(完整版)16.1.1二次根式的概念
人教版数学八年级下册16.1第1课时《 二次根式的概念》教学设计
人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念，理解二次根式与有理数、实数之间的关系，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
本节课的内容包括二次根式的定义、性质和运算方法，通过学习，让学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，提高他们的数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数等相关知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但二次根式作为新的数学概念，对于部分学生来说可能较为抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，帮助他们建立直观的认识，从而更好地理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的定义、性质和运算方法。
2.培养学生从实际问题中抽象出二次根式的能力。
3.提高学生的数学素养，培养他们的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，掌握二次根式的运算方法。
4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次根式的相关知识。
2.实际问题：准备一些与生活实际相关的问题，用于引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
例如，讲解一个物体从地面上升到最高点再下降到地面的过程，上升和下降的距离分别是3米和4米，求物体的最大高度。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
16.1.1 二次根式的定义
C．x >－1
D．x >－1且x≠3
本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意 知x＋1≥0且(x－3)2≠0，解得x≥－1且x≠3.
易错点：考虑不全造成答案不完整.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
知2－讲
例2 当x是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？ 解：由x-2≥0，得x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
知2－练
1 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有 意义？
(1) a 1； (2) 2a 3； (3) a； (4) 5 a .
解：(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时， a 1 在 实数范围内有意义．
围是( A )
A．x≥1
B．x＞1
C．x≤1
D．x＜1
知2－练
3
【 2017·日照】式子
a＋1 有意义，则实数 a－2
a的取值范围是( C )
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1且a≠2
D．a＞2
知2－练
4 (中考·滨州)如果式子 2 x 6 有意义，那么x的取值 范围在数轴上表示正确的是( C )
∴ x2 2x 2 是二次根式．
(8)∵|x|≥0，∴ x 是二次根式．
总结
知1－讲
二次根式的识别方法： 判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式 的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个 特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数．
知1－练
A．2个
ห้องสมุดไป่ตู้
B．3个
C．4个
D．5个
知识点 2 二次根式有意义的条件
16.1.1二次根式的概念
2
归纳
一般地， （a≥0） ( a) a
2
2 22 ___,
5
2
5 ___,
2 | 2 | ___; 5 | 5 | ___; 0 | 0 | ___.
0 02 ___,
a a
2
请比较左右两边的式子,议一议: a2 与| a | 有什么关 系?当 a 0 时, a 2 ____; a . a ;当a 0 时, a 2 ____
3
想一想： 10 、 -5 、 8 5 3 、 (-2)
2
2
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例 1：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足 什么条件？
解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢？
x≤1
y
想一想： 已知：y= x-2 + 2-x +3，求 x 的值。
解：由 x-2≥0 且 2-x≥0， 得 x≥2 且 x≤2 ∴x=2。 ∴y= 0 + 0 +3=3 ∴x =2 =8
y 3
x-2 例 2：要使 有意义，字母 x 的取值必须满足 x-3 什么条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0, 得 x ≥2 且 x ≠3 。
2
4 4 4 _________
2
x 1 ( x 1)
2
x 1
( a ) 与 a 有区别吗 ?
2
2
1:从运算顺序来看,
2
a 先开方,后平方 a a≥0
人教版八年级下册16.1.1《二次根式》二次根式的概念课件
m m2
2 4
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
解得m≥2且m≠-2，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 x2 6xm都有意 义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
二5的次算根术式平的方被根开是方_数__非_.负
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 二一((12))次般若(3根 地)二(5式，次)(的如7根)实果均式质一不是个是表数二示的次一平有根个方意式非等义. 负于，数a求，（m那的或么取式x 这值）个范1的数围算叫．术做平a方的根平.方根.
即求(二x+次3根)2式+m中-字9≥母0.的取值范围的基本依据2：
（）
一定是二次根式的有
（）
解：由题意得x2+6x+m≥0，
3个
B.
解：∵被开方数需大于或等于零，
16.1.1 二次根式的概念 4 已知y=
,求3x+2y的算术平方根.
解：∵被开方数需大于或等于零，
一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式.
问题2 这些式子有什么共同特征？
注意：a可以是数，也可以是式.
x＞2 B.
一定是二次根式的有 (本2)节无课论主x取要任学何习实了数二，次代根数式式的定义及被开方数都的有取意值义范，围求.m的取值范围．
(若2)式无子论为x取分任式何，实应数同，时代考数虑式分母不为零. 都有意义，求m的取值范围．
一(2)个无正论数x取有任两何个实平数方，根代；数式
都有意义，求m的取值范围．
16.1.1二次根式的概念与性质
3 想一想： 10 、 -5 、 8
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a2+0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例题学习 1
例1、求下列二次根式中字母a的取值范围：
(1) a 1
(2) 1 1 2a
(3) 3 2a a1
(4) a2 1 (5) 1 3x (6) (1 a)2
想一想： a2 等于什么呢？
性质 3：当 a≥0 时， a2 = a ； 当 a＜0 时， a2 = -a 。
也就是说： a2 = |a| 。
算一算：(1) （-9）2 (2)
(
1 3
)2
(3) 64
(4) (x2+1)2
a (a 0)
a (a 0)
例2 计算：
(1) (10)2 ( 15)2
53 53
5:已知:x<0,化简: 16x2
解: 16x2 (4x)2 4x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
补充：分别说出下列各式成立 的a的取值范围：
(1) ( a )2 a
(2) (a)2 a
(3) (a 2)2 2 a
化简：
(1) 210 （2） a4
a b (3) 2 2 (a＜0,b＞0)
(2) [ 2 (2)2 ] 2 2 2
a ( a >0 )
a2 a 0 ( a =0 )
-a ( a <0 )
归 纳
由 a2 aa 0,可以得 a a2 a 0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25 ,
0.9 0.81
试一试
1.计算下列各题:
16.1.1 二次根式的概念-2018年八年级下册数学名师教学设计(沪科版)
16.1.1 二次根式的概念2018年八年级下册数学名师教学设计（沪科版）一、概念引入1. 问题引入请你们回答一个问题：什么是根式？有哪些根式的形式？带着这个问题，我们将一起来学习今天的新知识。
2. 学习目标通过本节课的学习，我们可以掌握以下几个重点： - 理解二次根式的概念；- 掌握二次根式的读法和代数表达； - 发现和利用二次根式的特性。
二、概念解释1. 二次根式的定义所谓二次根式，指的是含有平方根的式子。
通常，二次根式的一般形式可以表示为√a（a≥0），其中a是被开方数，√表示平方根。
2. 二次根式的读法当我们看到√a时，我们可以念出为“根号a”，也可以直接读作“二次根号a”。
例如，√16可以读作“根号16”或者“二次根号16”。
3. 二次根式的代数表达二次根式可以用代数形式表示，即√a = b，其中a表示被开方数，b表示开方后的结果。
4. 二次根式的特性二次根式具有以下特性： - 如果a≥0，则√a≥0； - 如果a>0，则√a>0；- 如果a>0且b>0，则√a > √b。
三、巩固练习1.用代数形式表示：√9 = ___。
2.化简：√36 = ___。
3.填空并判断大小关系：√25 ___ √49。
四、总结与拓展1. 总结通过本节课的学习，我们学习了二次根式的概念、读法和代数表达方式，并掌握了二次根式的特性。
同学们通过巩固练习，加深了对二次根式的理解。
2. 拓展在实际应用中，二次根式经常出现在几何图形的计算中，如计算三角形的边长、正方形的对角线长度等。
所以，同学们在学习二次根式的同时，可以了解一些与几何有关的知识，加深对数学的应用理解。
五、思考题1.如果a<0，那么√a是否有意义？为什么？2.请列举一个无理数的例子，并解释其特征。
以上就是今天关于二次根式的概念的全部内容，希望同学们通过本节课的学习，对二次根式有更深入的认识。
同学们要积极思考思考题，并加深对二次根式的理解。
人教版八年级数学下册课件16.1.1二次根式的概念
(判1)断这给些出式的子式分子别是是不表是示二什次么根意式义.？
(游4)戏当规a≥则0时：, 5个金表蛋示中a的任算选术一平个方,如根果. 出现金花,你不需要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
(（4)3当）a一≥0个时物, 体从表高示处a的自算由术落平下方，根落.到地面所用的时间ts，与开始落下时离地面的高度hm。
3，S，65， h 5
(1)这些式子分别是表示什么意义？ 分别表示 3, s,65, h 的算术平方根
5
(2)这些式子有什么共同特征？
1.根指数都是2
a
2.被开方数为非负数 ，a≥0
二次根式的定义
a 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”
称为二次根式， 叫做被开方数。
1
2
3
4
5
游戏规则：5个金蛋中任选一个,如果出现金花,你不需 要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式 子是不是二次根式.
判断给出的式子是不是二次根式.
a （3 a 5）
判断给出的式子是不是二次根式.
a2 3
判断给出的式子是不是二次根式.
3 10
(1)这些式子分别是表示什么意义？
恭喜你，加5分 代数式 的值为0，则a= .
代数式 的值为0，则a= .
【变式训练】若式子1+
有意义,则x的取值范围是
.
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
(如2)果在其二面次积根为式S中，,被则开它方的数边可长以是是具. 体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.
游 【戏变规式则 训： 练5】个若金式蛋子中1+任选一个有,如意果义出,则现x金的花取,值你范不围需是要回答问题,直接. 加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
二次根式的基本概念
二次根式的基本概念
二次根式是指一个数的平方根形式表示的数，一般形式为√a，其中a为非负实数，称为被开方数。
二次根式中的根号√表示平方根，它是求平方根的数学符号。
二次根式的基本概念包括以下几个方面：
1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
2. 被开方数：二次根式中的a被称为被开方数，它表示要进行开方的数。
3. 平方根：二次根式中的√表示平方根，它代表被开方数的非负平方根，即√a的平方等于a。
4. 化简：二次根式的化简是指将二次根式表示为最简形式，即去除根号下的平方因子，并将不能再提取平方根的因子提取出来。
5. 运算规则：二次根式的运算遵循一些规则，如同底数相同就可以直接合并，当两个二次根式相互乘除时，可以将根号下的因子相乘或相除。
二次根式在数学中经常出现，它具有广泛的应用，例如在平面几何中用于求解长度、面积等问题，在代数中用于求解方程、求解二次函数的根等。
掌握二次根式的基本概念能够帮助我们更好地理解和应用相关的数学知识。
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3.已知 2a 1 (b 3)2 0 ，试求a、b的 值；
4.已知实数x、y满足等式y= 3 x x 3 5, 求x2 2xy y2的值.
5.已知实数a满足 （2012-a)2 a 2013 a, 求a 20122的值.
16.1 二次根式 1 . 二次根式的概念
引入概念—代数运算
1.我们学过哪些运算？有没有哪两种运 算存在特殊的关系？
加 减 乘 除 乘方 开方
x2 5 (平方)
x 5(平方根)
x2 5(x 0) (平方)
x 5(算数平方根)
平方根：一般地，若一个数的平方等于a，
则这个数就叫做a的平方根，表示为 a
算术平方根：一般地，若一个正数的平方
等于a，则这个数就叫做a的算术平方根，
表示为 a
1、如果x2=4, 则x=
.
2、如果x2=3, 则x=
.
3、如果x2=a(a 0),则x=
.
问题
新课导入
（1）若一个正方形的面积为7，则其边长为 7 。
若面积为m+2，则边长为 m 2 。
（2）一个圆形的喷水池的面积为6.28，则它的半径
为
2 .(π取3.14）
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的 时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m） 满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，
则t= .
新课推进
思考
通过对上述问题的探究，可得到形如
7 m2 2 什么特点？
的式子，这些式子有
我们发现以上四个式子 都表示一些正数的算术平方根。他们又有另 一个名字——二次根式。
6.已知 a 2 b 1 0,求-a2b的值. 2
分析： 判断二次根式应关注两点：（1）有 二次根号“ ”；（2）被开方数必须是非 负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中 的式子同时符合两个要求，故应填②③.
巩固概念
练习：题下列各式是二次根式吗?为什么？
(1) 6, (2) 12, (3) 4, (4) -m(m 0) , (5) xy ,(6) 3 5
二次根式：一般地，我们把形如 （a a≥0）
形式的式子称为二次根式，其中 “ ”称为二
次根号.
a
二次根 号2
被开 方数
读作：根号a
其中根号上的2 次可以省略， 3 三次根号的 根号不能省略。
根据二次根式 a 的定义，说说你对它的
解读。
（1） a中，a必须是大于等于0，否则它就没有
意义了；当a≥0时， a 表示a的算术平方根，而
（m 3)2 a 2x 3 a2 2a 2
例2 当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.
(1) x 2 ; (2) 3 x x 2 ; (3) 1 .
2x 1
巩固概念
练习 当取什么实数时，下列各式有意义？
1 x 3 2 x2 3 x3
4 x2 1
5 1
x 1
6
x 1 x2
2 - 5x x2 4x 5 - 2x （- x 1)2
一个非负数的算术平方根必然也是非负数，因而
总有 a ≥0（a≥0）.
即：
（双重非负性）
（2）被开方数既可以是数也可以是式子
（3） a 既可以表示开方运算，也可以表示运算
的结果。如 4 3
Байду номын сангаас
(4) a 表示a的算术平方根，又表示二次根式。
典例解析
例1 下列各式中，一定是二次根式的有 ()
① -3 ；②-2 a2 ;③ a2 1 ;④ a 1
x7 x3
2x 1 1- x
例3 （1）已知 x 1 y 3 0 ，
求x，y的值；
（2）若y 2x 1 1 2x 3 ，求xy的值.
1.填空题： （1）形如 （2）负数 者“没有”）
随堂训练
的式子叫二次根式； 算术平方根（填“有”或
2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内 有意义：