大学数学《方向导数与梯度》习题及答案
7-7方向导数与梯度
m m x i y z k . j 2 r r r r r
m m x i y z k . j 2 r r r r r
上式右端在力学上可解释为: 位于原点O而质量为 m 的质点对位于点M而质量
点 P (1,0) 到点Q( 2,1) 的方向的方向导数. 解 这里方向 l 即为 PQ (1,1) , 1 1 与 l 同向的单位向量为el ( , ). . 2 2 z z 2y e (1, 0 ) 1; 2 xe 2 y (1, 0 ) 2, x (1, 0 ) y ( 1 , 0 )
7.7 梯度与方向导数
梯度与场 方向导数
7.7.1 7.7.2
7.7.3 等值线与梯度的关系
7.7.1
定义
梯度与场
设函数 z f ( x , y ) 在平面区域D内具
有一阶连续偏导数， 则对于每一点 P0 ( x0 , y0 ) D
都可定出一个向量 f x ( x0 , y0 )i f y ( x0 , y0 ) j 这向量称为函数 z f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的梯度，记为 grad f ( x, y)或f ( x, y). 即
三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处的梯度为 f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) i f y ( x , y , z ) j f z ( x , y , z ) k .
例1 求函数u=f(x, y, z)=xy2 + z2在点(1,1,2)的梯度. 解 函数在点(x, y, z)的梯度为
面x2+2y2+3z2=6在该点的外法线方向的方向导数.
第2讲方向导数与梯度偏导数的几何应用
第2讲方向导数与梯度偏导数的几何应用第2讲方向导数与梯度偏导数的几何应用一、方向导数与梯度1．向量的方向余弦（复习） (,)a x y =cos α=，cos β=(,,)a x y z =cos α=，cos β=cos γ=2．方向导数的定义00000(,)(,)limx f x x y f x y zx x→+?-?=?? 00000(,)(,)lim x f x y y f x y zy y→+?-?=?? 设l 为xOy 平面上以000(,)P x y 为始点的一条射线,指向终点00(,)P x x y y +?+?，它的方向向量(cos ,cos )l e αβ=是与l 同方向的单位向量.显然cos α=，cos β=.函数沿方向l 的方向导数为:00(,)x y f l00000(,)(,)limf x x y y f x y ρρ→+?+?-=(ρ=如果函数(,)f x y 在点(,)P x y 可微,那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在,且有其中cos ,cos αβ是方向l 的方向余弦.类似地,如果函数(,,)u f x y z =在点000(,,)x y z 可微,那么函数在该点沿方向(cos ,cos ,cos )l e αβγ=的方向导数为cos ,cos ,cos αβγ是方向l 的方向余弦.例 1. 求函数22xz xy ye =+在点(0,1)P 处沿着从点(0,1)P 到点(1,2)Q -的方向的方向导数.练习;求函数2yz xe =在点(1,0)P 处沿(1,0)P 到(2,1)Q -的方向的方向导数. 答案:2-3、梯度函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的梯度,记作000000(,)(,)(,)x y gradf x y f x y i f x y j =+00(,)x y f l0000(,)cos (,)cos x y f x y f x y αβ=+0000((,),(,))(cos ,cos )x y f x y f x y αβ=?00(,)l gradf x y e =?0000|(,)|||cos |(,)|cos l gradf x y e gradf x y θθ=?=这一式子表明函数在某点沿l 的方向的方向导数,等于梯度在l 方向上的投影,特别当0θ=时,方向导数取得最大值00(,)x y f l00|(,)|gradf x y =.梯度是向量,它的方向是函数在这点的方向导数取最大值的方向,它的模等于方向导数的最大值.函数(,,)u f x y z =在点0000(,,)P x y z 的梯度000000000000(,,)(,,)(,,)(,,)x y z gradf x y z f x y z i f x y z j f x y z k =++最大方向导数为000(,,)gradf x y z 例1. 求221grad x y +例 2. 求函数2232u x y z =+-在点(1,2,1)P -处,分别沿什么方向时方向导数取得最大值和最小值?并求出其最大值和最小值.二、偏导数的几何应用（一）、空间曲线的切线与法平面空间曲线的割线: 空间曲线的切线:空间曲线的法平面:过切点垂直于切线的平面1.空间曲线方程为参数方程()()()x t y t z t ?ψω=??=??=?其中(),(),()t t t ?ψω可导且导数不全为零.0000(,,)M x y z 对应0t t =000(,,)M x x y y z z +?+?+?对应0t t t =+?则割线0M M 的方向向量为(,,x y zt t t)割线0M M 的方程为:000x x y y z z x y z t---==令0M M →,即得切线方程为:切向量:('(),'(),'())s t t t ?ψω= 法平面方程为:例1 求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.解:21,2,3dx dy dzt t dt dt dt=== 在点(1,1,1)处的切向量为(1,2,3)s =切线方程:111123x y z ---==法平面方程:(1)2(1)3(1)0x y z -+-+-=,即236x y z ++=练习: 求曲线2,,tx t y t z e ===在点(1,1,)e 处的切线及法平面方程. 对应点1t = 切线方程:1112x y z ee---==法平面方程(1)2(1)()0x y e z e -+-+-= 2.空间曲线方程为()()y y x z z x =??=?,可化为()()x xy y x z z x =??=??=?,在对应点000(,,)x y z 处切向量: (1,'(),'())s y x z x = 切线方程:法平面方程:3.空间曲线方程为(,,)0(,,)0F x y z G x y z =??=?,()()y y x z z x ==?()()x xy y x z z x =??=??=?方程组对x 求导数得切向量0(1,'(),'())s y x z x =切线方程法平面方程:例 2 求球面22240x y z ++-=与圆柱面2220x y x +-=的交线Γ在点0(1,1P 处的切线方程与法平面方程.解:2222212220401202220dy x dy dz x y z x y z dx ydx dxdy dz x y x x y dx dx z -??=++=++-=??+-=+-==-在点0(1,1P 处,切向量(1,0,s = 切线方程: 11110x y z --==,即1z y ==? 法平面方程:(1)0x z -=0z -= 练习:求曲线2226x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处的切线及法平面.答案: 切线方程:121101x y z -+-==- 法平面方程:0x z -= （二）、曲面的切平面与法线1.曲面S 方程为(,,)0F x y z =0000(,,)M x y z 为曲面上的一点,并设函数(,,)F x y z 的偏导数在该点连续且不同时为零.过0M 任意引一条曲线Γ,其参数方程为(),(),()x t y t z t ?ψω===,(t αβ≤≤),0t t =对应点0000(,,)M x y z 且000'(),'(),'()t t t ?ψω不同时为零.则Γ在点0M 的切向量为000('(),'(),'())s t t t ?ψω=.因为Γ完全在曲面S 上,所以[(),(),()]0F t t t ?ψω=,两端对t 求导,并令0t t =得000000000000(,)'()(,)'()(,)'()0x y z F x y z t F x y z t F x y z t ?ψω++=记000000000((,),(,),(,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 则0n s ?= 这表明曲面S 上过点0M 的任一条曲线在这一点的切向量s 都与同一个向量n 垂直,所以曲面上过0M 的一切曲线的切线都在同一平面上,称此平面为切平面.2.令(,,)(,)F x y z f x y z =-法向量:切平面的方程法线方程:例1 求椭球面236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面方程及法线方程.练习:求球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.答案:法向量: (2,4,6)n =切平面方程:23140x y z ++-=法线方程:123123x y z ---==即123x y z== 例2 求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.解: 22(,)1f x y x y =+-(2,2,1)n x y =-切平面方程:4(2)2(1)(4)0x y z -+---=法线方程: 214x y z ---==- 练习:求3ze z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.例 3 (0)a a =>上任一点处的切平面在三个坐标轴上截距之和为一个常数.例4 已知旋转抛物面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，求点P 的坐标及平面在点P 处的切平面方程和法线方程。
高等数学梯度计算
P
o
x
2 2 |P P | ( x ) ( y ),
且 z f ( x x , y y ) f ( x , y ), z 考虑 , x
y
l P
y
当 P 沿着 l 趋于P 时，
0
P
o
x
f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim
,1 ,2)处的梯度，并问在何处梯度为零？ 在点 (1
解 由梯度计算公式得
( 2 x 3 ) i ( 4 y 2 ) j 6 z k , ( 1 , 1 , 2 ) 5 i 2 j 12 k . 故 gradu
f gradf n
o
值线，梯度的模就等于函数在这个法线方向的 方向导数.
问题： 上山时，如何选择最快的方向？
计算方法课程中的一种计算策略： “瞎子下山法”
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数 u f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具 有一阶连续偏导数，则对于每一点 P ( x , y , z ) G ，都可定义一个向量(梯度)
grad f y n ( f ,f ) x y
f 0 n n
f(x ,y )c 2
= g r a d( f xy , ) n
f(x ,y ) c
c cc 1 2
P
f(x ,y )c 1
x 表明：梯度方向与等值线的一个法线方向相同，
它的指向为从数值较低的等值线指向较高的等
梯度问题 引入两个概念：方向导数和梯度
二、方向导数
讨论函数
z f ( x ,y ) 在一点P沿某一方向的
江苏专转本高等数学 第八章 第七节 方向导数与梯度
,cos
2 b.
22 a2 b2
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12/29
又
z x
(
a
,
b
)
2x a2
x
a
2, a
22
2
z y
(
a, 2
b) 2
2y b2
y
b 2
2, b
z
z
cos z
cos
l ( a , b ) 22
x ( a , b ) 22
y ( a , b ) 22
2 a2 b2 . ab
设 el cos i cos
j 是方向l 上的单位向量，
由方向导数公式知
f f cos f cos (f , f ) (cos ,cos )
l x
y
x y
gradf
( x,
y) el
|
gradf
( x,
y)
| cos ,
其中
( gradf
( x,
y) , el )
当 cos 1时 ， f 有最大值.
z f ( x, y)在点 P0 ( x0 , y0 ) 的梯度，记为
gradf ( x0 , y0 ) fx ( x0 , y0 )i f y ( x0, y0 ) j .
【注】梯度是定义域所在空间（坐标系）内 的一个向量.
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17/29
若f
(
x,
y)在点 P0可微
f (x,
cos
y, z)，它在空间一点 P( x, y, z)沿
,cos )的方向导数 ，可定义为
f lim f ( x t cos , y t cos , z t cos ) f ( x, y, z)
高等数学方向导数与梯度
且 f f cos f cos f cos
l P0 x P0
y
P0
z P0
其中 cos ,cos ,cos 为l 的 方 向 余 弦.
7
例 设 n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P(1,1,1)
处指向外侧的法向量, 求函数 u 6x2 8 y2
偏导数 f lim f ( x x, y) f ( x, y)
x x0
x
f
f ( x, y y) f ( x, y)
lim
y y0
y
分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线
的变化率. Δx、Δy可正可负！
3
定理9.12 如果z f ( x, y)在点P0( x0 , y0 )处可微,
t
f ( x0 , y0 )
O
P0
x
1
存在, 则称此极限为函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)
处沿方向 l 的方向导数,
记为 f l
,或
P0
f ( x0 , y0 ) . l
注: 方向导数是函数沿半直线方向的变化率.
如果函数 f (x, y)在区域D内任何一点(x, y)处沿方向
.
定义9.6
G
f x
,
f y
为函数
z
f (x,
y)
在点P( x, y)处的梯度, 记作 gradf ( x, y).
即
gradf
( x,
y)
f x
,
f y
f x
i
f y
方向导数和梯度习题解答
(2,1,3)
(2
2 1)
ex
(22
21 3)
e
y
(12)e
z
4
e
x
10
e
y
e z
u 在点( 2,1,3 )处的方向导数最大值即为u 在该点处梯度的模 42 102 12 117
2
习题难度：易 标量函数u 沿 l 的方向导数就是梯度在矢量l 上的投影。
4. 已知u ex sin y ，则 gradu 为( )
A. gradu ex sin y ex cos y
B. gradu e sxin y ex e cox s y ey
C. gradu e cxos y ex e coxs y ey
2
2
22 22 (1)2 3
cos
1
1
22 22 (1)2
3
u 1 2 (3) 2 (3) 1 1
l 3
3
3 3
1
3. 关于梯度，下列陈述错误的是( ) A. 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数 B. 某点处梯度的大小是指标量函数u 在该点处的最大变化率 C. 某点处梯度的方向就是过该点的等值面的法向矢量 D.标量函数u 沿 l 的方向导数就是矢量l 在梯度上的投影 解析：本题考查梯度的概念，基本知识点
D. gradu e sxin y ex e sixn y ey
解析：本题考查梯度的计算，基本知识点
习题难度：易
gradu
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u x
ex
u y
e
y
u z
e
z
e
sxin
y
e
x
e
cox s
高等数学：9-7方向导数和梯度
20-9
例 9.7.1 求 f (x, y)=x2 y2 在点（1, 2）处沿点（1, 2）到 2,2 3 的方向
l 的方向导数．
解 由题设，得方向l = {1, 3}，其单位向量l0 { 1 , 3} {1 , 3} . l l 22
故
cos 1 ,sin
2
3 2
，又
fx(1, 2)
也记为gradf .
前面对二元函数梯度讨论的重要结论对三元函数梯度仍成立.
20-17
例 9.7.4 设在一金属球内任意一点处的温度T 与该点到球心（设为坐标
原点）的距离（单位: m）成反比，且已知在点1,2,2 处的温度为 120oC .
(1) 证明球内任一点处温度T 升高最快的方向总是指向原点的方向；
点 P0 (x0, y0 ) 处沿任一方向l( 0) 的方向导数都存在，且
f l
( x0 , y0 )
fx(x0, y0 ) cos
f y(x0, y0 )sin
．
（9.7.5）
其中 为 l 对 x 轴正向的转角．
证 由于 f (x, y)在点 P0 (x0, y0 ) 处可微，因此 f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 处的
20-2
设二元函数 z f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 的某邻域U (P0 ) 内有定义，l
是 xOy 坐标面上的一个非零向量，设 l 对 x 轴正向的转角为 （图
9-7-1），则与l 同向单位向量为
l0 {cos,sin}
（9.7.1）
以点 P0 为起点，沿l 方向作射线 L， 则 L 的参数方程为
为 f (x, y)的梯度，有时也记为gradf . 如果三元函数u f (x, y, z) 在点(x, y, z) 处偏导数存在，同样可
高数 8-7方向导数与梯度~
的极值. 的极值.
B
C
f xx (x, y) = 6x + 6, f xy (x, y) = 0, f yy (x, y) = −6y + 6
A
在点(1,0) 处 在点
AC −B2 =12×6 > 0, A > 0,
为极小值; 为极小值;
在点(1,2) 处 在点
AC −B2 =12×(−6) < 0,
y
P
o
2x −1
60 = 17
例3. 设 n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处 处 在点P 在点 处沿
指向外侧的法向量, 指向外侧的法向量 求函数 方向 n 的方向导数 的方向导数. 解:
n = (4x , 6y , 2z) P = 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cosα = , cos β = , cosγ = 14 14 14 ∂u 6x 6 = = 而 2 2 P ∂x P z 6x + 8y 14
ϕx ϕy
fx
=
fy
=− λ
极值点必满足
f x + λϕx = 0 f y + λϕy = 0 ϕ(x, y) = 0
引入辅助函数 F = f (x, y) + λϕ(x, y) 则极值点满足: 则极值点满足
辅助函数F 称为拉格朗日( 函数.利用拉格 辅助函数 称为拉格朗日 Lagrange )函数 利用拉格 函数 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 拉格朗日乘数法
当l 与G方 一 时, 方向导数取最大值： 向 致 方向导数取最大值： ∂f )= G max ( ∂l 方向： 方向：f 变化率最大的方向 这说明 G : 模 : f 的最大变化率之值