(北师大版)初中数学《线段的垂直平分线(1)》导学案2
13.5.2线段垂直平分线导学案
A 13.5.2 线段垂直平分线导学案一、学习目标：1、掌握线段垂直平分线的性质定理、判定定理，并能能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。
2、能够运用线段垂直平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。
3、进一步发展推理意识及能力。
二、学习重难点重点：线段垂直平分线的性质定理、判定定理。
难点：利用线段垂直平分线的性质定理、判定定理的应用。
三、预习导学：1、我们学过哪些互逆定理？举例说明。
2、什么是线段垂直平分线？并且 一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线。
3、线段垂直平分线有哪些性质？（结合图形）性质1：线段是 图形。
A 、中心对称；B 、轴对称性质2： ∵直线MN 是线段AB 的垂直平分线（已知）∴ ， （定义）四、新课探究 探究一：在公路的同侧有张村、李庄两个村庄，现要在公路上建一车站，使车站距两村的距离相等，如何确定车站的位置？ 探究二：实践： 1、在一张纸上任意画一线段AB 。
2、作出这条线段的垂直平分线MN3、沿直线MN 对折，你有什么发现？4、在直线MN 上任意取一点P ，连结PA 、PB5（1）（2）（3）、写一写：几何语言：（如上图）∵ 点P 在直线MN 上，直线MN 垂直平分线段AB ∴ =探究三：1、写一写：写出线段垂直平分线性质定理的逆命题：。
2、想一想：以上的命题是 命题（“真”或“假” ）3、证一证：已知：如图13.5.2（课本95页），QA=QB李庄A B 求证：点Q 在线段AB 的垂直平分线上。
分析：为了证明点Q 在线段AB 的垂直平分线上，可以先经过点Q 作线段AB 的垂线，然后证明该垂线平分线段AB.证明：过点Q 作QC ⊥AB 于C∵QC ⊥AB 于C ∴∠ =∠ = ° ∴△ 和△ 是 三角形在Rt △ 和Rt △ 中 ⎩⎨⎧∴Rt △ ≌Rt △ （ ）∴ =∴点Q 在线段AB 的垂直平分线上（也可以先平分线段AB ，设线段AB 的中点为点C ，然后证明QC 垂直于线段AB ，想一想用这种方法怎么证明？）4、概括：因此得到线段的垂直平分线的判定定理：到线段的 距离相等的点，在这条线段的 。
《线段的垂直平分线》教案
《线段的垂直平分线》教案《线段的垂直平分线》教案作为一位不辞辛劳的人民教师，总归要编写教案，借助教案可以提高教学质量，收到预期的教学效果。
优秀的教案都具备一些什么特点呢？下面是小编整理的《线段的垂直平分线》教案，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《线段的垂直平分线》教案 1教学目的:1、使理解线段的垂直平分线的性质定理及逆定理，掌握这两个定理的关系并会用这两个定理解决有关几何问题。
2、了解线段垂直平分线的轨迹问题。
3、结合教学内容培养学生的动作、形象和抽象。
教学重点:线段的垂直平分线性质定理及逆定理的引入证明及运用。
教学难点:线段的垂直平分线性质定理及逆定理的关系。
教学关键:1、垂直平分线上所有的点和线段两端点的距离相等。
2、到线段两端点的距离相等的所有点都在这条线段的垂直平分线上。
教具:投影仪及投影胶片。
教学过程:一、提问1、角平分线的性质定理及逆定理是什么?2、怎样做一条线段的垂直平分线?二、新课1、请同学们在练习本上做线段AB的垂直平分线EF(请一名同学在黑板上做)。
2、在EF上任取一点P，连结PA、PB量出PA=?PB=?引导学生观察这两个值有什么关系?通过学生的观察、分析得出结果PA=PB，再取一点P试一试仍然有PA=PB，引导学生猜想EF上的所有点和点A、点B的距离都相等，再请同学把这一结论叙述成命题(用幻灯展示)。
定理:线段的垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等。
这个命题，是我们通过作图、观察、猜想得到的，还得在理论上加以证明是真命题才能做为定理。
三、举例(用幻灯展示)例:已知，ΔABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P，求证:PA=PB=PC。
证明:∵点P在线段AB的垂直平分线上∴PA=PB同理PB=PC∴PA=PB=PC由例题PA=PC知点P在AC的'垂直平分线上，所以三角形三边的垂直平分线交于一点P，这点到三个顶点的距离相等。
四、小结正确的运用这两个定理的关键是区别它们的条件与结论，加强证明前的分析，找出证明的途径。
北师大版九年级上册数学全册导学案
第一章证明（二）单元总览1.1你能证明它们吗（1）目标导航1.了解作为证明基础的几条公理的内容；掌握证明的基本步骤和书写格式.2.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质（等边对等角，三线合一）.基础过关1.边边边公理的内容是.2.边角边公理的内容是.3.角边角公理的内容是.4.全等三角形的相等，相等.5.角角边推论的内容是.6.三角形ABC中，如果AB=AC，则.7.等腰三角形的、、互相重合.8.等边三角形的各边都，各角都是.能力提升9.下列说法中，正确的是（）A.两边及一角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边对应相等的两个三角形全等10.若等腰△ABC 的顶角为∠A ，底角为∠B =α，则α的取值范围是（ ）A. α＜45°B. α＜90°C.0°＜α＜90°D.90°＜α＜180°11.△ABC 中， AB =AC ， CD 是△ABC 的角平分线， 延长BA 到E 使DE =DC ， 连结EC ， 若 ∠E =51°，则∠B 等于（ ）A.68°B.52°C.51°D.78° 12.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.290 n -B.90－2 nC.2n D.90°－n °13.等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________.14.等腰三角形的一边长为23，周长为43+7，则此等腰三角形的腰长为_________. 15.如图，∆ABC 中，AB=AC, ∠BAD=︒30 ,AE=AD,则∠EDC= .EDCBA15题图 16题图16.如图，在△ABC 中，∠A =20°，D 在AB 上，AD =DC ，∠ACD ∶∠BCD =2∶3，求：∠ABC 的度数.17.已知：如图∆ABD 、∆ACE 都是等边三角形，求证：BE=DC.EDCBA18.如图，在∆ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，且BD=BC=AD,求∠ADB 的度数.DCBA聚沙成塔已知：如图，D 是等腰ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF.当D 点在什么位置时，DE=DF ？并加以证明.1.1你能证明它们吗（2）目标导航1.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质.2.了解并能证明等腰三角形的判定定理.3.结合实例体会反证法的含义. 基础过关1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.4.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=︒36，BD 是的角平分线，图中等腰三角形有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A.（1）（2）（3） B.（1）（2）（4） C.（2）（3）（4） D.（1）（3）（4）BAC BAC B AC B AP EDCBA(1) (2) （3） （4） 7题图 能力提升6.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.7.如图，在△ABC 中，BC=5cm,BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD//AB ，PE//AC ，则△PDE 的周长是 .8.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ）A.15B.12C.15或12D.以上都不正确 9.已知：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.10.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.11.用反证法证明：△ABC 中至少有两个角是锐角.12.如图，小明欲测量河宽，选择河流北岸的一棵树（点A ）为目标，然后在这棵树得正南岸（点B ）插一小旗作标志，从B 点沿南偏东︒60方向走一段距离到C 处，使∠ACB 为︒30，这时小明测得BC 的长度，认为河宽AB=BC ，他说得对吗？为什么？60︒CBA13.如图，在ABC Rt ∆中，∠CAB=︒90，AD ⊥BC 于D ，∠ACB 的平分线交AD 于E ，交AB 于F.求证：△AEF 为等腰三角形.F EDCBA14.如图，在△ABC 中，AB=AC,P 是BC 上一点，PE ⊥AB, PF ⊥AC,垂足为E 、F,BD 是等腰三 角形腰AC 上的高， ⑴求证：BD=PE ＋PF.⑵当点P 在BC 边的延长线上时，而其它条件不变，又有什么样的结论呢？请用文字加以说明本题的结论.FEPC A D聚沙成塔如图所示，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110。
线段的垂直平分线(第1课时)-2022-2023学年八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
情况一：当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，
∴点P为线段AB的中点，
A 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
P
B
命题：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
情况二：当点P在线段AB外时，如图. ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC.
你能证明这个定理吗 ？
M P
A
CB
N
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 已知: 如图, 直线MN⊥AB, 垂足是C，且AC=BC, P是MN上任意一点. 求证: PA=PB.
证明：∵MN⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=90°
M P
∵AC=BC, PC=PC
∴△APC≌△BPC(SAS)
内容 作用
内容 判定
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点 的距离相等 见垂直平分线，得线段相等
到线段的两个端点距离相等的点在线段的 垂直平分线上
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
六、布置作业
完成课本P23习题1.7中第1、2、3、4题
学习数学就像一个圆，思考的越多，半径越大，思维接触的区域 就越辽阔。
解：（2）∵EF垂直平分AC，AD垂直平分BE， ∴AC＝2CF＝2×3＝6cm，CE＝AE＝AB，DB＝ DE， ∴C△ABC＝AC+CB+AB
＝AC+CD+DB+AB ＝AC+CD+（DE+CE） ＝AC+2CD ＝6+2×4＝14（cm），
北师大版八年级数学下册教材配套教学课件 1.3.2线段的垂直平分线(第2课时)(课件)
例：已知一个等腰三角形的底边和底边上的高，求作这个等a腰三角形
已知：如图，线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
h
M
作法：1．作BC=a；
A
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB，AC.
△ABC就是所求作的三角形.
PB=PC
试试看，你会写出证明过程吗？
P
B
C
m
PA=PC
点P在AC的垂
直平分线上
三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
已知：在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点O.
求证：点O在边AC的垂直平分线上，且OA=OB=OC. A
证明：连接OA，OB，OC．
∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴OA=OB 同理OB=OC，∴OA=OC.
作法：
1.分别以点A和B为圆心，以大于AB的一半长为半径
画弧，两弧相交于点C和D；
A
2.连接直线CD．
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
C B
D
二、探究新知
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间
修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小
区的距离相等？
A
B
C
aA
c
b
P
B
C
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线， 说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
《第一章3线段的垂直平分线》作业设计方案-初中数学北师大版12八年级下册
《线段的垂直平分线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在使学生能够掌握线段垂直平分线的概念、性质和判定方法，能够运用所学知识解决实际问题，并培养学生的空间想象能力和数学思维能力。
二、作业内容1. 掌握线段垂直平分线的定义及性质。
（1）让学生通过课本和课堂笔记，理解线段垂直平分线的定义，并能够正确画出线段垂直平分线。
（2）让学生掌握线段垂直平分线的性质，如线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等等。
并能够通过例题，运用这些性质进行解题。
2. 练习运用线段垂直平分线的性质解题。
（1）让学生完成一定量的练习题，包括选择题、填空题和解答题等，加深对线段垂直平分线概念和性质的理解。
（2）让学生尝试运用所学知识解决实际问题，如求证两条线段是否互相垂直平分等。
3. 拓展延伸，培养学生的空间想象能力和数学思维能力。
（1）引导学生思考线段垂直平分线在实际生活中的应用，如建筑、道路规划等。
（2）让学生尝试探索其他与线段垂直平分线相关的知识点，如角平分线的性质等，拓宽学生的知识面。
三、作业要求1. 学生需认真完成作业，按照课堂要求画出线段垂直平分线，并正确运用所学知识进行解题。
2. 学生在解题过程中，要注重思路的清晰和逻辑的严密，注意题目的解题方法和技巧。
3. 学生应充分利用课余时间，积极思考、探索与线段垂直平分线相关的知识点，培养自己的空间想象能力和数学思维能力。
4. 学生在完成作业后，需认真检查答案，确保答案的正确性和完整性。
如有疑问或不确定的地方，可向老师或同学请教。
四、作业评价1. 老师将根据学生的作业完成情况，给予相应的评价和反馈。
2. 评价将综合考虑学生的作业正确性、解题思路、逻辑严密性、空间想象能力和数学思维能力等方面。
3. 对于表现优秀的学生，老师将给予表扬和鼓励；对于存在问题的学生，老师将给予指导和帮助，帮助学生改正错误，提高学习成绩。
五、作业反馈1. 老师将根据学生的作业情况，及时调整教学计划和教学方法，以更好地满足学生的学习需求。
北师大版九年级数学上册1.3线段的垂直平分线(第二课时)导学案
求证：P点在AC的垂直平分线上．
证明：连接AP，BP，CP．
∵点P在线段AB的垂直平分线上.
∴PA=PB(
)．
同理，PB=PC．
∴PA=PC( )．
∴P点在AC的垂直平分线上(
)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于一点P.
即学即用：
如图，在△ABC中.
3、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力.
学习重点、难点：
能够证明三角形三边垂直平分线交于一点.
能够利用尺规作已知底边及底边上的高作出等腰三角形.
知识链接：
垂直平分线的性质定理及判定定理.
证明的一般步骤及书写格式.
学法指导：
1、先阅读并思考P29—P31页教材内容，思考怎样证明三条直线相交于一点；
2、将存在疑问的地方标出来，准备课堂上质疑.
自主学习：
1、垂直平分线的性质定理：
；
2、垂直平分线的判定定理：
.
自我评价：
小组长评价：
合作探究：
活动一：
请你利用折叠或尺规作出三角形三条边的垂直平分线.再观察这三条垂直平分线，你发现了什么?
结论：.
你能证明这个结论吗？
思考：要想证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的在另一条直线上即可.
4、(15分)在△ABC中，AB=AC=6cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10cm，则BC=____cm.
5、(40分)如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：AO⊥BC.
课后作业：
课本第31页，习题1.7，知识技能，1.
北师大版八年级数学下册课件：线段的垂直平分线(1)
解:∵DE 是 AB 边上的垂直平分线, ∴EA＝EB,AD＝1AB,
2
∵△BCE 的周长为 16 cm, ∴BC＋CE＋BE＝BC＋CE＋EA＝BC＋AC＝16 cm, ∵△ABC 的周长为 24 cm,∴BC＋AC＋AB＝24 cm, ∴AB＝24－16＝8 cm, ∴AD＝1AB＝4 cm.
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴AE＝AF. 又∵DE＝DF,∴AD 垂直平分 EF.
★11.如图,AB＝AC,DB＝DC,E是AD延长线上的一点,BE是否 与CE相等?试说明理由. 解:BE＝CE.理由如下:连接BC, ∵AB＝AC, ∴点A在线段BC的垂直平分线上. 同理,点D也在线段BC的垂直平分线上. ∵两点确定一条直线, ∴AD是线段BC的垂直平分线. ∵E是AD延长线上的点,∴BE＝CE.
2
7.【例4】(北师8下P32、人教8上P93)如图,在△ABC中,AD是 ∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.求证:AD垂直平分 EF. 证明:∵AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE＝DF, ∠AED＝∠AFD＝90°.
在 Rt△AED 和 Rt△AFD 中, AD＝AD, DE＝DF,
谢谢大家多提宝贵意见
如图,∵CA＝CB,PC⊥AB,
几何 ∴ PA＝PB.
语言
2.(北师8下P23改编)如图,在△ABC中,直线DE垂直平分线段 AB,垂足为E,交BC于点D,∠B＝60°,∠C＝50°,则∠CAD的 度数为 10° .
知识点三:线段垂直平分线的判定定理
内容
到一条线段两个端点距离 的垂直平分线上
相等
如图,∵ PA＝PB , 几何 ∴点P在AB的垂直平分线上
语言
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课题：1.3《线段的垂直平分线》（第1课时）导学案
学习目标：
1、能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理。
2、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力。
学习重点、难点：线段垂直平分线的性质定理和判定定理证明及应用。
学法指导：
1、先利用10分钟阅读并思考P22—P23教材内容，思考线段垂直平分线的性质定理和判定定理的证明，体验解决问题策略的多样性，利用定理解决实际问题。
2、将存在疑问的地方标出来，准备课堂上质疑。
3、A、B层同学掌握导案所有内容，并完成探究案；C层同学能基本掌握学习目标，合作完成探究案。
一、自主探究：
1、如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等
．．．．．．．．．．，码头应建在什么位置?
2、证明：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
已知：
求证：
证明：提示：如果点P与点C重合，那么结论显然成立.
3、预习检测：如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，
E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED= cm；
如果∠ECD=60°，那么∠EDC= 。
二、合作探究
探究点一：线段垂直平分线的判定定理
1、把定理“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写
成“如果…，那么…”的形式。
2、写出上面定理的逆命题，它是真命题吗？如果是请证明它。
3、线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线的判定定理：
探究点二：应用
1、已知如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且OB
= OC.
C
A
D
B
E
求证：直线 AO 垂直平分线段BC ．
你还有其他证明方法吗？
2、在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数. (3) 判断△AEN 的形状
三、随堂练习
1、如图，AD 是线段BC 的垂直平分线，AB = 5，BD = 4，则AC = ，CD = ，AD = 。
2、如图，△ABC 中，AB = AC ，∠A = 40°，DE 为AB 的中垂线，则∠1 = °，∠C = °，∠3 = °，∠2 = °；若△ABC 的周长为16cm ，BC = 4cm ，则AC = ，△BCE 的周长为 。
四、作业
1、课本23页知识技能第1题，数学理解第2题，问题解决第3题.
2、如图在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E
求证：（1）∠EAD=∠EDA ;
（2）DF ∥AC （3）∠EAC=∠B
谈谈自己的收获：
A
B
C
D
E M
N
A
B C
D
C
B
A
D
E 1
3
2。