分数指数幂ppt
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4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)

万年前就存在的吗?
探究新知
【1】 当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.
这时,a的n次方根用符号 表示.例如 = , − = −.
【2】 当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示,负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗?
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
,
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ,
(3)2
2
(3) 2 2 ,
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析:
2
3
探究新知
【1】 当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.
这时,a的n次方根用符号 表示.例如 = , − = −.
【2】 当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示,负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗?
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
,
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ,
(3)2
2
(3) 2 2 ,
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析:
2
3
小学数学分数指数幂课件

运算性质:分数指数幂具有运算性质,即(a^(m/n))^p = a^(mp/n),即幂的幂,底数不变, 指数相乘。
运算优先级:在数学表达式中,分数指数幂的运算优先级高于乘方运算,低于乘除运算。
03
分数指数幂的运算
分数指数幂的加法运算
分数指数幂的加法运算规则: a^m * a^n = a^(m+n)
分数指数幂在数学建模中的应用
分数指数幂在解 决实际问题中的 应用
分数指数幂在数 学建模中的重要 地位
分数指数幂与其 他数学知识的结 合
分数指数幂在数 学建模中的发展 前景
分数指数幂在解决复杂数学问题中的应用
分数指数幂在代数方程求解中的应用 分数指数幂在几何图形计算中的应用 分数指数幂在概率统计问题中的应用 分数指数幂在微积分问题中的应用
分数指数幂的运算性质
分数指数幂的乘法规则:a^(m/n) * a^(m'/n') = a^(m/n + m'/n') 分数指数幂的除法规则:a^(m/n) / a^(m'/n') = a^(m/n - m'/n') 分数指数幂的幂运算规则:a^(m/n)^k = a^(m/n * k) 分数指数幂与整数指数幂的转换:a^(m/n) = (a^m)^(1/n)
拓展练习题
计算: (2^3)^4 = _______.
计算:a^(3/4) × a^(1/3) = _______.
计算:8^(2/3) × 2^(1/3) = _______.
计算:log₂(16) = _______.
综合练习题
计算(2^(-3))^(-2) 计算(1/2)^(-3) 计算(1/3)^(-2) 计算(2^3)^(-1/2)
运算优先级:在数学表达式中,分数指数幂的运算优先级高于乘方运算,低于乘除运算。
03
分数指数幂的运算
分数指数幂的加法运算
分数指数幂的加法运算规则: a^m * a^n = a^(m+n)
分数指数幂在数学建模中的应用
分数指数幂在解 决实际问题中的 应用
分数指数幂在数 学建模中的重要 地位
分数指数幂与其 他数学知识的结 合
分数指数幂在数 学建模中的发展 前景
分数指数幂在解决复杂数学问题中的应用
分数指数幂在代数方程求解中的应用 分数指数幂在几何图形计算中的应用 分数指数幂在概率统计问题中的应用 分数指数幂在微积分问题中的应用
分数指数幂的运算性质
分数指数幂的乘法规则:a^(m/n) * a^(m'/n') = a^(m/n + m'/n') 分数指数幂的除法规则:a^(m/n) / a^(m'/n') = a^(m/n - m'/n') 分数指数幂的幂运算规则:a^(m/n)^k = a^(m/n * k) 分数指数幂与整数指数幂的转换:a^(m/n) = (a^m)^(1/n)
拓展练习题
计算: (2^3)^4 = _______.
计算:a^(3/4) × a^(1/3) = _______.
计算:8^(2/3) × 2^(1/3) = _______.
计算:log₂(16) = _______.
综合练习题
计算(2^(-3))^(-2) 计算(1/2)^(-3) 计算(1/3)^(-2) 计算(2^3)^(-1/2)
新人教A版必修一 n次方根与分数指数幂 课件(54张)

)2
;
9
(2)
3 214 3 16
;(3)
-1- 3
42
3
8 3 .
【思维·引】(1)将底数化为真分数后求值. (2)将根式化为分数指数后求值. (3)先化为同底,再利用指数运算法则求值.
【解析】(1)原式=
(16
-3
)2
( 4)-3
27 .
9
3 64
(2)原式=
11
[(214 )2 ]3
-4
2.计算 5 2 6 7 4 3 6 4 2. 【解析】 5 2 6 7 4 3 6 4 2
( 3 2)2 (2 3)2 (2 2)2
= ( 3 2) (2 3=) 0(.2 2)
【加练·固】
3 (6)3+4 ( 5 4)4+3 ( 5 4)3的值为 (
2 3
=2214112=13-234 .
(3)原式=
(22
-1-
)
3 2
(23)
3 3
2(-1- 3 )
3 3
2
2 2 3
2-2- 3 3 2-2 1 . 4
【内化·悟】 如果式子中含有多层根号,应怎样化简求值? 提示:先由内向外分别化为分数指数幂,再利用分数指 数幂的运算法则计算.
【类题·通】
(3)√.由无理数指数幂的意义可知正确.
2. (3 2 ) 2 =________. 【解析】(3 2 ) 2 3=23 22 =9. 答案:9
3.若x<0,则|x|+ x2+ x2 =________.
|x|
【解析】因为x<0,所以原式=-x-x+1=1-2x.
答案:1-2x
类型一 n次方根概念及相关的问题
;
9
(2)
3 214 3 16
;(3)
-1- 3
42
3
8 3 .
【思维·引】(1)将底数化为真分数后求值. (2)将根式化为分数指数后求值. (3)先化为同底,再利用指数运算法则求值.
【解析】(1)原式=
(16
-3
)2
( 4)-3
27 .
9
3 64
(2)原式=
11
[(214 )2 ]3
-4
2.计算 5 2 6 7 4 3 6 4 2. 【解析】 5 2 6 7 4 3 6 4 2
( 3 2)2 (2 3)2 (2 2)2
= ( 3 2) (2 3=) 0(.2 2)
【加练·固】
3 (6)3+4 ( 5 4)4+3 ( 5 4)3的值为 (
2 3
=2214112=13-234 .
(3)原式=
(22
-1-
)
3 2
(23)
3 3
2(-1- 3 )
3 3
2
2 2 3
2-2- 3 3 2-2 1 . 4
【内化·悟】 如果式子中含有多层根号,应怎样化简求值? 提示:先由内向外分别化为分数指数幂,再利用分数指 数幂的运算法则计算.
【类题·通】
(3)√.由无理数指数幂的意义可知正确.
2. (3 2 ) 2 =________. 【解析】(3 2 ) 2 3=23 22 =9. 答案:9
3.若x<0,则|x|+ x2+ x2 =________.
|x|
【解析】因为x<0,所以原式=-x-x+1=1-2x.
答案:1-2x
类型一 n次方根概念及相关的问题
高中数学苏教版必修1课件 3.1.1 分数指数幂(共21张PPT)

(m
1 4
)8
(n
3 8
)8
m2n3 .
【题型3】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有理指数幂,再根据分数指数 幂的运算性质进行运算.
(1) (3 25 125 ) 4 5
2
3
1
(53 52 ) 54
2
1
3
1
53 54 52 54
21
31
53 4 52 4
5
5
类比
9
7 a9 a7 .
总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式可以写成分数指数幂的形式.
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
3
5 43 45;
5
3 75 73;
3
43的5次方根是 45 ;
5
75的3次方根是 73 ;
2
3 a2 a3;
2
a2的3次方根是 a 3 ;
9
7 a9 a7 .
512 54
12 55 54 5.
【1】计算下列各式(式中字母都是正数).
(1)
a
a
a
111
a2 a4 a8
a1 2
1 4
1 8
7
a8
8 a7 .
a2
(2)
.
a 3 a2
解:原式 =
a2
1
2 1 2
5
2 a 2 3 a 6 6 a5 .
a2 a3
注意:结果可以用根式表示,也可以用分数指数 幂表示.但同一结果中不能既有根式又有分数 指数幂,并且分母中不能含有负分数指数幂.
(52
)
1 2
52(
18.分数指数幂ppt

• 为了解决上述问题,我们先来探讨分数指数
幂的意义。
根式
• 一般地:如果一个实数x满足xn=a(n>1,且nN*), 则x称为a的n次方根. • 例如: 8的3次方根为 2 ; -243的5次方根为 -3 。 当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数 的n次方根是一个负数, 即a的n次实数方根只 有一个,记为 n a 。
a a
n
m n
m
分数指数幂是根式的另一种表现 形式,两者可以进行互化。
正数的负分数指数幂
a 0, m, n N *, n 1
a
m n
1 a
m n
1
n
a
m
规定:0的正分数指数幂等于0。
0的负分数指数幂没有意义。
有理指数幂的运算性质 p 表示 说明:若 a>0 , p 是一个无理数,则 a 我们规定了分数指数幂的意义以后,指 一个确定的实数 . 上述有理指数幂的运算性 数的概念就从整数指数推广到有理数指 质,对于无理数指数幂都适用 . 即当指数的 数. 上述关于整数指数幂的运算性质,对 范围扩大到实数集 R后,幂的运算性质仍然 于有理指数幂也同样适用,即对任意有 是下述的 条. 理数r,s3 ,均有下面的性质:
说明
4
(2)4 ,
( 3 )2
( a ) a,
n n
n
a a a
n
n为奇数 n为偶数
分数指数幂
( 2 ) 210
5 2
2
10
2 2
5
10 2
(3 ) 3
4 3
12
3
3 34 3
12
分数指数幂与根式(课堂PPT)

4ab0
4a
13
(2)(m4 n8 )8
(m
1 4
)8
(n
3 8
)3
m3 n3
m2 n3
33
题型四
根式运算,先把每个根式用分数 指数幂表示;题目便转化为分数 指数幂的运算。 注意:结果可以用根式表示,也 可以用分数指数幂表示. 但同一 结果中不能既有根式又有分数指 数幂,并且分母中不能含有负分 数指数幂.
40 9
26
小结
注意三点:
1、分数指数幂的概念(与整数指数幂对比,有何 差异,注意不能随意约分).
2、分数指数幂的运算性质,进而推广到有理数指 数幂的运算性质。
3、根式运算时,先化为指数形式进行运算,原式 为根式的,再将结果化为根式。
27
题型一
将根式转化分数指数幂的形式。(a>0,b>0)
1当有多重根式是,要由里向外层层转化。 2对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂。 3要熟悉运算性质。
25 32
x5 11
25 32 x 5 11
结论:当 n为奇数时,正数的 n次方根是一个正 数,负数的n 次方根是一个负数,这时,a的n次方根
只有一个,记为 x n a .
9
得出结论
22 4 32 9 24 16
x6 12
2 4 3 9
24 16
x 6 12
结论:当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们
互为相反数.正数a的正n次方根用符号 n a 表示;负的
n次方根用符号 n a 表示,它们可以合并写成 n a(a 0) 的形式.
负数没有偶次方根.
10
注意问题
特别注意:0的 n次方根等于0.
1分数指数幂课件

;
2
(3)(4 3
1
63)-3
3
;(4)(52
ห้องสมุดไป่ตู้
25
31
4)3 .
有理数指数幂计算 的一般步骤:
判断先进行什么运算
运用法则计算
练一练2:学案 巩固练习2
拓展练习
例3 利用幂的运算性质计算: (3 4 2)4
拓展练习
例4 已知 10a
2,10b
4
8
,
求102a
2 3
b的值.
通过今天的学习你有什么收获或疑问?
1
1
或 (123 43)6
123 43 6
解 4 1
12 43 6
1
1
= 123 6 43 6
12
4 3
1 6
11
=122 42
12
1
42
1
= 12 42
1
482
1
=482
判断是什么运算 运用法则计算
练一练1:学案 巩固练习1
例2 计算:
1
11
(1)(8 27)3 ;(2)22 82
答:同底数幂的乘(除)法: a p aq a pq a p aq a pq
幂的乘方: a p q a pq
积的乘方: abp a pb p
a p b
ap bp
(a 0,b 0, p、q为整数)
另外,我们规定:a0 1, a p 1
ap
问4:类似于整数指数幂,你能说说有理数指数幂的运 算性质吗?
21
(1) 53 52 ;
1
(2) 6 3 6 ;
2 1
(3) (8 3 ) 4 ;
分数指数幂PPT课件

阅读分数指数幂,回答以下问题:
(1)分数指数幂是如何定义的;
(2)有理指数幂的运算性质是怎样的;
a > 0,m、n∈N *,n > 1 正数的正分数指数幂的意义:
a
m n
n
am
m n
正数的负分数指数幂的意义:
a
1 a
m n
0 的正分数指数幂等于 0 ; 0 的负分数指数幂没有意义
有理指数幂的运算性质: ( a> 0,b > 0,r、
s∈ Q )
(1)a r×a s = a r + s (2)( a r ) s = a rs (3)( ab ) r = a r×b r
口答:
1、用根式表示下列各式: ( a > 0 )
(1) a
5
1 5
(2) a
4
3 4
(3)
a
5
3 5
(4) a
3
2 3
a
a
3
1 a3
1 a2
2、用分数指数幂表示下列各式: (1)
1 2 3 1 2 3 1 2 1 2
3 2
3
两边平方得x+x 1 =7 ,再平方得x 2 +x 2 =47 .代入①式 3(3 1) 2 2 原式= = . 47 3 5
(1)分数指数幂的定义和运算性质
(2)有理数指数幂的定义和运算性质
(3)有理指数幂的运算和化简
(1)100 (3)9
1 2
=10
27
3
(2)8 =4
1 3 (4)( ) 4 =27 81
2 3
3 1 2
(5)2 3
1.5
1 2 3 2.5 5
(1)分数指数幂是如何定义的;
(2)有理指数幂的运算性质是怎样的;
a > 0,m、n∈N *,n > 1 正数的正分数指数幂的意义:
a
m n
n
am
m n
正数的负分数指数幂的意义:
a
1 a
m n
0 的正分数指数幂等于 0 ; 0 的负分数指数幂没有意义
有理指数幂的运算性质: ( a> 0,b > 0,r、
s∈ Q )
(1)a r×a s = a r + s (2)( a r ) s = a rs (3)( ab ) r = a r×b r
口答:
1、用根式表示下列各式: ( a > 0 )
(1) a
5
1 5
(2) a
4
3 4
(3)
a
5
3 5
(4) a
3
2 3
a
a
3
1 a3
1 a2
2、用分数指数幂表示下列各式: (1)
1 2 3 1 2 3 1 2 1 2
3 2
3
两边平方得x+x 1 =7 ,再平方得x 2 +x 2 =47 .代入①式 3(3 1) 2 2 原式= = . 47 3 5
(1)分数指数幂的定义和运算性质
(2)有理数指数幂的定义和运算性质
(3)有理指数幂的运算和化简
(1)100 (3)9
1 2
=10
27
3
(2)8 =4
1 3 (4)( ) 4 =27 81
2 3
3 1 2
(5)2 3
1.5
1 2 3 2.5 5
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→→ (2)
������������������
=
������������
=
������������
������ ������
被开方数的指数 根指数
(3)������
������������������
=
������������
=
������������
������ ������
(4)
������
������������
=
__������__���_���_������
定义正数a的分数指数幂意义是:
������
������ ������
=
������
������������
������−
������ ������
=
������
������ ������������
(其中a>0, m, n均为正整数且n>1)
2
(m n)3
p6 q5 ( p 0)
5
p3 q2
例2、利用分数指数幂的运算法则计算下列各式:
(1)������.
������������������−
������ ������
(2)������������−
������ ������
������
(3)������������������
1
(1) a5 (2)
3
a4 (3)
5a
4 a3
2、用分数指数幂表示下列各式:
a
(
3
54
)
1 5 a3
2
a3
1 3 a2
பைடு நூலகம்
( 1 ) 4 (a b)3 (a b 0)( 2 )
3
(a b)4
( 3 ) (m n)4 (m n) ( 4 )
(m n)2
3 (m n)2
=������. ������−������=100
(2)������������−
������ ������
=(������������
)−
������ ������
=������������×(−������������) = ������−������= ������
������������������
=
������
������������
(2)
������
������ ������������
=
������
������
=
������−������������
������������
������
(3) ������������ = ������������ = ������������
口答:
1、用根式表示下列各式: ( a > 0 )
=������������������ = ������������
例4 计算下列各式(式中字母都是正数)
������ ������
������ ������
������ ������
(1)(������������������ ������������)(−������������������������������) ÷ (−������������������������������)
(4) 4∙ ������ ∙ ������ ������ ∙ ������ ������
解:(1)
������.
������������������−
������ ������
=(������.
������������
)−
������ ������
=������. ������������×(−������������)
(4) 4∙
������ ∙
������
������ ∙
������
������
������ ������ ������
=������������ ∙ ������������ ∙ ������������ ∙ ������������
=������������+������������+������������+������������
解:(1)原式=25;
(2)原式= 2-1.
2、分数指数幂
初中已学过整数指数幂,知道:
an a a a (nN*)
n个 a0 =1 (a ≠0)
an
1 an
(a
0, n N ).
整数指数幂的运算性质:
(1)、am. an= am+n (a0,m,n∈Z )
其中a>0, b>0 且r, sQ 。
例1、a为正数,用分数指数幂表示下列根式:
(1)������ ������������ (3) ������������
(2)
������ ������ ������������
解:(1)
������
������������
������
=������������
分数指数幂
温故知新:1、判断下列说法是否正确: (1)-2是16的四次方根; (2)正数的n次方根有两个;
(3)a 的n次方根是 n a ;
(4) n a n a(a 0).
解:(1)正确; (2)不正确; (3)不正确;(4)正确。
2、求下列各式的值:
(1)(-25)2;
(2)6(1- 2)6 .
=������������������������
=4a
������
(2)原式=(������������
)������(������−
������
������)������
������
(2)(������������
������−
������ ������
)������
解: (1)原式=[������ × (−������) ÷ (−������)]������������������+������������−������������������������������+������������+������������
0的正分数指数幂等于0; 0的负分数指数幂没有意义。
这样,指数的概念就由整数指数幂推广 到了分数指数幂,统称有理数指数幂。
可以证明,整数指数幂的运算法则对有 理指数幂也成立,即有理指数幂有如下的运 算法则:
(1)、ar·as=ar+s
(2)、 (ar)s=ars
(3)、 (a·b)r =ar·br
(2)、(am)n= amn (a0,n,m∈Z ) (3)、(ab)n=anbn (a0,b0,n∈Z )
下面讨论根式
n am (a>0)
与幂的关系 先看几个实例
(1)4 a12 4 (a3)4 a3.
(a>0)
指数间有关系:
3 12 ,→被开方数的指数 4 →根指数
12
4 a12=a 4 .