创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习 大题规范天天练 第三周 星期四 函数与导数 文
《创新设计》 2017届二轮专题复习 全国版 数学理科 WORD版材料 大题规范天天练
星期一 (三角与数列) 2017年____月____日1.三角知识(命题意图：在三角形中，考查三角恒等变换、正余弦定理及面积公式的应用)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 sin C 2＝104. (1)求cos C 的值；(2)若△ABC 的面积为3154，且sin 2A ＋sin 2B ＝1316sin 2C ，求a ，b 及c 的值.解 (1)因为sin C 2＝104，所以cos C ＝1－2sin 2C 2＝－14.(2)因为sin 2A ＋sin 2B ＝1316sin 2C ，由正弦定理得a 2＋b 2＝1316c 2，①由余弦定理得a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，将cos C ＝－14代入，得ab ＝38c 2，②由S △ABC ＝3154及sin C ＝1－cos 2C ＝154，得ab ＝6，③由①②③得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝4，或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，c ＝4.经检验，满足题意.所以a ＝2，b ＝3，c ＝4或a ＝3，b ＝2，c ＝4.2.数列(命题意图：考查数列基本量的求取，数列前n 项和的求取，以及利用放缩法解决数列不等式问题等.)(本小题满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2).(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)证明：当n ≥2时，S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n ＜32. 证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，S n －1－S n ＝2S n S n －1，1S n －1S n －1＝2，从而⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列.(2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝2n －1，∴S n ＝12n －1，∴当n ≥2时，1n S n ＝1n （2n －1）＜1n （2n －2）＝12·1n （n －1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n 从而S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n＜1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝32－12n ＜32.星期二 (概率统计与立体几何) 2017年____月____日1.概率统计(命题意图：考查独立性检验及超几何分布列问题)(本小题满分12分)某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下表是在某单位得到的数据(人数)：(1)能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？ (2)进一步调查：①从赞同“男女延迟退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；②从反对“男女延迟退休”的9人选出3人进行座谈，设参加调查的女士人数为X，求X的分布列和数学期望. 附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）解(1)K2的观测值k＝25×（5×3－6×11）216×9×11×14≈2.932＞2.706，由此可知，有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关.(2)①记题设事件为A，则所求概率为P(A)＝C15C211＋C25C111C316＝1116，②根据题意，X服从超几何分布，P(X＝k)＝C k3C3－k6C39，k＝0，1，2，3.X的分布列为：X的数学期望为E(X)＝0×521＋1×1528＋2×314＋3×184＝1.2.立体几何(命题意图：考查线线垂直及面面角的求解)(本小题满分12分)在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点.(1)求证：BD⊥EG；(2)求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值.(1)证明∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥BE，∴BE，EF，AE两两垂直，以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴.建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得，A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (2，4，0)，F (0，3，0)，D (0，2，2)，G (2，2，0)，∴EG→＝(2，2，0)，BD →＝(－2，2，2)， ∴BD→·EG →＝－2×2＋2×2＝0，∴BD ⊥EG . (2)解 由已知得EB→＝(2，0，0)是平面DEF 的法向量，设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z ) ， ∵ED→＝(0，2，2)，EG →＝(2，2，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧EG →·n ＝0，ED →·n ＝0，即⎩⎨⎧y ＋z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，得n ＝(1，－1，1)，设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ， 则|cos 〈n ，EB →〉|＝n ·EB →|n |·|EB →|＝223＝33，则cos θ＝33.∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为33.星期三 (解析几何) 2017年____月____日解析几何(命题意图：考查椭圆方程的求解及直线与椭圆相交情况下的范围问题)(本小题满分12分)如图，已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，以BF 2为直径的圆D 经过椭圆的上顶点A ，且|BF 1→|＝|AF 1→|，F 1A →·BA →＝6.(1)求椭圆C 的方程及圆D 的方程；(2)斜率为k 的直线l 过右焦点F 2，且与椭圆C 交于M 、N 两点，若在x 轴上存在点P (m ，0)，使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形为菱形，求实数m 的取值范围. 解 (1)因为以BF 2为直径的圆经过椭圆的上顶点A ，且|BF 1→|＝|AF 1→|， 所以∠BAF 2＝π2，∠BAF 1＝∠ABF 1， 所以∠F 1AF 2＋∠BAF 1＝∠AF 2B ＋∠ABF 1， 所以∠F 1AF 2＝∠AF 2F 1，所以△F 1AF 2是等边三角形. 所以|AF 1→|＝|F 1F 2→|＝|BF 1→|＝2c ，又|AF 1→|2＝|OF 1→|2＋|OA →|2，即4c 2＝c 2＋b 2＝a 2， 则B (－3c ，0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，b )， 所以F 1A →·BA →＝(c ，b )·(3c ，b )＝3c 2＋b 2＝6， 所以a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 由F 1(－1，0)，|AF 1→|＝2，得圆D 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知F 2(1，0)，则l ：y ＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，消去y 整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则Δ＝(－8k 2)2－4(3＋4k 2)(4k 2－12)＝16×9(k 2＋1)＞0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，所以PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2). 由于菱形的对角线互相垂直，则(PM →＋PN →)·MN→＝0， 因为MN →的一个方向向量是(1，k )，故x 1＋x 2－2m ＋k (y 1＋y 2)＝0，所以x 1＋x 2－2m ＋k 2(x 1＋x 2－2)＝0，所以k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0，由已知条件知k ≠0，所以m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4，所以0＜m ＜14， 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.星期四 (函数与导数) 2017年____月____日函数与导数(命题意图：考查曲线的切线、最值及数列不等式的证明等.) (本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1，g (x )＝ln(x ＋1).(1)当实数a 为何值时，函数g (x )在x ＝0处的切线与函数f (x )的图象相切； (2)当x ∈[0，＋∞)时，不等式f (x )＋g (x )≤x ＋1恒成立，求a 的取值范围； (3)已知n ∈N *，试判断g (n )与g ′(0)＋g ′(1)＋…＋g ′(n －1)的大小，并证明之. 解 (1)∵g (x )＝ln(x ＋1)， ∴g ′(x )＝1x ＋1，g ′(0)＝1，故g (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x . 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝ax 2＋1，得ax 2－x ＋1＝0， ∴Δ＝1－4a ＝0， ∴a ＝14.(2)当x ∈[0，＋∞)时，不等式f (x )＋g (x )≤x ＋1恒成立， 即ax 2＋ln(x ＋1)－x ≤0恒成立. 设h (x )＝ax 2＋ln(x ＋1)－x (x ≥0)， 只需h (x )max ≤0即可. h ′(x )＝2ax ＋1x ＋1－1＝x [2ax ＋（2a －1）]x ＋1. ①当a ＝0时，h ′(x )＝－xx ＋1，当x ＞0时，h ′(x )＜0， 函数h (x )在[0，＋∞)上单调递减， 故h (x )≤h (0)＝0成立.②当a ＞0时，由h ′(x )＝0，得x ＝12a －1或x ＝0.1° 12a －1＜0，即a ＞12时，在区间(0，＋∞)上，h ′(x )＞0，则函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，h (x )在(0，＋∞)上无最大值，此时不满足条件.2° 若12a －1≥0，即0＜a ≤12时，函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a －1上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1，＋∞上单调递增，同样h (x )在[0，＋∞)上无最大值，不满足条件.③当a ＜0时，h ′(x )＜0，函数h (x )在[0，＋∞)上单调递减，故h (x )≤h (0)＝0成立，综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0]. (3)结论：g (n )＜g ′(0)＋g ′(1)＋g ′(2)＋…＋g ′(n －1).证明：当a ＝0时，ln(x ＋1)≤x (当且仅当x ＝0时取等号)，令x ＝1n ， ∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＜1n ，∴ln(n ＋1)－ln n ＜1n . 故有ln(n ＋1)－ln n ＜1n ， ln n －ln(n －1)＜1n －1， ln(n －1)－ln(n －2)＜1n －2，……ln 3－ln 2＜12，ln 2－ln 1＜1， 所以ln(n ＋1)＜1＋12＋13＋…＋1n ， 即g (n )＜g ′(0)＋g ′(1)＋g ′(2)＋…＋g ′(n －1).星期五 (选考系列) 2017年____月____日一、(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝a (a ＞0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4，θ＝π2＋φ与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D .(1)若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程； (2)求|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |的值.解 (1)C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝2，C 2：y ＝a ， 因为曲线C 1关于曲线C 2对称，a ＝1，C 2：y ＝1. (2)|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4，|OB |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π2＝22cos φ，|OC |＝22sin φ，|OD |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋3π4＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |＝4 2.二、(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为[－1，5]，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2，且0≤t ＜2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2). 解 (1)因为|x －a |≤m ，所以a －m ≤x ≤a ＋m ， ⎩⎨⎧a －m ＝－1，a ＋m ＝5，∴a ＝2，m ＝3. (2)a ＝2时等价于|x －2|＋t ≥|x |，当x ≥2，x －2＋t ≥x ，∵0≤t ＜2，所以舍去， 当0≤x ＜2，2－x ＋t ≥x ，∴0≤x ≤t ＋22，成立. 当x ＜0，2－x ＋t ≥－x 成立， 所以原不等式解集是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，t ＋22. 星期六 (综合限时练) 2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟.) 1.(本小题满分12分)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *). (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n (n ∈N *)，且λa n ＞2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.解 (1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5. 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，所以{a n }是等差数列，首项为a 1＝1，公差为6，即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n ，所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6 ＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2， 由λa n ＞2n＋n ＋2λ得λ＞2n ＋n 2n ＋1＝12＋n2n ＋1，n ＋12n ＋2－n2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0， 所以，当n ＝1，2时， 2n ＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞.2.(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△PAB 与△PAD 都是等边三角形.(1)证明：PB ⊥CD ；(2)求二面角A －PD －B 的余弦值.(1)证明 取BC 的中点E ，连接DE ，则四边形ADEB 为正方形，过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ， 连接OA ，OB ，OE ，OD ，由△PAB 和△PAD 都是等边三角形可知PA ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ， 即点O 为正方形ADEB 对角线的交点，故OE ⊥BD ，从而OE ⊥平面PBD ，所以OE ⊥PB ， 因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点， 所以OE ∥CD ，因此PB ⊥CD .(2)解 由(1)可知，OE ，OB ，OP 两两垂直，以O 为原点，OE 方向为x 轴正方向，OB 方向为y 轴正方向，OP 方向为z 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系O －xyz .设|AB |＝2，则A (－2，0，0)，D (0，－2，0)，P (0，0，2)AD →＝(2，－2，0)，AP →＝(2，0，2)， 设平面PAD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝2x －2y ＝0，n ·AP →＝2x ＋2z ＝0，取x ＝1，得y ＝1，z ＝－1，即n ＝(1，1，－1)， 因为OE ⊥平面PBD ，设平面PBD 的法向量为m ， 取m ＝(1，0，0)， 则cos 〈m ，n 〉＝13·1＝33， 由图象可知二面角A －PD －B 的大小为锐角. 所以，二面角A －PD －B 的余弦值为33.3.(本小题满分12分)“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车.”2015年“7夕”晚8时开始，长沙市交警队在解放路一交通岗前设点，对过往的车辆进行抽查，经过4个小时共查出喝过酒的驾车者60名，下图是用酒精测试仪对这60名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得结果画出的频率分布直方图. (1)求这60名驾车者中属醉酒驾车的人数；(图中每组包括左端点，不包括右端点)(2)求这60名驾车者血液的酒精浓度的平均值；(3)将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组，第二组，…，第七组，在第五组和第七组的所有人中抽出两人，记他们的血液酒精浓度分别为x 、y (mg/100 mL)，则事件|x －y |≤10的概率是多少？解 (1)依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上者，共有0.05×60＝3人.(2)由图知60名驾车者血液的酒精浓度的平均值＝25×0.25＋35×0.15＋45×0.2＋55×0.15＋65×0.1＋75×0.1＋85×0.05＝47(mg/100 mL). (3)第五组和第七组的人分别有：60×0.1＝6人，60×0.05＝3人. |x －y |≤10即选的两人只能在同一组中.P (|x －y |≤10)＝C 26＋C 23C 29＝15＋336＝12.4.(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，一个焦点为(3，0).(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q .求|AB ||PQ |的取值范围. 解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b 2＝1，解得a ＝2，b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k1＋4k 2. 所以线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋4k 2，－k 1＋4k 2，所以线段AB 的垂直平分线方程为 y －－k 1＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 21＋4k 2.于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 21＋4k 2，0，又点P (1，0)，所以|PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－3k 21＋4k 2＝1＋k 21＋4k 2.又|AB |＝（1＋k 2）[（8k 21＋4k 2）2－4·4k 2－41＋4k 2]＝4（1＋k 2）（1＋3k 2）1＋4k 2.于是，|AB ||PQ |＝4（1＋k 2）（1＋3k 2）1＋4k 21＋k 21＋4k 2＝41＋3k 21＋k 2＝43－21＋k 2. 因为k ≠0， 所以1＜3－21＋k 2＜3. 所以|AB ||PQ |的取值范围为(4，43).5.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2ax 2＋bx ＋1)e －x (e 为自然对数的底数). (1)若a ＝12，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (1)＝1，且方程f (x )＝1在(0，1)内有解，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝12，f (x )＝(x 2＋bx ＋1)e －x ， f ′(x )＝－[x 2＋(b －2)x ＋1－b ]e －x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1－b .当b ＝0，f ′(x )≤0；当b ＞0时，当1－b ＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＜1－b 或x ＞1时， f ′(x )＜0；当b ＜0时，当1＜x ＜1－b 时，f ′(x )＞0，当x ＞1－b 或x ＜1时， f ′(x )＜0.综上所述，b ＝0时，f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)；b ＞0时，f (x )的单调递增区间为(1－b ，1)，递减区间为(－∞，1－b )，(1，＋∞)；b ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，1－b )，递减区间为(－∞，1)，(1－b ，＋∞). (2)由f (1)＝1得2a ＋b ＋1＝e ，b ＝e －1－2a .由f (x )＝1得e x ＝2ax 2＋bx ＋1，设g (x )＝e x －2ax 2－bx －1，则g (x )在(0，1)内有零点.设x 0为g (x )在(0，1)内的一个零点，则由g (0)＝0、g (1)＝0知g (x )在区间(0，x 0)和(x 0，1)上不可能单调递增，也不可能单调递减，设h (x )＝g ′(x )，则h (x )在区间(0，x 0)和(x 0，1)上均存在零点，即h (x )在(0，1)上至少有两个零点.g ′(x )＝e x －4ax －b ，h ′(x )＝e x －4a .当a ≤14时，h ′(x )＞0，h (x )在区间(0，1)上递增，h (x )不可能有两个及以上零点；当a ≥e4时，h ′(x )＜0，h (x )在区间(0，1)上递减，h (x )不可能有两个及以上零点；当14＜a ＜e4时，令h ′(x )＝0得x ＝ln(4a )∈(0，1)， 所以h (x )在区间(0，ln(4a ))上递减，在(ln(4a )，1)上递增，h (x )在区间(0，1)上存在最小值 h (ln(4a )).若h (x )有两个零点，则有h (ln(4a ))＜0，h (0)＞0，h (1)＞0. h (ln(4a ))＝4a －4a ln(4a )－b ＝6a －4a ln(4a )＋1－e ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＜a ＜e 4.设φ(x )＝32x －x ln x ＋1－e(1＜x ＜e)，则φ′(x )＝12－ln x ，令φ′(x )＝0，得x ＝e ，当1＜x ＜e 时φ′(x )＞0，φ(x )递增，当e ＜x ＜e 时φ′(x )＜0，φ(x )递减， φ(x )max ＝φ(e)＝e ＋1－e ＜0，所以h (ln(4a ))＜0恒成立.由h (0)＝1－b ＝2a －e ＋2＞0，h (1)＝e －4a －b ＞0，得e －22＜a ＜12.当e －22＜a ＜12时，设h (x )的两个零点为x 1，x 2，则g (x )在(0，x 1)递增，在(x 1，x 2)递减，在(x 2，1)递增，所以g (x 1)＞g (0)＝0，g (x 2)＜g (1)＝0，则g (x )在(x 1，x 2)内有零点.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e －22，12.6.请考生在以下两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. A.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围.解 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0⇒(x ＋1)2＋(y －3)2＝4， 所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t代入z ＝3x ＋y 得z ＝－t ，又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2， 所以－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2.即3x ＋y 的取值范围是[－2，2]. B.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由|2x －a |＋a ≤6得|2x －a |≤6－a ， ∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3. ∴a －3＝－2，∴a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝|2x －1|＋1，令φ(n )＝f (n )＋f (－n )，则φ(n )＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧2－4n ，n ≤－12，4，－12＜n ≤12，2＋4n ，n ＞12，∴φ(n )的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4，＋∞).星期一 (三角与数列) 2017年____月____日1. 三角(命题意图：考查正、余弦定理、面积公式及三角恒等变换)(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足a cos A ＝c2－cos C .(1)若b ＝4，求a ；(2)若c ＝3，△ABC 的面积为3，求证：3sin C ＋4cos C ＝5. (1)解 由a cos A ＝c 2－cos C 得sin A cos A ＝sin C2－cos C .∴2sin A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，即2a ＝b ， ∵b ＝4，∴a ＝2.(2)证明 ∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝a 2sin C ＝3，① ∵c ＝3，∴a 2＋4a 2－4a 2cos C ＝9，② 由①②消去a 2得3sin C ＝5－4cos C ， 即3sin C ＋4cos C ＝5.2.数列(命题意图：考查等差、等比数列的基本运算及求和)(本小题满分12分)已知数列{a n }是首项a 1＝1的等差数列，其前n 项和为S n ，数列{b n }是首项b 1＝2的等比数列，且b 2S 2＝16，b 1b 3＝b 4. (1)求a n 和b n ；(2)令c 1＝1，c 2k ＝a 2k －1，c 2k ＋1＝a 2k ＋kb k (k ＝1，2，3…)，求数列{c n }的前2n ＋1项和T 2n ＋1.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝2q n －1. 由b 1b 3＝b 4，得q ＝b 4b 3＝b 1＝2.由b 2S 2＝2q (2＋d )＝16，解得d ＝2， ∴a n ＝2n －1，b n ＝2n .(2)∵T 2n ＋1＝c 1＋a 1＋(a 2＋b 1)＋a 3＋(a 4＋2·b 2)＋…＋a 2n －1＋(a 2n ＋nb n ) ＝1＋S 2n ＋(b 1＋2b 2＋…＋nb n ). 令A ＝b 1＋2b 2＋…＋nb n ， 则A ＝2＋2·22＋…＋n ·2n ， ∴2A ＝22＋2·23＋…＋n ·2n ＋1， 两式相减，得－A ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1， ∴A ＝n ·2n ＋1－2n ＋1＋2. 又S 2n ＝2n （1＋a 2n ）2＝4n 2，∴T 2n ＋1＝1＋4n 2＋n ·2n ＋1－2n ＋1＋2 ＝3＋4n 2＋(n －1)·2n ＋1.星期二 (概率统计与立体几何) 2017年____月____日1.概率统计(命题意图：考查分层抽样、频率及离散型随机变量的分布列、期望) (本小题满分12分)为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x ，y 的含量(单位：毫克).当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175，且y ≥75时，该产品为优等品.已知该天甲厂生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：(1)求乙厂该天生产的产品数量；(2)用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽取的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品的件数X 的分布列及数学期望.解 (1)乙厂生产的产品总数为5÷1498＝35；(2)样品中优等品的频率为25，乙厂生产的优等品的数量为35×25＝14； (3)由表可得X ＝0，1，2，P(X＝i)＝C i2C2－i3C25(i＝0，1，2)，X的分布列为E(X)＝0×310＋1×35＋2×110＝45.2.立体几何(考查线面的平行关系、线面角的求法及空间向量在立体几何中的应用)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD中点.(1)求证：直线AF∥平面PEC；(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.(1)证明 作FM ∥CD 交PC 于M ，连接EM . ∵点F 为PD 中点， ∴FM ＝12CD . ∴AE ＝12AB ＝FM ， ∴AEMF 为平行四边形， ∴AF ∥EM ， ∵AF ⊄平面PEC ， EM ⊂平面PEC ， ∴直线AF ∥平面PEC .(2)解 连接DE ，∵∠DAB ＝60°，∴DE ⊥DC ，如图所示，建立坐标系，则P (0，0，1)，C (0，1，0)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0， B ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，1，AB →＝(0，1，0).设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z ).∵n ·AB →＝0，n ·AP→＝0，∴⎩⎨⎧－32x ＋12y ＋z ＝0，y ＝0，取x ＝1，则z ＝32，∴平面PAB 的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，32.∵PC→＝(0，1，－1)，∴设向量n 与PC→所成角为θ，cos θ＝n ·PC →|n ||PC→|＝－3274×2＝－4214.∴直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为4214.星期三 (解析几何) 2017年____月____日解析几何(命题意图：考查直线与椭圆相交情况下的弦长及三角形面积问题)(本小题满分12分)已知椭圆M ：x 24b 2＋y 2b 2＝1(b ＞0)上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4＋2 3. (1)求椭圆M 的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围.解 (1)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为4＋23， 所以2a ＋2c ＝4＋23， 又a ＝2b ，所以c ＝3b ， 所以b ＝1，则a ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆M 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0， 故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)， Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2－4＝0，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－1）1＋4k 2，故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2x 1x 2＝k 2，又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12，由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2且m 2≠1.则S △OPQ ＝12|y 1－y 2|·|2m |＝12|x 1－x 2|·|m |＝12·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2|m |＝m 2（2－m 2），所以S △OPQ 的取值范围为(0，1).星期四 (函数与导数) 2017年____月____日函数与导数(命题意图：考查函数的单调性及不等式恒成立问题，考查等价转化思想)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(3－a )x －2＋a －2ln x (a ∈R ). (1)若函数y ＝f (x )在区间(1，3)上单调，求a 的取值范围；(2)若函数g (x )＝f (x )－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，求a 的最小值.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3－a －2x ＝（3－a ）x －2x .当a ≥3时，有f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间(1，3)上单调递减；当a ＜3时，令f ′(x )＝0，得x ＝23－a，若函数y ＝f (x )在区间(1，3)上单调，则 23－a ≤1或23－a≥3，解得a ≤1或73≤a ＜3； 综上，a 的取值范围是(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，＋∞.(2)因为当x →0时，g (x )→＋∞，所以g (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，g (x )＞0恒成立，即对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a ＞2－2ln x x －1恒成立，令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则l ′(x )＝－2x （x －1）－2ln x （x －1）2＝2ln x ＋2x －2（x －1）2，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－2（1－x ）x 2＜0，故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )＞m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2＞0，从而l ′(x )＞0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，所以l (x )＜l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2，故要使a ＞2－2ln xx －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2.星期五 (选考系列) 2017年____月____日一、(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，动点A 的坐标为(2－3sin α，3cos α－2)，其中α∈R .在极坐标系(以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线C 的方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a .(1)判断动点A 的轨迹的形状；(2)若直线C 与动点A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a 的值. 解 (1)设动点A 的直角坐标为(x ，y )，则 ⎩⎨⎧x ＝2－3sin α，y ＝3cos α－2， ∴动点A 的轨迹方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝9，其轨迹是圆心坐标为(2，－2)，半径为3的圆.(2)直线C 的极坐标方程ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 化为直角坐标方程是2x ＋2y ＝2a ，由|22－22－2a |2＝3，得a ＝3或a ＝－3.二、(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|，x ∈R .不等式f (x )≤6的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：3|a ＋b |≤|ab ＋9|. (1)解 |x ＋2|＋|x －2|≤6等价于 ⎩⎨⎧x ≤－2，－2x ≤6，或⎩⎨⎧－2≤x ≤2，4≤6，或⎩⎨⎧x ≥2，2x ≤6.解得－3≤x ≤3， ∴M ＝[－3，3].(2)证明 当a ，b ∈M 时，即－3≤a ≤3，－3≤b ≤3时，要证3|a ＋b |≤|ab ＋9|， 即证9(a ＋b )2≤(ab ＋9)2，而9(a ＋b )2－(ab ＋9)2＝9a 2＋9b 2－a 2b 2－81＝(b 2－9)(9－a 2)≤0， 所以3|a ＋b |≤|ab ＋9|.星期六 (综合限时练) 2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟) 1.(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项之积为T n ，且log 2T n ＝n （n －1）2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝λa n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项之和为S n ，若对任意的n ∈N *，总有S n ＋1＞S n ，求实数λ的取值范围.解 (1)由log 2T n ＝n （n －1）2，n ∈N *，得T n＝2n （n －1）2， 所以T n －1＝2（n －1）（n －2）2(n ∈N *，n ≥2)，所以a n ＝T n T n －1＝2n （n －1）22（n －1）（n －2）2＝2n （n －1）2－（n －1）（n －2）2＝2n －1，n∈N *，n ≥2.又a 1＝T 1＝20＝1，适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由b n ＝λa n －1＝λ2n －1－1，得S n ＝λ·1－2n1－2－n ＝(2n －1)λ－n .所以S n ＋1＞S n ⇔(2n ＋1－1)λ－(n ＋1)＞(2n －1)λ－n ⇔2n λ＞1⇔λ＞12n .因为对任意的n ∈N *，12n ≤12，故所求的λ取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.2.(本小题满分12分)如图，已知空间四边形ABCD 在平面α上的射影是梯形FBCE ，BC ∥EF ，BC ⊥BF ，BC ＝2EF ＝2AF ＝4DE .又平面ABC 与平面α所成的二面角的大小为45°.(1)求异面直线AB 与CD 所成角的大小； (2)设直线BD 交平面AFC 于点O ，求比值BOOD .解 (1)如图，以点F 为原点，FB ，FE ，FA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系.因为AF ⊥平面FBCE ，BC ⊥BF ，所以BC ⊥AB ，所以∠ABF 就是平面ABC 与平面α所成的二面角的平面角，所以∠ABF ＝45°，从而|AF |＝|BF |. 令|DE |＝a ，则|AF |＝|EF |＝|BF |＝2a ，|BC |＝4a ，A (0，0，2a )，B (2a ，0，0)，C (2a ，4a ，0)，D (0，2a ，a ).所以AB →＝(2a ，0，－2a )，CD →＝(－2a ，－2a ，a )，cos 〈AB →，CD →〉＝－4a 2－2a 222a ·3a ＝－22.所以〈AB→，CD →〉＝135°，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为45°.(2)连接BE 、CF 交于点G ，再连接OG . 因为DE ∥AF ，DE ⊄平面AFC ，AF ⊂平面AFC ， 所以DE ∥平面AFC .又平面BDE ∩平面AFC ＝OG ，所以OG ∥DE ， 所以BO OD ＝BG GE .由△EFG ∽△BCG ，得EG BG ＝EF BC ＝12，所以BO OD ＝BGGE ＝2.3.(本小题满分12分)某校高三文科有四个班，一次联考后，随机地在各班抽取部分学生进行成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班抽取了22人，抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形如图所示，其中120～130的频率为0.05，此分数段的人数为5人.(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人？(2)若以各小组的中值作为该组的估计值，频率作为概率的估计值，求数学得分的期望E (X )和方差D (X )；(3)在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率. 解 (1)由频率分布条形图知，抽取的学生总数为50.05＝100人.因为各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为d ，由4×22＋6d ＝100，解得d ＝2.所以各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人.(2)E (X )＝75×0.05＋85×0.20＋95×0.35＋105×0.25＋115×0.10＋125×0.05＝ 0.05×(75＋85×4＋95×7＋105×5＋115×2＋125)＝98；D (X )＝232×0.05＋132×0.20＋32×0.35＋72×0.25＋172×0.100＋272×0.05＝141. (3)在抽取的学生中，任取一名学生，则分数不小于90分的概率为0.35＋0.25＋0.10＋0.05＝0.75.4.(本小题满分12分)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为A ，左顶点为B ，F 为右焦点，过F 作平行于AB 的直线交椭圆于C 、D 两点，作平行四边形OCED ，点E 恰在椭圆上. (1)求椭圆的离心率；(2)若平行四边形OCED 的面积为26，求椭圆的方程.解 (1)∵焦点为F (c ，0)，AB 的斜率为b a ，故直线CD 的方程为y ＝ba (x －c ). 与椭圆方程联立后消去y 得到2x 2－2cx －b 2＝0. ∵CD 的中点为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a 在椭圆上.∴将E 的坐标代入椭圆方程并整理得2c 2＝a 2，∴离心率e ＝c a ＝22.(2)由(1)知c a ＝22，b ＝c ，则直线CD 的方程为y ＝22(x －c )，与椭圆方程联立消去y 得到2x 2－2cx －c 2＝0.∵平行四边形OCED 的面积为S ＝c |y C －y D |＝22c （x C ＋x D ）2－4x C x D ＝22c c 2＋2c 2＝62c 2＝26，所以c ＝2，b ＝2，a ＝2 2.故椭圆方程为x 28＋y 24＝1.5.(本小题满分12分)设函数f (x )＝12x 2＋(2m －3)x ＋ln x (m ∈R ). (1)讨论函数f (x )在定义域上的单调性；(2)若对任意的x ∈(1，2)，总有f (x )＜－2，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋2m －3＋1x＝x 2＋（2m －3）x ＋1x .令x 2＋(2m －3)x ＋1＝0，则Δ＝(2m －3)2－4＝(2m －1)(2m －5).①当12≤m ≤52时，Δ≤0，所以x 2＋(2m －3)x ＋1≥0，从而f ′(x )≥0；②当m ＞52时，因为x ＞0，所以x 2＋(2m －3)x ＋1＞x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×52－3x ＋1＝x 2＋2x ＋1＞0，所以f ′(x )＞0；③当m ＜12时，Δ＞0，方程x 2＋(2m －3)x ＋1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2(不妨设x 1＜x 2).因为x 1＋x 2＝3－2m ＞3－2×12＝2＞0，x 1x 2＝1＞0，所以x 1＞0，x 2＞0， 所以当x 1＜x ＜x 2时，x 2＋(2m －3)x ＋1＜0，从而f ′(x )＜0； 当0＜x ＜x 1或x ＞x 2时，x 2＋(2m －3)x ＋1＞0，从而f ′(x )＞0. 综上可知，当m ≥12时，函数f (x )在定义域(0，＋∞)上单调递增；当m ＜12时，函数f (x )在区间(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，在区间(x 1，x 2)上单调递减，其中x 1＝3－2m －（2m －3）2－42，x 2＝3－2m ＋（2m －3）2－42.(2)法一 由(1)知，当m ≥12时，函数f (x )在区间(1，2)上单调递增， 所以f (x )＞f (1)＝12＋2m －3≥12＋2×12－3＝－32＞－2，故f (x )＜－2不成立. 当m ＜12时，函数f (x )在区间(x 1，x 2)上单调递减，在区间(0，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增.由x 1＞0，x 2＞0，x 1x 2＝1，知0＜x 1＜1＜x 2，所以在区间[1，2]上，f (x )max ＝max{f (1)，f (2)}.因为f (1)＝12＋2m －3＝2m －52，f (2)＝2＋2(2m －3)＋ln 2＝4m －4＋ln 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2m －52≤－2，4m －4＋ln 2≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤14，m ≤2－ln 24.而14－2－ln 24＝ln 2－14＜0，所以m ≤14.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14.法二 f (x )＜－2，即12x 2＋(2m －3)x ＋ln x ＜－2.在区间(1，2)上，12x 2＋(2m －3)x ＋ln x ＜－2⇔2m －3＜－12x 2＋ln x ＋2x ＝－12x －ln x ＋2x . 令g (x )＝－12x －ln x ＋2x ，x ∈(1，2)，则g ′(x )＝－12－1－（ln x ＋2）x 2＝－x 2＋2ln x ＋22x 2.令h (x )＝－x 2＋2ln x ＋2，x ∈(1，2)，则h ′(x )＝－2x ＋2x ＝2（1－x 2）x＜0，所以函数h (x )在区间(1，2)上单调递减. 因为h (1)＝1＞0，h (2)＝2ln 2－2＜0，所以存在唯一的x 0∈(1，2)，使得h (x 0)＝0，且当x ∈(1，x 0)时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0；当x ∈(x 0，2)时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0.所以函数g (x )在区间(1，x 0)上单调递增，在区间(x 0，2)上单调递减，因此在[1，2]上，g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}.因为g (1)＝－12－2＝－52，g (2)＝－1－ln 2＋22＝－2－ln 22， 所以g (2)－g (1)＝12－ln 22＝1－ln 22＞0， 即g (2)＞g (1).故当x ∈(1，2)时，g (x )＞g (1). 因此2m －3≤－52，m ≤14. 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14.6.请考生在以下两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. A.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝3cos t ，y ＝2＋2sin t (t 为参数)，P 是C 上任意一点.以x 轴的非负半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，求P 到直线l 的最大距离. 解 (1)由x ＝3cos t ，y ＝2＋2sin t ，消去参数t ， 得曲线C 的直角坐标方程为x 29＋（y －2）24＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为y ＝x . 设与直线l 平行的直线方程为y ＝x ＋m ，代入x 29＋（y －2）24＝1，整理得13x 2＋18(m －2)x ＋9[(m －2)2－4]＝0.由Δ＝[18(m －2)]2－4×13×9[(m －2)2－4]＝0，得(m －2)2＝13， 所以m ＝2±13.当点P 位于直线y ＝x ＋2＋13与曲线C 的交点(切点)时，点P 到直线l 的距离最大，为2＋132＝22＋262.或：设点P (3cos t ，2＋2sin t )，则点P 到直线x －y ＝0的距离为|3cos t －2－2sin t |2＝|13sin （t －φ）＋2|2，其中cos φ＝213，sin φ＝313.所以距离的最大值是13＋22＝22＋262.B.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －a |，a ＜0.(1)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≥2；(2)若不等式f (x )＋f (2x )＜12的解集非空，求a 的取值范围.(1)证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1x －a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪（x －a ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x －a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2.(2)解 y ＝f (x )＋f (2x )＝|x －a |＋|2x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x ≤a ，－x ，a ＜x ≤a2，3x －2a ，x ＞a2.函数图象为：当x ＝a 2时，y min ＝－a2，依题意，－a 2＜12，则a ＞－1， ∴a 的取值范围是(－1，0).星期一 (三角与数列) 2017年____月____日1.三角(命题意图：考查正弦定理、三角恒等变换及三角函数的最值(值域)) (本小题满分12分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －c a ＝cos C cos A . (1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的值域.解 (1)由2b －c a ＝cos Ccos A ， 利用正弦定理可得2sin B cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ， 化为2sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.(2)y ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －π6＝3sin B ＋cos B＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.∵B ＋C ＝2π3，0＜B ＜π2， ∴π6＜B ＜π2， ∴π3＜B ＋π6＜2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴y ∈(3，2].2.数列(命题意图：考查等差、等比数列的基本运算及数列的最值问题)(本小题满分12分)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70且a 1，a 2，a 6成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2S n ＋48n ，数列{b n }的最小项是第几项，并求出该项的值.解 (1)设公差为d ，则有⎩⎨⎧7a 1＋21d ＝70，a 22＝a 1a 6，即⎩⎨⎧a 1＋3d ＝10，（a 1＋d ）2＝a 1（a 1＋5d ）⇒⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎨⎧a 1＝10，d ＝0(舍)， ∴a n ＝3n －2.(2)S n ＝n2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n 2，∴b n ＝3n 2－n ＋48n ＝3n ＋48n －1≥23n ·48n －1＝23， 当且仅当3n ＝48n ，即n ＝4时取“＝”号， 数列{b n }的最小项是第4项，b 4＝23.星期二 (概率统计与立体几何) 2017年____月____日1.概率统计(命题意图：考查二项分布及独立性检验问题)(本小题满分12分)2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：(1)以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望(2)根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由.参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：解 (1)由已知得70后“生二胎”的概率为23，并且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133－k(k ＝0，1，2，3). 其分布列如下：所以E (X )＝3×23＝2.(2)K 2的观测值k ＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100×（30×10－45×15）275×25×45×55＝10033≈3.030＞2.706，所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”.2.立体几何(命题意图：考查折叠下的垂直问题及二面角的求解问题)(本小题满分12分)如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM . (1)求证：AD ⊥BM ；(2)若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E －AM －D 的余弦值为55.(1)证明 ∵长方形ABCD 中，AB ＝22，AD ＝2，M 为DC 的中点， ∴AM ＝BM ＝2，又AM 2＋BM 2＝AB 2，∴AM ⊥BM ， ∵平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM ＝AM ，BM ⊂平面ABCM ， ∴BM ⊥平面ADM ，∵AD ⊂平面ADM ，∴AD ⊥BM .(2)解 建立如图所示的直角坐标系，则平面ADM 的一个法向量n ＝(0，1，0)，则A (1，0，0)，M (－1，0，0)，D (0，0，1)，B (－1，2，0)， 则MD→＝(1，0，1)， DB→＝(－1，2，－1). 设DE→＝λDB →，ME →＝MD →＋λDB →＝(1－λ，2λ，1－λ)，AM →＝(－2，0，0)， 设平面AME 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )，⎩⎨⎧2x ＝0，2λy ＋（1－λ）z ＝0，取y ＝1，得x ＝0，y ＝1，z ＝2λλ－1，所以m ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，2λλ－1， 因为cos 〈m ·n 〉＝m ·n |m |·|n |＝55，求得λ＝12，所以E 为BD 的中点.星期三 (解析几何) 2017年____月____日解析几何(命题意图：考查利用向量知识求椭圆方程及直线与椭圆相交情况下的三角形、斜率、点到直线的距离等知识的综合应用)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 为短轴的一个端点，E 是椭圆C 上的一点，满足OE →＝OF 1→＋22OB →，且△EF 1F 2的周长为2(2＋1). (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M 是线段OF 2上的一点，过点F 2且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，若△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，求点M 到直线l 距离的取值范围.解 (1)由已知F 1(－c ，0)，设B (0，b )，即OF 1→＝(－c ，0)，OB →＝(0，b )，∴OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，22b ，即E ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，22b ，∴c 2a 2＋12b 2b 2＝1，得c a ＝22，①又△EF 1F 2的周长为2(2＋1)，∴2a ＋2c ＝2＋22，② 又①②得c ＝1，a ＝2，∴b ＝1，∴所求椭圆C 的方程为 x 22＋y 2＝1.(2)设点M (m ，0)，(0＜m ＜1)，直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2＝2，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点为N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k 1＋2k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2，y 0＝y 1＋y 22＝－k 1＋2k 2，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2.法一 ∵△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形，∴MN ⊥PQ ，即k 2m （1＋2k 2）－2k 2＝－1，∴m ＝k 21＋2k2＝12＋1k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 设点M 到直线l ：kx －y －k ＝0距离为d ，则d 2＝k 2（m －1）2k 2＋1＝k 2（k 2＋1）（1＋2k 2）2＜14（k 2＋k 2＋1）2（1＋2k 2）2＝14， ∴d ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，即点M 到直线距离的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.法二 ∵△MPQ 是以M 为顶点的等腰三角形， ∴(MP →＋MQ →)·PQ→＝0， ∵MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，PQ →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∴(x 1＋x 2－2m )(x 2－x 1)＋(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝0， 又y 2＋y 1＝k (x 2＋x 1－2)，y 2－y 1＝k (x 2－x 1)， ∴(x 2＋x 1－2m )＋k 2(x 1＋x 2－2)＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋2k 2－2m ＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋2k 2－2＝0，∴m ＝k 21＋2k 2.以下同解法一.星期四 (函数与导数) 2017年____月____日函数与导数知识(命题意图：考查含参数的函数单调性的求解以及不等式恒成立条件下的参数范围的求取.考查考生的分类讨论思想以及转化与化归思想的应用) (本小题满分12分)已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设a ＜－1，如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|，求a 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x .当a ≥0时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1＜a ＜0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a .即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )＞0；x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )＜0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减.(2)法一 不妨设x 1≤x 2，而a ＜－1，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上单调递减，从而对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，恒有。
《创新设计》2017届高考数学二轮复习(浙江专用)大题规范天天练+星期三+第四周
星期三 (解析几何) 2017年____月____日解析几何知识(命题意图：考查直线与椭圆的位置关系及三角形面积的最值问题)(本小题满分15分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，D 、E 分别是椭圆的上顶点与右顶点，且S △DEF 2＝1－32.(1)求椭圆C 1的方程；(2)在椭圆C 1落在第一象限的图象上任取一点作C 1的切线l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小值.解 (1)由题意知e ＝c a ＝32，故c ＝32a ，b ＝12a .因为S △DEF 2＝12(a －c )×b ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a －32a ×a 2＝ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32a 2＝1－32， 故a 2＝4，即a ＝2，b ＝12a ＝1，c ＝3，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵l 与椭圆C 1相切于第一象限内的一点，∴直线l 的斜率必存在且为负.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 整理可得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，① 根据题意可得方程①有两相等实根，∴Δ＝(2km )2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14(m 2－1)＝0，整理可得m 2＝4k 2＋1.② ∵直线l 与两坐标轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k ，0，(0，m )且k <0， ∴l 与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12·m 2－k，③ ②代入③可得S ＝(－2k )＋1－2k≥2(当且仅当k ＝－12时取等号)， ∴l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.。
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星期一 (三角与数列)2017年____月____日1.三角知识(命题意图：在三角形中，考查三角恒等变换、正余弦定理及面积公式的应用)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin C 2＝104.(1)求cos C 的值；(2)若△ABC 的面积为3154，且sin 2A ＋sin 2B ＝1316sin 2C ，求a ，b 及c 的值.解 (1)因为sin C 2＝104，所以cos C ＝1－2sin 2C 2＝－14.(2)因为sin 2A ＋sin 2B ＝1316sin 2C ，由正弦定理得a 2＋b 2＝1316c 2，①由余弦定理得a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ，将cos C ＝－14代入，得ab ＝38c 2，②由S △ABC ＝3154及sin C ＝1－cos 2C ＝154，得ab ＝6，③由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，c ＝4.经检验，满足题意.所以a ＝2，b ＝3，c ＝4或a ＝3，b ＝2，c ＝4.2.数列(命题意图：考查数列基本量的运算、求数列的通项公式及错位相减求和等) (本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0，1).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等比数列{a n }公比为q ，a 1＝12，∵a 1，a 2，a 3－18成等差数列，∴2a 2＝a 1＋a 3－18，即得4q 2－8q ＋3＝0，解得q ＝12或q ＝32，又∵q ∈(0，1)，∴q ＝12，∴a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n .(2)根据题意得b n ＝na n ＝n2n ， S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①12S n ＝122＋223＋324＋…＋n2n ＋1，② 作差得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，S n ＝2－(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 星期二 (概率、统计与立体几何) 2017年____月____日1.概率、统计(命题意图：考查线性回归方程的求解及古典概型的应用)(本小题满分12分)某研究性学习小组对4月份昼夜温差大小与花卉种子发芽多少之间的关系研究，记录了4月1日至4月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，如下表：(1)请根据上表中4月2日至4月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ，若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请用4月1日和4月5日数据检验你所得的线性回归方程是否可靠？ (2)从4月1日至4月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率.(参考公式：回归直线的方程是y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝1221ni ii ni i x y n x yx nx==-⋅⋅-∑∑，a ^＝y －b x )解 (1) x ＝13(11＋13＋12)＝12，y ＝13(25＋30＋26)＝27，3x y ＝972.31i i i x y =∑＝11×25＋13×30+12×26=977，321i i x =∑＝112＋132＋122＝434，32x ＝432.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17，|17－16|<2.所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的.(2)m ，n 的所有取值情况有：(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，即基本事件总数为10.设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26).所以P (A )＝310，故事件A 的概率为310.2.立体几何(命题意图：考查线面、面面垂直的转化证明及三棱锥体积的求解)(本小题满分12分)如图，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形.(1)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(2)若BC ＝1，AB ＝4，求三棱锥D －PCM 的体积.(1)证明 △PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，∴MD ⊥PB ，∴AP ⊥PB ， 又∵AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ， ∴AP ⊥平面PBC ， ∵BC ⊂平面PBC ， ∴AP ⊥BC ，又∵BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ， ∴BC ⊥平面APC ， ∵BC ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面APC .(2)解 由(1)题意可知，AP ⊥平面PBC ，PA ＝23，∴MD ＝3，S △PCD ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×3＝34， ∴V D －PCM ＝V M －PCD ＝13×3×34＝14.星期三 (解析几何) 2017年____月____日解析几何(命题意图：考查椭圆方程的求解及直线与椭圆相交情况下的范围问题)(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.解 (1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c ，0)， 则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c ).由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ， 得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝6－2x23（x ＋1）2＞2， 解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x， 即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立， 整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233. ②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0. 因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233.综上，直线OP 的斜率的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，233.星期四 (函数与导数) 2017年____月____日函数与导数(命题意图：考查函数的极值、单调性、最值及不等式恒成立等)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3. (1)求实数a 的值； (2)若k ∈Z ，且k ＜f （x ）x －1对任意x ＞1恒成立，求k 的最大值. 解 (1)因为f (x )＝ax ＋x ln x ， 所以f ′(x )＝a ＋ln x ＋1.因为函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e 处的切线斜率为3，所以f ′(e)＝3，即a ＋ln e ＋1＝3，所以a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝x ＋x ln x ，又k ＜f （x ）x －1＝x ＋x ln xx －1对任意x ＞1恒成立， 令g (x )＝x ＋x ln x x －1，则g ′(x )＝x －ln x －2（x －1）2， 令h (x )＝x －ln x －2(x ＞1)， 则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x＞0，所以函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增. 因为h (3)＝1－ln 3＜0，h (4)＝2－2ln 2＞0，所以方程h (x )＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x 0，且满足x 0∈(3，4). 当1＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0； 当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0， 所以函数g (x )＝x ＋x ln xx －1在(1，x 0)上单调递减， 在(x 0，＋∞)上单调递增，所以[g (x )]min ＝g (x 0)＝x 0（1＋ln x 0）x 0－1＝x 0（1＋x 0－2）x 0－1＝x 0，所以k ＜[g (x )]min ＝x 0∈(3，4)，故整数k 的最大值是3.星期五 (选考系列) 2017年____月____日一、(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝a (a ＞0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4，θ＝π2＋φ与曲线C 1分别交异于极点O 的四点A ，B ，C ，D .(1)若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程； (2)求|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |的值.解 (1)C 1：(x －1)2＋(y －1)2＝2，C 2：y ＝a ， 因为曲线C 1关于曲线C 2对称，a ＝1，C 2：y ＝1. (2)|OA |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4， |OB |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π2＝22cos φ， |OC |＝22sin φ，|OD |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋3π4＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4 |OA |·|OC |＋|OB |·|OD |＝4 2.二、(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为[－1，5]，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2，且0≤t ＜2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2). 解 (1)因为|x －a |≤m ， 所以a －m ≤x ≤a ＋m ，⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝－1，a ＋m ＝5，∴a ＝2，m ＝3. (2)a ＝2时等价于|x －2|＋t ≥|x |，当x ≥2，x －2＋t ≥x ，∵0≤t ＜2，所以舍去， 当0≤x ＜2，2－x ＋t ≥x ，∴0≤x ≤t ＋22，成立.当x ＜0，2－x ＋t ≥－x 成立， 所以原不等式解集是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，t ＋22.星期六 (综合限时练) 2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1.(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值.解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos 2B ＝sin 2C . 又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2C ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝255，cos C ＝55，又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.2.(本小题满分12分)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用x n 表示编号为n (n ＝1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第66(2)从前5位同学中，随机地选2位，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率. 解 (1)∵x ＝1661nn x =∑＝75,∴x 6＝6x －51nn x=∑＝6×75－70－76－72－70－72＝90，s 2＝16∑n ＝16 (x n －x )2＝16(52＋12＋32＋52＋32＋152)＝49，∴s ＝7.(2)从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于(68，75)的取法共有如下4种取法： {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}， 故所求概率为25.3.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点.(1)求证：AC 1∥平面CDB 1； (2)求三棱锥C 1－B 1CD 的体积.(1)证明 设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ， ∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1， ∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1；(2)解 ∵AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC ，∵CC 1⊥平面ABC ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1，∴A 到平面BCC 1B 1的距离为AC ＝3， ∵D 是AB 的中点，∴D 到平面BCC 1B 1的距离为32.而△CB 1C 1的面积为12×4×4＝8，∴VC 1－B 1CD ＝VD －C 1B 1C ＝13×8×32＝4.4.(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，一个焦点为(3，0).(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q .求|AB ||PQ |的取值范围.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，1a 2＋34b2＝1，解得a ＝2，b ＝1. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k1＋4k2. 所以线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 21＋4k 2，－k 1＋4k 2，所以线段AB 的垂直平分线方程为 y －－k 1＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 21＋4k 2. 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 21＋4k 2，0， 又点P (1，0)，所以|PQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－3k 21＋4k 2＝1＋k 21＋4k 2. 又|AB |＝（1＋k 2）[（8k 21＋4k 2）2－4·4k 2－41＋4k2]＝4（1＋k 2）（1＋3k 2）1＋4k 2. 于是，|AB ||PQ |＝4（1＋k 2）（1＋3k 2）1＋4k 21＋k21＋4k 2＝41＋3k21＋k2＝43－21＋k2. 因为k ≠0，所以1＜3－21＋k 2＜3.所以|AB ||PQ |的取值范围为(4，43).5.(本小题满分12分)设函数f (x )＝e 2x－a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数；(2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a x(x >0). 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点.当a >0时，因为y ＝e 2x单调递增，y ＝－a x单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点.(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0).由于2e2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a .故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.6.请考生在以下两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. A.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆C ρ≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围.解 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0⇒(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t ，代入z ＝3x ＋y 得z ＝－t ，又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2， 所以－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2.即3x ＋y 的取值范围是[－2，2]. B.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由|2x －a |＋a ≤6得|2x －a |≤6－a ， ∴a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3. ∴a －3＝－2，∴a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝|2x －1|＋1，令φ(n )＝f (n )＋f (－n )，则φ(n )＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧2－4n ，n ≤－12，4，－12＜n ≤12，2＋4n ，n ＞12，∴φ(n )的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4，＋∞).星期一 (三角与数列) 2017年____月____日1. 三角(命题意图：考查正、余弦定理、面积公式及三角恒等变换)(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足acos A ＝c2－cos C.(1)若b ＝4，求a ；(2)若c ＝3，△ABC 的面积为3，求证：3sin C ＋4cos C ＝5.(1)解 由a cos A ＝c 2－cos C 得sin A cos A ＝sin C2－cos C.∴2sin A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B ，即2a ＝b ， ∵b ＝4，∴a ＝2.(2)证明 ∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝a 2sin C ＝3，①∵c ＝3，∴a 2＋4a 2－4a 2cos C ＝9，② 由①②消去a 2得3sin C ＝5－4cos C ， 即3sin C ＋4cos C ＝5.2.数列(命题意图：考查等差、等比数列的基本运算及求和)(本小题满分12分)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 所以q ＝2.从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210， 所以n ≥10，于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.星期二 (概率、统计与立体几何) 2017年____月____日1.概率、统计(命题意图：考查频率分布直方图的应用及古典概型)(本小题满分12分)某地区为了落实国务院《关于加快高速宽带网络建设，推进网络提速降费的指导意见》，对宽带网络进行了全面的光纤改造，为了调试改造后的网速，对新改造的1 000户用户进行了测试，随机抽取了若干户的网速，网速全部介于13 M与18 M 之间，将网速按如下方式分成五组：第一组[13，14)；第二组[14，15)；……；第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.(1)请利用上述测试估计这批新改造的1 000户用户中网速在[16，17)内的户数； (2)求测试中随机抽取了多少个用户；(3)若从第一、五组中随机取出两户网速，求这两户网速的差的绝对值大于1 M 的概率. 解 (1)网速在[16，17)内的频率为0.32×1＝0.32，0.32×1 000＝320， ∴估计这批新改造的1 000户中网速在[16，17)内的户数为320户. (2)设图中从左到右前3个组的频率分别为3x ，8x ，19x ， 依题意，得3x ＋8x ＋19x ＋0.32×1＋0.08×1＝1，∴x ＝0.02， 设调查中随机抽取了n 个用户，则8×0.02＝8n，∴n ＝50，∴测试中随机抽取了50个用户.(3)网速在第一组的用户数有3×0.02×1×50＝3，记为a ，b ，c ， 网速在第五组的用户数有0.08×1×50＝4，记为m ，n ，p ，q 则从第一、五组中随机取出两户的基本事件有{a ，b }，{a ，c }，{a ，m }，{a ，n }，{a ，p }，{a ，q }，{b ，c }，{b ，m }，{b ，n }，{b ，p }，{b ，q }，{c ，m }，{c ，n }，{c ，p }，{c ，q }，{m ，n }，{m ，p }，{m ，q }，{n ，p }，{n ，q }，{p ，q }，共21个.其中满足两户网速的差的绝对值大于1 M 的所包含的基本事件有{a ，m }，{a ，n }，{a ，p }，{a ，q }，{b ，m }，{b ，n }，{b ，p }，{b ，q }，{c ，m }，{c ，n }，{c ，p }，{c ，q }，共12个.所以P ＝1221＝47.2.立体几何(命题意图：考查以三棱柱为载体的线面垂直关系的证明及体积求解)(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝AA 1＝3a ，BC ＝2a ，D 是BC 的中点，F 是CC 1上一点，且CF ＝2a . (1)求证：B 1F ⊥平面ADF ； (2)若四面体AB 1DF 的体积为523，求a 的值和三棱柱ABC －A 1B 1C 1的表面积. (1)证明 因为AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC . 又平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，所以AD ⊥平面CC 1B 1B 又B 1F ⊂平面CC 1B 1B ，所以AD ⊥B 1F ，在Rt△B 1C 1F 中，tan∠C 1B 1F ＝12，在Rt△DCF 中，tan∠CFD ＝12，所以∠C 1B 1F ＝∠CFD ，∠C 1FB 1＋∠CFD ＝π2－∠C 1B 1F ＋∠CFD ＝π2，∠B 1FD ＝π－(∠C 1FB 1＋∠CFD )＝π2，即FD ⊥B 1F ，又AD ∩FD ＝D ，所以B 1F ⊥平面ADF .(2)解 ∵AB ＝AC ＝AA 1＝3a ，BC ＝2a ，∴AD ＝22a ，B 1F ＝DF ＝5a ， ∴V 四面体AB 1DF ＝13S △B 1DF ·AD ＝165a ·5a ·22a ＝523a 3＝523，∴a ＝1，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的表面积为S ＝(3a ＋3a ＋2a )·3a ＋2·12·2a ·22a ＝24＋4 2. 星期三 (解析几何) 2017年____月____日解析几何(命题意图：考查直线与椭圆相交情况下的弦长及三角形面积问题)(本小题满分12分)已知椭圆M ：x 24b 2＋y 2b2＝1(b ＞0)上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4＋2 3.(1)求椭圆M 的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围.解 (1)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23，又a ＝2b ，所以c ＝3b ， 所以b ＝1，则a ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆M 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2－4＝0，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－1）1＋4k2， 故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2x 1x 2＝k 2，又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12，由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2且m 2≠1.则S △OPQ ＝12|y 1－y 2|·|2m |＝12|x 1－x 2|·|m |＝12·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2|m |＝m 2（2－m 2），所以S △OPQ 的取值范围为(0，1).星期四 (函数与导数) 2017年____月____日函数与导数(命题意图：考查函数的单调性及不等式恒成立问题，考查等价转化思想) (本小题满分12分)已知函数f (x )＝(3－a )x －2＋a －2ln x (a ∈R ). (1)若函数y ＝f (x )在区间(1，3)上单调，求a 的取值范围；(2)若函数g (x )＝f (x )－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，求a 的最小值.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3－a －2x ＝（3－a ）x －2x.当a ≥3时，有f ′(x )＜0，即函数f (x )在区间(1，3)上单调递减；当a ＜3时，令f ′(x )＝0，得x ＝23－a ，若函数y ＝f (x )在区间(1，3)上单调，则23－a ≤1或23－a ≥3，解得a ≤1或73≤a ＜3； 综上，a 的取值范围是(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，＋∞.(2)因为当x →0时，g (x )→＋∞，所以g (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立不可能，故要使函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，只要对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，g (x )＞0恒成立， 即对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a ＞2－2ln x x －1恒成立，令l (x )＝2－2ln x x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，则l ′(x )＝－2x （x －1）－2ln x （x －1）2＝2ln x ＋2x－2（x －1）2，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则m ′(x )＝－2x 2＋2x ＝－2（1－x ）x2＜0， 故m (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为减函数，于是m (x )＞m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln 2＞0，从而l ′(x )＞0，于是l (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上为增函数，所以l (x )＜l ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－4ln 2， 故要使a ＞2－2ln xx －1恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，则a 的最小值为2－4ln 2. 星期五 (选考系列) 2017年____月____日一、(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，动点A 的坐标为(2－3sin α，3cos α－2)，其中α∈R .在极坐标系(以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线C 的方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a . (1)判断动点A 的轨迹的形状；(2)若直线C 与动点A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a 的值.解 (1)设动点A 的直角坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3sin α，y ＝3cos α－2，∴动点A 的轨迹方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝9，其轨迹是圆心坐标为(2，－2)，半径为3的圆.(2)直线C 的极坐标方程ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 化为直角坐标方程是2x ＋2y ＝2a ，由|22－22－2a |2＝3，得a ＝3或a ＝－3.二、(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|，x ∈R .不等式f (x )≤6的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：3|a ＋b |≤|ab ＋9|. (1)解 |x ＋2|＋|x －2|≤6等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－2x ≤6，或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，4≤6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x ≤6.解得－3≤x ≤3， ∴M ＝[－3，3].(2)证明 当a ，b ∈M 时，即－3≤a ≤3，－3≤b ≤3时，要证3|a ＋b |≤|ab ＋9|，即证9(a ＋b )2≤(ab ＋9)2，而9(a ＋b )2－(ab ＋9)2＝9a 2＋9b 2－a 2b 2－81＝(b 2－9)(9－a 2)≤0，所以3|a ＋b |≤|ab ＋9|.星期六 (综合限时练) 2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1.(本小题满分12分)某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分.上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2)，第二组[2，4)，第三组[4，6)，第四组[6，8)，第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)分别求第三，四，五组的频率；(2)该网站在得分较高的第三、四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率.解 (1)第三组的频率是0.150×2＝0.3；第四组的频率是0.100×2＝0.2； 第五组的频率是0.050×2＝0.1.(2)设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A ， 由题意可知，分别抽取3个，2个，1个.不妨设第三组抽到的是A 1，A 2，A 3；第四组抽到的是B 1，B 2；第五组抽到的是C 1，所含基本事件总数为：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，C 1}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，C 1}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，C 1}，{B 1，B 2}，{B 1，C 1}，{B 2，C 1}共15种. 事件A 包含的事件数为：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，所以P (A )＝315＝15.2.(本小题满分12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)bn (n ∈N *).若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *).记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)bn ，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)b 3－b2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)， 所以数列{a n }的通项为a n ＝2n(n ∈N *).所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n ＋1).故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *). (2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)， 所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *). ②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0；当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2n －1， 而n （n ＋1）2n－（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0，得n （n ＋1）2n≤5·（5＋1）25<1，所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *，恒有S 4≥S n ，故k ＝4.3.(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF ＝14AB .(1)求证：EF ∥平面BDC 1；(2)在棱AC 上是否存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1∶15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由. (1)证明 取AB 的中点M ，连接A 1M ，∵AF ＝14AB ，∴F 为AM 的中点，又∵E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1M .在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，M 分别为A 1B 1，AB 的中点， 在A 1D ∥BM ，A 1D ＝BM ，∴A 1DBM 为平行四边形，∴A 1M ∥BD ， ∴EF ∥BD ，∵BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ， ∴EF ∥平面BC 1D .(2)解 设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分的体积之比为1∶15， 则V E －AFG ∶V ABC －A 1B 1C 1＝1∶16，∵V E －AFG V ABC －A 1B 1C 1＝13×12AF ·AG ·sin∠GAF ·AE 12AB ·AC ·sin∠CAB ·A 1A ＝13×14×12×AG AC ＝124·AGAC， ∴124·AG AC ＝116，∴AG AC ＝32，∴AG ＝32AC >AC ，所以符合要求的点G 不存在. 4.(本小题满分12分)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点为A ，左顶点为B ，F 为右焦点，过F 作平行于AB 的直线交椭圆于C 、D 两点，作平行四边形OCED ，点E 恰在椭圆上.(1)求椭圆的离心率；(2)若平行四边形OCED 的面积为26，求椭圆的方程.解 (1)∵焦点为F (c ，0)，AB 的斜率为b a ，故直线CD 的方程为y ＝b a(x －c ). 与椭圆方程联立后消去y 得到2x 2－2cx －b 2＝0.∵CD 的中点为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，点E ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－bca 在椭圆上.∴将E 的坐标代入椭圆方程并整理得2c 2＝a 2，∴离心率e ＝ca ＝22. (2)由(1)知c a ＝22，b ＝c ，则直线CD 的方程为y ＝22(x －c )，与椭圆方程联立消去y 得到2x 2－2cx －c 2＝0.∵平行四边形OCED 的面积为S ＝c |y C －y D | ＝22c （x C ＋x D ）2－4x C x D ＝22c c 2＋2c 2＝62c 2＝26，所以c ＝2，b ＝2，a ＝2 2. 故椭圆方程为x 28＋y 24＝1.5.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x＋ax ＋b (a ，b ∈R ，e 是自然对数的底数)在点(0，1)处的切线与x 轴平行. (1)求a ，b 的值；(2)若对一切x ∈R ，关于x 的不等式f (x )≥(m －1)x ＋n 恒成立，求m ＋n 的最大值. 解 (1)求导得f ′(x )＝e x＋a ，由题意可知f (0)＝e 0＋b ＝1，且f ′(0)＝e 0＋a ＝0， 解得a ＝－1，b ＝0. (2)由(1)知f (x )＝e x－x ，所以不等式f (x )≥(m －1)x ＋n 可化为e x≥mx ＋n ， 令g (x )＝e x －mx －n ，g ′(x )＝e x－m ， 当m ≤0时，g ′(x )>0恒成立，则g (x )在R 上恒增，没有最小值，故不成立， 当m >0时，解g ′(x )＝0得x ＝ln m ， 当g ′(x )<0时，解得x <ln m ； 当g ′(x )>0时，解得x >ln m ；即当x ∈(－∞，ln m )时，g (x )单调递减；x ∈(ln m ，＋∞)时，g (x )单调递增， 故当x ＝ln m 时取得最小值g (ln m )＝eln m－m ·ln m －n ＝m －m ·ln m －n ≥0，即m －m ·ln m ≥n ，2m －m ·ln m ≥m ＋n ， 令h (m )＝2m －m ·ln m ，则h ′(m )＝1－ln m ，令h ′(m )＝0，则m ＝e ，当m ∈(0，e)时，h (m )单调递增；m ∈(e，＋∞)时，h (m )单调递减， 故当m ＝e 时，h (m )取得最大值h (e)＝e ，∴e≥m ＋n ， 即m ＋n 的最大值为e.6.请考生在以下两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. A.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2＋2sin t (t 为参数)，P 是C 上任意一点.以x 轴的非负半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，求P 到直线l 的最大距离.解 (1)由x ＝3cos t ，y ＝2＋2sin t ，消去参数t ， 得曲线C 的直角坐标方程为x 29＋（y －2）24＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为y ＝x . 设与直线l 平行的直线方程为y ＝x ＋m ， 代入x 29＋（y －2）24＝1，整理得13x 2＋18(m －2)x ＋9[(m －2)2－4]＝0.由Δ＝[18(m －2)]2－4×13×9[(m －2)2－4]＝0，得(m －2)2＝13， 所以m ＝2±13.当点P 位于直线y ＝x ＋2＋13与曲线C 的交点(切点)时，点P 到直线l 的距离最大，为2＋132＝22＋262. 或：设点P (3cos t ，2＋2sin t )，则点P 到直线x －y ＝0的距离为|3cos t －2－2sin t |2＝|13sin （t －φ）＋2|2，其中cos φ＝213，sin φ＝313.所以距离的最大值是13＋22＝22＋262.B.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －a |，a ＜0.(1)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≥2；(2)若不等式f (x )＋f (2x )＜12的解集非空，求a 的取值范围.(1)证明 f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1x－a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪（x －a ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x－a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2. (2)解 y ＝f (x )＋f (2x )＝|x －a |＋|2x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x ≤a ，－x ，a ＜x ≤a 2，3x －2a ，x ＞a2. 函数图象为：当x ＝a 2时，y min ＝－a 2，依题意，－a 2＜12，则a ＞－1，∴a 的取值范围是(－1，0).星期一 (三角与数列) 2017年____月____日1.三角(命题意图：考查正弦定理、三角恒等变换及三角函数的最值(值域))(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －c a ＝cos Ccos A .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6的值域.解 (1)由2b －c a ＝cos Ccos A ，利用正弦定理可得2sin B cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ， 化为2sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.(2)y ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －π6＝3sin B ＋cos B＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.∵B ＋C ＝2π3，0＜B ＜π2，∴π6＜B ＜π2，∴π3＜B ＋π6＜2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴y ∈(3，2].2.数列(命题意图：考查等差、等比数列的基本运算及数列的求和问题)(本小题满分12分)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和. 解 (1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2) 设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋(123＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.星期二 (概率、统计与立体几何) 2017年____月____日1.概率、统计(命题意图：考查频率分布直方图，茎叶图，古典概型等基础知识；考查数据处理能力、运算求解能力)(本小题满分12分)某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中抽取了n 名学生的成绩(满分100分)作为样本，将所得数经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题：(1)求频率分布直方图中a ，b 的值并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩；(2)规定大赛成绩在[80，90)的学生为厨霸，在[90，100]的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所取2人中至少有1人是厨神的概率.解 (1)由题意可知，样本容量n ＝50.012 5×10＝40，所以a ＝340×10＝0.007 5.10b ＝1－(0.125＋0.150＋0.450＋0.075)＝0.200， ∴b ＝0.020 0，平均成绩为0.125×55＋0.2×65＋0.45×75＋0.15×85＋0.075×95＝73.5.(2)由题意可知，厨霸有0.015 0×10×40＝6人，分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，厨神有0.007 5×10×40＝3人，分别记为b 1，b 2，b 3，共9人，从中任意抽取2人共有36种情况：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 1，a 6)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 2，a 6)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 3，a 6)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(a 4，a 5)，(a 4，a 6)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(a 4，b 3)，(a 5，a 6)，(a 5，b 1)，(a 5，b 2)，(a 5，b 3)，(a 6，b 1)，(a 6，b 2)，(a 6，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，其中至少有1人是厨神的情况有21种， 所以至少有1人是厨神的概率为2136＝712.2.立体几何(命题意图：考查空间直线与平面垂直关系、三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，转化与化归思想和方程思想)(本小题满分12分)在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 均为正方形，CF ⊥平面ABCD ，BG ⊥平面ABCD ，且AB ＝2BG ＝4BH . (1)求证：GH ⊥平面EFG ； (2)求三棱锥G －ADE 的体积.(1)证明 连接FH .由题意，知CD ⊥BC ，CD ⊥CF ， ∴CD ⊥平面BCFG . 又∵GH ⊂平面BCFG ， ∴CD ⊥GH .又∵EF ∥CD ，∴EF ⊥GH .由题意，设BH ＝1，则CH ＝3，BG ＝2，∴GH 2＝BG 2＋BH 2＝5，FG 2＝(CF －BG )2＋BC 2＝20，FH 2＝CF 2＋CH 2＝25.则FH 2＝FG 2＋GH 2，∴GH ⊥FG . 又∵EF ∩FG ＝F ，∴GH ⊥平面EFG .(2)解 因为CF ⊥平面ABCD ，BG ⊥平面ABCD ， ∴CF ∥BG .又∵ED ∥CF ，∴BG ∥ED ，又BG ⊄平面ADE ，ED ⊂平面ADE ， ∴BG ∥平面ADE ，则V G －ADE ＝V B －ADE ， 又CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，AD ∩DE ＝D ，∴CD ⊥平面ADE ，而AB ∥CD ，∴AB ⊥平面ADE ，∴V G －ADE ＝V B －ADE ＝13×12AD ·DE ·AB ＝13×12×4×4×4＝323.星期三 (解析几何) 2017年____月____日解析几何(命题意图：考查椭圆方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点到直线x －y ＋32＝0的距离为5，且椭圆C 的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为10. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)给出定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫655，0，对于椭圆C 的任意一条过Q 的弦AB ，1|QA |2＋1|QB |2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.解 (1)由题意知右焦点(c ，0)到直线x －y ＋32＝0的距离d ＝|c ＋32|2＝5，所以c ＝22，则a 2－b 2＝8.①又由题意，得a 2＋b 2＝10，即a 2＋b 2＝10.② 由①②解得a 2＝9，b 2＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)当直线AB 与x 轴重合时，1|QA |2＋1|QB |2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫655＋32＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫655－32＝10. 当直线AB 不与x 轴重合时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 设直线AB 的方程为x ＝my ＋65，与椭圆C 方程联立.化简得(m 2＋9)y 2＋12m 5y －95＝0，所以y 1＋y 2＝－12m5（m 2＋9）.③ y 1y 2＝－95（m 2＋9）.④又1|QA |2＝1⎝⎛⎭⎪⎫x 1－652＋y 21＝1m 2y 21＋y 21＝1（m 2＋1）y 21. 同理1|QB |2＝1（m 2＋1）y 22，所以1|QA |2＋1|QB |2＝1（m 2＋1）y 21＋1（m 2＋1）y 22＝（y 1＋y 2）2－2y 1y 2（m 2＋1）y 21y 22，(*) 将③④代入(*)式， 化简可得1|QA |2＋1|QB |2＝10.综上所述，1|QA |2＋1|QB |2为定值10.星期四 (函数与导数) 2017年____月____日函数与导数(命题意图：考查函数单调性与导数的关系、不等式恒成立问题，考查推理论证能力，运算求解能力、分类讨论思想、等价转化思想等) (本小题满分12分)已知函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a ≠0)，g (x )＝(m －1)x 2＋2mx －1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a ＝1时，关于x 的不等式f (x )≤g (x )恒成立，求整数m 的最小值.解 (1)f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－2x 2－ax －a2x＝－（2x ＋a ）（x －a ）x(x >0)，当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <a ，由f ′(x )<0，得x >a ，所以f (x )的单调递增区间为(0，a )，单调递减区间为(a ，＋∞)；当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－a 2，由f ′(x )<0，得x >－a2，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞.(2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －mx 2＋(1－2m )x ＋1(x >0)，F ′(x )＝1x －2mx ＋1－2m ＝－2mx 2＋（1－2m ）x ＋1x ＝－（2mx －1）（x ＋1）x.当m ≤0时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增，而F (1)＝ln 1－m ×12＋(1－2m )＋1＝－3m ＋2>0，所以关于x 的不等式f (x )≤g (x )不恒成立； 当m >0时，若0<x <12m ，F ′(x )>0；若x >12m ，F ′(x )<0，所以函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞上单调递减，所以F (x )max ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＝ln 12m －m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＋(1－2m )×12m ＋1＝14m －ln(2m ).令h (m )＝14m－ln(2m )，因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，h (1)＝14－ln 2<0.又h (m )在(0，＋∞)上是减函数， 所以当m ≥1时，h (m )<0， 故整数m 的最小值为1.星期五 (选考系列) 2017年____月____日一、(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝32t (t 为参数).以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的方程为ρ＝23sin θ. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 的直角坐标为(1，0)，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值. 解 (1)消去参数得直线l 的普通方程为 3x ＋y －3＝0， 由ρ＝23sin θ得圆C 的直角坐标方程x 2＋y 2－23y ＝0. (2)由直线l 的参数方程可知直线过点P ，把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程x 2＋y 2－23y ＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝3，化简得t 2－4t ＋1＝0，因为Δ＝12＞0，故设t 1，t 2是上述方程的两个实数根，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝1，A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝4. 二、(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设f (x )＝|x －1|－|x ＋3|. (1)解不等式f (x )＞2；(2)若不等式f (x )≤kx ＋1在x ∈[－3，－1]上恒成立，求实数k 的取值范围.解 (1)当x ＜－3时，f (x )＝1－x ＋x ＋3＝4＞2恒成立； 当－3≤x ≤1时，f (x )＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2＞2， 解得－3≤x ＜－2；当x ＞1时，f (x )＝x －1－x －3＝－4＜2， 综上可得不等式f (x )＞2的解集为{x |x ＜－2}. (2)f (x )≤kx ＋1即－2x －2≤kx ＋1， ∵x ∈[－3，－1]，∴k ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－3x min，即k ≤－2－3－3＝－1.星期六 (综合限时练) 2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1.(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋33c sin B . (1)若a ＝2，b ＝7，求c ；(2)若3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π12＝0，求A . 解 (1)∵a ＝b cos C ＋33c sin B ， ∴sin A ＝sin B cos C ＋33sin C sin B ， ∴cos B sin C ＝33sin C sin B ，又sin C ≠0， ∴tan B ＝3，∴B ＝π3.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－2c －3＝0， ∴c ＝3，c ＝－1(舍去).(2)∵3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π12 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A －π6－1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6－1。
创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习 大题规范天天练 第二周 星期三 解析几何 文
星期三 (解析几何)2017年____月____日解析几何(命题意图：考查直线与椭圆相交情况下的弦长及三角形面积问题)(本小题满分12分)已知椭圆M ：x 24b 2＋y 2b 2＝1(b ＞0)上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4＋2 3.(1)求椭圆M 的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围.解 (1)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23，又a ＝2b ，所以c ＝3b ，所以b ＝1，则a ＝2，c ＝ 3.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2－4＝0，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－1）1＋4k 2， 故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2x 1x 2＝k 2， 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12， 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2且m 2≠1.则S △OPQ ＝12|y 1－y 2|·|2m |＝12|x 1－x 2|·|m |＝12·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2|m |＝m 2（2－m 2）， 所以S △OPQ 的取值范围为(0，1).。
创新设计浙江专用2017届高考数学二轮复习大题规范天天练星期三第一周解析几何
星期三 (解析几何)2017年____月____日解析几何(命题意图：考查椭圆方程的求解及直线与椭圆相交情况下的范围问题)(本小题满分15分)如图，已知F 1、F 2是椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，以BF 2为直径的圆D 经过椭圆的上顶点A ，且|BF1→|＝|AF1→|，F1A →·BA →＝6.(1)求椭圆C 的方程及圆D 的方程；(2)斜率为k 的直线l 过右焦点F 2，且与椭圆C 交于M 、N 两点，若在x 轴上存在点P (m ，0)，使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形为菱形，求实数m 的取值范围.解 (1)因为以BF 2为直径的圆经过椭圆的上顶点A ，且|BF1→|＝|AF1→|，所以∠BAF 2＝π2，∠BAF 1＝∠ABF 1， 所以∠F 1AF 2＋∠BAF 1＝∠AF 2B ＋∠ABF 1，所以∠F 1AF 2＝∠AF 2F 1，所以△F 1AF 2是等边三角形.所以|AF1→|＝|F1F2→|＝|BF1→|＝2c ，又|AF1→|2＝|OF1→|2＋|OA →|2，即4c 2＝c 2＋b 2＝a 2，则B (－3c ，0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，b )，所以F1A →·BA →＝(c ，b )·(3c ，b )＝3c 2＋b 2＝6，所以a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x24＋y23＝1.由F 1(－1，0)，|AF1→|＝2，得圆D 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知F 2(1，0)，则l ：y ＝k (x －1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x24＋y23＝1，消去y 整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则Δ＝(－8k 2)2－4(3＋4k 2)(4k 2－12)＝16×9(k 2＋1)＞0，x 1＋x 2＝8k23＋4k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，所以PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2).由于菱形的对角线互相垂直，则(PM →＋PN →)·MN →＝0， 因为MN →的一个方向向量是(1，k )，故x 1＋x 2－2m ＋k (y 1＋y 2)＝0，所以x 1＋x 2－2m ＋k 2(x 1＋x 2－2)＝0， 所以k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k23＋4k2－2＋8k23＋4k2－2m ＝0， 由已知条件知k ≠0，所以m ＝k23＋4k2＝13k2＋4，所以0＜m ＜14， 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.。
《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(全国通用)大题规范天天练+第三周+星期六
星期六 (综合限时练) 2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟) 1.(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋33c sin B . (1)若a ＝2，b ＝7，求c ；(2)若3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π12＝0，求A . 解 (1)∵a ＝b cos C ＋33c sin B ， ∴sin A ＝sin B cos C ＋33sin C sin B ， ∴cos B sin C ＝33sin C sin B ，又sin C ≠0， ∴tan B ＝3，∴B ＝π3.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴c 2－2c －3＝0， ∴c ＝3，c ＝－1(舍去).(2)∵3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π12＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A －π6－1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3－1. ∴由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3－1＝0，及π6＜A ＜π2，可得A ＝π4.2.(本小题满分12分)为了解从事微商的人的年龄分布情况，某调查机构对所辖市的A ，B 两个街区中随机抽取了50名微商的年龄进行了调查统计，结果如下表：已知从500.3.(1)求x ，y 的值，根据表中数计算两个街区从事微商年龄在30岁以下的概率； (2)为了解这50名微商的工作生活情况，决定按表中描述的六种情况进行分层抽样，从中选取10名作为一个样本进行跟踪采访，然后再从样本中年龄在25～30的人员中随机选取2人接受电视台专访，求接受专访的2人来自不同街区的概率.解 (1)依题意有10＋y50＝0.3，所以y ＝5， 所以x ＝50－5－10－5－10－5＝15，A 街区微商中年龄在30岁以下的概率为5＋1530＝23， B 街区微商中年龄在30岁以下的概率为5＋1020＝34.(2)由分层抽样可知，从年龄在25～30的人员中选取的人数为1050×25＝5人，其中A 街区3人，B 街区2人.设来自A 街区的3人记为A 1，A 2，A 3，来自B 街区的2人记为B 1，B 2，则从中选取2人的所有基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)共10种情况，而2人来自不同街区所包含的基本事件有6种，所以接受专访的2人来自不同街区的概率为P ＝610＝35.3.(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥底面ABC ，∠ACB ＝90°，E 是棱CC 1的中点，F 是AB 的中点，AC ＝BC ＝1，AA 1＝2. (1)求证：CF ∥平面AB 1E ；(2)求三棱锥C －AB 1E 在底面AB 1E 上的高. (1)证明 取AB 1的中点G ，连接EG ，FG ，∵F 、G 分别是AB 、AB 1的中点，∴FG∥BB1，FG＝12BB1.∵E为侧棱CC1的中点，∴FG∥EC，FG＝EC，∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG.∵CF⊄平面AB1E，EG⊂平面AB1E，∴CF∥平面AB1E.(2)解∵三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∴BB1⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1.∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1，∴V A－EB1C ＝13S△EB1C·AC＝13×⎝⎛⎭⎪⎫12×1×1×1＝16，∵AE＝EB1＝2，AB1＝6，∴S△AB1E ＝32，∵V C－AB1E ＝V A－EB1C，∴三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高为3V C－AB1ES△AB1E＝33.4.(本小题满分12分)设A1(－22，0)，A2(22，0)，P是动点，且直线A1P与A2P的斜率之积等于－1 2.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)设轨迹E的左、右焦点分别为F1，F2，作两条互相垂直的直线MF1和MF2与轨迹E的交点分别为A、B和C、D，求证：1|AB|＋1|CD|恒为定值.(1)解设点P的坐标为(x，y)，则由题意得yx＋22·yx－22＝－12，化简得x28＋y24＝1且x≠±2 2.故动点P的轨迹E的方程为x28＋y24＝1且x≠±2 2.(2)证明设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，则直线CD的方程为y＝－1k(x－2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 28＋y 24＝1，消去y 得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－8＝0.由根与系数关系得x 1＋x 2＝－8k 22k 2＋1，x 1x 2＝8k 2－82k 2＋1，所以|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2＝42（k 2＋1）2k 2＋1.同理可得|CD |＝42（k 2＋1）k 2＋2.所以1|AB |＋1|CD |＝2k 2＋142（k 2＋1）＋k 2＋242（k 2＋1）＝328. 5.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln xx －a e x . (1)当a ＝1e 时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在[e ，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1e 时，函数f (x )＝ln x x －e xe ，则f ′(x )＝1－ln x x 2－e x e (x >0)， 当0<x <1时，1－ln x x 2>1，e xe <1，所以f ′(x )>0；当x ＝1时，f ′(x )＝0；当x >1时，1－ln x x 2<0，e xe >0，所以f ′(x )<0， 所以f (x )在(0，1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数， 所以最大值为f (1)＝－1.(2)f (x )在[e ，＋∞)上为减函数，即f ′(x )≤0在[e ，＋∞)上恒成立，则f ′(x )＝1－ln x x 2－a e x ＝1－ln x －ax 2e xx 2，①当a ≥0时，因为x ∈[e ，＋∞)，所以1－ln x ≤0，－ax 2e x ≤0，所以f ′(x )≤0，符合题意；②当a <0时，f ′(e)＝－a e e >0，与f ′(x )≤0在[e ，＋∞)上恒成立矛盾，不符合题意.综合可知，a 的取值范围是[0，＋∞).6.请考生在以下三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.A.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)，圆C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数).(1)当α＝π3时，求C 1被C 2截得的线段的长；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，当α变化时，求A 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.解 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎨⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1，0)与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.所以C 1被C 2截得的线段的长为1.(2)将C 1的参数方程代入C 2的普通方程得t 2＋2t cos α＝0，∴A 点对应的参数t ＝t 1＋t 22＝－cos α，∴A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α). 故当α变化时，A 点轨迹的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝sin 2α，y ＝－sin αcos α，(α为参数). 因此A 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.故A 点轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，半径为12的圆. B.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，x ＋y ＋z ＝3. (1)求1x ＋1y ＋1z 的最小值； (2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2<9.(1)解 因为x ＋y ＋z ≥33xyz >0，1x ＋1y ＋1z ≥33xyz >0，所以(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≥9，即1x ＋1y ＋1z ≥3.当且仅当x＝y＝z＝1时，1x＋1y＋1z取得最小值3.(2)证明x2＋y2＋z2＝x2＋y2＋z2＋（x2＋y2）＋（y2＋z2）＋（z2＋x2）3≥x2＋y2＋z2＋2（xy＋yz＋zx）3＝（x＋y＋z）23＝3.又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0，所以3≤x2＋y2＋z2<9.。
创新设计(全国通用)高考数学二轮复习大题规范天天练第三周星期四函数与导数文
1 星期四 (函数与导数)2017年____月____日函数与导数(命题意图：考查函数单调性与导数的关系、不等式恒成立问题，考查推理论证能力，运算求解能力、分类讨论思想、等价转化思想等)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a ≠0)， g (x )＝(m －1)x 2＋2mx －1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a ＝1时，关于x 的不等式f (x )≤g (x )恒成立，求整数m 的最小值.解 (1)f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－2x 2－ax －a 2x＝－（2x ＋a ）（x －a ）x(x >0)， 当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <a ，由f ′(x )<0，得x >a ，所以f (x )的单调递增区间为(0，a )，单调递减区间为(a ，＋∞)；当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－a 2，由f ′(x )<0，得x >－a 2，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞. (2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －mx 2＋(1－2m )x ＋1(x >0)，F ′(x )＝1x －2mx ＋1－2m ＝－2mx 2＋（1－2m ）x ＋1x ＝－（2mx －1）（x ＋1）x. 当m ≤0时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增，而F (1)＝ln 1－m ×12＋(1－2m )＋1＝－3m ＋2>0，所以关于x 的不等式f (x )≤g (x )不恒成立；当m >0时，若0<x <12m ，F ′(x )>0；若x >12m ，F ′(x )<0，所以函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞上单调递减，所以F (x )max ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＝ln 12m －m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＋(1－2m )×12m ＋1＝14m －ln(2m ).令h (m )＝14m －ln(2m )，因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，h (1)＝14－ln 2<0. 又h (m )在(0，＋∞)上是减函数，所以当m ≥1时，h (m )<0，故整数m 的最小值为1.。
创新设计(全国通用)高考数学二轮复习 大题规范天天练 第三周 星期一 三角与数列 文
星期一 (三角与数列)2017年____月____日1.三角(命题意图：考查正弦定理、三角恒等变换及三角函数的最值(值域))(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －c a ＝cos C cos A. (1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6的值域.解 (1)由2b －c a ＝cos Ccos A ，利用正弦定理可得2sin B cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ，化为2sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.(2)y ＝3sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －π6 ＝3sin B ＋cos B＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.∵B ＋C ＝2π3，0＜B ＜π2，∴π6＜B ＜π2，∴π3＜B ＋π6＜2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1，∴y ∈(3，2].2.数列(命题意图：考查等差、等比数列的基本运算及数列的求和问题)(本小题满分12分)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和.解 (1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2) 设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则 S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2.两式相减得12S n ＝34＋(123＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.。
《创新设计》2017届高考数学(理)二轮复习(江苏专用)解答题 第三周 星期六
星期六 (解答题综合练) 2017年____月____日1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＋c ＝2b .(1)求证：B ≤π2；(2)当AB→·BC →＝－2，b ＝23时，求△ABC 的面积. (1)证明 ∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－12（a ＋c ）22ac ＝12（a －c ）22ac≥0，且0＜B ＜π. ∴B ≤π2(当且仅当a ＝c 时取得等号).(2)解 ∵AB→·BC →＝－2，∴ac cos B ＝2， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12，∴a 2＋c 2＝16，又a ＋c ＝2b ＝26，∴ac ＝4，∴cos B ＝12，由(1)知0＜B ≤π2，∴sin B ＝32.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝ 3.2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，E 是PD 的中点，F 为ED 的中点.(1)求证：平面P AC ⊥平面PCD ；(2)求证：CF ∥平面BAE .证明 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ， 又AC ⊥CD ，且AC ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AC ，又CD ⊂平面PCD ，所以平面P AC ⊥平面PCD .(2)取AE 中点G ，连接FG ，BG .因为F 为ED 的中点，所以FG ∥AD 且FG ＝12AD .在△ACD 中，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，所以AC ＝12AD ，所以BC ＝12AD .在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，所以∠ACB ＝60°，从而∠ACB ＝∠DAC ，所以AD ∥BC .综上，FG ∥BC ，FG ＝BC ，四边形FGBC 为平行四边形，所以CF ∥BG . 又BG ⊂平面BAE ，CF ⊄平面BAE ，所以CF ∥平面BAE .3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任一点P 到两个焦点的距离的和为23，P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－23.设直线l 过椭圆C 的右焦点F ，交椭圆C 于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(1)若OA →·OB →＝4tan ∠AOB(O 为坐标原点)，求|y 1－y 2|的值； (2)当直线l 与两坐标轴都不垂直时，在x 轴上是否总存在点Q ，使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的定义知a ＝3，设P (x ，y )， 则有y x ＋3·y x －3＝－23，则y 2x 2－3＝－23， 又点P 在椭圆上，则（3－x 2）b 23（x 2－3）＝－b 23＝－23， ∴b 2＝2，∴椭圆C 的方程是x 23＋y 22＝1. ∵OA →·OB →＝4tan ∠AOB， ∴|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝4tan ∠AOB ， ∴|OA→|·|OB →|sin ∠AOB ＝4， ∴S △AOB ＝12|OA →|·|OB→|sin ∠AOB ＝2，又c ＝a 2－b 2＝1，又S △AOB ＝12|y 1－y 2|×1，故|y 1－y 2|＝4.(2)假设存在一点Q (m ，0)，使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角， 依题意可知直线l 斜率存在且不为零，直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 23＋y 22＝1消去y 得 (3k 2＋2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋2，x 1·x 2＝3k 2－63k 2＋2. ∵直线QA ，QB 的倾斜角互为补角，∴k QA ＋k QB ＝0，即y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝0， 又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入上式可得2x 1x 2＋2m －(m ＋1)(x 1＋x 2)＝0，∴2×3k 2－63k 2＋2＋2m －(m ＋1)×6k 23k 2＋2＝0，即2m －6＝0， ∴m ＝3，∴存在Q (3，0)使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角.4.如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙x (x ＞1)米，离地面高a (1≤a ≤2)米的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1)若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？(2)若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围.解 (1)当a ＝1.5时，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，则BD ＝0.5，且θ＝∠ACD －∠BCD ，由已知知观察者离墙x 米，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x ，所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x 1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255， 当且仅当x ＝52＞1时，等号成立. 又因为tan θ在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增， 所以当观察者离墙52米时，视角θ最大.(2)由题意得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan ()∠ACD －∠BCD ＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎨⎧x 2－4x ≤0，x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4， 又因为x ＞1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3，4].5.设数列{b n }满足b n ＋2＝－b n ＋1－b n (n ∈N *)，b 2＝2b 1.(1)若b 3＝3，求b 1的值；(2)求证数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列；(3)设数列{T n }满足：T n ＋1＝T n b n ＋1(n ∈N *)，且T 1＝b 1＝－12，若存在实数p ，q ，对任意n ∈N *都有p ≤T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ＜q 成立，试求q －p 的最小值.(1)解 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ，∴b 3＝－b 2－b 1＝－3b 1＝3，∴b 1＝－1.(2)证明 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ①，∴b n ＋3＝－b n ＋2－b n ＋1②，②－①得b n ＋3＝b n ，∴(b n ＋1b n ＋2b n ＋3＋n ＋1)－(b n b n ＋1b n ＋2＋n )＝b n ＋1b n ＋2(b n ＋3－b n )＋1＝1为常数， ∴数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列.(3)解 ∵T n ＋1＝T n ·b n ＋1＝T n －1b n b n ＋1＝T n －2b n －1b n b n ＋1＝…＝b 1b 2b 3…b n ＋1 当n ≥2时T n ＝b 1b 2b 3…b n (*)，当n ＝1时，T 1＝b 1适合(*)式∴T n ＝b 1b 2b 3…b n (n ∈N *).∵b 1＝－12，b 2＝2b 1＝－1，b 3＝－3b 1＝32，b n ＋3＝b n ，∴T 1＝b 1＝－12，T 2＝T 1b 2＝12，T 3＝T 2b 3＝34，T 4＝T 3b 4＝T 3b 1＝34T 1，T 5＝T 4b 5＝T 2b 3b 4b 5＝T 2b 1b 2b 3＝34T 2，T 6＝T 5b 6＝T 3b 4b 5b 6＝T 3b 1b 2b 3＝34T 3，……T 3n ＋1＋T 3n ＋2＋T 3n ＋3＝T 3n －2b 3n －1b 3n b 3n ＋1＋T 3n －1b 3n b 3n ＋1b 3n ＋2＋T 3n b 3n ＋1b 3n ＋2b 3n ＋3＝T 3n －2b 1b 2b 3＋T 3n －1b 1b 2b 3＋T 3n b 1b 2b 3＝34(T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n )，∴数列{T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n }(n ∈N *)是等比数列，首项T 1＋T 2＋T 3＝34且公比q ＝34，记S n ＝T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ，①当n ＝3k (k ∈N *)时，S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k 1－34＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ， ∴34≤S n ＜3；②当n ＝3k －1(k ∈N *)时S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －(b 1b 2b 3)k ＝3－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ∴0≤S n ＜3；③当n ＝3k －2(k ∈N *)时S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k －1－T 3k ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －(b 1b 2b 3)k －1b 1b 2－(b 1b 2b 3)k ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －12⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ＝3－143·⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ， ∴－12≤S n ＜3.综上得－12≤S n ＜3，故p ≤－12且q ≥3，∴q －p 的最小值为72.6.已知函数f (x )＝x 2－(1＋2a )x ＋a ln x (a 为常数).(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的方程；(2)当a ＞0时，讨论函数y ＝f (x )在区间(0，1)上的单调性，并写出相应的单调区间.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ，则f ′(x )＝2x ＋1－1x ，所以f (1)＝2，且f ′(1)＝2.所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的方程为：y －2＝2(x －1)，即：y ＝2x .(2)由题意得f ′(x )＝2x －(1＋2a )＋a x＝2x 2－（1＋2a ）x ＋a x＝（2x －1）（x －a ）x(x ＞0)， 由f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝a ，①当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜a 或12＜x ＜1由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得a ＜x ＜12，所以函数f (x )的单调增区间是(0，a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12， ②当a ＝12时，f ′(x )＝（2x －1）22x ≥0，且仅当x ＝12时，f ′(x )＝0，所以函数f (x )在区间(0，1)上是单调增函数.③当12＜a ＜1时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12或a ＜x ＜1，由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜a ，所以函数f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(a ，1)，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a ， ④当a ≥1时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12，由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜1，所以函数f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.。
《创新设计》2017届高考数学(理)二轮复习(江苏专用)解答题 第三周 星期四
星期四 (数列问题) 2017年____月____日在正项数列{a n }(n ∈N *)中，S n 为{a n }的前n 项和，若点(a n ，S n )在函数y ＝c 2－x c －1的图象上，其中c 为正常数，且c ≠1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数M ，使得当n ＞M 时，a 1·a 3·a 5·…·a 2n －1＞a 101恒成立？若存在，求出使结论成立的c 的取值范围和相应的M 的最小值；(3)若存在一个等差数列{b n }，对任意n ∈N *，都有b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＋b n a 1＝3n －53n －1成立，求{b n }的通项公式及c 的值.解 (1)S n ＝c 2－a n c －1，n ≥2时， S n －S n －1＝c 2－a n c －1－c 2－a n －1c －1. a n ＝a n －1－a n c －1，(c －1)a n ＝a n －1－a n ，ca n ＝a n －1，a n a n －1＝1c， ∴{a n }是等比数列.将(a 1，S 1)代入y ＝c 2－x c －1中，得a 1＝c ， 故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1c n －2. (2)由a 1·a 3·a 5·…·a 2n －1＞a 101得c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 3·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2n －3＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 99， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1c n （n －2）＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 99. 若1c ＞1，即0＜c ＜1时，n (n －2)＞99，得n ＞11或n ＜－9(舍去). 若1c ＜1，即c ＞1时，n (n －2)＜99，得－9＜n ＜11.不符合n ＞M 时，a 1·a 3·a 5·…·a 2n －1＞a 101恒成立， 故舍去，∴c 的取值范围是(0，1)，相应的M 的最小值为11.(3)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1c n －2.由{b n }为等差数列，设b n ＝b 1＋(n －1)d . b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＋b n a 1＝3n －53n －1(n ∈N *).① 当n ＝1时，b 1c ＝3－53－1＝13.②当n ≥2时，b 1a n －1＋b 2a n －2＋b 3a n －3＋…＋b n －2a 2＋b n －1a 1＝3n －1－53(n －1)－1.③注意到b 2－b 1＝b 3－b 2＝…＝b n －b n －1＝d ，① －③得b 1a n ＋d (a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1)＝3n －3n －1－53，② 将a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1c n －2代入上式， 得b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c n －2＋c 2d c －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1c n －1＝2×3n －1－53， 整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1c －c 2d c －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c n －1＋c 2d c －1＝2×3n －1－53.④ ∵④式对一切n (n ≥2)恒成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧1c ＝3，b 1c －c 2d c －1＝2，⑤c 2d c －1＝－53.解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝13，b 1＝1，d ＝10，故b n ＝10n －9，c ＝13.。
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星期四 (函数与导数)
2017年____月____日
函数与导数(命题意图：考查函数单调性与导数的关系、不等式恒成立问题，考查推理论证能力，运算求解能力、分类讨论思想、等价转化思想等)
(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a 2ln x －x 2
＋ax (a ≠0)， g (x )＝(m －1)x 2＋2mx －1.
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若a ＝1时，关于x 的不等式f (x )≤g (x )恒成立，求整数m 的最小值.
解 (1)f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－2x 2－ax －a 2x
＝－（2x ＋a ）（x －a ）x
(x >0)， 当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <a ，由f ′(x )<0，得x >a ，所以f (x )的单调递增区间为(0，a )，单调递减区间为(a ，＋∞)；
当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－a 2，由f ′(x )<0，得x >－a 2，所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－a 2，＋∞. (2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －mx 2＋(1－2m )x ＋1(x >0)，
F ′(x )＝1x －2mx ＋1－2m ＝－2mx 2＋（1－2m ）x ＋1x ＝－（2mx －1）（x ＋1）x
. 当m ≤0时，F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增，
而F (1)＝ln 1－m ×12＋(1－2m )＋1＝－3m ＋2>0，所以关于x 的不等式f (x )≤g (x )不恒成立；
当m >0时，若0<x <12m ，F ′(x )>0；若x >12m ，F ′(x )<0，所以函数F (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12m 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞上单调递减，所以F (x )max ＝F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12m ＝ln 12m －m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＋(1－2m )×12m ＋1＝14m －ln(2m ).
令h (m )＝14m －ln(2m )，因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12
，h (1)＝14－ln 2<0. 又h (m )在(0，＋∞)上是减函数，所以当m ≥1时，h (m )<0，
故整数m 的最小值为1.。