质点的位矢、位移和速度
大学物理简程 张三慧主编第1章 质点运动学
at
a
R
an
o
a rc ta n
an at
14
1.7
y
相对运动
y
E
V
S：小球
V：马车
B
rS E A0 rV E
A
E：地面
rS V
o
o
x
rS E rS V rV E v S E v S V vV E
a lim
v t
t 0
lim
vn t
t 0
lim
vt t
t 0
an at
12
切向加速度：
vt v (t t ) v (t ) v
a t lim v t dv dt d ( R ) dt R d dt
v B A y v B y v A y v B sin 30 v A 600 km / h
v BA v B A x v B A y 9 1 7 km / h
2 2
v AB v A v B
23
0
16
dv dt
dv dt
du dt
若两个参考系相对做匀速直线运动，即 a r 则
a a
矢量合成的平行四边形法则：
A
A
B
C
B
C
矢量合成的三角形法则：
A A
C
B
C
B
17
矢量的分解：
A B B
y
A
第1章 质点运动学
2-2质点运动的描述
r r r r r r ∆ r r2 − r1 v= = = 2i − 6 j ∆ t t 2 − t1
（3）质点在任意时刻的速度和加速度分别为 ） r r r dr r v (t ) = = 2 i − 4 tj dt r r dv r a (t ) = = −4 j dt 则
t = 2 s 时的速度
2 2 0
质点在oxy平面内运动， oxy平面内运动 例2-1 质点在oxy平面内运动，其运动方程为
r r r 2 r ( t ) = 2 ti + (19 − 2 t ) j
试求：（ ）质点的轨迹方程；（ ；（2） 试求：（1）质点的轨迹方程；（ ）在 t1 = 1s ：（ 时间内的平均速度；（ ；（3） 末质点的 到t2 = 2s 时间内的平均速度；（ ）2s末质点的 速度和加速度。 速度和加速度。 解：（1）将运动方程写成分量形式 ：（ ）
x = 10 + 3t 2 y = 2t
2
消去时间参数， 消去时间参数，可得轨迹方程
3 y = 2 x − 20
（2）速度 ） 加速度 习题2-11 习题
r r r r dr v = = 6 ti + 4 tj dt
r r r r dv a= = 6i + 4 j dt
一物体沿x轴作直线运动， 一物体沿x轴作直线运动，其加速度为
∫
v v0Байду номын сангаас
dv = −k 2 v
∫
t 0
dt
v0 v = v0 kt + 1
v0 dx v= = dt v0kt +1
分离变量， 分离变量，代入上下限 积分得
∫
x 0
dx =
质点的位置矢量速度加速度之间的关系式
质点的位置矢量速度加速度之间的关系式质点的位置矢量、速度和加速度是物理学中描述质点运动的三个重要概念。
它们之间有着密切的关系，并且通过运动学的理论来描述。
首先，我们来定义这三个概念：1.位置矢量（r）：位置矢量是用来描述一个质点在空间中的位置的向量，通常用r表示。
位置矢量的方向与从参考点指向质点所在位置的方向一致，其大小表示参考点到质点之间的距离。
2.速度（v）：速度是描述质点在某一时刻的位置变化率的物理量，即质点单位时间内所经过的位移。
速度是一个矢量量，包括大小（也称为速率）和方向两个方面。
3.加速度（a）：加速度是描述质点在运动过程中速度变化率的物理量，即单位时间内速度的变化量。
加速度也是一个矢量量，包括大小和方向两个方面。
接下来，我们来分析位置矢量、速度和加速度之间的关系。
1.速度与位置矢量的关系：在运动学中，速度与位置矢量之间存在着微分关系，即速度矢量等于位置矢量对时间的导数（v = dr/dt）。
这意味着速度的大小可以表示为位置矢量的变化率，方向与位置矢量的方向一致。
速度矢量的微分形式可以表示为：v = dx/dt * i + dy/dt * j + dz/dt * k其中，i、j和k分别表示了空间中的三个坐标轴的单位矢量。
2.加速度与速度的关系：加速度是速度的变化率。
在运动学中，通过对速度矢量对时间的导数，可以得到加速度矢量（a），即a = dv/dt。
加速度的大小表示速度的变化率，方向与速度矢量的方向一致。
加速度矢量的微分形式可以表示为：a = dv/dt = d²x/dt² * i + d²y/dt² * j + d²z/dt² * k3.速度与加速度的关系：速度和加速度之间存在一种紧密的联系，即速度矢量又是加速度矢量对时间的积分。
换句话说，速度矢量等于加速度矢量对时间的积分，即v = ∫ a dt。
这说明了速度的变化是由加速度引起的，例如当质点受到作用力或者外界扰动时，会产生加速度，进而导致速度发生变化。
关于质点运动的矢量及其分量描述的一般讨论
关于质点运动的矢量及其分量描述的一般讨论质点运动是物理学研究的重要内容之一。
在研究质点运动时，需要对其运动状态进行描述。
常用的描述方式是采用矢量及其分量进行描述。
矢量是具有大小和方向的物理量，可以用箭头表示。
在描述质点运动时，常用的矢量有位移矢量、速度矢量和加速度矢量。
位移矢量表示质点从初始位置到末位置的位移，可表示为：$vec{s}=vec{r_f}-vec{r_i}$其中，$vec{r_f}$和$vec{r_i}$分别表示末位置和初始位置的位置矢量。
位移矢量的大小为位移的距离，方向为位移的方向。
速度矢量表示质点在某一时刻的速度，可表示为：$vec{v}=frac{Deltavec{r}}{Delta t}$其中，$Deltavec{r}$表示时间间隔内的位移矢量，$Delta t$表示时间间隔。
速度矢量的大小为速度的大小，方向为速度的方向。
加速度矢量表示质点在某一时刻的加速度，可表示为：$vec{a}=frac{Deltavec{v}}{Delta t}$其中，$Deltavec{v}$表示时间间隔内的速度变化量，$Delta t$表示时间间隔。
加速度矢量的大小为加速度的大小，方向为加速度的方向。
矢量分量是将一个矢量沿着不同方向分解为多个分量，常用的矢量分量有$x$分量、$y$分量和$z$分量。
对于位移矢量$vec{s}$，可以将其沿着$x$轴、$y$轴和$z$轴分解为三个分量，分别表示为$s_x$、$s_y$和$s_z$：$s_x=left|vec{s}ight|cdotcostheta_x$$s_y=left|vec{s}ight|cdotcostheta_y$$s_z=left|vec{s}ight|cdotcostheta_z$其中，$theta_x$、$theta_y$和$theta_z$分别表示位移矢量与$x$轴、$y$轴和$z$轴的夹角。
对于速度矢量$vec{v}$和加速度矢量$vec{a}$，同样可以将其沿着$x$轴、$y$轴和$z$轴分解为三个分量，分别表示为$v_x$、$v_y$、$v_z$和$a_x$、$a_y$、$a_z$。
大学物理1.2 质点的位移、速度和加速度
y
A r r1 r2
y
B
yB yA
A r r1 r2
xA xB x A
B
yB yA
o
x
o
xB
x
把 由始点 A 指向终点 B 的有向线段 r 称为点 A 到 B 的位移矢量 , 简称位移. r r2 r1
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化,
1.2 质点的位移、速度和加速度
一、 位移 （反映物体位置的变化）
位移 位矢 r 在t 时间内的增量
O
P
r (t )
s
r
Q
r (t t ) 说明 (1) r是矢量， s 是标量，且大小一般不等 Δr r s r 位矢增量的大小与Δr ( r )位矢大小的增量的区别 (2) 分清
A
r (t )
o
dt
x
三、 加速度
1. 速度增量 v v (t t ) v (t )
v (t )
B
v (t t )
A
2 . 平均加速度
v a t
r (t )
r (t t )
3. 瞬时加速度
a lim v t dv dt
dr dt v
r
r
0
t dr (6i 16t j )dt 0
r0 8k
2 r 6t i 8t j 8k
1.4 用自然坐标表示平面曲线运动中 的速度和加速度
一、 速度
s s (t t ) s (t ) r s r lim ( ) v lim t 0 s t t 0 t r s ( lim )( lim ) t 0 s t 0 t r ds ds τ ( lim ) t 0 s dt dt
大学物理知识点汇总一
的大小和方向
路程是质点经过实际路径的长度。
z
P ΔS
r
r(t)
Δ
P1
r(t t) y
o
讨论
x
(1) 位移是矢量，路程是标量 s r
直线（单向）运动 s r
曲线运动 t 0 ds dr
3. 速度——描述质点位置随时间的变化快慢(大小与方向)
✓ 瞬时速度（简称速度）：
x
第二章 质点力学的运动定律
本章内容
——动力学
§2.1 质点力学的基本定律 力的瞬时作用效果
§2.2 动量定理和动量守恒定律 §2.3 功 动能定理
力的持续作用效果
§2.4 角动量 角动量守恒定律 §2.5 刚体定轴转动
一 动量、冲量
动量 p mv 状态量
F ma m dv dmv d p dt dt dt
x, y 消去 t 后，得到 轨道方程
y
b a2
x2
1、曲线运动
在一般曲线运动中，质点速度的大小和方向都在改 变，即存在加速度。采用自然坐标系，可以更好地理解 加速度的物理意义。
自然坐标系：即在轨道上任一点建立正交坐标系
B
相互垂直的单位矢量 et en et 切向单位矢量 指向物体运动方向 en 法向单位矢量 指向轨道的凹侧
特点： 各质元在转动平面内作半径不同的圆周运动；
且角位移、角速度、角加速度均相同。
一、刚体定轴转动的运动学描述
角位置： (t) rad
角速度： d
dt
角加速度：
d
dt
d2
dt2
vi ri
mi
质元
x
转动平面
固定轴
大学物理教程1.2 质点的位矢、位移和速度
1.2 质点的位矢、位移和速度 11-1 电荷
说明 运动方程之所以可以在具体坐标系写成分量形 式，实际上是建立在运动的可叠加性基础上的。 例如：平抛物体时，物体的运动可以分解为在 水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的匀加速 直线运动。
第11章 静电场 第1章 质点运动学
位置矢量在直角坐标系中可用单位矢量表示为：
r xi yj zk
大小 r
方向 可由 三个 方向 余弦 表示
z
k
x2 y2 z2
r
P(x,y,z)
x cos r y cos r z cos r
j
y
O i
x
方向余 cos2 cos2 cos2 1 弦满足
1.2 质点的位矢、位移和速度 11-1 电荷
注意 速度为矢量！ (1) 方向
t 0 时，
B A , r
沿A点处轨道的切线方向
第11章 静电场 第1章 质点运动学
1.2 质点的位矢、位移和速度 11-1 电荷
(2) 大小
dr v v dt
s
lim
t 0
r t
同信息。
也就是说，平均速率和瞬时速率有不同的物理
意义，它们强调质点运动过程中关于运动快慢的不同 方面。 （1）平均速率更强调在一有限时间段内的总体 运动效果；
（2）瞬时速率更强调运动过程中的细节。
第11章 静电场 第1章 质点运动学
1.2 质点的位矢、位移和速度 11-1 电荷
某些典型速度大小的量级 单位：（m·-1) s 光 已知类星体最快的退行 电子绕核的运动 太阳绕银河中心的运动 地球绕太阳的运动 第二宇宙速度 第一宇宙速度 子弹出口速度 地球的自转（赤道） 空气分子热运动的平均速度（室温） 3.0×108 2.7×108 2.2×108 2.0×105 3.0×104 1.1×104 7.8×103 ~7×102 4.6×102 4.5×102
大学物理科学出版社第四版第一章质点运动学
第一章 质点运动学一、 基本要求1．掌握位矢、位移、速度、加速度，角速度和角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量。
2． 能借助于直角坐标计算质点在平面内运动时的速度、加速度。
3．能计算质点作圆周运动时的角速度和角加速度，切向加速度和法向加速度。
4．理解伽利略坐标，速度变换。
二、 基本内容1．位置矢量（位矢）位置矢量表示质点任意时刻在空间的位置，用从坐标原点向质点所在点所引的一条有向线段r 表示。
r 的端点表示任意时刻质点的空间位置。
r同时表示任意时刻质点离坐标原点的距离及质点位置相对坐标系的方位。
位矢是描述质点运动状态的物理量之一。
注意：（1）瞬时性：质点运动时，其位矢是随时间变化的，即()t r r=；（2）相对性：用r描述质点位置时，对同一质点在同一时刻的位置，在不同坐标系中r 可以是不相同的。
它表示了r的相对性，也反映了运动描述的相对性；（3）矢量性：r为矢量，它有大小，有方向，服从几何加法。
在直角坐标系Oxyz 中k z j y i x r++= 222z y x r r ++==r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos质点运动时， ()t r r= （运动方程矢量式）()()()⎪⎩⎪⎨⎧===t z z t y y t x x （运动方程标量式）。
２．位移()(),j y i x t r t t r r ∆+∆=-∆+=∆ r∆的模()()22y x r ∆+∆=∆ 。
注意：（１）r∆与r ∆：前者表示质点位置变化，是矢量，同时反映位置变化的大小和方位；后者是标量，反映质点位置离开坐标原点的距离的变化。
（２）r∆与s ∆：s ∆表示t —t t ∆+时间内质点通过的路程，是标量，只有质点沿直线运动时两者大小相同或0→∆t 时，s r ∆=∆。
3. 速度dtrd v =是描述位置矢量随时间的变化。
在直角坐标系中k v j v i v k dtdz j dt dy i dt dx dt r d v z y x++=++==222222z y x v v v dt dz dt dy dt dx v v ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==v的方向：在直线运动中，v>0表示沿坐标轴正向运动，v <0表示沿坐标轴负向运动。
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位置矢量在直角坐标系中可用单位矢量表示为：
rr
r xi
r yj
r zk
z
k
大小
方向 可由 三个 方向 余弦 表示
r x2 y2 z2
cos x
r
P(x,y,z)
j
r
cos y
O i
y
r
x
cos z
r
方向余 弦满足
cos2 cos2 cos2 1
说明
平均速率和瞬时速率反映质点运动过程中的不 同信息。
也就是说，平均速率和瞬时速率有不同的物理 意义，它们强调质点运动过程中关于运动快慢的不同 方面。
（1）平均速率更强调在一有限时间段内的总体 运动效果；
（2）瞬时速率更强调运动过程中的细节。
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
一 质点的位置坐标和位置矢量
位置矢量（或矢径）： 从原点到质点所在的位置的 有向线段
r op
•直角坐标系
P(x, y, z)=P(t)
x
z
k
r
O i
P(x,y,z)
j
y
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
说明 运动方程之所以可以在具体坐标系写成分量形 式，实际上是建立在运动的可叠加性基础上的。
例如：平抛物体时，物体的运动可以分解为在 水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的匀加速 直线运动。
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
（1）自由落体运动的运动方程
（2）平抛运动的运动方程
x
v0t
y
1 2
gt 2
y 1 gt 2 2
轨迹方程
y
g 2v02
x2
（3）圆周运动的运动方程
x r cost
y
r
sin
t
轨迹方程
x2 y2 r2
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
某些典型速度大小的量级 单位：（m·s-1)
光
3.0×108
已知类星体最快的退行
2.7×108
电子绕核的运动
2.2×108
太阳绕银河中心的运动
2.0×105
地球绕太阳的运动
3.0×104
第二宇宙速度
1.1×104
第一宇宙速度
7.8×103
子弹出口速度
~7×102
地球的自转（赤道）
4.6×102
空气分子热运动的平均速度（室温）
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
极坐标系：
rr
r rer
r er
:
径向单位矢量
r e
:
横向单位矢量
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
二 运动方程与轨道
质点的位置与运动时间(t)有关，位置矢量满足一
定的函数关系：
按照定义
dl dt
v0 ，可得到船的靠岸速率
ds l
s2 h2
v dt ( s )v0 s v0
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
例 一只小船在绳子的牵引下运动，各种几何参
数如图所示。设人拉绳子的速度大小为 v0，求船靠
岸的速率。
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
解： 由图可知
s2 l2 h2
分别求上式各项对时间的导数，得
2s ds 2l dl dt dt
r i
dy
r j
dz
r k
dt dt dt dt
vr
r vx i
vy
r j
vz
r k
dx 速度分量为： vx dt
vy
dy dt
vz
dz dt
速率为：
v vr
vx2
v
2 y
vz2
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
2. 自然坐标系
4.5×102
空气中的声速
3.3×102
民航喷气客机
2.7×102
人的最大速度
12
人的步行
1.3
蜗牛爬行
~10-3
冰河移动
~10-6
头发生长
3×10-9
大陆漂移
10-9
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
五 速度的分量形式
1. 直角坐标系
vr drr
dx
坐标: 速度:
s s(t)
vr lim rr t0 t
( lim t 0
s t
)er t
v
ds dt
et
v
et
质点速率: v ds dt
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
例 设质点的运动方程为
x Acost
dy
r j
dz
r k
dt rdt dt r
Asin ti Acost j
y vr
rr ω
o
x
速度大小：v
vx2
v
2 y
(Asint)2 (Acost)2 A const.
速度方向 v r 0
匀速圆周运动！
速度沿切线方向！
第第111章章 静质电点场运动学
(2) 大小
v vr
drr
dt
rr
lim
t0 t
Q lim s lim rr
t 0
t 0
s
A
rr (t)
rrrr
(t
B
t)
O
v lim s ds t0 t dt
速度大小与速率相等！
第第1111位-1矢电、荷位移和速度
vr lim rr drr t0 t dt
第第111章章 静质电点场运动学
注意 速度为矢量！
(1) 方向
t 0 时，
B A , rr
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
沿A点处轨道的切线方向
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
1. 矢量性 如图所示：位移满足矢量叠加性质。
即在t1+ t2时间内的总位移满足：
uuur uuur uuur AC AB BC
y A
B C
直角坐标系中：
zO
x
rr
r xi
r yj
r zk
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
2. 位移与路程 s 不同
三 质点的位移
设在 t 时间内质点从 A运动到B，则质点在 t 时间内的位移定义为：
rr
uuur AB
z
s
y
A
rrA
rr r rB
O
B x
由图可知位移与初、末时刻位置矢量的关系：
rr rrB rrA
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
位移的性质：
y
A
sin
t
讨论质点的运动性质。
y vr
rr ω
o
x
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
解：
位置矢量：
rr
rr xi yj
r
r
Acosti Asin t j
轨迹方程： r x2 y2 A 圆周运动！
速度矢量：
vr
dx
r i
rr rr (t)
质点运动方程
或：
rr
(t)
r x(t)i
y(t)
r j
z(t
r )k
x x(t)
分量 形式
y
y (t )
z z(t)
消去参数 t
质点运动的轨 迹(轨道)方程
运动学的重要任务之一，就是找出各种具体运动所遵循的 运动方程。
第第111章章 静质电点场运动学
a.位移为矢量，路程为标量
b.s rr
当时间间隔很小时：
t 0, s rr 记为： ds drr
第第111章章 静质电点场运动学
1.2 质点的11位-1矢电、荷位移和速度
四 速度
平均速度：
v
r
t
s
A rr B
rr (t) rr (t t)
瞬时速度：
O