高三一轮复习课件：8-7立体几何中的向量方法(一)
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高考数学一轮复习 8-6 立体几何中的向量方法(一)课件 新人教A版
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9
课堂总结
以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)， P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
法一 ∴E→F＝(0，1，0)，E→G＝(1，2，－1)，
设平面 EFG 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则nn··EE→→FG＝＝00，，即yx＝＋02，y－z＝0， 令 z＝1，则 n＝(1，0，1)为平面 EFG 的一个法向量，
6
课堂总结
3．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量
是平面ABC法向量的是
()
A．(－1，1，1)
B．(1，－1，1)
C．(－
33，－
33，－
3 3)
D．(
33，
33，－
3 3)
解析 设 n＝(x，y，z)为平面 ABC 的法向量，
则nn··AA→→BC＝＝00，，化简得－ －xx＋ ＋yz＝＝00，，∴x＝y＝z.故选 C. 答案 C
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直
D．以上均不对
解析 ∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝ －23≠0，∴α，β不平行，也不垂直．故选C.
答案 C
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8
课堂总结
考点一 利用空间向量证明平行问题 【例1】 如图所示，平面PAD⊥平面
ABCD，ABCD为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA＝AD＝2， E，F，G分别是线段PA，PD，CD 的中点．求证：PB∥平面EFG. 证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD，且 ABCD为正方形， ∴AB，AP，AD两两垂直．
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课堂总结
以A为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)， P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
法一 ∴E→F＝(0，1，0)，E→G＝(1，2，－1)，
设平面 EFG 的法向量为 n＝(x，y，z)， 则nn··EE→→FG＝＝00，，即yx＝＋02，y－z＝0， 令 z＝1，则 n＝(1，0，1)为平面 EFG 的一个法向量，
6
课堂总结
3．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量
是平面ABC法向量的是
()
A．(－1，1，1)
B．(1，－1，1)
C．(－
33，－
33，－
3 3)
D．(
33，
33，－
3 3)
解析 设 n＝(x，y，z)为平面 ABC 的法向量，
则nn··AA→→BC＝＝00，，化简得－ －xx＋ ＋yz＝＝00，，∴x＝y＝z.故选 C. 答案 C
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直
D．以上均不对
解析 ∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝ －23≠0，∴α，β不平行，也不垂直．故选C.
答案 C
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8
课堂总结
考点一 利用空间向量证明平行问题 【例1】 如图所示，平面PAD⊥平面
ABCD，ABCD为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA＝AD＝2， E，F，G分别是线段PA，PD，CD 的中点．求证：PB∥平面EFG. 证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD，且 ABCD为正方形， ∴AB，AP，AD两两垂直．
高三一轮总复习理科数课件：--立体几何中的向量方法 .ppt..
S→D＝(0，－
2，－
2)，|cos〈A→E，S→D〉|＝
→→ |AE·SD| →→
＝
|AE|·|SD|
32×2＝ 33，
故
AE，SD
所成角的余弦值为
3 3.
答案：C
你是我心中最美的云朵
14
3
考点疑难突破
你是我心中最美的云朵
15
异面直线所成角
[典 例 导 引] 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若 BC⊥AC，∠BAC＝π3，AC＝4，点 M 为 AA1 的中点，点 P 为 BM 的中点，Q 在线段 CA1 上，且 A1Q＝3QC，则异面直线 PQ 与 AC 所成角的正弦值为________．
考纲要求
考点频 率
1.理解直线的方向向量与平面 的法向量.
2.能用向量语言表述线线、线 面、面面的平行和垂直关系，
能用向量方法证明立体几何
中有关线面位置关系的一些
简单定理.
你是我心中最美的云朵
5年40 考4
命题趋势
主要考查直线 与平面所成 的角或已知 线面角求其 他量，求二 面角，基本 在解答题中 考查．近两 年有关开放
所以两平面所成二面角为 45°或 180°－45°＝135°.
答案：C
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11
3．已知平面 α 内有一个点 M(1，－1,2)，平面 α 的一个法向量是 n＝(6，－3,6)，
则下列点 P 在平面 α 内的是( )
A．P(2,3,3)
B．P(－2,0,1)
C．P(－4,4,0)
D．P(3，－3,4)
所以直线 AF∥平面 PEC.
你是我心中最美的云朵
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(2)连接 DE，因为底面 ABCD 为菱形，∠DAB＝60°， 所以 DE⊥DC. 如图所示，建立坐标系， 则 P(0,0,1)，C(0,1,0)， E 23，0，0，A 23，－12，0，B 23，21，0， 所以A→P＝－ 23，12，1，A→B＝(0,1,0)． 设平面 PAB 的法向量为 n＝(x，y，z)，
高三数学立体几何中的向量方法(一)复习课件
题型二
证明垂直问题
【例 2】 如图所示，正 三棱柱 ABC—A1B1C1 的 所有棱长都为 2，D 为 CC1 的 中 点 . 求 证 ： AB1⊥ 平 面 A1BD.
思维启迪 解析 思维升华
A→B1·m＝(a－c)·λ＋12μa＋μb＋λc ＝4λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故A→B1⊥m， 结论得证. 方法二 如图所示，
定理先证线线平行，也可利用
AD⊥平面 BCD，BC⊥CD，
AD＝2，BD＝2 2，M 是 AD 平面的法向量.
的中点，P 是 BM 的中点，点
Q 在线段 AC 上，且 AQ＝3QC.
证明：PQ∥平面 BCD.
题型一
证明平行问题
【例 1】 (2013·浙江 改编)如图，在四面 体 A－BCD 中，
思维启迪 解析 证明 方法一 如图，取 BD 的中点 O，以 O 为原点，
AD⊥平面 BCD，BC⊥CD， AD＝2，BD＝2 2，M 是 AD
∴O→F＝P→Q， ∴PQ∥OF.
的中点，P 是 BM 的中点，点 又 PQ⊄平面 BCD，OF⊂平面 BCD，
Q 在线段 AC 上，且 AQ＝3QC. ∴PQ∥平面 BCD. 证明：PQ∥平面 BCD.
题型一
证明平行问题
思维启迪 解析 思维升华
要点梳理
知识回顾 理清教材
3.用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2，则 l1⊥l2⇔ v1⊥v2 ⇔ v1·v2＝0 .
(2)设直线 l 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 u，则 l⊥α
⇔ v∥u .
(3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2，则 α⊥β
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法(一) 理(2021年最新整理)
证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
设 AC∩BD＝N，连接 NE。
则 N错误!，E（0，0,1）,
A（错误!,错误!，0），M错误!
∴错误!＝错误!.
错误!＝错误!。 ∴错误!＝错误!且 NE 与 AM 不共线．∴NE∥AM。 又∵NE⊂ 平面 BDE，AM⊄ 平面 BDE， ∴AM∥平面 BDE。 (2)由(1)知错误!＝错误!, ∵D(错误!，0，0），F(错误!，错误!，1）， ∴错误!＝(0，错误!，1) ∴错误!·错误!＝0，∴AM⊥DF。 同理 AM⊥BF。 又 DF∩BF＝F，∴AM⊥平面 BDF. 13．在四棱锥 P－ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形,PD＝DC，E、F 分别是 AB、PB
1
2018 版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第 7 讲 立体几何中的向量方法（一） 理
第 7 讲 立体几何中的向量方法(一）
一、选择题
1．直线 l1，l2 相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( ） A．s1＝（1，1,2)，s2＝(2，－1,0) B．s1＝(0，1，－1)，s2＝（2,0，0) C．s1＝（1，1,1)，s2＝（2，2，－2) D．s1＝(1,－1，1），s2＝(－2,2,－2） 解析 两直线垂直,其方向向量垂直，只有选项 B 中的两个向量垂直．
0）,E（2，4,0），
P(0,0,h)．
（1）易知错误!＝(－4,2，0)，错误!＝（2,4，0），错误!＝(0,0，h）．
因为错误!·错误!＝－8＋8＋0＝0，错误!·错误!＝0，所以 CD⊥AE,CD⊥AP.而 AP,AE 是平面
PAE 内的两条相交直线，所以 CD⊥平面 PAE.
（2)由题设和（1)知，错误!·错误!分别是平面 PAE，平面 ABCD 的法向量．而 PB 与平面 PAE
2020版高考数学一轮复习第八章立体几何第7讲立体几何中的向量方法课件理新人教A版
因为 EG⊂平面 AEC，
所以平面 AEC⊥平面 AFC.
(2)如图，以 G 为坐标原点，分别以G→B，G→C的方向为 x 轴，y 轴正方向，
|G→B|为单位长，建立空间直角坐标系 Gxyz.
答案
由(1)可得 A(0，－
3，0)，E(1,0，
2)，F－1，0，
22，
C(0，
3，0)，所以A→E＝(1，
(2)设平面 MBC1 与平面 BB1C1C 的法向量分别为 n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)． 因为M→B＝(－1,2,0)，M→C1＝(1,0,2)，
所以nn11··MM→→BC＝1＝00，，
即－ x1＋x1＋ 2z12＝y10＝，0， ，
答案
令 x1＝2，则平面 MBC1 的一个法向量为 n1＝(2,1，－1)．同理可得平面 BB1C1C 的一个法向量为 n2＝(0,1,1)．
不妨设正方形 AA1C1C 的边长为 2，则 A(0,0,0)，A1(2,0,0)，B(0,2,0)， B1(2,2,0)，C(0,0,2)，C1(2,0,2)，M(1,0,0)，N(1,1,1)．
(1)因为几何体是直三棱柱，所以侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1.
答案
因为A→A1＝(2,0,0)，M→N＝(0,1,1)，所以M→N·A→A1＝0，即M→N⊥A→A1.MN⊄平 面 A1B1C1，故 MN∥平面 A1B1C1.
15 5.
解析
3．如图，已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P，PA⊥平面 ABCD，E，F 分别是 AB，PC 的中点．若∠PDA＝45°，则 EF 与平面 ABCD 所成的角的 大小是( )
A．90° C．45°
答案 C
高考数学总复习 7-8 立体几何中的向量方法课件 苏教版
① ② 令 x＝1 则 y＝－2，z＝2，此时 a＝ (1，
①×3－②得 2x＋y＝0
－ 2,2) ， |a| ＝ 1＋－22＋22 ＝ 3 ，∴平面 ABC 的单 位法向量 为
1 2 2 ，－ ， ± 3 3 3 1 2 2 答案：± ，－ ， 3 3 3
5．如图，在空间直角坐标系中有正方体 ABC1D－A1B1C1D1，M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直线 AM 与直线 CN 夹角的余弦值是________． → → 解析：设正方体棱长为 2.则AM＝ (0,1,2)，CN＝ (2,0,1)， → → ∴cos〈AM，CN〉＝ 2 . 5 2 答案： 5 2 2 ＝ ，∴AM 与 CN 夹角的余弦值是 5× 5 5
考向一
利用空间向量证平行与垂直
如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中， PC⊥平面 ABCD，PC＝2，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠C＝90° ，AB＝4，CD＝1，点 M 在 PB 上，PB＝4PM，PB 与平面 ABCD 成 30° 的角． ①求证：CM∥平面 PAD； ②求证：平面 PAB⊥平 PAD.
→ 【审题视点】 建立空间直角坐标系．①可证明CM与平面 PAD → 的法向量垂直；也可将CM分解为平面 PAD 内的两个向量的线性组 合，利用共面向量定理证明．②取 AP 中点 E，利用向量证明 BE⊥ 平面 PAD 即可．
【证明】 由题意可知； 以 C 为坐标原点， CB 所在直线为 x 轴， CD 所在直线为 y 轴，CP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角 坐标系 Cxyz. ∵ PC⊥平面 ABCD， ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的 角，∴∠ PBC＝30° . ∵ PC＝2，∴BC＝2 3， PB＝4. ∴D(0,1,0)，B(2 3，0,0)， A(2
立体几何中的向量方法高考一轮复习课件总结.ppt
A(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，D(3,0,0)，C(3,6,0)
uuur uuur
uuur PD
＝(3,0，－3)，uBuCur＝(3,3,0)，所以
cos〈
uuur PD
，uBuCur 〉＝|
PuuDur·BuCuur PD||BC |
＝ 3
9 2×3
2＝12，即〈 uPuDur ，
得 uSuAr ＝(
2，0，－2)，
uuur SC
＝(0，
2，－2)．
设平面 ACS 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
则 nn··uuSSuuACrur＝＝00，，
即
2x－2z＝0， 2y－2z＝0.
取 z＝ 2，得 n＝(2,2， 2)． uuur
易知平面 ASD 的一个法向量为 DC ＝(0， 2，0)．
CuuDur＝(－1,0,0)．
设平面 ACM 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
由
n⊥
uuur AC
，n⊥
uAuMuur可得xy＋＋z2＝y＝0 0
，
令 z＝1，得 x＝2，y＝－1.∴n＝(2，－1,1)．
设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 α，
uuur
则
sinα＝||CuCuDDur|·|nn||＝
l3 l1
l2
1．直线a，b的方向向量分别为a＝(1，－1,2)，b＝(－2,2，－4)，
则( )
A．a∥b或a与b重合
B．a⊥b
C．a与b相交但不垂直
D．a与b异面但不垂直
解析：∵a＝(1，－1,2)，b＝(－2,2，－4)，∴b＝－2a， ∴a与b共线．即a∥ b或a与b重合．
人教课标A高考一轮复习精品课件8.7立体几何中的向量方法
§8.7立体几何中的向量方法基础知识自主学习要点梳理1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一___ 向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是平面Q内两不共线向量，n为平面a的法向量，则求法向量的方程组为2 •空间向量与空间角的关系(1)设异面直线I], 12的方向向量分别为rri], m2,贝叫与I2所成的角疗满足____________ ・(2)设直线I的方向向量和平面a齢罢筒翻射％m2 为则直线I与平面a所成角疗满足(3)求二面角的大小①妬囹①卩馳(咤抄是土面角a—1—5的两个面内与棱I垂直的直线，则二面角的大小沪_______个半平面CG &的法向量，则二面角的大小疗满足cos i7= _______________________________cos〈rip nQ 或-cos〈n】，n»八刀第八匚—g/rjy M j r z J3.点面距的求法如图，设AB为平面G的一条斜线段,法向量，贝怕到平面Q的距离d 二n为平面a的______ ・I AB F II n I基础自测1.若直线I】, I?的方向向量分别为a二(2, 4, -4), b= (-6, 9, 6)，则()BA.I］〃l2B. I】丄°c・I］与12相交但不垂直 D.以上均不正确解析Ta • b=-12+36-24=0, .・・a丄b,•I I］丄丨2・2•已知平面a 内有一个点M (1, -1, 2),平面a的一个法向量是n 二(6, -3,6),则下列点P 中)B. 鸟(-2, 0, 1)D. P (3, -3, 4)・・・n 丄,在选项A 中， 二(1, 4, 1),.•.n • =0. 在平面a 内的是( A. P (2, 3, 3) C. P (一4, 4, 0)解析 •・・n 二(6, -3, 6)是平面a 的法向量,MP MPMP3•已知两平面的法向量分别为m二(0, 1, 0),n二(0, 1, 1)，则两平面所成的二面角为()A. 45°B. 135°C.45° 或135。
2020版广西高考人教A版数学一轮复习课件：8.7 立体几何中的向量方法
考点1
考点2
考点3
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解题心得1.用向量法证明平行类问题的常用方法
线线平行 线面平行 面面平行
证明两直线的方向向量共线
①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂
直;
②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量
平行;
③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共
线的向量线性表示
①证明两平面的法向量平行(即为共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题
.
(6)若α⊥β,则n1⊥n2⇔n1·n2=0⇔ x1x2+y1y2+z1z2=0
.
知识梳理
-4-
知识梳理 双基自测
12345
3.利用空间向量求空间角
(1)两条异面直线所成的角
①范围:两条异面直线所成的角θ的取值范围是
π 0, 2
.
②向量求法:设异面直线a,b的方向向量为a,b,直线a与b的夹角为
意两点,则������������及与������������平行的非零向量均为直线 l 的方向向量.
(2)平面的法向量的确定:设 a,b 是平面 α 内两个不共线向量,n
为平面
α
的一个法向量,则可用方程组
������·������ ������·������
= =
00,求出平面
α
的一个
法向量 n.
A ∴直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为√55.
关闭
解析 答案
知识梳理
-11-
知识梳理 双基自测
12345
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则D1C1与平面
A1BC1所成角的正弦值为
高考数学(理)一轮复习课件：7.8立体几何中的向量方法(人教A版).ppt
1 4
，
PuuD共ur、Pu面uAur，故假设成立，
又∵CM 平面PAD,
∴CM∥平面PAD.
②取AP的中点E,连接BE，则E( 3 ,2,1),
BuuE=ur (- ,23,1).∵PB=AB,∴BE⊥PA.
又∵
uuur uuur BE DA (3，2，1) (2源自3，3，0) 0，∴
uuur BE
线段所在直线与直线l 平行 或
重合 ,则称此向量 a 为直线l
的方向向量.
在直线上任取两点， 这两点确定的向量即可 为直线的方向向量．
平面的 法向量
与平面_垂__直__的任何一个 向量都可作为平面的法向量． 显然一个平面的法向量也不唯 一．
平面的法向量可利用方程组求
解，设 a,b 是平面α内两个不 共线的向量， n 为平面α的法
| en |
sinφ=|cosθ|=__|_e_||_n_|__.
(3)二面角的求法
①如图a，AB、CD是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的
uuur uuur
直线，则二面角的大小θ=_A__B，_C_D__.
②如图b、c，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β 的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ= _c_o_s_〈__n_1_，__n_2_〉__或 _-_c_o_s_〈__n_1_，__n_2_〉_.
第八节 立体几何中的向量方法
三年16考 高考指数:★★★ 1.理解直线的方向向量与平面的法向量； 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的 垂直、平行关系； 3．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三 垂线定理)；
4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的 夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应 用．
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(3)用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2， 则l1⊥l2⇔ v1⊥v2
v2＝0 . ⇔ v1·
②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u， 则l⊥α⇔ v∥u .
③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，
u2＝0 则α⊥β⇔ u1⊥u2 ⇔ u1·
(4)点面距的求法
双基自测 1．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝ (－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是( A．平行 解析 答案 B．相交 C．垂直 )．
D．不确定
∵v2＝－2v1，∴v1∥v2. A
2．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是 n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是( A．P(2,3,3) C．P(－4,4,0) B．P(－2,0,1) D．P(3，－3,4) )．
(2)用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合) ⇔ v1∥v2 . ②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1 和v2，则l∥α或l⊂α⇔ 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2 . ③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α ⇔ v⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2 .
.
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B → |AB· n| 到平面α的距离d＝ |n| .
一种思想 向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向 量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规 范，是对向量大小和方向的量化： (1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标； (2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标． 得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位 置关系，计算空间成角和距离等问题．
基础梳理 1．空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算 设a＝(a1a2± b2，a3± b3)； ②λa＝(λa1，λa2，λa3)； ③a· b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a∥b⇔a＝λb⇔ a1＝λb1 ，a2＝λb2 ，a3＝λb3(λ∈R) ，
b＝0 ⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a，b均为非零向量)． a⊥b⇔ a·
(3)模、夹角和距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
2 2 则|a|＝ a· a＝ a1 ＋a2 ＋ a 2 3，
a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b cos〈a，b〉＝ ＝ 2 2 2 2 2 2. |a||b| a1＋a2＋a3· b1＋b2＋b3 设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， → 则dAB＝|AB|＝ a2－a12＋b2－b12＋c2－c12.
4．(人教A版教材习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)， c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的是( A．a∥c，b∥c C．a∥c，a⊥b B．a∥b，a⊥c D．以上都不对 )．
解析 ∵c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，∴a∥c， 又a· b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b. 答案 C
解析 ∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量， → → → ∴n⊥MP，在选项A中，MP＝(1,4,1)，∴n· MP＝0. 答案 A
3．(2011· 唐山月考)已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则 → → → → → → AP· AB＝0，且AP· AC＝0是AP· BC＝0的( A．充分不必要条件 C．充要条件 )．
2．立体几何中的向量方法 (1)直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两 → → 点，则称 AB 为直线l的方向向量，与 AB 平行的任意 非零向量 也 是直线l的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线
a＝0， n· 向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 b＝0. n·
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
→ → AP· AB＝0 解析 由 → → AC＝0 AP·
→ → → ，得AP· (AB－AC)＝0，
→ → → → 即AP· CB＝0，亦即AP· BC＝0， → → 反之，若AP· BC＝0， → → → → → → → 则AP· (AC－AB)＝0⇒AP· AB＝AP· AC，未必等于0. 答案 A
→ → 5．(2012· 舟山调研)已知 AB ＝(2,2,1)， AC ＝(4,5,3)，则平面 ABC的单位法向量是________． 解析 设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)．
2x＋2y＋z＝0， 即 4x＋5y＋3z＝0.
→ AB· n＝0， 则 → n＝0， AC·
追求卓越，崇尚一流。 主编：杨树军
【高考会这样考】 1．通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算． 2．能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理． 3．利用空间向量求空间距离． 【复习指导】 本讲复习中要掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，会找直线 的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，会用 向量法求空间距离．
1 x＝ ， 1 2 令z＝1，得 ∴n＝2，－1，1， y＝－1，
三种方法 主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题： 直线与直线平行 (1)平行直线与平面平行 平面与平面平行 直线与直线垂直 (2)垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直 (3)点到平面的距离 求点到平面距离是向量数量积运算(求投影)的具体应用，也是 求异面直线之间距离，直线与平面距离和平面与平面距离的基 础．