高等数学同济版下第七节方向导数与梯度
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高等数学课件 同济四版
O
M0
y
所以点 M 0 x 0 , y0 , z 0 处外法线的方向向量
2x Fx 2 , a
2y Fy 2 , b
2z Fz 2 , c
x
x0 y0 z0 a2 b2 c2 , , 单位化 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 y z x0 y z x0 y z x0 04 04 04 04 04 04 a4 b c a4 b c a4 b c u u u 2 x0 , 2z0 . 2 y0 , x x 0 , y 0 , z 0 z x 0 , y 0 , z 0 x0 , y0 , z0 y
2 {1, 2, 2} 9
17
2. 函数 u ln( x y 2 z 2 ) 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 提示: 其单位向量为
1 2
.(1996考研)
{cos , cos , cos }
ln( x度与方向导数的关系 沿梯度方向的方向导数达到最大值. 最大方向导数
f f y x
2 2
1
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数
1. 定义 设 z f ( x , y ) 在点 P ( x, y ) 某邻域内 有定义, 自点P 引射线 l , 设 P ( x x, y y ),
t 增大即 x 增大
由曲线方程知:
10
x2 y2 z2 例 求函数 u x 2 y 2 z 2 在椭球面 2 2 2 1 上点 a b c z M 0 x 0 , y0 , z 0 处沿外法线方向的方向导数。
方向导数梯度方向导数与梯度
的等高线指向数值 的较 等高 高线，而梯度 等的 于模 函数在 这个法线方向的方 数向 ．导
方向导数梯度方向导数与梯度
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u f ( x, y, z)在空间区域 G 内具有一阶连续偏
导数，则对于每一点 P( x, y, z)G，都可定义一个向量(梯度)
gradf ( x, y, z) f
方向导数梯度方向导数与梯度
定义 设函数 z f ( x, y)在平面区域 D 内具有一阶连续偏导
数，则对于每一点 P( x, y) D，都可定出一个向量f
i
f
j，
x y
这向量称为函数z f ( x, y)在点 P( x, y)的梯度，记为
gradf ( x, y) f
i
f
j.
x y
方向导数梯度方向导数与梯度
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
第八章
方向导数梯度方向导数与梯度
一、方向导数的定义
讨论函数 zf(x在,y一)点P沿某一方向的变化率问题．
设函数z f (x, y) 在点
y
l
• P
P(x, y)的某一邻域U(P) 内有定义，自点P 引射线l．
y
••
P x
o
x
方向导数梯度方向导数与梯度
x(1,0)
(1,0)
z 2xe2y 2,
y(1,0)
(1,0)
所求方向导数 z cos()2sin () 2 .
l
4
42
方向导数梯度方向导数与梯度
例 2 求函数 f ( x, y) x2 xy y2在点（1，1）沿与 x轴方向
夹角为 的方向射线l 的方向导数.并问在怎样的方向上此方向
方向导数梯度方向导数与梯度
梯度的概念可以推广到三元函数
三元函数u f ( x, y, z)在空间区域 G 内具有一阶连续偏
导数，则对于每一点 P( x, y, z)G，都可定义一个向量(梯度)
gradf ( x, y, z) f
方向导数梯度方向导数与梯度
定义 设函数 z f ( x, y)在平面区域 D 内具有一阶连续偏导
数，则对于每一点 P( x, y) D，都可定出一个向量f
i
f
j，
x y
这向量称为函数z f ( x, y)在点 P( x, y)的梯度，记为
gradf ( x, y) f
i
f
j.
x y
方向导数梯度方向导数与梯度
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
第八章
方向导数梯度方向导数与梯度
一、方向导数的定义
讨论函数 zf(x在,y一)点P沿某一方向的变化率问题．
设函数z f (x, y) 在点
y
l
• P
P(x, y)的某一邻域U(P) 内有定义，自点P 引射线l．
y
••
P x
o
x
方向导数梯度方向导数与梯度
x(1,0)
(1,0)
z 2xe2y 2,
y(1,0)
(1,0)
所求方向导数 z cos()2sin () 2 .
l
4
42
方向导数梯度方向导数与梯度
例 2 求函数 f ( x, y) x2 xy y2在点（1，1）沿与 x轴方向
夹角为 的方向射线l 的方向导数.并问在怎样的方向上此方向
高等数学讲义课件 第7节 方向导数及梯度
u z P
6x2 8 y2 14. z2
P
故 u (ucos ucos ucos ) 11.
n P x
y
z
7
P
三、梯度的概念
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量 G f , f , f x y z
l 0 (cos , cos , cos )
| gradf ( x, y) |
f
2
f
2
.
gradf
x y
当 f 不为零时， x
P gradf
x轴正向与梯度方向的夹角的正切为
tan f / f
y x
在几何上 z f ( x, y) 表示一个曲面
曲面被平面 z c
所截得
z z
f c
(
x,
y) ,
所得曲线在xoy面上投影如图
第七节 方向导数与梯度
一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个 火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的 温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一 个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快 到达较凉快的地点？
y f ( x, y) c2 gradf ( x, y)
P 梯度为等高线上的法向量
f ( x, y) c 等高线
f ( x, y) c1
o
x
梯度与等高线的关系：
函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y)的梯度的方向与点 P 的等高线 f ( x, y) c 在 这点的法线的一个方向相 同，且从数值较低的等高 线指向数值较高的等高线， 而梯度的模等于函数在这 个法线方向的方向导数．
高等数学高数课件 9.7方向导数与梯度
l 0 x
y
z
对于二元函数 f (x, y), 在点P(x, y)处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
y lP
l
fx (x, y) cos f y (x, y) cos
o
x
特别:
•
当
l
与
x
轴同向
0,
2
1,
z y
2xe2 y 2, (1,0)
(1,0)
所求方向导数
z l
cos
4
2sin
4
2 2
.
例2 求函数 f ( x, y) x2 xy y2 在点 (1,1) 沿与
x 轴方向夹角为 的方向射线 l 的方向导数, 并
问在怎样的方向上此方向导数有
(1)最大值; (2)最小值; (3)等于零?
4
,
故
(1)
当
4
时,
方向导数达到最大值
2;
(2)
当
5
4
时,
方向导数达到最小值
2;
(3)
当
3
4
和
7
4
时,
方向导数等于0.
例3 求函数 u ln( x y2 z2 ) 在点 A(1,0,1) 处
沿点 A 指向点 B(3,2,2) 方向的方向导数.
解 这里 l 为 AB {2,2,1}的方向, 向量 AB 的
Fx
p
4x
p
4,
Fy
p
6y
p
6,
Fz
p
2z
p
2,
《高等数学》电子课件(同济第六版)07第九章 第7节 方向导数与梯度
cos
cos
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim l 0 f f cos cos . x y
o
y
P
l
P
y
x
11
x
例 1 求函数z xe 2 y 在点P (1,0) 处沿从点
解
1 1 1 cos , cos 2 2 2 2 2 2 1 (1) 1 (1) z 2y e 2 y (1, 0 ) 1; z 2 xe 2, ( 1, 0 ) x (1, 0 ) y
Fx P 4 x P 4, Fy P 6 y P 6, Fz P 2z P 2, 故 n Fx , Fy , Fz 4, 6, 2,
n 42 62 22 2 14,
方向余弦为
20
2 3 1 cos , cos , cos . 14 14 14
证明
由于函数可微，则增量可表示为
两边同除以 , 得到
f f f ( x x , y y ) f ( x , y ) x y o( ) x y
10
f ( x x , y y ) f ( x , y )
故有方向导数
f x f y o( ) x y
思 考: 若f ( x , y )在 点P ( x , y )沿x轴 正 向 e1 {1,0}的 方 向 f 导数存在 , 是否存在 ? x 2 2 不 一 定 如 z x y 在(0,0)点处沿e1 {1,0}
2 2 ( x ) ( y ) z 方向导数 lim 1, l 0
cos
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim l 0 f f cos cos . x y
o
y
P
l
P
y
x
11
x
例 1 求函数z xe 2 y 在点P (1,0) 处沿从点
解
1 1 1 cos , cos 2 2 2 2 2 2 1 (1) 1 (1) z 2y e 2 y (1, 0 ) 1; z 2 xe 2, ( 1, 0 ) x (1, 0 ) y
Fx P 4 x P 4, Fy P 6 y P 6, Fz P 2z P 2, 故 n Fx , Fy , Fz 4, 6, 2,
n 42 62 22 2 14,
方向余弦为
20
2 3 1 cos , cos , cos . 14 14 14
证明
由于函数可微，则增量可表示为
两边同除以 , 得到
f f f ( x x , y y ) f ( x , y ) x y o( ) x y
10
f ( x x , y y ) f ( x , y )
故有方向导数
f x f y o( ) x y
思 考: 若f ( x , y )在 点P ( x , y )沿x轴 正 向 e1 {1,0}的 方 向 f 导数存在 , 是否存在 ? x 2 2 不 一 定 如 z x y 在(0,0)点处沿e1 {1,0}
2 2 ( x ) ( y ) z 方向导数 lim 1, l 0
2019-D87方向导数与梯度高等数学-文档资料
x ( c x o ) 2 , s ( yy )2 c( o z )2 ,,szco s
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
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定理: 若函 f(x,y,z数 )在 P (点 x,y,z)处,可微
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.
2. 梯度的几何意义
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对函 zf数 (x,y),曲 线 zzf(C x,y)在xo面 y 上的 影 L*:f(x,y)C称为函数 f 的等值线 .
设fx, fy不同时为, 则零L*上点P 处的法向量为
(fx, fy) PgrafdP 同样, 对应函数 uf(x,y,z), 有等值面(等量面) f(x,y,z)C,
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u 162831 41 11
n P 14
7
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二、梯度
方向导数公式 ffc o sfco s fcos
l x y
z
令向量
Gxf,
f, y
f z
l0(co ,cso ,s co )s
fco sfco sfco so()
x
y
z
故
f limffco sfco sfco s
l 0 x
y
z
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对于二元函数 f(x,y), 在点 P(x,y)处沿方 l(方 向 向角
为, ) 的方向导数为
指向外侧的法向量, 求函数 u 6x2 8y2 在点P 处沿
方向 n的方向导数.
z
第七节 方向导数与梯度课件
到点 Q ( 2 , 1 ) 的方向的方向导数. 解
r 即为 PQ { 1 , 1 } , 这里方向 l r 故 x 轴到方向 l 的转角 . 4 z e 2 y (1, 0 ) 1; z 2 xe 2 y (1, 0 ) 2, x (1, 0 ) y ( 1 , 0 )
设 x 轴正向到射线
l 的转角
P U ( p ). o
为 , 并设 P ( x + x , y + y )
P
x
y
为 l 上的另一点且
（如图）
x
扬州环境资源职业技术学院基础部
| PP | ( x )2 + ( y )2 ,
且 z f ( x + x , y + y ) f ( x , y ),
扬州环境资源职业技术学院基础部
梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数 u f ( x , y , z ) 在空间区域 G 内具有 P ( x, y,z) G ， 一阶连续偏导数，则对于每一点 都可定义一个向量(梯度)
f r f r f r gradf ( x , y , z ) i + j + k. x y z
因为
f 2x 2 , 2 2 x (x + y )
1 2x 2y gradu 2 2 i 2 j 2 2 2 2 2 x +y (x + y ) (x + y )
扬州环境资源职业技术学院基础部
小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 2、梯度的概念 （注意梯度是一个向量） 3、方向导数与梯度的关系 梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长最快的方向.
同济版大一高数第九章第七节方向导数与梯度
ln( x + 1)
ln(1 + y 2 + 1)
1 = 2
8
例3. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 x= x y = x2 −1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x = 2 = (1, 4) 1 4 ∴ cos α = , cos β = 17 17
2. 梯度的几何意义
等高线的画法
播放
16
例如, 例如,
函数 z = sin xy 图形及其等高线图形．
17
3. 梯度的基本运算公式
∂f, ∂f, ∂f = ∂x ∂y ∂z
(2) grad (C u ) = C grad u (4) grad ( u v ) = u grad v + v grad u
∂f ∂f ∂f = cos α + cos β ∂l ∂x ∂y
25
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
∂f ,∂f ,∂f grad f = ∂x ∂ y ∂z
• 二元函数 3. 关系 • 可微 方向导数存在
0
在点
处的梯度为
grad f = ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
M (1,1,1) 处切ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的方向向量
l
∂f ∂l
在点M (1,1,1) 处 函数沿 l 的方向导数
M
= [ f x ⋅ cos α + f y ⋅ cos β + f z ⋅ cos γ
] (1,1,1)
23
(2) grad f
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f f f f cos cos cos l x y z
其中 , , 为 l 的方向角 .
对于二元函数 f (x 向角 ,y ), 在点 P ( x ,y ) 处沿方向 l( 方
为, ) 的方向导数为
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim l 0 l
2
l x f f • 当 l 与 x 轴反向 , 时 ,有 2 l x
例1. 求函数 u x2yz 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 l ( 2 , 1 , 3 )
的方向导数 .
6 14
2 2 在点P(2, 3)沿曲线 y x2 1 3 x y y 例2. 求函数 z
, y) 在点 P(x, y) 处的梯度 同样可定义二元函数 f (x
f f f f grad f i j , x y x y
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
z f( x ,y ) 对函数 z f ( x , y ) , 曲线 在 xoy 面上的 z C
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度
三、物理意义
一、方向导数
x ,y ,z )在点 P 定义: 若函数 f( (x, y, z) 处
, ,) 存在下列极限: 沿方向 l (方向角为
记作 f f f ( x x , y y , z z ) f ( x , y , z ) lim lim l 0 0
朝 x 增大方向的方向导数.
60 17
2 2 2 在点 P(1, 1, 1 )处 是曲面 n 2 x 3 y z 6 例3. 设
6x2 8y2 指向外侧的法向量, 求函数 u 在点P 处沿 z 11 方向 n的方向导数. 7
二、梯度
f f f f cos cos cos 方向导数公式 l x y z
内容小结
1. 方向导数
• 三元函数 f( (x ,y ,z )沿方向 l (方向角 x ,y ,z )在点 P 为 , ,) 的方向导数为 f f f f cos cos cos l x y z
, y) 在点 P • 二元函数 f (x (x , y) 沿方向 l (方向角为
f f f 令G , (cos , cos , co ) , e l x y z
f G el G cos( G ,e l) l f 当 e G 方向一致时 , max G l与 l
这说明 G : 方向：f 变化率最大的方向
( x ) ( y ) ( z ) , z cos y cos , x cos ,
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. l
2
2
2
定理: 若函数 f ( x , y , z ) 在点 P ( x , y , z ) 处可微 , 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
rad f ( r ) f ( r ) e . 处矢径 r 的模 , 试证 g r
三、物理意义
数量场 (数性函数)
函数 场 如: 温度场, 密度场等 (物理量的分布)
向量场(矢性函数)
如: 力场,速度场等
可微函数 f (P) (势)
f( P ) 梯度场 grad (向量场、势场)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
模:
f 的最大变化率之值
1. 定义
向量 G称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), radf , 即 记作 g
g r ad f
f f f f f f , , i j k x y z x y z
2
z
x t 2 y 2 t 1 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 3 z t 6 在该点切线方向的方向导数; 26
(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向 的夹角 .
6 arccos 130
2 2 2 其中 r x y z 为点 P ( x , y , z ) 例5. 设 f( r )可导 ,
(x , y)处的梯度为 , y)在点 P • 二元函数 f (x
y
l
x 2 2 ( ( x ) ( y ) , x cos , . y co )
o f ( x , y ) cos f ( x , y ) cos x y
P
特别:
f f 0 , 时 ,有 • 当 l 与 x 轴同向
, )的方向导数为
f f f f f sin cos cos cos x y l x y
2. 梯度 • 三元函数 f( (x ,y ,z )处的梯度为 x ,y ,z )在点 P
f f f grad f , , x y z
* 称为函数 f 的等值线 . 影 L :f( x ,y ) C
设 fx , fy不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为 y f c3 f c2 (fx , fy) P grad fP
f c 1 o x ( 设 c c c ) 1 2 3
P
( x ,y , z ) x y 例4. 设函数 f