[兰州大学]兰州大学2015年数学分析考研试题及解答
2015年考研数学一真题及答案解析
2015年考研数学一真题及答案解析22015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2(D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.3(2)设211()23=+-xxy ex e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=xy ay by ce 的一个特解，则( )(A) 3,2,1=-==-a b c(B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c(D)3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212xe 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32xy y y ce '''-+=，再将特解xy xe =代入得1c =-.故选45y x=，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰( )(A) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰(C) ()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D) ()34cos ,sin d f r r drππθθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D 的图形，6所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰sin 23142sin 2(cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D),a d ∈Ω∈Ω【答案】D 【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，7由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。
2015年考研数学一真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212xe 、为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数条件收敛，则 =x 3=x 依次为幂级数的 ( )(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。
2015考研数一真题答案及详细解析
(8) D
解 因为X,Y不相关，所以Cov(X,Y) =E(XY) =EX• EY=O, 即E(XY)=EX• EY, 则E[X(X +Y — 2)] =E(X2 + XY-2X) =E(X2 ) +E(XY) — 2EX
=[DX+ (EX) 2 ] +EX• EY-2EX=5.
二、填空题
(9)
——
(6) A 解
�m� Q =P[�
�1�)
又因为 所以
_J, pTAP{ 1
（1
QT A Q
。 一。 ff[� �ff ( 1
＿
0
＼0
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2
2
_J[ rJ[ 三J[ 1
王子
)[
J
玄�l子 �
-1
故应选A.
(7) C
解 对于A,B选项：
P{XY — Y<O}=P{(X —l)Y<O}
=P{X — 1 <O,Y> O}+P{X -1 > O,Y<O}
=P{X — 1 <O} P{Y> O}+P{X —1 > O} P{Y<O}
=- 1 X- 1 +- 1 X- 1 =-1 2 2 2 2 2·
三、解答题
+ + (15)解
由于ln(l +x) =x
(2 ) A
解
由题设条件知，Y1 = — e幻 , Y2 = —— ex 是已知二阶常系数非齐次线性微分方程所对应
2015年考研数学一真题及答案
求 a ， b ， k 值。
【考点】等价无穷小量，极限的计算 【难易度】★★★
【详解】 f (x) x a ln(1 x) bx ×sin x
e
x
是二阶常系数非齐次线性微分方程
y
ay
by
ce x
的一个特解，
则（）
（A） a 3,b 1,c 1.
（B） a 3,b 2,c 1.
（C） a 3,b 2,c 1.
（D） a 3,b 2,c 1.
【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★
【 详 解 】 1 e2x , 1 ex 为 齐 次 方 程 的 解 ， 所 以 2 、 1 为 特 征 方 程 2 +a b 0 的 根 ， 从 而 23
【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★
2 0 0
【详解】由 x Py ，故
f
xT Ax
yT
(PT
AP ) y
2 y 12
y
2 2
y
2 3
且：
PT
AP
0
1
0
0 0 1
3
1 0 0
2 0 0
Q P 0 0 1 PC,Q T AQ C T (P T AP)C 0 1 0
0 1 0
【详解】 P(A) P(AB), P(B) P(AB)
P(A) P(B) 2P(AB)
P(AB) P(A) P(B) 故选（C） 2
8、设随机变量 X, Y 不相关，且 EX 2, EY 1, DX 3, 则 E X X Y 2
2015真题及解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题解析一、选择题:18小题,每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中 ，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸..指定位置上.⑴设：■是数列，下列命题中不正确的是 ()(A) 若 lim x n: -a,则 lim X=lim X=n _i :n L :n _ac(B)若 lim x 2n二lim X 2n 1 二 a ,贝U lim X n二 an ；:n t: n _sc (C) 若 lim x n= 二a ,则lim X 3n =lim X 3nan ;:n L :n _sc1(D) 若 lim X 3n =limX3n 1=a ,则 lim x n= an _$ : n :【答案】(D)【解析】答案为D,本题考查数列极限与子列极限的关系•数列Xn —• a n 、：：：= 对任意的子列：Xn k "匀有Xn k —• a k —• ■■' ；■,所以A 、B 、C 正确；D 错(D 选项缺少X 3n 2的敛散性)，故选D(2)设函数f X 在-:：，V 内连续，其2阶导函数「X 的图形如 右图所示则曲线y = f X 的拐点个数为()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是「(x)不存在的点或f (X ^Q 的点处产生.所以y = f (x)有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数 「(X)符号发生改变的点即为拐点•所以从图可知，拐点个数为2,故选 C.(3)设D・；［X , y x 2• y 2咗2x,x 2• y 2乞2yf ，函数f X,y 在D 上连续,则f x,y dxdy =()D2cos2sin •二(A)/dA 。
f r cos’r si" rdr 亠！2dj f r cos’r sin^ rdr42sin 2cos T 1(B) 04犷 0 f rcosdrsin^ rdr 亠 引二。
2015年考研数学试题详解及评分参考
2sin 2q
故选 (B) .
æ1 1 1 ö
æ1 ö
(5) 设矩阵 A = çççè11
2 4
a a2
÷ ÷÷ø
，
b
=
ç ç çè
d d
2
÷ ÷ ÷ø
，若集合
W
=
{1,
2} ，则线性方程组
Ax
=
b
有无穷
多解的充分必要条件为
(A) a Ï W, d Ï W (B) a Ï W, d Î W (C) a Î W, d Ï W (D) a Î W, d Î W
【答】 应填 -dx .
【解】 令 F (x, y, z) = ez + xyz + x + cos x - 2 ，有
Fx¢(x, y, z) = yz +1- sin x, Fy¢ = xz, Fz¢(x, y, z) = ez + xy
又当 x = 0, y = 1 时，有 ez = 1 ，即 z = 0 .
【答】 应选 (D) .
【解】 因 Ax = b 有无穷多解的充分必要条件为 r( A) = r( A, b) < 3 ，而
æ1 1 1 1 ö æ1 1
1
1ö
(A,b) = çç1 2 a
d
÷ ÷
®
ç ç
0
1
a -1
d -1
÷ ÷
çè1 4 a2 d 2 ÷ø çè 0 0 (a -1)(a - 2) (d -1)(d - 2) ÷ø ，
【解法二】 因在正交变换为 x = P y 下，有 f = xT Ax = yT (PT AP) y = 2 y12 + y22 - y32 .
2015考研数一真题及解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13xe -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑n n a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑nnn na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为1nn a∞=∑条件收敛，即2x =为幂级数1(1)nn n a x ∞=-∑的条件收敛点，所以1(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛区间还是(0,2).因而x =3x =依次为幂级数1(1)nnn na x ∞=-∑的收敛点，发散点.故选（B ）.(4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr ππθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】（B ）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰，故选（B ）(5) 设矩阵21111214A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21b d d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】D【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =。
2015年考研数学一真题及答案解析
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。
(1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】（C ）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。
因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23=+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( )(A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c【答案】（A ）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212x e 、13x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）(3) 若级数1∞=∑nn a条件收敛，则=x 3=x 依次为幂级数1(1)∞=-∑n n n na x 的 ( )(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。