高等数学(下册)第八章第七节——方向导数与梯度
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高等数学8.8 方向导数
f ( x0
x, y0
y)
f ( x0 , y0 )
f x (x0 , y0 )
(2). 沿着 x轴负向、 y 轴负向的方向导数是 f x , f y.
定理 如果函数z f ( x, y)在点 P(x0, y0) 处可微，那末函数在该
点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
(6
x
2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n的方向导数.
z
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
故 nr |(1,1,1) Fx, Fy, Fz |(1,1,1) 4, 6, 2 ,
cos 2 ,
14
cos 3 ,
14
cos 1 .
f lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) lim fx ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y o( )
l （x0 ,y0）0+
0+
fx ( x0 , y0 )cos f y ( x0 , y0 )cos
y
l
• P
且 P U( p). = | PP | (x)2 (y)2 ,
y
若 lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
P
••
x
0+
o
f
x
则称此极限为 z f ( x, y)在P处沿方向 l 的方向导数, 记为 l （x0 , y0）
l 0
z
第八章第7节方向导数与梯度
第七节 方向导数 与梯度
一、梯度 二、方向导数
1
一. 梯度
三元函数 f (x, y, z) 在点 P 处的梯度(gradient),
grad
f
(
f x
,
f y
,
f) z
f x
i
f y
j
f z
k
曲面 f (x , y , z)=0 在 P 点的一个法向量
n (fx(x,y,z), fy(x, y,z), fz(x, y,z)) g r a df(x ,y ,z)
指向外侧 的法向量,求函数 u
方向 n的方向导数.
6x2 8y2
z
在点P 处沿
解: gra d u (
6x
,
8y
6x2 8y2
,
)
z 6x2 8y2 z 6x2 8y2
z2
grad u ( 1 , 1 , 1 ) (
6, 14
8 , 14) 14
曲面 在点 P处 指向外侧 的法向量
n
n( 4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2,3,1)
表示 f (x, y) 在点 P 沿l方向 的变化速度,
f y
空间射线 l 的起点为 P0(x0,y0,z0),方向角为 , ,
三元函数 f(x,y,z)在点P 0 沿l 方向 的方向导数
f l
P
0
lim
0
f(x0cos,y0cos,z0cos)f(x0,y0,z0)
l 定理 设与射线l 同方向的单位向量
•P
l 0 ( c o s,c o s,c o s)
f l
(
x
0
,
y
0
一、梯度 二、方向导数
1
一. 梯度
三元函数 f (x, y, z) 在点 P 处的梯度(gradient),
grad
f
(
f x
,
f y
,
f) z
f x
i
f y
j
f z
k
曲面 f (x , y , z)=0 在 P 点的一个法向量
n (fx(x,y,z), fy(x, y,z), fz(x, y,z)) g r a df(x ,y ,z)
指向外侧 的法向量,求函数 u
方向 n的方向导数.
6x2 8y2
z
在点P 处沿
解: gra d u (
6x
,
8y
6x2 8y2
,
)
z 6x2 8y2 z 6x2 8y2
z2
grad u ( 1 , 1 , 1 ) (
6, 14
8 , 14) 14
曲面 在点 P处 指向外侧 的法向量
n
n( 4 x , 6 y , 2 z ) P 2(2,3,1)
表示 f (x, y) 在点 P 沿l方向 的变化速度,
f y
空间射线 l 的起点为 P0(x0,y0,z0),方向角为 , ,
三元函数 f(x,y,z)在点P 0 沿l 方向 的方向导数
f l
P
0
lim
0
f(x0cos,y0cos,z0cos)f(x0,y0,z0)
l 定理 设与射线l 同方向的单位向量
•P
l 0 ( c o s,c o s,c o s)
f l
(
x
0
,
y
0
方向导数
x 2 + y 2在 (0,0)处沿任意方向
f y (0,0)均不存在，从而 f ( x, y )在(0,0)处不可微 .
反例2
z
=
f (x,
y) =
⎪⎧ ⎨
x2
xy + y2
,
(x, y) ≠
(0,0)
⎪⎩0,
( x, y) = (0,0)
f f
x
(
(x0,,y0))在= 点f y(0(0,0,0)处) =沿0lr,
( P ′∈ l )
l
P′ P
o
x
f ( x + ρ cos π, y + ρ cos π ) − f ( x, y)
= lim
2
ρ→0+
ρ
=
–lim
ρ→+0
f
(x −
ρ, y) − –ρ
f
( x,
y)=
−(
∂f ∂x
)
−
=
−
∂f ∂x
但 ∂f 存在
∂x
∂∂fir
(el
=
r i
)
∂
∂f (−
r i
y0
P0
)
cos β
P
erl
α
∆x
,
∆
l
y
x
= ρ ⋅ [ f x ( x0 , y0 )cosα + f y ( x0 , y0 )cos β ]+ o( ρ )
∆ f = ρ ⋅ [ f x ( x0 , y0 )cosα + f y ( x0 , y0 )cos β ]+ o( ρ )
故
∂f
f y (0,0)均不存在，从而 f ( x, y )在(0,0)处不可微 .
反例2
z
=
f (x,
y) =
⎪⎧ ⎨
x2
xy + y2
,
(x, y) ≠
(0,0)
⎪⎩0,
( x, y) = (0,0)
f f
x
(
(x0,,y0))在= 点f y(0(0,0,0)处) =沿0lr,
( P ′∈ l )
l
P′ P
o
x
f ( x + ρ cos π, y + ρ cos π ) − f ( x, y)
= lim
2
ρ→0+
ρ
=
–lim
ρ→+0
f
(x −
ρ, y) − –ρ
f
( x,
y)=
−(
∂f ∂x
)
−
=
−
∂f ∂x
但 ∂f 存在
∂x
∂∂fir
(el
=
r i
)
∂
∂f (−
r i
y0
P0
)
cos β
P
erl
α
∆x
,
∆
l
y
x
= ρ ⋅ [ f x ( x0 , y0 )cosα + f y ( x0 , y0 )cos β ]+ o( ρ )
∆ f = ρ ⋅ [ f x ( x0 , y0 )cosα + f y ( x0 , y0 )cos β ]+ o( ρ )
故
∂f
高等数学同济版下第七节方向导数与梯度
f f f f cos cos cos l x y z
其中 , , 为 l 的方向角 .
对于二元函数 f (x 向角 ,y ), 在点 P ( x ,y ) 处沿方向 l( 方
为, ) 的方向导数为
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim l 0 l
2
l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时 ,有 2 l x
例1. 求函数 u x2yz 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 l ( 2 , 1 , 3 )
的方向导数 .
6 14
2 2 在点P(2, 3)沿曲线 y x2 1 3 x y y 例2. 求函数 z
, y) 在点 P(x, y) 处的梯度 同样可定义二元函数 f (x
f f f f grad f i j , x y x y
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
z f( x ,y ) 对函数 z f ( x , y ) , 曲线 在 xoy 面上的 z C
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
三、物理意义
一、方向导数
x ,y ,z )在点 P 定义: 若函数 f( (x, y, z) 处
, ,) 存在下列极限: 沿方向 l (方向角为
记作 f f f ( x x , y y , z z ) f ( x , y , z ) lim lim l 0 0
朝 x 增大方向的方向导数.
60 17
2 2 2 在点 P(1, 1, 1 )处 是曲面 n 2 x 3 y z 6 例3. 设
2019-D87方向导数与梯度高等数学-文档资料
x ( c x o ) 2 , s ( yy )2 c( o z )2 ,,szco s
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
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定理: 若函 f(x,y,z数 )在 P (点 x,y,z)处,可微
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义
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对函 zf数 (x,y),曲 线 zzf(C x,y)在xo面 y 上的 影 L*:f(x,y)C称为函数 f 的等值线 .
设fx, fy不同时为, 则零L*上点P 处的法向量为
(fx, fy) PgrafdP 同样, 对应函数 uf(x,y,z), 有等值面(等量面) f(x,y,z)C,
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u 162831 41 11
n P 14
7
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二、梯度
方向导数公式 ffc o sfco s fcos
l x y
z
令向量
Gxf,
f, y
f z
l0(co ,cso ,s co )s
fco sfco sfco so()
x
y
z
故
f limffco sfco sfco s
l 0 x
y
z
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对于二元函数 f(x,y), 在点 P(x,y)处沿方 l(方 向 向角
为, ) 的方向导数为
指向外侧的法向量, 求函数 u 6x2 8y2 在点P 处沿
方向 n的方向导数.
z
第七节 方向导数与梯度课件
到点 Q ( 2 , 1 ) 的方向的方向导数. 解
r 即为 PQ { 1 , 1 } , 这里方向 l r 故 x 轴到方向 l 的转角 . 4 z e 2 y (1, 0 ) 1; z 2 xe 2 y (1, 0 ) 2, x (1, 0 ) y ( 1 , 0 )
设 x 轴正向到射线
l 的转角
P U ( p ). o
为 , 并设 P ( x + x , y + y )
P
x
y
为 l 上的另一点且
（如图）
x
扬州环境资源职业技术学院基础部
| PP | ( x )2 + ( y )2 ,
且 z f ( x + x , y + y ) f ( x , y ),
扬州环境资源职业技术学院基础部
梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数 u f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有 P ( x, y,z) G ， 一阶连续偏导数，则对于每一点 都可定义一个向量(梯度)
f r f r f r gradf ( x , y , z ) i + j + k. x y z
因为
f 2x 2 , 2 2 x (x + y )
1 2x 2y gradu 2 2 i 2 j 2 2 2 2 2 x +y (x + y ) (x + y )
扬州环境资源职业技术学院基础部
小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 2、梯度的概念 （注意梯度是一个向量） 3、方向导数与梯度的关系 梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长最快的方向.
高等数学 8-7.方向导数与梯度
π 方向导数达到最大值 2 ; 故 1）当α = 时， （ 4 5π π （2）当α = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; 4 3π 7π π π （3）当α = 和α = 时，方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x, y, z )，它在空间一点 P( x0 , y0 , z0 ) 沿着方向 l = (cosα ,cos β ,cos γ ) 的方 向导数 ，可定义为 f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z ) − f ( x0 , y0 , z0 ) ∂f = lim ρ ∂l ρ →0
方向导数仍可理解 为曲线上一点处右 切线在新坐标系下 的斜率. 的斜率
y
t
P = ( x 0 , y0 )
v = (cos α ,sin α )
方向导数的物理意义：
设一质点 P 在三维空间的运动轨迹为 (时间t) 时间
x = x0 + t cos α , y = y0 + t sin α , z = f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α )
y
l
• P′
•
•
ϕ
∆x
∆y
x
（如图） 如图）
ρ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 是否存在？ 是否存在？ lim ρ →0 ρ
上述极限若存在, 定义: 上述极限若存在 则称此极限为函数 f 在 P处沿方向 l 的方向导数 记为 方向导数, 处沿方向
∵ | PP ′ |= ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 , 且 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ), ∆z 考虑 , 当 P′沿着 l 趋于 P时，
方向导数与梯度
设方向l的方向角为 , ,
x cos , y cos , z cos ,
f同理,f当co函s数在此f c点os可 微 时f ,c那os末 函数在该点 沿其任中l意(c方osx向 ,lc的os方向,c导oys数)是都l存的在方z,向且向有量.
16
方向导数与梯度
1991年研究生考题, 计算,5分
存在时,
f x
f y
是否一定存在
7
方向导数与梯度
例如, 函数 z 的方向导数
fflimlimf (fx(xx, yx,y)y) f (fx(,xy,)y)
lx 0x0
x
x2 y2在点(0, 0)处沿方向 l i
f l
f i
lim |x|0
(x)2 02 0 lim x 1,
第七节 方向导数与梯度
directional derivative and gradient
方向导数概念与计算公式 梯度概念与计算 数量场与向量场的概念 小结 思考题 作业
1
第八章 多元函数微分法及其应用
方向导数与梯度
一、方向导数概念与计算公式
设有二元函数 z f ( x, y),考虑函数在某点
l P0 x P0
y P0
13
方向导数与梯度
问在怎样的方向上此方向导数有 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零?
f cos sin 2 sin( p )
l (1,1)
4
故 (1) 当 p 时,方向导数达到最大值
4
2;
(2) 当 5p 时, 方向导数达到最小值 2;
4
(3) 当 3p 和 7p 时,方向导数等于 0.
例 设n 是曲面2x2 3 y2 z2 6在点P(1,1,1)
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l 0 x
y
z
对于二元函数 f (x, y), 在点 P(x, y) 处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
y lP
l
f x (x, y) cos f y (x, y) cos
o
x
特别: • 当 l 与 x 轴同向
西 点 实军 例校 二地 形 图
3. 梯度的基本运算公式
(2) grad (C u) C grad u (4) grad ( u v ) u grad v v grad u
例4.
处矢径 r 的模 ,
试证
证:
f (r)
x2
x y2
z2
f (r) x r
f (r) f (r) y ,
• 当 l 与 x 轴反向
0, 时, 有 f f
2
l x
, 时, 有 f f
2
l x
例1. 求函数
3) 的方向导数 .
解: 向量 l 的方向余弦为
在点 P(1, 1, 1) 沿向量
u 2xyz 2
l P
14
x2y
3 14
例2. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
G 向量
称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度
记作 grad f , 即
(gradient),
f, x
f, y
f z
同样可定义二元函数
在点 P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
对函数
z
f
(x,
y) ,曲线
z
f (x, zC
y)在
xoy
面上的投
P f c1
o
x
(设 c1 c2 c3 )
函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,
指向函数增大的方向.
实例1的求解
金属板上各点的温度为
T (x, y) k x2 y2
各点的梯度为
grad
T
(x,
y)
(x2
kx y2
)3 2
3
2.5
3
2
2.5
12.5
Z
1.51
1
0.5
0.5
30
0 2.50.5
f f cos f cos f cos
l x
y
z
且有
l
P
证明: 由函数
f (x, y, z) 在点 P 可微 ,
得
P(x, y, z)
f f x f y f z o( )
x y z
o( )
故 f lim f f cos f cos f cos
, , ) 存在下列极限:
l
P
lim f
0
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
y
y, z
z)
f
(x,
y,
z
)
记作
f l
l 则称 f 为函数在点 P 处沿方向 的方向导数. l
定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
l 则函数在该点沿任意方向 的方向导数存在 ,
n 方向
的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
方向余弦为
cos 2 , cos 3 , cos 1
14
14
14
而
u
x P z
6x 6x2 8y2
P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 14 1 11
n P 14
7
二、梯度
方向导数公式
第八章
第七节
方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、物理意义
一、问题的提出
实例一 一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)， (5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什 么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量
G
f, x
f, y
f z
l 0 (cos , cos , cos )
当 l 0 与 G 方向一致时, 方向导数取最大值：
max f G
l
这说明
方向：f 变化率最大的方向
G : 模 : f 的最大变化率之值
1. 定义
y
r
f (r) f (r) z
z
r
grad
f
(r)
f
(r)
i
f
(r)
j
f
(r)
k
z
x
y
z
P
f (r) 1 (x
i y
jz
k)
r
r
o
y
f
(r)
1
r
f (r) r0
x
r
三、物理意义
函数
场
(物理量的分布)
可微函数 f (P)
(势)
数量场 (数性函数) 如: 温度场, 电位场等
向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等
x 朝 增大方向的方向导数.
解:将已知曲线用参数方程表示为
x x y x2 1
它在点 P 的切向量为
(1, 2x) x2 (1, 4)
cos 1 , cos 4
17
17
yP o 1 2 x
60 17
例3. 设 n 是曲面
指向外侧的法向量,
求函数
在点 P(1, 1, 1 )处 在点P 处沿
影 L* : f (x, y) C 称为函数 f 的等值线 .
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为
( f x , f y ) P grad f P
同样, 对应函数
y
f c3
f c2
有等值面(等量面)
当各偏导数不同时为零时,
其上
点P处的法向量为
grad f P .
示意图
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行
问题：何为温度变化最剧烈的方向？
实例二
西点军校地形图
观 察 支 流 的 流 动 方 向
一、方向导数
定义: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处
l 沿方向 (方向角为
梯度场 grad f (P)
(向量场)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
处所产生的电位为
u q ( r x2 y2 z 2 ), 试证
4 r
grad u E
(场强
E
4π
q ε
r2
r
0
)
证: 利用例4的结果
grad f (r) f (r) r 0
1
1.5
2
2.5
3
3.54Βιβλιοθήκη 4.5552 1.5
4 3 2
Y
11
X
(x2
ky y2)32
等值线方程为
x2 y2 (k / c)2.
结论:
蚂蚁应沿着负梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点
y
4
3.5
3
2.5
-grad f 2
1.5
grad f
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
x
结论:
等高线图指出支流沿最速下降的路径垂直于等高线流动