大学物理竞赛辅导——电磁学

（2）电介质A和B中的电场能量WA 和 WB
稳定后电介质A和B中的电流密度相等 AE A B EB E Ad A E B d B V BV 由上两式解出： EA B d A Ad B
AV EB B d A Ad B
1 2 W A 0 A E A Sd A 2 2 2( B d A A d B )
x
o
k q
此 式 与 弹 簧 振 子 受 力律 规相 同 F kx
0
q以oo为中心，在两平面内做简谐振动
k m q 0m
0

T
2

T t 4
例：一直流电源与一大平行板电容器相连，其中相对 介电常数为 r 的固态介质的厚度恰为两极板间距的二 分之一，两极板都处于水平位置，假设此时图中带电 小球P恰好能处于静止状态，现将电容器中的固态介质 块抽出，稳定后试求带电小球P在竖直方向上运动的加 速度a的方向和大小。 解：P处于平衡状态，则其带负电
W互 q2 E1 dl q2 E1 dl q2 U 21


( 2)

( 2)
U 21为q1的电场在 q2所在处的电势
同理：
W互 q1 U12
1 写成对称形式： W互 （q1U 12 q2U 21） 2
三个点电荷：
W互 q2 (U 21 U 23 ) q3U 31 1 (q2U 21 q1U12 ) 2
2 0 E1 E2 1 2
01 E1 1 1
D1
E2
D2
2
wenku.baidu.com2 2
对 于 板 外 电 场 ， 将 自电 由荷 与 束 缚 电 荷 一 并虑 考 E1 E2
01 02 1 2
01 02 2 0
例：在两平行无限大平面内是电荷体密度 > 0的均匀 带电空间，如图示有一质量为m，电量为q( < 0 )的点 电荷在带电板的边缘自由释放，在只考虑电场力不考 虑其它阻力的情况下，该点电荷运动到中心对称面 oo的时间是多少？ 1 o 解：E 2S 2x S E x 0 >0 0 q d q受的电场力 F qE x (q 0) q< 0
A
2
l
l
B
x
板内： D内S Sx
D内 x
板内：E内
D内
0
x 0
板 外 ：D2 S Sd 2 D1 S Sd 1
D2 d 2 D1 d1
d 1 板 外 ： E1 方向向左 1 1 1 A D2 d 2 l E2 方向向右 2 2
由于始终与电源相连，U一定 U E F a E1 εr 1 有介质： U E1d d E1d εr εr r U E1 r 1 d
P
无介质： U E2 2d
r 1 U E1 E2 2d 2 r

E1
初始时 P平 衡 ： E1q mg
r 1 E1q F mg E2q mg 2 r r 1 mg 2 r r 1 F ma a g 方向向下 2 r
推广至一般点电荷系：W互
1 qi U i 2 i
Ui ：除 qi 外，其余点电荷在qi 所在处的电势。
二、 连续带电体的静电能（自能） 静电能W：把电荷无限分割并分散到相距无穷 远时，电场力作的功。 只有一个带电体：
1 W W自 Udq 2q
多个带电体： 总静电能：
W W自i W互ij
束
0V B ( A 1) A ( B 1) B d A Ad B
例：球形电容器的两个极为两个同心金属球壳，极间 充满均匀各向同性的线性介质，其相对介电常量为r . 当电极带电后，其极上的电荷量将因介质漏电而逐渐 减少。设介质的电阻率为，t=0时，内外电极上电量 分别为±Q0 ,求电极上电量随时间减少的规律Q(t)以及 两极间与球心相距为r的任一点处的传导电流密度j(r,t).
Q
P B 撤去BC棒 C
U p 3U 1
1 U1 U P 3
U Q 2U 2 U 1
1 1 U 2 UQ U P 2 6
2 U P U1 U P UP 3
1 1 UQ U 2 UQ U P UQ 2 6
例：厚度为b的无限大平板内分布有均匀体电荷密 度（>0）的自由电荷，在板外两侧分别充有介电 常数为1与2的电介质，如图。 求：1）板内外的电场强度 2）A, B两点的电势差 1 b d1 d2. 解：设 E=0 的平面 MN 距左 侧面为 d1 , 距右侧面为 d2 . 据对称性, E垂直MN指向两侧 1) 求 D, E
电磁学综述
• （经典）电磁学的基本规律——麦克斯韦方程组
E dS dV
S V
B E dl dS t L S
1 E B dl 0 J dS 2 dS c S t L S
B dS 0
S
•
电磁场理论的深刻对称性——电磁对偶
例：三等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分 布等量同号电荷，测得图中P，Q两点（均为相应正 三角形的重心）的电势分别为UP 和 UQ 。若撤去BC 棒，则P，Q两点的电势为U´P =——， U´Q =——。
A 解：设AB, BC, CA三棒对 P点的 电势及AC对Q点的电势皆为U1 AB, BC棒对Q点的电势皆为U2
Q U 2 2 4 o a 4 o 2a 4 3 a o Q -Q Q Q Q U 2 2 U 4 o a 4 o 3a 4 o 2a 1 3Q 2 2 5 W 3QU 3 Q U 3QU ( ) 2 4 0 a 3 2 Q Q
2 2 1 2 0 B AV Sd B W A 0 B E B Sd B 2 2( B d A A d B ) 2 2 2 0 A BV Sd A
（3）电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度自和 束缚电荷面密度束 D dS q自 + A 由对称性， D垂 直 于 上 下 表 面 指 向 下 ， B DB S D A S 自S _
1 1 (q2U 23 q3U 32 ) (q3U 31 q1U 13 ) 2 2 1 1 1 q1 (U 12 U 13 ) q2 (U 21 U 23 ) q3 (U 31 U 13 ) 2 2 2
1 (q1U1 q2U 2 q3U 3 ) 2


（ 0 A B B A )V 代入E A, E B得：自 B d A Ad B
0
（ 0 E B E A ) 自 束
0 B E B 0 A E A 自
1 E dS （q自 q束） （ 0 E B S E A S ) (自 束）S
抽 出 后小 球 受 力 1r r 1mg mg mg F qE mg 2 2
r 1g F a m 2
1 2 d at 2 t
2d a
4d r 1g
例：一平行板电容器中有两层具有一定导电性的电介 质A和B，它们的相对介电常数、电导率和厚度分别为 A, A, dA, B, B, dB ;且 dA+dB =d, d为平板电容器的两块 极板之间的距离。现将此电容器接至电压为V的电源 上（与介质A接触的极板接电源正极），设极板面积 为S, 忽略边缘效应，试求稳定时 （1）电容器所损耗的功率P； （2）电介质A和B中的电场能量WA和WB； （3）电介质A和B的交界面上的自由电荷面密度自和 束缚电荷面密度束。 2 V + 解：电容器损耗的功率 P R A dA dB B R _ AS B S
i i j
例：在每边长为a的正六边形各顶点处有固定的点电荷， 它们的电量相间地为Q 或 – Q. 1）试求因点电荷间静电作用而使系统具有的电势能W 2）若用外力将其中相邻的两个点电荷一起（即始终 保持它们的间距不变）缓慢地移动到无穷远处， 其余固定的点电荷位置不变，试求外力作功量A. 1 Q W互 q i U i Q 2 i a 1）Q，- Q所在处的电势 -Q Q
E AB AB
A
1
b
2
E1l

d2
d1
E内dx E2l
l
l
B
2 2 2 d2 d1 b 2 0 2 0
2 1 2 1
例：无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度为 0 ， 现在导体板两侧分别充以介电常数 1 与 2 （ 1 2） 的均匀电介质。求导体两侧电场强度的大小。 解：充介质后导体两侧电荷 重新分布，设自由电荷面密 度分别为0 1 和0 2 1 2 由高斯定理： D1 01 , D2 02
.
P
设：小球 m, q, 极板 S, Q, 场强E0, E 场强变化，P受力变化，关键求E
0 S 2 0 r S 2 Q Q C0 U 2dE0 2d 2d 1r 0S Q 两式相比 E E0 C 2 2dE 2d
mg qE0 mg E0 q 1r 1 r mg E E0 2 2 q
r2 r1 球形电容器的电容： C 4 0 r r2 r1 因电流沿径向流动，总电阻可看成无 数多薄球壳的串联
dQ U Q 解： I dt R RC
dQ Q dt 0 r
R

r2
r1
r2 r1 2 4 r1r2 4r
dr
dQ Q dt 0 r
D1
E1 E 2
b
2
l
B
E1 , E2均 由 相 同 自 由 电荷 和 缚 束电 荷 产 生
1
d1
1b d1 1 2
2
d2
d1 d 2 b
2b d2 1 2
b E2 1 2
b 板外：E1 1 2
2）U AB
抽掉介质后， P受合力向下：
例：如图，板间距为 2d 的大平行板电容器水平放置， 电容器的右半部分充满相对介电常数为 r 的固态电介 质，左半部分空间的正中位置有一带电小球 P，电容 器充电后 P 恰好处于平衡位置，拆去充电电源，将电 介质快速抽出，略去静电平衡经历的时间，不计带电 小球 P 对电容器极板电荷分布的影响，则 P 将经 t = — 时间与电容器的一个极板相碰。 解：拆去电源后，将介质抽出，过程中总Q不变，分布变
① 磁单极？ ② 平行偶极板和长直螺线管的对偶 ③ 电容和电感的对偶
C Q V
L
I
④
……
例：在xoy面上倒扣着半径为R的半球面上电荷均匀 分布，面电荷密度为。A点的坐标为(0, R/2)，B点 的坐标为(3R/2, 0)，则电势差UAB为——。 R 1 Q 1 由对称性 U A U A整 2 0 2 4 0 R R 2 Q为整个带电球面的电荷 o A C y 1 Q R B UB 3R 2 3 0 4 0 x 2 R U AB U A U B 此题也可从电场的角度考虑 6 0 3 R 12 1 C Q R 1 dr U AB U AC U AC 整 A E整 dr 2 2 2 R 4 0 r 6 0 2
Q Q0 e
j I

1
0 r
t
dQ ˆ ˆ r r 2 2 dt 4r 4r
1
j
1 4 0 r r
0 r ˆ Q0 e r 2

1
t
电荷系的静电能
一、 点电荷系的相互作用能（电势能） 相互作用能W互：把各点电荷由现在位置分散至 相距无穷远的过程中电场力作的功。 两个点电荷：