(整理)第七节方向导数与梯度

第七节 方向导数与梯度
要求：了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。

重点：方向导数与梯度的计算。

难点：梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。

作业：习题8－7（60P ）2,4,6,8,10
一．方向导数
问题提出：在许多实际问题中，常常需要知道函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任意方向或某个方向的变化率．例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题．
1．方向导数定义
设函数),(y x f z =在点(,)P x y 的某一邻域内有定义，自P 点引有向直线L ，x 轴正向与直线L 夹角为ϕ，在L 上任取一点'(,)P x x y y +∆+∆，若'P 沿着L 趋近于P 时，即当0)()(22→∆+∆=
y x ρ时，极限
ρ
ρ)
,(),(lim
y x f y y x x f -∆+∆+→ 存在
则称此极限值为函数在点P 沿着L 方向的方向导数．记作
ρ
ρ),(),(lim 0y x f y y x x f L f -∆+∆+=∂∂→． 说明
（1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角0>ϕ，顺时针方向旋转生成的角是负角
0<ϕ；
2．方向导数的计算
定理 若函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，那么函数),(y x f z =在点(,)P x y 沿任一方向L 的方向导数都存在，且有计算公式
ϕϕsin cos y f x f L f ∂∂+∂∂=∂∂{},cos ,sin ,f f f f e x y x y ϕϕ⎧⎫⎧⎫∂∂∂∂=⋅=⋅⎨⎬⎨⎬∂∂∂∂⎩⎭⎩⎭
． 其中ϕ为x 轴到方向L 的转角，e 是与L 同方向的单位向量．
证明：因为函数),(y x f z =在点(,)P x y 可微分，所以有
()f f
f x y o x y
ρ∂∂∆=
∆+∆+∂∂， 上式两边同除以ρ，得
()()
cos sin f
f x f y o f f o x y x y ρρϕϕρ
ρρρρ
∆∂∆∂∆∂∂=
++=++∂∂∂∂，则
0lim cos sin f f f f L x y
ρϕϕρ→∂∆∂∂==+∂∂∂ 例1．求函数y
xe z 2=在点(1,0)P 处沿从点(1,0)P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数．
解 这里方向L 即向量{}1,1PQ =-的方向，因此x 轴到L 方向的转角4
π
ϕ=,
又因为
y e x z 2=∂∂，y xe y z 22=∂∂，所以在点)0,1(处，1=∂∂x
z
，2=∂∂y z ，
于是方向导数为
2
2)4sin(2)4cos(1-=-+-⋅=∂∂ππL z ． 另一方法．
例2. 设由原点到点),(y x 的向径为r ，x 轴到r
的转角为θ，x 轴到射线L 的转角为
ϕ，求
L
r ∂∂，其中2
2y x r r +== )0(≠r ． 解 因为
θcos 2
2==
+=∂∂r x y x x x
r ，θsin 2
2==
+=∂∂r
y
y x y y
r 所以
)cos(sin sin cos cos ϕθϕθϕθ-=+=∂∂L
r
， 讨论：当θϕ=时，1=∂∂L r
,即沿着向径本身方向的方向导数为1,
当2πθϕ±=时，0=∂∂L
r
,即沿着与向径垂直的方向导数为零．
3．三元函数的方向导数
三元函数),,(z y x f u =在空间一点(,,)P x y z 沿方向L (设方向L 的方向角为γβα,,)的方向导数，同样定义为
ρ
ρ)
,,(),,(lim 0z y x f z z y y x x f L f -∆+∆+∆+=∂∂→．
其中222)()()(z y x ∆+∆+∆=ρ，γρβραρcos ,cos ,cos =∆=∆=∆z y x ．
若函数),,(z y x f 在点(,,)P x y z 可微分，则在该点方向导数计算公式为
cos cos cos {,,}{cos ,cos ,cos }f f f f f f f
L x y z x y z
αβγαβγ∂∂∂∂∂∂∂=++=⋅∂∂∂∂∂∂∂ {
,,}f f f
e x y z
∂∂∂=⋅∂∂∂． 其中{cos ,cos ,cos }e αβγ=是与L 同方向的单位向量．
例3．求函数u xyz =在点(5,1,2)P 处沿从点(5,1,2)P 到点(9,4,14)Q 的方向的方向导数．
解 因为
u yz x ∂=∂，,u u xz xy y z ∂∂==∂∂，所以2,
10,
5P
P
P
u u
u x
y
z
∂∂∂===∂∂∂，
而且{95,41,142}{4,3,12}PQ =---=，2||413PQ ==，于是 4312
cos ,cos ,cos 131313
αβγ===，从而
431298cos cos cos 210513131313
f f f f L x y z αβγ∂∂∂∂=++=⨯+⨯+⨯=∂∂∂∂． 二．梯度
1．梯度定义
设函数),(y x f z =在平面区域D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点(,)P x y D
∈都可确定出一个向量j y
f i x f
∂∂+∂∂，这个向量称为函数),(y x f z =在点(,)P x y D ∈的梯度，记作
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∂∂∂∂=∂∂+∂∂=
x f x f j y f i x f y x gradf ,),( ． 2．梯度与方向导数关系
设cos sin e i j ϕϕ=+是与L 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式得
{}cos sin ,cos ,sin f f f
f f L x y x y ϕϕϕϕ⎧⎫∂∂∂∂∂=+=⋅⎨⎬∂∂∂∂∂⎩⎭
(,)(,)cos(^)
gradf x y e gradf x y e gradf e =⋅=⋅
),(y x gradf prj L =． 可见，方向导数
L
f
∂∂就是梯度在方向L 上的投影． 当L 方向与梯度方向一致时，有1)^cos(=e gradf
，从而方向导数(,)
f gradf x y L
∂=∂有最大值，所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说，梯度的方向是函数),(y x f 在这点增长最快的方向．
结论：函数在某点的梯度方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值，即
(,)max(
)f gradf x y L
∂=∂ 3．梯度的计算
梯度的模为 22)()(
),(x
f
x f y x gradf ∂∂+∂∂=
， 梯度方向为 当0≠∂∂x
f
时，x 轴到梯度转角的正切x
f y f
∂∂∂∂=
θtan ． 4．梯度的几何意义
曲面),(y x f z =被平面c z =所截得曲线L 的方程为
⎩
⎨⎧==c z y x f z )
,(
这条曲线L 在xoy 面上的投影是一条平面曲线*
L ，它在xoy 平面上的直角坐标方程为
c y x f =),(
对于曲线*
L 上一切点，对应的函数值都是c ，所以称曲线*
L 为函数),(y x f z =的等高线， 等高线*L 上任一点(,)P x y 处法线斜率为
11tan ()y x x y
f dy f f dx f θ-=-==-，
梯度
j y
f i x f ∂∂+∂∂为等高线上点P 处的法向量．
梯度与等高线关系：
函数),(y x f z =在点),(y x p 的梯度的方向与过点p 的等高线c y x f =),(在该点的法线方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向．
5．三元函数的梯度
k z
f j y f i x f z y x gradf
∂∂+∂∂+∂∂=),,(
等高线对应等量面．
例3．求2
21
y x grad
+．
解 因为221),(y
x y x f +=
，所以22)(2y x x x f +-=∂∂，22)(2y x y
y f +-=∂∂， 于是j y x y
i y x x y x grad 2
2222222
)(2)(21+-+-=+．
例4．设2
2
2
),,(z y x z y x f ++=，求)2,1,1(-gradf ．
解 因为k z j y i x z y x gradf
222),,(++=，所以
k j i gradf
422)2,1,1(+-=-．
6.数量场与向量场
如果对于空间区域G 内的任一点M ，都有一个确定的数量)(M f ，则称在这空间区域
G 内确定了一个数量场，一个数量场可由一个数量函数)(M f 来确定，如果与点M 相对应
的是一个向量()F M ，则称在空间区域内确定了一个向量场，一个向量场可用一个向量函数()F M 来确定．
思考题
1．
2．方向导数与梯度有何区别？又有何联系？
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。