正态性检验
总结正态性检验的几种方法
总结正态性检验的几种方法1.1 正态性检验方法1）偏度系数样本的偏度系数（记为1g ）的计算公式为()2331331(1)(2)(1)(2)n ii n n g x x n n s n n s μ==-=----∑， 其中s 为标准差，3μ为样本的3阶中心距，即()3311n i i x x n μ==-∑。
偏度系数是刻画数据的对称性指标，关于均值对称的数据其偏度系数为0，右侧更分散的数据偏度系数为正，左侧更分散的数据偏度系数为负。
（2）峰度系数样本的峰度系数（记为2g ），计算公式为()242412244(1)(1)3(1)(2)(3)(2)(3)(1)(1)3(1)(2)(3)(2)(3)n i i n n n g x x n n n s n n n n n n n n s n n μ=+-=-------+-=------∑，其中s 为标准差，4μ为样本的3阶中心距，即()4411n i i x x n μ==-∑。
当数据的总体分布为正态分布时，峰度系数近似为0,；当分布为正态分布的尾部更分散时，峰度系数为正；否则为负。
当峰度系数为正时，两侧极端数据较多，当峰度系数为负时，两侧极端数据较少。
（3）QQ 图QQ 图可以帮助我们鉴别样本的分布是否近似于某种类型的分布。
现假设总体为正态分布()2,N μσ，对于样本12,,,n x x x L ，其顺序统计量是(1)(2)(),,,n x x x L 。
设()x Φ为标准正态分布()0,1N 的分布函数，1()x -Φ是反函数，对应正态分布的QQ 图是由以下的点 1()0.375,,1,2,,0.25i i x i n n -⎛⎫-⎛⎫Φ= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭L ， 构成的散点图，若样本数据近似为正态分布，在QQ 图上这些点近似地在直线上y x σμ=+，附近，此直线的斜率是标准差σ，截距式均值,μ，所以利用正态QQ 图可以做直观的正态性检验。
正态性检验的几种方法
正态性检验的几种方法一、引言正态分布是自然界中一种最常见的也是最重要的分布。
因此，人们在实际使用统计分析时，总是乐于正态假定，但该假定是否成立，牵涉到正态性检验。
目前，正态性检验主要有三类方法：一是计算综合统计量，如动差法、Shapiro-Wilk 法(W 检验)、D ’Agostino 法(D 检验)、Shapiro-Francia 法(W ’检验)。
二是正态分布的拟合优度检验，如2χ检验、对数似然比检验、Kolmogorov-Smirov 检验。
三是图示法(正态概率图Normal Probability plot)，如分位数图(Quantile Quantile plot ，简称QQ 图)、百分位数(Percent Percent plot ，简称PP 图)和稳定化概率图(Stablized Probability plot ，简称SP 图)等。
而本文从不同角度出发介绍正态性检验的几种常见的方法，并且就各种方法作了优劣比较，还进行了应用。
二、正态分布2.1 正态分布的概念定义1若随机变量X 的密度函数为()()()+∞∞-∈=--,,21222x e x f x σμπσ其中μ和σ为参数，且()0,,>+∞∞-∈σμ则称X 服从参数为μ和σ的正态分布，记为()2,~σμN X 。
另我们称1,0==σμ的正态分布为标准正态分布，记为()1,0~N X ，标准正态分布随机变量的密度函数和分布函数分别用()x ϕ和()x Φ表示。
引理1 若()2,~σμN X ，()x F 为X 的分布函数，则()⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=σμx x F由引理可知，任何正态分布都可以通过标准正态分布表示。
2.2 正态分布的数字特征引理2 若()2,~σμN X ，则()()2,σμ==x D x E 引理3 若()2,~σμN X ，则X 的n 阶中心距为()()N k kn k k n kn ∈⎩⎨⎧=-+==2,!!1212,02σμ定义2 若随机变量的分布函数()x F 可表示为：()()()()x F x F x F 211εε+-= ()10<≤ε其中()x F 1为正态分布()21,σμN 的分布函数，()x F 2为正态分布()22,σμN 的分布函数，则称X 的分布为混合正态分布。
正态性检验
正态性检验确定您绘制样本所基于的总体是否呈非正态分布的单样本假设检验。
许多统计过程均依赖于总体正态性，且使用正态性检验确定否定此假设是不是分析中的重要步骤。
正态性检验的原假设假定总体为正态分布。
备择假设假定总体为非正态分布。
要确定样本数据是否来自非正态总体，您可以从四种检验中进行选择。
图形方法您可以使用正态概率图来评估总体正态性，如果样本的总体呈正态分布，该图将根据您期望它们接近的值绘制顺序数据值。
如果总体呈正态分布，绘制的点将大致形成一条直线。
正态数据的概率图非正态数据的概率图Anderson-Darling 检验此检验是将样本数据的经验累积分布函数与假设数据呈正态分布时期望的分布进行比较。
如果实测差异足够大，该检验将否定总体呈正态分布的原假设。
Ryan-Joiner 正态性检验此检验通过计算数据与数据的正态分值之间的相关性来评估正态性。
如果相关系数接近 1，则总体就很有可能呈正态分布。
Ryan-Joiner 统计量可以评估这种相关性的强度；如果它未达到适当的临界值，您将否定总体呈正态分布的原假设。
此检验类似于 Shapiro-Wilk 正态性检验。
Kolmogorov-Smirnov 正态性检验此检验是将样本数据的经验累积分布函数与假设数据呈正态分布时期望的分布进行比较。
如果实测差异足够大，该检验将否定总体呈正态分布的原假设。
如果这些检验的 p 值低于您选择的 a 水平，您可以否定原假设并断定总体呈非正态分布。
“粗笔检验”一种非正式的近似正态性检验，称为“粗笔检验”，常应用于概率图。
想象有一支“粗笔”从拟合线上划过：如果它覆盖了图中的所有数据点，则数据可能为正态分布；如果图中的点距离拟合线很远以致粗笔边缘之外还有很多点，则数据可能为非正态分布。
这种非正式的方法并不能代替正态性检验的统计推断，但它可以作为一种有用的快速直观评估方式。
在下列图形中，将粗笔检验应用到了上面的概率图中。
灰色带形就表示在拟合线上划的粗笔。
正态性检验
10
第一节 估计样本含量
最小样本含量
无论所比较的总体是否具有差别， 无论所比较的总体是否具有差别，通过假设检 验，都有一定的可能性得出正确结论所必需的 样本大小。 样本大小。 正确结论
比较的总体间没有差别，通过假设检验得出无差别 比较的总体间没有差别， 的结论。错误结论即假阳性、误诊。 的结论。错误结论即假阳性、误诊。 比较的总体间有差别，通过假设检验得出有差别的 比较的总体间有差别， 结论。错误结论即假阴性、漏诊。 结论。错误结论即假阴性、漏诊。
根据α 的值查附表13 根据α和β的值查附表13
18
第二节 计量资料样本含量估计
两样本均数比较
例14.2 δ = 12 .33 , σ c = 25 .84 , α = 0 .05 , β = 0 .20 D = 12 .33 25 .84 = 0 .48
查表后利用线性插值得n=70 查表后利用线性插值得n=70
Skewness Kurtosis Std. Std. Error Error Statistic Statistic Statistic 144 -.020 .202 -.157 .401
N
（表中数据利用SPSS计算而得） 表中数据利用SPSS计算而得） SPSS计算而得
3
第一节 矩法
对表13.1 13.1的资料作正态性检验 例13.1 对表13.1的资料作正态性检验
第三节 计数资料样本含量估计
两样本率的比较
计算δ 计算δ=|p1-p2| 根据α 和较小的p值查附表14、 值查附表14 根据α、β和较小的 值查附表14、15 例14.3 p1 = 20%, p2 = 40%, α = 0.05 , β = 0.20 δ =| p1 p2 |= 20%
判断正态性的几种方法总结
判断正态性的几种方法总结展开全文数据服从正态分布是很多分析方法的前提条件，在进行方差分析、回归分析等分析前，首先要对数据的正态性进行分析，确保方法选择正确。
如果不满足正态性特质，则需要考虑使用其他方法或对数据进行处理。
检测数据正态性的方法有很多种，以下为几种常见方法：图示法、统计检验法、描述法等。
01. 正态图正态分布图可直观地展示数据分布情况，并结合正态曲线判断数据是否符合正态分布。
操作方法：SPSSAU→可视化→正态图分析时，选择【正态图】分析方法，拖拽分析项到右侧分析框内，点击“开始正态图分析”即可得到结果。
正态图若数据基本符合正态分布，则会呈现出中间高、两侧低、左右基本对称的“钟形”分布曲线。
若数据为定类数据或数据量较少，一般很难呈现出标准的正态分布，此时建议只要图形呈现出“钟形”也可接受数据服从正态分布。
若数据分布完全偏离正态，则说明数据不符合正态分布。
02. P-P图/Q-Q图P-P图和Q-Q图，都是通过散点与正态分布的预测直线法重合程度以说明数据是否服从正态分布。
P-P图是将实际数据累积比例作为X轴，将对应正态分布累积比例作为Y轴，作散点图，反映实际累积概率与理论累积概率的符合程度。
Q-Q图将实际数据作为X轴，将对应正态分布分位数作为Y 轴，作散点图，反映变量的实际分布与理论分布的符合程度。
如数据服从正态分布，则散点分布应近似呈现为一条对角直线。
反之则说明数据非正态。
P-P图和Q-Q图的功能一致，使用时没有区别。
03. 正态性检验利用统计图分析正态性，往往是依靠分析者的主观判断进行。
因而容易产生结果偏差。
因此需要结合其他方法，对数据的正态性指标进行统计描述。
正态性检验分析定量数据是否具有正态分布特质。
操作步骤：选择【正态性检验】分析方法，拖拽分析项到右侧分析框内，点击“开始正态性检验”即可得到结果。
分析结果如果样本量大于50，则应该使用Kolmogorov-Smirnov检验结果，反之则使用Shapro-Wilk检验的结果。
正态性的检验方法
正态性的检验方法
正态性的检验方法通常有以下几种：
1. 直方图和正态概率图：绘制样本数据的直方图和正态概率图，通过目测判断数据是否符合正态分布。
2. 正态性假设检验：采用统计学中的正态性假设检验方法，比如Shapiro-Wilk 检验、Kolmogorov-Smirnov检验、Anderson-Darling检验等。
3. Q-Q图：绘制样本数据的Q-Q图（Quantile-Quantile Plot），将观测值的分位数与正态分布的理论分位数进行比较，若数据符合正态分布，点图应该沿着一条直线分布。
4. 箱线图：绘制样本数据的箱线图，通过观察异常值和离群点的数量和位置来判断数据是否符合正态分布。
5. 偏度和峰度检验：计算样本数据的偏度（Skewness）和峰度（Kurtosis），若偏度和峰度接近于0，则数据更接近于正态分布。
以上方法可以单独或者结合使用来检验数据的正态性，但需要注意的是，这些方法都是基于样本数据的，只能提供对正态性的近似判断，并不能确定样本数据是
否完全符合正态分布。
正态检验方法
正态检验方法一、前言正态检验是统计学中常用的一种方法，用于检验数据是否符合正态分布。
正态分布是指在概率论和统计学中经常出现的一种连续概率分布，其特点是对称、单峰、钟形曲线。
正态分布在实际应用中具有很重要的意义，因此对数据进行正态检验就显得尤为重要。
本文将详细介绍正态检验的方法以及如何使用R语言进行正态检验。
二、什么是正态检验？正态检验（Normality Test）是指通过某些统计量对数据样本进行假设检验，判断样本是否符合正态分布。
常见的统计量有Kolmogorov-Smirnov (K-S) 检验、Shapiro-Wilk 检验、Anderson-Darling (A-D) 检验等。
三、K-S检验K-S检验（Kolmogorov–Smirnov test）是一种非参数假设检验方法，主要用于判断一个样本是否来自某个已知分布。
在正态性检查中，我们可以使用K-S测试来比较观察值与标准正态分布之间的差异。
1. K-S测试原理在使用K-S测试时，我们首先需要确定一个假设H0：该样本来自一个已知分布。
通常情况下，该已知分布是标准正态分布。
我们可以使用样本的均值和标准差来估计标准正态分布的参数。
接下来，我们需要计算出观察值与标准正态分布之间的最大偏差（D）。
这个偏差是指在统计学上，观察值与标准正态分布之间的最大距离。
最后，我们需要根据样本大小和显著性水平确定临界值。
如果D大于临界值，则拒绝假设H0，即该样本不符合正态分布。
2. 使用R语言进行K-S检验在R语言中，我们可以使用ks.test()函数进行K-S检验。
该函数包含两个参数：x表示要检验的数据向量；y表示用于比较的已知分布。
例如：```R# 生成一个随机数向量set.seed(123)x <- rnorm(100)# 进行K-S检验ks.test(x, "pnorm")```输出结果为：```ROne-sample Kolmogorov-Smirnov testdata: xD = 0.0863, p-value = 0.4814alternative hypothesis: two-sided```其中，D表示最大偏差；p-value表示拒绝原假设的显著性水平。
何谓正态性检验
何谓正态性检验，如何进行检验正态性检验(Normality test) 是一种特殊的假设检验，其原假设为：H 0：总体为正态分布正态性检验即是检验一批观测值（或对观测值进行函数变换后的数据）或一批随机数是否来自正态总体。
这是当基于正态性假定进行统计分析时，如果怀疑总体分布的正态性，应进行正态性检验。
但当有充分理论依据或根据以往的信息可确认总体为正态分布时，不必进行正态性检验。
z 有方向检验当在备择假设中仅指总体的偏度偏离正态分布的峰度，并且有明确的偏离方向时，检验称为有方向的检验。
特别当总体的偏度和峰度都偏离正态分布的偏度和峰度时，检验称为多方向的检验。
z 无方向检验当备择假设为H 1，总体不服从正态分布时，检验为无方向的检验。
检验方法由于有方向检验在实际检验中使用较少，故在此不作详细的介绍。
当不存在关于正态分布偏离的形式的实质性的信息时，推荐使用无方向检验。
GB/T4882-2001中删去了以前在无方向检验中常用的D 检验法。
代入以爱波斯—普里（EPPS-Pulley ）检验法。
保留了使用较多的W 检验法，即夏皮洛—威克尔（Shapiro-Wilk ）检验。
当8n 50≤≤时可以利用，小样本(n<8)对偏离正态分布的检验不太有效。
这种常用的无方向检验，由于实验室中一般检测的次数有限，所以它适于实验室测试数据的正态性检验。
它的实施步骤如下：（1） 将观测值按非降次序排列成：(1)(2)(3)()......n x x x x ≤≤≤（2） 按公式：2(1)()12()1()[]()L k n k k k n k k W x x W x x α+−==⎧⎫−⎨⎬⎩⎭=−∑∑ 计算统计量W 的值。
其中n 为偶数时，2n L =；n 为奇数时，12n L −=。
（3） 根据α和n 查GB/T 4882的表11得出W 的p 分位数p α。
（4） 判断：若W<p α，则拒绝H 0，否则不拒绝H 0。
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15
第二节 计量资料样本含量估计
配对资料均数比较
δ D= σd δ：差值的均数， σ d：差值的标准差
根据α 的值查附表12 根据α和β的值查附表12 计算D 计算D值
16
第二节 计量资料样本含量估计
配对资料均数比较
例14.1
δ = 16 .3, σ d = 10 .6, α = 0 .01, β = 0 .05
红细 胞数 频数 f 组中值 x fx fx2 秩号 范围 平均秩 次T fxT
420440460-
2 4 7
430 450 470
860 1800 3290 ……
369800 810000 1546300
1-2 3-6 7-13
1.5 4.5 10.0
1290 8100 32900
计算得D=0.2804 计算得D=0.2804
计算u 计算u 值
ug =
1
σg
g1
1
− 0.020 = = −0.099 0.202 − 0.157 = = −0.391 0.401
ug =
2
σg
g2
2
4
第一节 矩法
对表13.1 13.1的资料作正态性检验 例13.1 对表13.1的资料作正态性检验
查附表1 界值表中v 值做为u 查附表1，t 界值表中v =∞的t 值做为u 的界限 值 Qu = 1.96
D = 16 .3 10 .6 = 1 .5
查表得n=12 查表得n=12
可在估计的样本含量上再增加10%~20%的例数， 可在估计的样本含量上再增加10%~20%的例数， 10%~20%的例数 则取15 15对 则取15对。
17
第二节 计量资料样本含量估计
两样本均数比较
计算D 计算D值
δ D= σc δ：均数差， σ c：联合标准差
8
第二节 D检验法
对表13.1 13.1的资料作正态性检验 例13.2 对表13.1的资料作正态性检验
查D界限值表。本例n=144，查相近的n所在行， 界限值表。本例n=144，查相近的n所在行， 0.2846)。 得D0.2=(0.2782, 0.2846)。
0.05<P<0.1 0.1<P<0.2 0.2<P 0.2782 0.2846
0.05
∴| ug |= 0.099 < u0.05
1
| ug |= 0.391< u0.05
2
∴ p1 > 0.05, p2 > 0.05
可以认为总体服从正节 矩法
第二节 D检验法
6
第二节 D检验法
计算步骤（频数表资料） 计算步骤（频数表资料）
无效假设H0：总体服从正态分布 无效假设H 计算统计量D 计算统计量D值
11
第一节 估计样本含量
检验水准α 检验水准α
即第一类错误的概率。 即第一类错误的概率。若比较的总体间没有差 则按α检验水准， (1-α)的可能得出无 别，则按α检验水准，有(1-α)的可能得出无 差别的结论。 差别的结论。 越小，所需的样本量越大。一般取α=0.05 α=0.05。 α越小，所需的样本量越大。一般取α=0.05。 还应确定是采用单侧检验，还是双侧检验。 还应确定是采用单侧检验，还是双侧检验。
在估计的样本含量上再增加10%~20%的例数， 在估计的样本含量上再增加10%~20%的例数， 10%~20%的例数 两样本可各取70~75 70~75例 两样本可各取70~75例。
21
第三节 计数资料样本含量估计
两样本率的比较
如果较小的率大于50%， 如果较小的率大于50%，可用相反的率估计 50% 例14.4 p1 = 60%, p2 = 90%, 转化为相反率后
第三节 计数资料样本含量估计
两样本率的比较
计算δ 计算δ=|p1-p2| 根据α 和较小的p值查附表14、 值查附表14 根据α、β和较小的 值查附表14、15 例14.3 p1 = 20%, p2 = 40%, α = 0.05 , β = 0.20 δ =| p1 − p2 |= 20%
查表得n=63 查表得n=63
在估计的样本含量上再增加10%~20%的例数， 在估计的样本含量上再增加10%~20%的例数， 10%~20%的例数 两样本可各取80 80例 两样本可各取80例。
19
第十四章 样本含量的估计
第一节 引言 第二节 计量资料假设检验所需样 本含量的估计
第三节 计数资料假设检验所需样 本含量的估计
20
22
13
第一节 估计样本含量
所比较总体的一些信息
对于计量资料， 对于计量资料，要知道均数及标准差 对于计数资料，要知道率 对于计数资料，要知道率 可根据经验、查阅文献或通过预试验来估计这 可根据经验、 些数据的值
14
第十四章 样本含量的估计
第一节 引言
第二节 计量资料假设检验所需样 本含量的估计
第三节 计数资料假设检验所需样 本含量的估计
=0且 =0则为正态分布 若g1 =0且g2 =0则为正态分布
2
第一节 矩法
对表13.1 13.1的资料作正态性检验 例13.1 对表13.1的资料作正态性检验
无效假设H 无效假设H0：总体服从正态分布 计算样本偏度系数g1和峰度系数g2及其标准误
Descriptive Statistics
红细胞
Skewness Kurtosis Std. Std. Error Error Statistic Statistic Statistic 144 -.020 .202 -.157 .401
N
（表中数据利用SPSS计算而得） 表中数据利用SPSS计算而得） SPSS计算而得
3
第一节 矩法
对表13.1 13.1的资料作正态性检验 例13.1 对表13.1的资料作正态性检验
第十三章 正态性检验
第一节 矩法
第二节 D检验法 检验法
1
第一节 矩法
偏度系数和峰度系数
偏度系数g1表示分布的对称性
g1 =0：对称 =0： g1 >0：正偏态 >0： g1 <0：负偏态 <0：
峰度系数g2表示峰型
g2 =0：正态峰 =0： g2 >0：尖峭峰 >0： g2 <0：平阔峰 <0：
10
第一节 估计样本含量
最小样本含量
无论所比较的总体是否具有差别， 无论所比较的总体是否具有差别，通过假设检 验，都有一定的可能性得出正确结论所必需的 样本大小。 样本大小。 正确结论
比较的总体间没有差别，通过假设检验得出无差别 比较的总体间没有差别， 的结论。错误结论即假阳性、误诊。 的结论。错误结论即假阳性、误诊。 比较的总体间有差别，通过假设检验得出有差别的 比较的总体间有差别， 结论。错误结论即假阴性、漏诊。 结论。错误结论即假阴性、漏诊。
根据α 的值查附表13 根据α和β的值查附表13
18
第二节 计量资料样本含量估计
两样本均数比较
例14.2 δ = 12 .33 , σ c = 25 .84 , α = 0 .05 , β = 0 .20 D = 12 .33 25 .84 = 0 .48
查表后利用线性插值得n=70 查表后利用线性插值得n=70
' p1' = 40%, p2 = 10%, α = 0.05, β = 0.20 ' δ =| p1' − p2 |= 30%
查表得n=23 查表得n=23
在估计的样本含量上再增加10%~20%的例数， 在估计的样本含量上再增加10%~20%的例数， 10%~20%的例数 两样本可各取30 30例 两样本可各取30例。
0.2758
0.2770
0.2852 0.2856
因为0.2804在 的范围内，所以p>0.2， 因为0.2804在D0.2的范围内，所以p>0.2，认为 0.2804 该资料服从近似正态分布。 该资料服从近似正态分布。
9
第十四章 样本含量的估计
第一节 引言
第二节 计量资料假设检验所需样 本含量的估计 第三节 计数资料假设检验所需样 本含量的估计
12
第一节 估计样本含量
把握度1 把握度1-β
β即第二类错误的概率。若比较的总体间确有 即第二类错误的概率。 差别，则有(1 β)的可能得出有差别的结论 (1的可能得出有差别的结论。 差别，则有(1-β)的可能得出有差别的结论。 1-β越大，所需的样本量越大。通常取β=0.1 越大，所需的样本量越大。通常取β=0.1 0.2，相应的把握度为0.9 0.8。 0.9或 或0.2，相应的把握度为0.9或0.8。
D= n
∑
3
(∑ fx
fx T −
2
n +1 2
∑
fx
2
− (∑ fx ) n
)
其中， 为各组组中值， 为各组频数， 其中，x 为各组组中值，f 为各组频数，T 为各组平 均秩次， 均秩次，n 为总例数
查D界限值表，做出结论 界限值表，
7
第二节 D检验法
对表13.1 13.1的资料作正态性检验 例13.2 对表13.1的资料作正态性检验