信号分析第五章答案
解
(4)
解
(5)
解
(6)
解
(7)
解
(8)
解
(9)
解
(10) ( )
解
5.3已知 的拉普拉斯变换为 ，求下列信号的拉普拉斯变换。
(1)
解
(2)
解 ，
(3)
解
(4)
解 ，
5.4 求下列信号的拉普拉斯逆变换。
(1)
解
(2)
解
(3)
解 ；
(4)
解 ；
(5)
解 ，
(6)
解
， ，
，
(7)
解
(8)
解
5.5 求下列函数拉普拉斯逆变换的初值和终值。
解(1)系统差分.17 系统的微分方程为 ，试用下面三种方法求系统的冲激响应 。
(1)用时域分析法求解微分方程；
(2)用频域分析法求 ；
(3)用复频域( 域)分析法求 。
解(1)
将 代入微分方程，比较方程两边的系数得：
； 解得：
解(2)原方程两边同取傅里叶变换得：
解 根据电路，可立复频域回路电流方程：
整理得：
设：
则：
*5.23 利用 变换的性质，求下列序列的单边 变换。
(1)
解
(2)
解
(3)
解
(4)
解
(5)
解
又
(6)
解
(7)
解
(8)
解
设：
则：
由题(7)知:
又：
(9)
解
(10)
解
(11) ( )
解
(4)用初值定理求零状态响应的初值 。
解(1)
解(2)对原方程二边进行拉普拉斯变换得：
解(3)
解(4)
5.8 在题图5.8所示电路中， 以前开关S位于“1”端，已进入稳定状态。 时，开关从“1”倒向“2”，求 。
解 由题意知 根据电路可列出 时的微分方程为：
整理得
设 ，方程二边进行拉普拉斯变换得：
5.9求题图5.9所示电路的传输函数 。
第五章习题解答
5.1根据定义求下列信号的单边拉普拉斯变换，并注意比较所得结果。
(1) 为任意值
解
(2)
解
(3)
解
(4)
解
(5)
解
由(1)～(3);(4)～(5)之间的比较知，在ｔ＞０时具有相同函数形式的两个不同时域函数，具有相同的单边拉普拉斯变换。
5.2求下列信号的单边拉普拉斯变换。
(1)
解
(2)
解
解(3)原方程两边同取拉氏变换得：
*5.18 离散时间系统的差分方程为 ，试用下面三种方法求系统的单位冲激响应 。
(1) 用时域分析法求解微分方程；
(2) 用频域分析法求 ；
(3) 用 域分析法求 。
解(1)
齐次方程通解：
又： ；
将 代入通解表达式中得：
解(2)原方程两边进行拉氏变换得：
解(3):原方程两边进行z变换得：
*5.19 电路如题图5.19所示，激励信号 ，试用下面二种 域分析法求解电路的全响应 。
(1)根据电路建立微分方程，对方程进行拉普拉斯变换，求得 ；
(2)根据电路的复频域模型求得 。
解(1)由电路可建立微分方程为：
即： ，两边取拉氏变换得：
解(2)电路的复频域等效模型为右图：
5.20试用拉普拉斯变换的性质求下列函数的拉普拉斯变换。
(1)
解
(2)
解
5.6 比例积分器的电路如题图5.6所示，输入信号分别为以下二种情况时，求输出信号，并画出其波形草图。
(1)
(2)
解(1)
波形参见右图.
解(2)
5.7某一LTI系统的微分方程为：
系统的初始条件为 ，激励信号 ，试求：
(1)冲激响应 ；
(2)零输入响应 ，零状态响应 及全响应 ；
(3)用初值定理求全响应的初值 ；
(6)
解
(7)
解
5.13 求下列 的逆变换。
(1)
解
(2)
解
(3)
解
5.14 利用卷积定理求 。
(1) ，
解 ； ；
(2) ，
解 ；
5.15 用单边 变换求解差分方程
， ，
解 方程两边取ｚ变换，并考虑初始条件得：
整理得：
5.16 系统结构如题图5.16所示
(1)求该系统的单位冲激响应 ；
(2)若激励为 ，求输出 。
( )
5.11 已知传输函数 的零极点分布如题图5.11所示，并知 ，试写出 的表示式，并说明系统的稳定性。
解 根据零极点分布图可知：
又由 ，可确定 。
由于所有极点均位于左半ｓ平面，所以该系统是稳定系统。
5.12求下列信号的单边 变换 ，并注明收敛域。
(1)
解
(2)
解
(3) ( )
解
(4)
解
(5)
解
(1) [题图5.9(a)]
(2) [题图5.9(b)]
解(1)设一中间参量 ，参见图ａ），根据极点电压法可立方程如下
由第2个方程解得 ，代入第1个方程得
解(2)设置中间参量 (参见图b),根据电路可立方程：
整理得： ，
5.10 用复频域等效模型法求解题5.8。
解 复频域等效模型参见下图。
根据电路可立方程：
(1)
解
(2)
解
(3)
解
(4)
解
*5.21 某电路如题图5.21所示，已知 ， ， 为受控电流源。使用复频域分析法求受控电流源两端的电压 。
解复频域等效电路如下：
用节点电压法，设节点电压为 参见上图。
； 根据电路有：
代人参数并整理得：
即有：
由此确定出：
*5.22 已知系统及其输入信号如题图5.22所示，系统的初始条件为零，试求输出电压 。
信号与系统第五章习题答案
∞
n− 6
1 − a n− 5 ε [n − 6 ] 1− a
故系统的零状态响应为
y zs [n ] = f [n] ∗ h[n] = a n ε [n] ∗ (ε [n] − ε [n − 6]) = a n ε [n] ∗ ε [n ] − a nε [n] ∗ ε [n − 6]
联立以上两式可解得： A1 = 1 ， A2 = 2 于是齐次解为
275
y h [n] = (− 3) + 2 n+1
n
5.10
如有齐次差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 4 y[n − 2] = 0 ， 已知 y[0] = y[1] = −2 ， 试求其齐次解。 【知识点窍】主要考察系统的齐次解的概念及其求解方法。 【逻辑推理】首先通过差分方程得特征方程，由特征方程求得特征根，代入条件即可求得齐次
λ2 + 3λ + 2 = 0
y zi [n ] = A1 (− 1) + A2 (− 2)
n
n
将初始状态 y[− 1] = −
1 , 2
y[− 2] =
5 代入上式，有： 4
−1 −1
y[− 1] = y zi [− 1] = A1 (− 1) + A2 (− 2 ) = − y[− 2] = y zi [− 2 ] = A1 (− 1) + A2 (− 2 )
−2 −2
1 2 5 = 4
271
联立以上两式可解得： A1 = 2 ， A2 = −3 则系统的零输入响应为
y zi [n ] = 2(− 1) − 3(− 2)
n
n
5.4 设有离散系统的差分方程为 y[n] + 4 y[n − 1] + 3 y[n − 2] = 4 f [n] + f [n − 1] ，试画出其时域模拟 图。 【知识点窍】主要考察由系统的差分方程画出系统的直接模拟图，掌握直接模拟图的意义。 【逻辑推理】将差分方程各个环节分别用加法器及延时器来表示。 解：时域模拟图如图 5.1
数字信号处理,第5章课后习题答案
第五章习题与上机题5.1 已知序列12()(),0 1 , ()()()nx n a u n a x n u n u n N =<<=--，分别求它们的自相关函数，并证明二者都是偶对称的实序列。
解：111()()()()()nn mx n n r m x n x n m a u n au n m ∞∞-=-∞=-∞=-=-∑∑当0m ≥时，122()1mmnx n ma r m aaa∞-===-∑ 当0m <时，122()1m mnx n a r m aaa -∞-===-∑ 所以，12()1mx ar m a =-2 ()()()()N x n u n u n N R n =--=22210121()()()()()1,0 =1,00, =()(1)x NN n n N mn N n m N r m x n x n m Rn R n m N m N m N m m Nm N m R m N ∞∞=-∞=-∞--=-=-=-=-⎧=--<<⎪⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪⎪⎪⎩-+-∑∑∑∑其他从1()x r m 和2()x r m 的表达式可以看出二者都是偶对称的实序列。
5.2 设()e()nTx n u n -=，T 为采样间隔。
求()x n 的自相关函数()x r m 。
解：解：()()()()e()e ()nTn m T x n n r m x n x n m u n u n m ∞∞---=-∞=-∞=-=-∑∑用5.1题计算1()x r m 的相同方法可得2e()1e m Tx Tr m --=-5.3 已知12()sin(2)sin(2)s s x n A f nT B f nT ππ=+，其中12,,,A B f f 均为常数。
求()x n 的自相关函数()x r m 。
解：解：()x n 可表为)()()(n v n u n x +=的形式，其中)2sin()(11s nT f A n u π=，=)(n v 22sin(2)s A f nT π，)(),(n v n u 的周期分别为 s T f N 111=，sT f N 221=，()x n 的周期N 则是21,N N 的最小公倍数。
随机信号分析基础第五章习题王永德答案
GZ (? ) ? F [RW (k)]
2
?? RZ (k)e? j? k k? 2
? 2 ? 4 (e? j? ? e j? ) ? 1 (e? j2? ? e j2? )
3
3
? 2 (3 ? 4cos ? ? cos 2? )
3
（3）解：
Yn
?
?
1 2
Yn ? 1
?
Xn
这是一个一阶AR过程，输出的自相关函数可
滑动平均 (MA)模型
q
? Yn ? bm Xn? m m? 0
自回归滑动平均 (ARMA)模型
p
q
? ? Yn ? alYn? l ? bm Xn? m
l?1
m? 0
5.30 （1）解：
Wn ? Xn ? Xn?1
显然这是一个一阶MA过程，该过程输出的自 相关函数满足下列方程
? RW (k)
?
? ? ?
H (z) ?
j?0 p
? ai z?i
i?0
不失一般性令 a0=1，则其差分方程为：
p
q
y(n) ? ? ai y(n ? i) ? ? bj x(n ? j)
i?1
j?0
差分方程为：Y(n) ? 0.8Y(n ? 1) ? X(n)
?
4 (? 9
1)k 2
5.31 解：要求差分方程
由题可知 GY (? ) ? G X (? ) H (? ) 2
得到：
H (? ) 2 ?
1
1.64 ? 1.6cos ?? NhomakorabeaH
(Z)
2
?
1.64
?
1 0.8 Z
?
随机信号分析_第五章_窄带随机过程
定义复指数函数： ~s (t) ae j (t) ae j e j0t a~e j0t 式中 a~ ae j ，称为复包络。 可以看出s(t)是~s (t) 的实部，即：
s(t) Re[~s (t)]
某些情况下，用复指数形式来分析 问题更加简便，可以简化信号和滤波器 的分析。
复信号~s (t) 的频谱为：
1. s(t) Re[~s (t)]
2.
X~ (
)
2 0
X
(
)
0 0
式中X~ ( )为~s (t)的频谱。
可以证明：满足上面要求的 ~s (t) 是 存在的，称为解析信号。把它用解析表 达式表示为：~s (t) s(t) jsˆ(t)
可以推导出： sˆ(t)
1
s( ) d
t
上式称为希尔伯特(Hilbert)变换，记做
0
ω ω0-ωc ω0 ω0+ωc
|X~H(ω)|
0
ω0-ωc ω0 ω0+ωc
ω
2. 复指数表示
设s(t)为窄带信号，其频谱为X(ω) 。 定义窄带信号s(t)的复指数函数 ~se (t) 为：
~se (t) A(t)e j[0t (t)] A~(t)e j0t 其中A~(t)＝A(t)e j (t) sc (t) jss (t)
用复数表示为：
s(t)=acosφ(t)=a[ejφ(t)+ e-jφ(t)]/2
因为 e j0t ( 0 )
所以s(t)的频谱为：
X(ω)= a[ejθδ(ω-ω0)+e-jθδ(ω+ω0)]/2 |X(ω)|= a[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]/2 说明正弦型信号包含正负两种频率成分， 其频谱为对称的两根单一谱线。
随机信号分析(第3版)第五章习题及答案
5.1 求题图5.1中三个电路的传输函数（不考虑输出负载）。
RRC1C 2C 1C 2C 1R 2R题图5.1解根据电路分析、信号与系统的知识， 第一个图中系统的传输函数 1/1()1/1j C H j R j C j RCωωωω==++ 第二个图中系统地传输函数 ()21112211/1()/11/1/j C j RC H j R j C j R C C j C R j C ωωωωωωω+==++++ 第三个图中系统地传输函数()2222212111221212121122/1/()//1/1/R j C R j C R j R R C H j R j C R j C R R j R R C C R j C R j C ωωωωωωωωω++==++++++5.2若平稳随机信号)(t X 的自相关函数||2)(ττ-+=BeA R X ，其中，A 和B 都是正常数。
又若某系统冲击响应为()()wth t u t te -=。
当)(t X 输入时，求该系统输出的均值。
解： 因为[]()22X EX R A =∞=所以[]E X A A =±=±。
()()()()()20wt A E Y t E h X t d E X t h d A te dt wξξξξξ∞∞∞--∞-∞±⎡⎤=-==±=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 5.35.4 若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于正文图5.2所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。
求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。
解：首先我们求系统的频率响应()H j ω。
根据电路分析、信号与系统的知识，/1/11()()()1/1t RCj C H j h t e u t R j C j RCRCωωωω-==↔=++ 然后，计算)(t X 的均值与自相关函数，[]()1/2X m E X t ==[]{}(){}{}0000(,)cos cos X R t t EXt X t τωωτ+=++Φ+++Φ=⎡⎤⎣⎦()01/31/2cos ωτ+可见)(t X 是广义平稳的。
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程
独立
2020/10/24
06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
2020/10/24
29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
2020/10/24
2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
2020/10/24
1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
信号与系统课后习题答案第5章
y(k)=［2(－1)k+(k－2)(－2)k］ε(k)
76
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.23 求下列差分方程所描述的离散系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。
77
第5章 离散信号与系统的时域分析 78
第5章 离散信号与系统的时域分析
确定系统单位响应: 由H(E)极点r=－2, 写出零输入响应表示式: 将初始条件yzi(0)=0代入上式，确定c1=0, 故有yzi(k)=0。
题解图 5.6-1
16
第5章 离散信号与系统的时域分析
题解图 5.6-2
17
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此
18
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.7 各序列的图形如题图 5.2 所示，求下列卷积和。
题图 5.2
19
第5章 离散信号与系统的时域分析 20
第5章 离散信号与系统的时域分析 21
第5章 离散信号与系统的时域分析 46
第5章 离散信号与系统的时域分析
5.16 已知离散系统的差分方程(或传输算子)如下，试求各 系统的单位响应。
47
第5章 离散信号与系统的时域分析 48
由于
第5章 离散信号与系统的时域分析
49
第5章 离散信号与系统的时域分析
因此系统单位响应为
50
第5章 离散信号与系统的时域分析 51
5.21 已知LTI离散系统的单位响应为
试求： (1) 输入为
时的零状态响应yzs(k)； (2) 描述该系统的传输算子H(E)。
69
第5章 离散信号与系统的时域分析
解 (1) 由题意知: 先计算:
70
第5章 离散信号与系统的时域分析
信号分析与处理课后习题答案
信号分析与处理课后习题答案第五章 快速傅里叶变换1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需要50us ，每次复加需要10us ，用来就散N=1024点的DFT ，问：（1）直接计算需要多少时间？用FFT 计算呢？（2）照这样计算，用FFT 计算快速卷积对信号进行处理是，估计可实现实时处理的信号最高频率？ 解：分析：直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2，复加次数为N(N-1)；利用FFT 计算：复乘次数为20.5log N N ，复加次数为2log N N ；（1） 直接DFT 计算：复乘所需时间2215010245052.4288T N us us s =⨯=⨯=复加所需时间2(1)101024(10241)1010.47552T N N us us s =-⨯=-⨯= 所以总时间1262.90432DFT T T T s =+=FFT 计算：复乘所需时间3220.5log 500.51024log 1024500.256T N N us us s =⨯=⨯⨯⨯= 复加所需时间422log 101024log 1024100.1024T N N us us s =⨯=⨯⨯= 所以总时间为340.3584FFT T T T s =+= （2） 假设计算两个N 长序列1()x n 和2()x n 的卷积计算过程为如下：第一步：求1()X k ，2()X k ；所需时间为2FFT T ⨯第二步：计算12()()()X k X k X k =•，共需要N 次复乘运算所需时间为501024500.0512To N us us s =⨯=⨯=第三步：计算(())IFFT X k ，所需时间为FFT T所以总时间为230.35840.0512 1.1264FFT T T To s s s =⨯+=⨯+= 容许计算信号频率为N/T=911.3Hz2.设x(n)是长度为2N 的有限长实序列，()X k 为x(n)的2N 点得DFT 。
北理工信号与系统第五章作业参考答案
5.3 已知x(t)=sin(4πt)/πt,当对x(t) 抽样时，求能 恢复原信号的最大抽样间隔 解：F{x(t)}=F{4sinc(ωct)}=(4π/ωc)G2ωc(ω), ωc=4π, 可知信号带宽为 Bw=ωc=4π rad/s
则，最大抽样间隔为 Ts=2π/(2Bw)=0.25(s).
e jk 2 / N e jk 2 / N e j 3k 2 / N e j 3k 2 / N ~ jk0 X (e ) Nck N 2 2 j
由0 2 N / 4
e jk0 e jk0 e j 3k0 e j 3k0 ~ jk0 X (e ) N 2 2 j
1 e e
1 n j ( )( N 1) / 2 3 4
e
1 n j ( )( N 1) / 2 3 4
e e
1 n j ( )( N 1) / 2 3 4 1 n j ( ) / 2 3 4
e
1 n j ( ) / 2 3 4
e
1 n j ( ) / 2 3 4
x[n]=x0[n-2] Re{X(ejΩ)}e-j2Ω,
所以 argX(ejΩ)=-2Ω;
(c)
X (e
j
)d X (e j )e jn |n 0 d 2x[0]
4
(d)
X (e )
j
n
x[n]e
jn
n
n ( 1 ) x[n]
P211.
5.2 已知x(t)为一个有限带宽信号，其频带宽度为BHz， 试求x(2t)和x(t/3)的奈奎斯特抽样率和抽样间隔。 解:（1） x(2t)在时域压缩2倍，对应的周期减半，频域 将扩大两倍，带宽成为2BHz，所以 奈奎斯特抽样率fs=4 BHz 奈奎斯特抽样间隔Ts=1/fs=1/(4B）s (2) x(t/3)在时域扩展3倍，对应的周期扩大3倍，频域缩 沟通小3倍，信号带宽成为B/3 Hz，所以 奈奎斯特抽样率fs=2B/3 Hz 奈奎斯特抽样间隔Ts=1/fs=3/(2B）s
信号与系统第5章习题答案
第5章连续时间信号的抽样与量化5.1试证明时域抽样定理。
证明：设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为T(t)(tnT)sn由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：1F s ()F()T 2()1 T snFns式中F()为原信号f(t)的频谱，T ()为单位冲激序列T (t)的频谱。
可知抽样后信 号的频谱()F 由F()以s 为周期进行周期延拓后再与1T s 相乘而得到，这意味着如果 s s2，抽样后的信号f s (t)就包含了信号f(t)的全部信息。
如果s2m ，即抽样m 间隔 1 Tsf2m，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建 原信号。
因此必须要求满足1 Tsf2 m，f(t)才能由f s (t)完全恢复，这就证明了抽样定理。
5.2确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔：2t （1）Sa(50t)（2）Sa(100)2t （3）Sa(50t)Sa(100t)（4）(100)(60)SatSa解：抽样的最大间隔 T s 12f 称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率f s 2f m 称为奈奎m斯特速率，最低采样频率s 2称为奈奎斯特频率。
m（1）Sa(t[u(50)u(50)]，由此知m50rad/s ，则50)5025 f ， m由抽样定理得：最低抽样频率50 f s 2f m ，奈奎斯特间隔1 T 。
sf50s2t（2）)Sa(100)(1100200脉宽为400，由此可得radsm200/，则100f，由抽样定理得最低抽样频率m200f s2f m，奈奎斯特间隔1T。
sf200s（3）Sa[(50)(50)]，该信号频谱的m50rad/s(50t)uu50Sa(100t)[u(100)u(100)],该信号频谱的m100rad/s10050Sa(50t)Sa(100t)信号频谱的m100rad/s,则f，由抽样定理得最低m抽样频率100f s2f m，奈奎斯特间隔1T。