，确定物体振动模态及其对应的固有频率和振型。
模态分析在工程设计、故障诊断和结构优化等方面具有广泛应用，可以为优化结构设计和振动控制提供依据。
总之，固有频率参数是描述物体振动特性的重要参数，具有极其重要的理论和应用价值。
通过对固有频率的理解和研究，可以为振动系统的设计、分析和控制提供科学依据和方法。
固有频率的计算范文
固有频率的计算范文固有频率是一个物体或系统在没有外力作用下自由振动的频率。
固有频率的计算可以通过简单的物理公式和数学运算来实现。
下面是一个计算固有频率的范文，介绍了固有频率的概念、计算方法以及一些实际应用。
一、引言固有频率是物理学中的一个重要概念，它描述了一个物体或系统在没有外力作用下自由振动的频率。
固有频率对于理解和研究物体的振动特性具有重要意义，因此固有频率的计算是物理学和工程学中的一个基本技能。
二、固有频率的概念固有频率指的是一个物体或系统在没有外力作用下自由振动的频率。
在固有频率下，物体或系统将以最大振幅进行振动，并且不受任何外界扰动的影响。
固有频率是由物体的质量和弹性特性所决定的，因此不同的物体或系统具有不同的固有频率。
三、计算固有频率的方法1.简谐振动的固有频率对于一个简谐振动的物体或系统，其固有频率可以通过以下公式来计算：f=1/(2π)*√(k/m)其中，f表示固有频率，k表示弹性系数，m表示质量。
2.非简谐振动的固有频率对于一个非简谐振动的物体或系统，其固有频率的计算较为复杂，需要利用数值计算或数学模型来进行求解。
这通常涉及到微分方程、数值积分等高级数学技术。
四、固有频率的应用1.测量物体的固有频率固有频率可以用来评估物体的弹性特性和结构稳定性。
通过测量物体的固有频率，可以了解到物体的振动特性，从而对物体的结构和性能进行评估。
2.振动系统的设计和优化在工程学中，固有频率的计算对于振动系统的设计和优化具有重要意义。
通过合理选择和设计材料、减震措施等，可以提高振动系统的固有频率，从而降低系统的振动幅度。
3.振动传感器的选择在传感器的选择和应用中，固有频率的计算可以帮助工程师选取合适的振动传感器。
传感器的固有频率应该与被测物体的固有频率相匹配，从而能够准确测量振动信号。
五、结论固有频率的计算在物理学和工程学中具有重要意义。
通过计算固有频率，可以评估物体的振动特性和结构稳定性，对振动系统进行设计和优化，以及选择合适的振动传感器。
什么是固有频率？
什么是固有频率？从事振动噪声等NVH领域工作，即使不是NVH领域，如桥梁动态检测等等其他领域，也需要与结构的固有频率打交道。
那什么是固有频率；为什么结构有如此多“阶”固有频率；它与共振频率又有什么区别和联系；避免共振时，激励频率应离固有频率多远等等这些问题，您都清楚吗？本文主要内容包括：1. 固有频率的定义；2. 影响因素；3. 为什么存在多阶固有频率；4. 主频和基频；5.与共振频率的区别与联系；6. 避免共振，激励频率须离固有频率多远？1. 固有频率的定义结构系统在受到外界激励产生运动时，将按特定频率发生自然振动，这个特定的频率被称为结构的固有频率，通常一个结构有很多个固有频率。
固有频率与外界激励没有关系，是结构的一种固有属性。
不管外界有没有对结构进行激励，结构的固有频率都是存在的，只是当外界有激励时，结构是按固有频率产生振动响应的。
对于无阻尼单自由系统而言，如下图所示，固有频率计算公式定义如下：单位为Hz，表示一秒钟振动循环次数。
也可以用圆频率（也称角频率）来表示固有频率，公式如下：单位为rad/s。
在这考虑的是无阻尼的情况，因此，获得的固有频率为无阻尼固有频率。
对于一般性结构系统而言，如下图所示，都是有阻尼的，因此它的固有频率为有阻尼固有频率。
无阻尼固有频率与有阻尼固有频率的关系如下：假设阻尼比ξ=10%，则ωd=0.99499ωn，因此，阻尼对结构的固有频率影响不大，更何况现实世界中，除了含有主动阻尼机制的结构外，如减振器，一般结构的阻尼比都远小于10%。
通常现实世界中测试所得到的固有频率都是有阻尼固有频率。
以下没有特殊说明时，都是指有阻尼固有频率。
2. 影响因素从上面的公式我们可以看出，结构的固有频率只受刚度分布和质量分布的影响，而阻尼对固有频率的影响非常有限。
而在百度百科中说固有频率受形状、材质的影响，我也只能呵呵了。
材质不同，其材料属性（密度、杨氏模量和泊松比等）不同，影响的最终参数还是质量和刚度,而形状不同,影响也是这两个参数。
第八节计算固有频率的近似方法
第八节 计算固有频率的近似方法（教材6.16）在工程问题中，许多情况只需求出系统最低几阶固有频率。
在这种情况下，可以应用近似方法直接求出系统的固有频率。
一、 瑞利（Rayleigh ）法由振型正交性知，系统的第i 阶固有频率的平方为{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Tii i niT i i iu k u K i n M u M u ω=== （a ）式中 {}i u 是第i 阶振型向量。
Rayleigh 法是根据系统的条件，事先选取一个任意向量{}u 作为系统的第i 阶振型向量，代入式（a ），计算与此假定振型向量相应的频率的平方，用2R ω表示，即{}[]{}{}[]{}2TRTu k u u M u ω= （6-70） 上式右端称为Rayleigh 商，频率R ω称为Rayleigh 频率。
讨论：1. 从理论上讲，方程（6-70）适用于求系统的各阶固有频率。
但实际上，因为关于系统的高阶振型向量很难作出合理假设，所以上式往往只有用于估算系统的第一阶固有频率1n ω时才是切实可行的。
因此，若任选的振型向量{}u 恰好是系统的第一阶振型向量{}1u ，则Rayleigh 商就是对应的系统的第一阶固有频率1n ω，即1R n ωω=若所选的阵型{}u 不是系统的第一阶振型向量{}1u ，则Rayleigh 商是系统的第一阶固有频率1n ω的估值，即1R n ωω≈证：系统的n 个正则振型向量{}{}{}12,,,n ϕϕϕ是n 维空间的一个基。
则由线性代数知，该空间的任一向量都可由正则振型向量的线性组合来表示，即{}{}{}{}[]{}1212n n u c c c c ϕϕϕϕ=+++=式中12,,,c n c c 是任意常数。
把上式代入方程（6-70），得{}[][][]{}{}[][][]{}{}[]{}{}{}22222221122222122222222222211111222221111TTTRT T Tn n n nn n n n nn n n n n c k c c c c M c c c c c c c c c c c c c c c c c ωωωωωωωωωΦΦΛ==ΦΦ+++=++++++=+++ （b ）若任选的振型向量{}u 是系统的第一阶振型向量{}1u ，则 23=c 0n c c ===，故1R n ωω=若所选的阵型{}u 不是系统的第一阶振型向量{}1u ，但接近于系统的第一阶振型向量{}1u ，则1(2,3,,)ic c i n >=利用泰勒公式，由方程（b ），得2222222221122221111111n n nn R n n n n c c c c ωωωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫≈+-++-≈⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦2. 用Rayleigh 商估算系统的第一阶固有频率1n ω时，总是给出系统的第一阶固有频率1n ω的上限估值，即1R n ωω≥证：由方程（b ），得22222222222211111222221111n n nn n n R n n c c c c c c c c ωωωωωω+++=+++ ∵ 1(2,3,,)ni n i n ωω>=∴ 222222111(2,3,,)i n i i n c c i n c cωω>= 故上式的分式大于1，所以1R n ωω>例题: 图示系统，已知：123m m m m ===，123k k k k ===。
固有频率的计算方法
固有频率的计算方法
那什么是固有频率呢？简单说呀，就像是一个物体它自己天生就有的一种振动频率。
比如说，你拿个小弹簧，它在那晃悠的时候，就有个它自己特有的频率，这就是固有频率啦。
对于一些简单的系统，像单自由度弹簧 - 质量系统，计算固有频率就不是特别难哦。
这个系统里呀，固有频率和弹簧的劲度系数k还有质量m有关。
它的计算公式是ω = √(k / m)，这里的ω就是固有角频率啦。
你可以想象一下，弹簧硬邦邦的（k 大），质量又小，那它晃悠起来就会快快的，固有频率就高。
要是弹簧软软的，质量又很大，那晃悠起来就慢悠悠的，固有频率就低。
再说说弦振动的固有频率计算呢。
这就和弦的长度L、张力T还有线密度ρ有关啦。
它的频率公式是f = (n / 2L)×√(T / ρ)，这里的n是正整数，代表着振动的模式。
就好像弦在那弹奏的时候，不同的振动模式就有不同的固有频率，就像吉他弦，你按不同的地方，它发出的音高就不一样，这就是因为改变了弦的有效长度之类的，导致固有频率变了。
对于一些复杂的结构呢，计算就比较麻烦啦。
有时候得用到有限元分析这种高大上的方法。
不过原理也还是和那些简单系统有点联系的。
比如说一个复杂的机械结构，它可以看成是好多小的部分组成的，每个小部分都有点像咱们前面说的弹簧 - 质量系统。
然后通过一些复杂的数学计算和模拟，就能算出这个复杂结构的固有频率啦。
固有频率影响因素相关公式
固有频率影响因素相关公式固有频率是指一个物体在没有外界干扰下自然振动的频率。
它是由物体的质量、弹性系数和几何形状等因素决定的。
在工程设计和研究中，对固有频率的分析对于了解物体的振动特性以及预防共振等问题非常重要。
下面，将介绍几种常见的固有频率影响因素相关的公式。
1.杆件的固有频率：杆件的固有频率与杆件的长度和弯曲刚度相关。
杆件的固有频率可以通过以下公式计算：f=(1/2π)*(√(EI/ρA))*(m/L^2)其中，f是固有频率，E是弹性模量，I是截面惯性矩，ρ是杆件的密度，A是截面面积，m是杆件的质量，L是杆件的长度。
2.简谐振子的固有频率：简谐振子是一个理想化的振动系统，它的固有频率只与它的质量和弹性系数有关。
简谐振子的固有频率可以通过以下公式计算：f=(1/2π)*(√(k/m))其中，f是固有频率，k是系统的弹性系数，m是系统的质量。
3.平面结构的固有频率：平面结构的固有频率与结构的刚度矩阵和质量矩阵有关。
平面结构的固有频率可以通过以下公式计算：K*X=ω^2*M*X其中，K和M分别是结构的刚度矩阵和质量矩阵，X是结构的振动模态矢量，ω是固有频率。
4.悬臂梁的固有频率：悬臂梁是一种常见的结构，在分析其固有频率时，需要考虑梁的长度、质量和截面形状等因素。
悬臂梁的固有频率可以通过以下公式计算：f=1.875^2*(E*I/(ρ*A*L^4))其中，f是固有频率，E是弹性模量，I是截面惯性矩，ρ是梁的密度，A是梁的截面面积，L是梁的长度。
以上所介绍的公式是几种常见的固有频率影响因素的相关公式。
它们可以用来计算不同类型物体的固有频率，并且可以帮助工程师和研究人员了解和分析物体振动的特性。
通过对固有频率的研究和分析，可以根据具体情况来优化设计，预防共振等振动问题的发生。
电机固有频率计算公式
电机固有频率计算公式电机固有频率是指电机自身在无负载情况下的振动频率。
它是电机的固有特性之一，对电机的运行稳定性和可靠性具有重要影响。
在工程设计和电机维护中，准确计算电机的固有频率是非常重要的。
本文将介绍电机固有频率的计算公式及其相关内容。
电机固有频率的计算公式如下：f = (1/2π) * √(k/m)其中，f表示电机的固有频率，k表示电机的刚度，m表示电机的质量。
电机的刚度是指电机在受力作用下的变形程度。
它与电机的结构和材料有关。
刚度越大，电机的固有频率就越高。
电机的质量是指电机的重量，质量越大，固有频率越低。
通过上述公式，我们可以看出，电机的固有频率与电机的刚度和质量有关。
在实际工程中，我们可以通过测量电机的刚度和质量来计算电机的固有频率。
一般来说，电机的刚度可以通过有限元分析或实验测量获得，而电机的质量可以通过称重或设计参数获得。
电机的固有频率对电机的运行稳定性和可靠性具有重要影响。
当电机的工作频率接近或超过其固有频率时，电机会发生共振现象，导致电机振动过大甚至损坏。
因此，在电机的设计和运行过程中，需要合理计算和控制电机的固有频率，以确保电机的正常运行。
在实际应用中，我们可以通过以下几个步骤来计算电机的固有频率：1. 确定电机的刚度：通过有限元分析或实验测量获得电机的刚度值。
2. 确定电机的质量：通过称重或设计参数获得电机的质量值。
3. 计算电机的固有频率：根据上述公式，将电机的刚度和质量代入公式中，计算得到电机的固有频率。
4. 分析固有频率与工作频率的关系：将电机的固有频率与工作频率进行比较，确保工作频率不接近或超过电机的固有频率，以避免共振现象的发生。
需要注意的是，电机的固有频率是一个重要参数，但并不是唯一影响电机运行稳定性和可靠性的因素。
在实际应用中，还需要综合考虑电机的工作环境、负载特性等因素，以确保电机的正常运行。
电机固有频率的计算公式是通过刚度和质量来计算电机的固有频率。
电机的固有频率对电机的运行稳定性和可靠性具有重要影响。
03-5 计算固有频率的近似法.
计算固有频率的近似方法
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
d 2Y ( x) 例如：梁横向振动的 d 2 2 EJ ( x ) ( x) A( x)Y ( x) 0 2 2 dx dx 振型函数方程为
U max d Y x 1 L EJ x dx 2 0 2 d x
2 2
2
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L 0
d X x dX xi 2 EJ x dx ki X xi k i 2 d x d x i 1 i 1
2 2 n n
2
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x A x X
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
★当梁上有集中质量，在计算动能时应计入集中质量的
动能。若在xi(i=1,2,…,n)处有集中质量mi (i=1,2,…,n) ，则 梁的最大动能为
2 0 2 i1 ★当梁上xi(i=1,2,…,n)处有刚度ki(i=1,2,…,n)和扭转刚度 ki(i=1,2,…,n)的弹性支承时，则梁的最大势能为 Tmax
2
★根据机械能守恒定 律 Tmax U max 得
2
U max * T
固有频率 计算公式
固有频率计算公式在我们的物理世界中，固有频率可是一个相当重要的概念，而与之紧密相连的就是固有频率的计算公式啦。
先来说说啥是固有频率。
想象一下，你有一个秋千，你轻轻推它一下，它就会按照一定的节奏来回摆动，这个节奏就是秋千的固有频率。
再比如一把吉他的弦，当你拨动它，它也会以一种特定的频率振动发声，这也是它的固有频率。
固有频率的计算公式呢，对于不同的物理系统会有所不同。
咱们先从最简单的弹簧振子说起。
弹簧振子的固有频率公式是f = 1 / (2π) ×√(k / m) ，这里的 f 就是固有频率，k 是弹簧的劲度系数，m 是振子的质量。
我给你讲讲我之前的一个经历。
有一次我在课堂上给学生们讲解这个公式，有个特别调皮的学生就问我：“老师，这公式有啥用啊？难道我以后去荡秋千还得算一算它的固有频率？”当时全班都哄堂大笑。
我笑着回答他：“你可别小瞧这个公式，虽然咱们平常荡秋千可能用不上，但在很多工程领域，比如桥梁设计、机械制造，那可是非常关键的。
”我接着给他举了个例子，“假如一座桥的固有频率和经过车辆产生的振动频率接近，那就可能发生共振，桥就有可能出危险啦。
”咱们再来说说单摆的固有频率。
单摆的固有频率公式是f = 1 / (2π)× √(g / l) ，这里的 g 是重力加速度，l 是单摆的摆长。
我记得有一次带着学生们去实验室做单摆实验。
大家都兴致勃勃地摆弄着器材，测量摆长，记录时间。
有个小组的同学怎么都测不准数据，急得满头大汗。
我走过去一看，原来是他们的摆长测量有误差，绳子没有拉直。
我帮他们纠正了错误，最后他们成功算出了单摆的固有频率，那种兴奋劲儿，别提多有成就感了。
在实际生活中，固有频率的应用可多了去了。
比如建筑物要避免与地震波的频率接近，不然在地震时就容易遭到严重破坏。
还有各种乐器的设计，通过调整琴弦的长度、粗细和张力，来改变固有频率，从而发出美妙的音乐。
总之，固有频率的计算公式虽然看起来有点复杂，但它在我们理解和解释物理现象，以及在实际的工程和技术应用中，都发挥着极其重要的作用。
第八节计算固有频率的近似方法
第八节计算固有频率的近似方法固有频率是指一个物体在没有外部力作用下自然振动的频率。
在实际的物理系统中，计算固有频率往往需要进行繁琐的数学分析，但有时候我们可以使用一些近似方法来简化计算过程。
本文将介绍几种常用的计算固有频率的近似方法。
1.简化质点模型简化质点模型适用于质量均匀分布的物体，并且不考虑物体的形状和结构。
在这种情况下，我们可以将物体看作一个质点，只考虑它的质量和弹性系数。
根据胡克定律，固有频率可以表示为：f=1/(2π)*√(k/m)其中f为固有频率，k为弹性系数，m为质量。
这种方法通常适用于单自由度振动系统，如弹簧振子、单摆等。
2.近似几何模型近似几何模型适用于具有简单几何形状的物体，例如长方体、圆柱体等。
在这种情况下，我们可以使用几何特性来估计物体的固有频率。
具体方法如下：(1)将物体分解为连续的小元素，并计算每个小元素的固有频率；(2)将每个小元素的固有频率进行加权平均，得到整个物体的固有频率。
3.有限元法有限元法是一种常用的工程分析方法，适用于复杂的结构和形状。
它将物体离散为有限个小单元，然后应用力学方程计算每个小单元的振动情况。
最后，通过对所有小单元进行组合，得到整个物体的固有频率。
4.数值模拟方法数值模拟方法适用于复杂的物体，但要求对物体有较为准确的物理特性参数。
这种方法通常使用计算机程序对物体进行模拟，通过求解振动方程的数值解来估计固有频率。
数值模拟方法能够考虑物体的形状、结构等复杂特性，并且可以得到高精度的结果。
在实际工程和科学研究中，固有频率的计算往往需要综合运用上述方法，并根据具体情况选择合适的近似方法。
这些方法都有各自的优点和局限性，需要根据具体问题来灵活运用，并进行验证和修正。
此外，还需要注意的是，固有频率是一个理论模型，忽略了实际系统中的各种非理想因素，因此计算结果只是理论近似值，需要进行实验验证。
综上所述，计算固有频率的近似方法有简化质点模型、近似几何模型、有限元法和数值模拟方法等。
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2
L 0
d X x dX xi 2 EJ x dx ki X xi k i 2 d x d x i 1 i 1
2 2 n n
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x A x X
数Y(x)，它满足梁的边界条件，则梁在振动过程中任一 瞬时的位移、速度为
y x, t Y x sin t y x, t Y x cos t t
★不考虑转动惯量和剪切变形的影响，动能和势能为
2 y x, t 1 L T t x A x dx 0 2 t 2 2 y x, t 1 L dx U t 0 EJ x 2 2 x
2
★根据机械能守恒定 律 Tmax U max 得
2
U max 2 dx L x A x Y 2 x dx
上式表明，当所假设振型函数 Y(x)恰好是某一阶实际振型函数 时，即可计算出该阶固有频率的精确解。 事实上，由于不能预知各阶实际的振型函数，一般只能近似地 给出第一阶振型函数。因此，瑞利法只适用于估算基频。
对于变截面梁的弯曲振动，阵型函数为变系 数四阶常微分方程，一般无法求得解析解！
★在工程实际问题中，存在大量的质量和刚度不均匀分布的连续 系统的振动问题，由于一般无法得到精确的解析解，因此近似计 算方法就成为工程实际问题中十分重要解法。 ★无论是有限自由度系统还是无限自由度系统，当以某一特定的 振动形状作自由振动时，该系统就在各点平衡位置附近以自振频 率作简谐运动。
★求连续系统固有频率常用的近似方法： 瑞利法；瑞利—里兹法； 假定振型法
3.7.1 瑞利法
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瑞利法 ( 能量法 ) 就是根据机械能守恒定律得到的计 算基频的近似方法，它不仅适用于离散系统，同样也适 用于连续系统。 根据能量守恒原理，对于保守系统其总能量是常 数，故最大动能Tmax和最大势能Umax应相等，即
L 2 2 * ★ 在静平 衡位置 ， T x A x Y x d x T max 2 0 梁具有最大动能 1 L * T x A x Y 2 x dx —称为参考动能。 2 0 2 2 d Y x 1 L ★在偏离平衡位置最 U EJ x dx max 2 0 2 远距离处，梁具有最 dx 2 2 大弹性势能 L d Y x
n n
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★在假设第一阶振型函数时，应尽量接近实际振型。例 如，有一试探振型函数 X(x)，满足边界条件，同时具有 各阶导数。 ★若用X(x)代替上述公式中的Y(x)，则得梁弯曲振动的 瑞利商
3.7
计算固有频率的近似方法
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d 2Y ( x) 例如：梁横向振动的 d 2 2 EJ ( x ) ( x) A( x)Y ( x) 0 2 2 dx dx 振型函数方程为
Tmax U max
对于任何一个连续系统，只要近似地给出一个满 足边界条件的第一阶振型函数，并获得系统的动能和势 能，就可对基频进行估算。
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★如果梁以某一阶固有频率作固有振动，设梁的振型函
y x, t 1 L y x, t Y x cos t T t 0 x A x dx 2 t t
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U max d Y x 1 L EJ x dx 2 0 2 d x
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x A x Y 2 x dx
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dY xi 1 1 2 kiY xi k i 2 i 1 2 i 1 dx
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★当梁上有集中质量，在计算动能时应计入集中质量的
动能。若在xi(i=1,2,…,n)处有集中质量mi (i=1,2,…,n) ，则 梁的最大动能为
2 0 2 i1 ★当梁上xi(i=1,2,…,n)处有刚度ki(i=1,2,…,n)和扭转刚度 ki(i=1,2,…,n)的弹性支承时，则梁的最大势能为 Tmax
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x dx mi X 2 xi
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★瑞利商R(X)为一个泛函，它决定于试探函数X(x)。 ★由于准确确定高阶试探函数存在困难，通常选用静挠 度曲线作为第一阶振型函数的试探函数，计算系统基频 的近似值。 ★可以证明，如果试探函数 X(x) 与系统振型函数 Y(x) 相 差一阶小量，则瑞利商基频近似值与精确值之间相差二 阶小量。