中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
大一高等数学教材课后答案
大一高等数学教材课后答案第一章求极限和连续1.1 极限的概念和性质1.2 极限的运算法则1.3 函数的连续性第二章导数与微分2.1 导数的概念和性质2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数和隐函数求导第三章微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 微分中值定理的应用3.3 函数单调性与曲线图像第四章不定积分4.1 不定积分的概念和性质4.2 基本积分法4.3 第一换元法和第二换元法第五章定积分5.1 定积分的概念和性质5.2 牛顿-莱布尼茨公式5.3 定积分的几何应用第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 可分离变量的微分方程6.3 一阶线性微分方程第七章多元函数微分学7.1 多元函数的概念和性质7.2 偏导数与全微分7.3 隐函数及其导数第八章多元函数的积分学8.1 二重积分的概念和性质8.2 三重积分的概念和性质8.3 曲线与曲面的面积与曲线积分第九章曲线积分与曲面积分9.1 标量场与矢量场的线积分9.2 标量场的曲面积分9.3 矢量场的曲面积分第十章空间解析几何10.1 空间直线与平面10.2 空间曲线与曲面10.3 空间几何问题的解析法第十一章空间曲线与曲面积分11.1 曲线积分的计算11.2 曲面积分的计算11.3 广义曲线积分与曲面积分第十二章傅里叶级数与傅里叶变换12.1 傅里叶级数的定义和性质12.2 傅里叶级数的收敛性12.3 傅里叶变换的定义和性质第十三章偏微分方程13.1 偏微分方程的基本概念13.2 热传导方程与波动方程13.3 拉普拉斯方程与边值问题以上是大一高等数学教材的课后答案目录，每一章节都覆盖了相应知识点的题目答案，供同学们进行课后练习和检查。
这些答案对于加深对高等数学知识的理解和掌握具有积极的作用。
希望同学们能够认真学习，勤做练习，提高自己的数学水平。
最新中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第5章课后习题详解
高等数学一第5章课后习题详解课后习题全解习题5-1★★1.利用定积分的定义计算由抛物线21y x =+，直线x a =，x b =()b a >及横轴所围成的图形的面积知识点：定积分的定义及几何意义 思路：根据求定积分的三步骤做 解:将[],a b 分成n 等分,取(1,2,)i i n ξ=为第i 个小区间1[(),()]i ia b a a b a n n-+-+-的右端点,则,i b a x n λ-=∆=,i b aa i nξ-=+ 显然, 0,n λ→⇔→∞于是根据定积分的几何意义,该图形面积lim ()nbi i ai A ydx y x λξ→===∆∑⎰ 21lim [()1]nn i b a b aa in n→∞=--=++∑ 22221()lim [12]n n i b a b a b a a ai i n n n→∞=---=+++∑222211()lim [(1)2]nnn i i b a b a b a n a a i in n n →∞==---=+++∑∑22232()(1)()1lim{()[1(1)(21)]}26n a b a n n b a b a a n n n n n →∞-+-=-+++++221()11()lim[1()(1)(1)(2)]6n b a b a a a b a n n n→∞-=-++-++++ 222()()[1]3b a b a a ab a -=-++-+33().3b a b a -=+- ★★2.利用定积分的定义计算下列积分：知识点：定积分的定义 思路：根据求定积分的三步骤做(1)baxdx ⎰()a b <.解:易见函数[](),f x x C a b =∈，从而可积，将[],a b 分成n 等分，则,i b ax nλ-=∆=于是0,n λ→⇔→∞；取(1,2,)i i n ξ=为第i 个小区间的右端点，则,0,1,2,,1,ib aa ii n nξ-=+=-所以110lim ()lim ()n n bi i an i i b a b axdx f x a in nλξ--→→∞==--=∆=+∑∑⎰1()lim{[(0121)]}n b ab a na n n n→∞-=-+++++-2(1)()lim[]2n b a n n b a a n →∞--=-+1()lim[(1)]2n b a b a a n→∞-=-+-221()()().22b a b a a b a -=-+=-(2)1ln exdx ⎰解:用分点(0,1,,)i ni x e i n ==划分区间[]1,e ：11,1,2,,i i nni i i x x x e e i n --∆=-=-=， 取i ξ是区间右端点，则 ,()ln()ln ,i i nnii i i i x e f e nξξξ=====作和，并取极限得：111ln lim ()lim ()i i nnenn i i n n i i i xdx f x e e nξ-→∞→∞===∆=-∑∑⎰111111lim{[()]}i i i nn n n nn i i i i e e e n n n --→∞==-=-+∑∑11111(1)lim lim (1)i nn n n i n e e e e n n e -→∞→∞=-=-=--∑111(1)lim ()1n n e e n e →∞=--- 记()1xx g x e =-，则当0x →时，()g x 是0型的，由洛必达法则， 有 001lim lim 11x xx x x e e →→==---从而，当n →+∞时，有111lim 11n nne →+∞=--，故1ln (1) 1.exdx e e =+-=⎰★3．利用定积分的几何意义，说明下列等式：(1)121xdx =⎰.知识点：定积分的几何意义思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积解:等式左边为直线2y x =与x 轴和1x =三条直线所围成的面积，该面积等于11212==等式右边. (2)sin 0xdx ππ-=⎰解: 等式左边为正弦曲线sin y x =与x 轴在x π=及x π=-之间所围成的面积，其左右两边面积互为相反数. 则sin ()0xdx A A ππ-=-+==⎰等式右边★★4.用定积分的几何意义求a⎰(0)b >的值.知识点：定积分的几何意义思路：定积分的几何意义为被积函数与边界所形成曲边梯形的面积 解:=是以2a b +为圆心，2b a-为半径的上半圆，其面积为：2221()()2228b a b a S r πππ--===由定积分的几何意义知：2().8ab a π-=⎰★★★5.试将和式的极限112lim p p pp n n n +→∞+++(0)p >表示成定积分.知识点：定积分的定义思路：根据定积分的定义推导过程可知,求和的极限公式可表示为定积分解: 112112limlim [()()()]p p p p pp p n n n n n n n nn +→∞→∞+++=+++11lim ()n pn i i n n→∞==∑设()p f x x =，则用定义求解1()f x dx ⎰为：①、等分[0,1]为n 个小区间：11[,], 1,2,, i i ii n x n nn-=∆=②、求和：取区间1[,]i i n n -上的右端点为i ξ，即i in ξ=，作和：111()n ni i i i i f x nn ξ==∆=⨯∑∑③、求极限：011111lim()lim ()lim ()nnn p pi i n n i i i i i f x nn n n λξ→→∞→∞===∆=⨯=∑∑∑∴1101121lim lim ()p p p n pp p n n i n i x dx n n n+→∞→∞=+++==∑⎰ ★★★6.有一河，宽为200米，从一岸到正对岸每隔20米测量一次水深，测得数据如下：试用梯形公式求此河横截面面积的近似值.知识点：定积分的几何意义思路：由定积分定义知：求定积分（曲边梯形面积）的第二步：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，即1()()ii x i i x f x f x dx ξ-∆≈⎰，若用小梯形面积近似代替小曲边梯形面积则为：111[()()]()2i i x i i i x f x f x x f x dx --+∆≈⎰。
中国人民大学出版社第四版高等数学一第9章课后习题详解
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第9章课后习题详解第9章课后习题详解 重积分内容概要名称 主要内容二重积分定义 =⎰⎰Dd y x f σ),(∑=→∆ni ii i f 1),(lim σηξλ性质①=⎰⎰Dd y x kf σ),(⎰⎰Dd y x f k σ),(②[]=±⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(⎰⎰⎰⎰±DDd y x g d y x f σσ),(),(③=⎰⎰Dd y x f σ),(+⎰⎰1),(D d y x f σ⎰⎰2),(D d y x f σ21D D D +=④σσ=⎰⎰Dd ⑤⇒≤),(),(y x g y x f ⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ),(),(⑥⎰⎰⎰⎰≤DDd y x f d y x f σσ),(),(⑦σσσM d y x f m D≤≤⎰⎰),( ⑧σηξσ),(),(f d y x f D=⎰⎰ D ∈),(ηξ计算法利用直角坐标计算把D 写成X 型区域⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x baDdyy x f dx d y x f ϕϕσ把D 写成Y 型区域⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x d cDdxy x f dy d y x f ψψσ利用极坐标计算⎰⎰⎰⎰=)()(21)sin ,cos (),(θθβαθθθσr r Drdrr r f d d y x f三重积分利用直角坐标计算投影法(针刺法、先一后二法)⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==),(),(21),,(),,(y x z y x z D dz z y x f d dv z y x f σ截面法(切片法、先二后一法)⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==zD dcd z y x f dz dv z y x f σ),,(),,(利用柱面坐标计算 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dzrdrd z r r f dv z y x f θθθ),sin ,cos (),,(利用球面坐标计算 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=θϕϕϕθϕθϕd drd rr r r f dv z y x f sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(2应用 求立体的体积、求曲面的面积、求质量、重心、转动惯量等课后习题全解习题9-1★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布着面密度为),(y x μμ=的电荷，且),(y x μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q .解：将D 任意分割成n 个小区域{}iσ∆，在第i 个小区域上任取一点),(iiηξ，由于),(y x μ在D上连续和i σ∆很小，所以用),(i i ηξμ作为i σ∆上各点函数值的近似值，则i σ∆上的电荷i i i i Q σηξμ∆≈∆),(从而该板上的全部电荷⎰⎰∑=∆==→Dni i i i d y x Q σμσηξμλ),(),(lim 1其中λ是各i σ∆中的最大直径。
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解
中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解第一章函数、极限与连续内容概要名称主要内容（1.1、1.2）函数邻域(){}δδ<-=axxaU,（即(){},U a x a x aδδδ=-<<+）(){}0,0U a x x aδδ=<-<（(){}0,,0U a x a x a xδδδ=-<<+≠）函数两个要素：对应法则f以及函数的定义域D由此，两函数相等⇔两要素相同；（与自变量用何字母表示无关）解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；特性局部有界性对集合DX⊂，若存在正数M，使对所有Xx∈，恒有()Mxf<，称函数()xf在X上有界，或()xf是X上的有界函数；反之无界，即任意正数M（无论M多大），总存在（能找到）Xx∈，使得()Mxf>局部单调性区间DI⊂，对区间上任意两点21xx，当21xx<时，恒有：()()21xfxf<，称函数在区间I上是单调增加函数；反之，若()()21xfxf>，则称函数在区间I上是单调减小函数；奇偶性设函数()xf的定义域D关于原点对称；若Dx∈∀，恒有()()xfxf=-，则称()xf是偶函数；若Dx∈∀，恒有()()xfxf-=-，则称()x f是奇函数；周期性若存在非零常数T，使得对Dx∈∀，有()DTx∈±，且()()x fTxf=+，则称()x f是周期函数；初等函数几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① alog□,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③ (0)≥④ arcsin（[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ； （2）31121121arcsin ≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ；（3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，xx g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数； 思路：注意自变量的不同范围；解：216sin )6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。
高数AII第6章答案
（二）曲面与曲线
1．空间曲面方程 a．一般方程： F ( x, y, z ) 0 ；b．显式方程： z f ( x, y ) ；
x x (u , v ) c．参数方程 y y (u , v ) ，其中 (u , v) D ， D 为 uv 平面上某一区域． z z (u , v )
3
直线的方向向量． 直线的上述 3 种方程可互相转化． 2．点、直线、平面之间的关系 （1）两条直线之间的关系： x x1 y y1 z z1 x x2 y y 2 z z 2 设直线 l1 : ， l2 : ，且其方向向量分别为 m1 n1 p1 m2 n2 p2 s1 (m1 , n1 , p1 ) 和 s2 (m2 , n2 , p2 ) ，两直线的夹角是指两直线的方向向量 s1 、 s2 之间的夹 角（取锐角）记为 ．则 |s s | | m1 m2 n1 n2 p1 p2 | π （0≤ ≤ ) ． cos 1 2 2 2 2 2 2 2 | s1 | | s2 | 2 m1 n1 p1 m2 n2 p2 由此可知： a．两直线平行（含重合） ： l1 // l2
第六章
向量代数与空间解析几何 一、内容提要
（一）向量
1．方向角与方向余弦 若 a = ( x, y, z ) ， 则有 cos 2．向量的线性运算及其性质 （1）加减法运算： 向量加法运算遵循平行四边形法则或三角形法则． 设 a ( x1 , y1 , z1 ) ， b ( x2 , y2 , z2 ) ，则 a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ) ． （2）数乘运算： 向量 a 与实数 的乘积，记为 a ．设 a ( x, y, z ) ，则 a ( x, y, z ) ，
高等代数习题北大第四版答案一到四章
从 而 ( f ( x), g( x))h( x) 是 f (x)h(x) 与 g( x)h( x) 的 一 个 最 大 公 因 式 ， 又 因 为
( f (x), g( x)) h( x) 的首项系数为１，所以 ( f (x)h(x), g(x)h(x)) = ( f ( x), g( x))h( x) 。
u1(x) f (x) + v1(x)g (x) = 1
（1）
u2 (x) f (x) + v2 (x)h(x) = 1
将（1）（2）两式相乘，得
（2）
[u1(x)u2(x) f (x) + v1(x)u2(x)g (x) + u1(x)v2(x)h(x)] f ( x) ， +[v1(x)v2 (x)]g( x)h( x) = 1 所以 ( f ( x), g( x) h( x)) =1 。
即[u(x) − v(x)] f ( x) + v( x)[ f ( x) + g( x)] = 1 ，
所以 ( f (x), f ( x) + g( x)) =1。
同理 ( g( x), f ( x) + g( x)) =1 。
再由 12 题结论，即证 ( f ( x) g( x), f ( x) + g( x)) =1。
2） f (x) = x3 − x2 − x, g( x) = x −1 + 2i 。
q(x) = 2x4 − 6x3 +13x2 − 39x +109
解 1）
；
r (x) = −327
2） q(x) = x2 − 2ix − (5 + 2i ) 。 r (x) = −9 + 8i
高等代数第6章习题参考答案
(N
L),故(M
N)
(M
L) M
(N
L),
于是M
(N
L) (M
N)
(M
L)。
若x M
U(N
I L），则x M
，x
N I L。
在前一情形Xx
M UN，
且X
M
UL，因而x
（M
U N）I（MU L）。
在后一情形，
故
即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1）次数等于n（n1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
1
系数多项式组成的空间,其中A=0
0
解1)Pn n的基是Eij}(i, j 1,2,..., n),且dim( Pn n) n2。
... ... ... 1 ...
2) i)
F11,..
令Fij
1
.., Fnn
.， 即aijaji1,其 余 元 素 均 为 零,则
.,F1n,F22,..
., F2n,.
n(n 1)维的。
2
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数a,可经2线性
表出，即
.a (log2a)
2,所以此线性空间是
一维的，
且
2是它的一组基。
4)因为
1 3i
31,所以n
1,n ,n
3q
3q
1，
2
2
,n
3q
2
1
1
E,n
3q
当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有
（A+B）=A+B=-A-B=-（A+B），A+B仍是反对称矩阵。（KA）KA K（A） （KA），所以kA是反对称矩阵。 故反对称矩阵的全体构成线性空间。
大学第四版高等数学教材答案
大学第四版高等数学教材答案【前言】在大学学习的过程中，高等数学是一门非常重要的课程。
为了更好地帮助同学们进行学习，提供一个参考，下面是大学第四版高等数学教材的答案。
【第一章微分学】1.1 导数与微分练习题答案：1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x的导数。
答：f'(x) = 6x - 2.2. 计算函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 1在x = 2处的导数。
答：f'(2) = 6.1.2 函数的凹凸性和拐点练习题答案：1. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的凹凸性和拐点。
答：f''(x) = 6x - 6，令f''(x) = 0，解得x = 1。
当x小于1时，f''(x)小于0，函数凹；当x大于1时，f''(x)大于0，函数凸。
所以在x = 1处有拐点。
2. 设函数f(x) = x^4 - 8x^2 + 12x，求其在[-2, 4]上的最大值和最小值。
答：首先求f'(x) = 4x^3 - 16x + 12，求解得到导数的零点x = -2, 1, 2。
然后求解f''(x) = 12x^2 - 16，代入得到f''(-2) = 20, f''(1) = -4, f''(2) = 20。
通过计算得知，在x = -2处为极小值，x = 1处为极大值。
所以最小值为f(-2) = 20，最大值为f(1) = 5。
【第二章积分学】2.1 不定积分练习题答案：1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的不定积分。
答：∫(3x^2 - 2x + 1)dx = x^3 - x^2 + x + C，其中C为常数。
2. 计算不定积分∫(4x^3 - 6x^2 + 2x + 5)dx。
答：∫(4x^3 - 6x^2 + 2x + 5)dx = x^4 - 2x^3 + x^2 + 5x + C，其中C为常数。
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高等数学一第6章课后习题详解课后习题全解习题6-2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1∵所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<yx y y 210）∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间[0，π/2]上，曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π， （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(2020-=+=-=⎰πππx x dx x S D（ 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ，∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为：2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X-型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D Y ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1)]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰）★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积 知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和2=x 分别交于 )21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121，∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路：所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342)342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ） ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为（0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型：⎩⎨⎧<<<<-x x ey e x 10，∴2)()(1110-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8∵在x ln的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<yex by a 0ln ln ， ∴a b e dy e S b ayba y D-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y 轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2，（由于下弯，所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2，得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩∴232232026)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型解：x e y =⇒xe y ='，∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e e y x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D Y =,见图6-2-10X-型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xe y ex x 1∴222)(1211e e e x eedx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π，也可选择极坐标求面积的方法做。
解：∵作图6-1-11ra图6-1-11 a2图6-2-12θ3sin a r =r6/π1D)cos 2(2θ+=a ra 6a 4a 3知所求图形区域D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-θπθπcos 2022a r∴2222222)2sin 2121(2)cos 2(21a a d a S D πθθθθππππ=+==--⎰★★★12．求三叶玫瑰线θ3sin a r =的面积S知识点：平面图形面积思路： 三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成图6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶， 而一叶图形又关于6πθ=对称，因此选择其中一叶的一半区域1D 求其面积解：∵1D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<θπθ3cos 060a r∴26026241)6sin 6121(3)3cos (21661a a d a S S D Dπθθθθππ=+===⎰ ★★★13．求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域1D 求其面积解：∵1D ：⎩⎨⎧+<<<<)cos 2(200θπθa r∴12220141122[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a ππθθπθθθπ==+=+++=⎰★★★14．求对数螺线θρae =)(πθπ≤≤-及射线πθ=所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知该曲线围成的图形是由θρae =，θ从π-到π一段曲线及射线πθ=所围，由此可确定θ、ρ的范围解：∵所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<-θρπθπae∴)(4212)(21222222ππππθππθθ----=⨯==⎰e e a e a d ae S D★★★★15．求由曲线θcos 3=r 及θcos 1+=r 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分D ，而D 又关于极轴对称，设θ在（0，2π）内的曲线和极轴围成的半个D 为1D 区域解：两条曲线θcos 3=r 、θcos 1+=r 交于3πθ±=处，因此分割区域b a D D D +=1，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧+<<<<θπθcos 1030r ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<θπθπcos 3023r122320332031122[(1cos )(3cos )]223191152[(2sin sin 2)(sin 2)]23422644D D S S d d ππππππθθθθππθθθπ==++=⨯+++⨯+=⎰⎰★★★16．求由曲线θsin 2=r及θ2cos 2=r 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分D ，而D 又关于射线2πθ=对称，设两条曲线在（0，2π）围成的半个D 为1D 区域解：两条曲线θsin 2=r 、θ2cos 2=r 交于6πθ=及65πθ=因此分割区域b a D D D +=1，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<θπθsin 2060r ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<θπθπ2cos 026r236)2sin 412sin 41621(2]2cos 21)sin 2(21[22266026621-=+-⨯=+==⎰⎰πθθπθθθθππππππd d S S D D（和书后答案不同）★★★17．求由摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=)20(π≤≤t 及x 轴所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：在直角坐标系下作图可知所围图形的x 、y 变化范围，先求出直角坐标系下积分表达式，再将积分变量代换成t解：∵所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<)(020x y y ax π，（)(x y y =为摆线）∴20()aDS y x dx π=⎰，作代换)sin (t t a x -=，则222022203223)cos 1(])sin ([)cos 1(a a dt t a t t a d t a S Dππππ=⨯=-=--=⎰⎰ 习题6-31． 求下列平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转产生的立体体积：★(1)．曲线x y =与直线1=x 、4=x 、0=y 所围成的图形；知识点：旋转体体积思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x 、y 范围），代入相应的公式。