第18课时 直线与平面垂直的判定和性质习题课
2017苏教版直线与平面垂直的判定和性质.doc
第18课时 直线与平面垂直的判定和性质习题课教学目标：使学生能够根据题设条件，联系定理，发挥空间想象能力，解决具体问题。
教学重点、难点：如何分析、解决问题。
教学过程：复习定理、定义。
例1：如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝a ，M 、N 分别是AB 、A 1C 的中点，（1）求A 到平面A 1DCB 1的距离；（2）求AB 到平面A 1DCB 1的距离；（3）求证：MN 是异面直线AB 、A 1C 的公垂线段，并求其长度。
解：（1）连结AD 1，设AD 1∩A 1D ＝E ，则AD 1⊥A 1D且E 为A 1D 的中点，AE ＝22a ， 又：AD 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩A 1D ＝A 1∴AE ⊥平面A 1DCB 1∴AE 的长为所求距离，即22a （2）∵AB ∥A 1B 1，A 1B 1⊂平面A 1DCB 1，AB ⊂\平面A 1DCB 1∴AB ∥平面A 1DCB 1由（1）知，AE ⊥平面A 1DCB 1 ∴所求距离为22a （3）∵EN 为△A 1DC 的中位线∴EN ∥＝ 12 DC ，EN ∥＝ 12AB 即EN ∥＝AM 且∠EAB ＝900 ∴四边形AMNE 为矩形∴MN ⊥AB ，AE ∥MN由（1）知，AE ⊥平面A 1DCB 1∴MN ⊥平面A 1DCB 1 又：A 1C ⊂平面A 1DCB 1∴MN ⊥A 1C∴MN 是异面直线AB 、A 1C 的公垂线段，MN ＝AE ＝22a 例2：已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD 在平面α内，AB ︰CD ＝4︰6，AB 到α的距离为10cm ，求梯形对角线的交点O 到α的距离。
解：过B 作BE ⊥α＝E ，连结DE过O 作OF ⊥DE∵AB ∥CD ，AB ⊂\α，CD ⊂α，∴AB ∥α，又BE ⊥α∴BE 即为AB 到α的距离，BE ＝10cm 且∠BED ＝900 ∵OF ⊥DE ∴OF ∥BE 得 OF BE ＝OD BD∵AB ∥CD ∴△AOB ∽△COD∴OD OB ＝CD AB ＝64 ， 得OD BD ＝610 ＝35又：OF BE ＝OD BD，BE ＝10cm ∴OF ＝35×10＝6（cm ） ∵OF ∥BE ，BE ⊥α∴OF ⊥α，即：OF 即为所求距离为6cm 。
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
直线平面垂直的判定及其性质习题演示文稿
VA, VC 的中点. 试判断直线 DE 与平面 VBC 的位置关系
, 并说明理由.
V 解: DE⊥平面VBC.
由直径所对的圆周角是直角得
AC⊥BC. 又由 VC 垂直于 ⊙O 所在平面得
AC⊥VC.
ED
B ·O A
C
∴ AC⊥平面VBC.
而 D, E 分别是 VA, VC 的中点得
DE//AC, ∴ DE⊥平面VBC.
平面上的射影, 则这条直线垂直斜线.
第十九页，共47页。
4. 直线和平面所成的角
平面的斜线和斜线在平面上的射影的夹角. 要点: (1) 由线面垂直找射影;
(2) 在三角形中计算.
特例: (1) 线面垂直, 线面角为90.
(2) 线面平行或在其内, 线面角为0.
第二十页，共47页。
5. 直线与平面垂直的性质
8. 如图, m, n 是两条相交直线, l1, l2 是与 m, n
都垂直的两条直线, 且直线 l 与 l1, l2 都相交, 求证:
∠1=∠2.
证明: ∵ m∩n=O,
∴ m、n 确定的平面, 设为 a,
∵ l1⊥m,
l1
l2
1
2 l
l1⊥n, ∴ l1⊥a,
m
a
On
同理, l2⊥a,
∴ l1∥l2,
l⊥a, aa, l⊥b, ba, l⊥a.
a∩b=P, ⊕过空间任意一点, 有且只有一条直线和 已知平面垂直.
⊕两平行线中的一条垂直于一个平面, 另一条 也垂直这个平面.
第十八页，共47页。
3. 三垂线定理
如果平面内的一条直线垂直平面的斜线,
则这条直线垂直斜线在平面上的射影;
直线与平面垂直判定完整版课件
绘制图表，将实验数据 可视化展示，便于分析 和比较。
03
分析实验数据，总结直 线与平面垂直的判定方 法和规律。
04
根据实验结果，评估实 验方法的准确性和可靠 性，并提出改进意见。
06
课程总结与回顾
知识点梳理
01
直线与平面垂直的定义
如果直线$l$与平面$alpha$内的任意一条直线都垂直，那么我们就说
角的范围
异面直线所成角的取值范围是 (0, 90°]。
异面直线所成角求解方法
01
02
03
平移法
将两条异面直线平移到同 一个起点上，然后用余弦 定理或三角函数求解。
向量法
建立空间直角坐标系，将 异面直线的方向向量表示 出来，然后通过向量的夹 角公式求解。
投影法
将一条直线投影到另一条 直线上，通过投影长度和 原长度之间的关系，利用 三角函数求解。
易错点提示
忽略直线与平面内两条相交直线 都垂直的条件，只考虑与其中一
条直线垂直或平行的情况。
在证明直线与平面垂直时，未明 确说明平面内的两条相交直线， 或者错误地认为只要与平面内无
数条直线垂直即可。
符号使用不规范，如将直线与平 面垂直的符号误写为平行或相交
等。
下一讲预告
下一讲我们将继续深入学习空间几何中的直线与平面的位置关系，包括直线与平面 平行的判定和性质等内容。
确定未知量
根据题目要求，确定需要求解 的未知量。
建立方程
利用已知条件和几何性质，建 立关于未知量的方程。
求解方程
解方程得到未知量的值，注意 解的合理性。
解答题规范步骤和答案
画出图形
根据题意画出相应 的图形，标注已知 量和未知量。
高三数学 直线、平面垂直的判定及其性质练习题(含答案)
直线、平面垂直的判定及其性质建议用时：45分钟一、选择题1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αC[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．] 2．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()A[A选项中，因为CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB；B选项中，AB与CD 成60°角；C选项中，AB与CD成45°角；D选项中，AB与CD夹角的正切值为 2.]3．(2019·东北三省三校联考)在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且P A＝AB＝2，则直线PB与平面P AC所成角为()A.π6 B.π4 C.π3 D.π2A[连接BD，交AC于点O.因为P A⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥P A.又因为P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，故BO⊥平面P AC.连接OP，则∠BPO即为直线PB与平面P AC所成角．又因为P A＝AB＝2，所以PB＝22，BO＝ 2.所以sin∠BPO＝BOPB＝12，所以∠BPO＝π6.故选A.]4．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥ACC[如图．∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．] 5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABCD[∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.]二、填空题6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，若该长方体的体积为82，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为．30°[连接BC1(图略)，由AB⊥平面BB1C1C知∠AC1B就是直线AC1与平面BB1C1C所成的角．由2×2×AA1＝82得AA1＝22，∴BC1＝BC2＋CC21＝23，在Rt△AC1B中，tan∠AC1B＝ABBC1＝223＝33，∴∠AC1B＝30°.]7．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则点A1到平面AB1D1的距离是．23[如图，△AB1D1中，AB1＝AD1＝5，B1D1＝2，∴△AB 1D 1的边B 1D 1上的高为(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322，∴S △AB 1D 1＝12×2×322＝32，设A 1到平面AB 1D 1的距离为h ；则有S △AB 1D 1×h ＝S △A 1B 1D 1×AA 1， 即32h ＝12×2，解得h ＝23.]8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n . ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号)②③④ [对于①，α，β可以平行，可以相交也可以不垂直，故错误． 对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l ⊂α，n ∥l ，又m ⊥α，所以m ⊥l ，所以m ⊥n ，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m ⊂α，所以m ，β没有公共点，由线面平行的定义可知m ∥β，故正确．对于④，因为m ∥n ，所以m 与α所成的角和n 与α所成的角相等．因为α∥β，所以n 与α所成的角和n 与β所成的角相等，所以m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故正确．]三、解答题9．(2018·北京高考)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.[证明](1)因为P A＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面P AD.所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD，所以PD⊥平面P AB.因为PD⊂平面PCD，所以平面P AB⊥平面PCD.(3)取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.10．(2019·太原模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC上的一点，AB＝AC，且AD⊥BC.(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)若AB＝BC＝AA1＝2，求点A1到平面AB1D的距离．[解](1)证明：如图，连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，据直棱柱性质知，四边形ABB1A1为平行四边形，E为AB1的中点，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D是BC的中点，∴DE∥A1C，又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)如图，在平面BCC1B1中，过点B作BF⊥B1D，垂足为F，∵D是BC中点，∴点C到平面AB1D与点B到平面AB1D距离相等，∵A1C∥平面AB1D，∴点A1到平面AB1D的距离等于点C到平面AB1D的距离，∴BF长为所求，在Rt△B1BD中，BD＝1，BB1＝2，B1D＝5，∴BF＝25＝255，∴点A1到平面AB1D的距离为255.1．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部A[连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．]2．(2019·唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是()①②③④A．①②B．②④C．①③D．②③B[对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故选B.] 3．如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是．①②③[由BC⊥AC，BC⊥P A可得BC⊥平面P AC，又AF⊂平面P AC，所以AF⊥BC，又AF⊥PC，则AF⊥平面PBC，从而AF⊥PB，AF⊥BC，故①③正确；由PB⊥AF，PB⊥AE可得PB⊥平面AEF，从而PB⊥EF，故②正确；若AE⊥平面PBC，则由AF⊥平面PBC知AE∥AF与已知矛盾，故④错误．] 4．(2019·西宁模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，又知BA1⊥AC1.(1)求证：AC1⊥平面A1BC；(2)求点C到平面A1AB的距离．[解](1)证明：∠BCA＝90°得BC⊥AC，因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥BC，A1D∩AC＝D，所以BC⊥平面A1ACC1，所以BC⊥AC1.因为BA1⊥AC1，BA1∩BC＝B，所以AC1⊥平面A1BC.(2)作DE⊥AB于点E，连接A1E，作DF⊥A1E于点F.因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A1D＝D，所以AB⊥平面A1DE，又DF⊂平面A1DE，所以AB⊥DF，由DF⊥A1E，A1E∩AB＝E，所以DF⊥平面A1AB，由(1)及已知得DE＝22，A1D＝3，Rt△A1DE中，DF ＝A 1D ·DE A 1E ＝217， 因为D 是AC 中点，所以C 到面A 1AB 距离2217.1．(2019·衡阳模拟)如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥BD ，截面PQMN 是矩形，则下列结论不一定正确的是( )A ．平面BDC ⊥平面ADCB ．AC ∥平面PQMNC ．平面ABD ⊥平面ADCD ．AD ⊥平面BDCD [由PQ ∥MN ，MN ⊂平面ADC ，PQ ⊄平面ADC ，得PQ ∥平面ADC ，又PQ⊂平面ABC，平面ABC∩平面ADC＝AC，∴PQ∥AC，同理QM∥BD，因为PQ⊥QM，∴AC⊥BD，又BD⊥AD，AC∩AD＝A，∴BD⊥平面ADC，∴平面BDC⊥平面ADC，平面ABD⊥平面ADC，∴A和C选项均正确；由PQ∥AC，得AC∥平面PQMN，∴B选项正确．∵不能得到AD⊥DC或AD⊥BC，∴不能得到AD⊥平面BDC，故选项D 不一定正确．故选D.]2．(2019·泉州模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，且A1M⊥B1N.(1)求证：B1N⊥A1C；(2)求M到平面A1B1C的距离．[解](1)证明：如图，连接CM.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CM .在△ABC 中，AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，所以CM ⊥平面ABB 1A 1.因为B 1N ⊂平面ABB 1A 1，所以CM ⊥B 1N .又A 1M ⊥B 1N ，A 1M ∩CM ＝M ，所以B 1N ⊥平面A 1CM .因为A 1C ⊂平面A 1CM ，所以B 1N ⊥A 1C .(2)法一：连接B 1M .在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N .所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1N A 1B 1. 因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点，所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x ，则A 1N ＝x 2.所以1x ＝x 22，解得x ＝2.从而S △A 1B 1M ＝12S 正方形ABB 1A 1＝2，A 1C ＝B 1C ＝2 2.在△A 1CB 1中，cos ∠A 1CB 1＝A 1C 2＋B 1C 2－A 1B 212A 1C ·B 1C ＝34，所以sin ∠A 1CB 1＝74，所以S △A 1B 1C ＝12A 1C ·B 1C ·sin ∠A 1CB 1＝7.设点M 到平面A 1B 1C 的距离为d ，由V 三棱锥M -A 1B 1C ＝V 三棱锥C -A 1B 1M ，得13S △A 1B 1C ·d ＝13S △A 1B 1M ·CM ，所以d ＝S △A 1B 1M ·CM S △A 1B 1C ＝2217，即点M 到平面A 1B 1C 的距离为2217. 法二：在矩形ABB 1A 1中，因为A 1M ⊥B 1N ，所以∠AA 1M ＝∠A 1B 1N ，所以tan ∠AA 1M ＝tan ∠A 1B 1N ，即AM AA 1＝A 1N A 1B 1. 因为△ABC 是边长为2的正三角形，M ，N 分别是AB ，AA 1的中点， 所以AM ＝1，CM ＝3，A 1B 1＝2.设AA 1＝x ，则A 1N ＝x 2，所以1x ＝x22，解得x ＝2.如图，取A 1B 1的中点D ，连接MD ，CD ，过M 作MO ⊥CD 于O .在正方形ABB 1A 1中，易知A 1B 1⊥MD ，由(1)可得CM ⊥A 1B 1，又CM ∩MD ＝M ，所以A 1B 1⊥平面CDM .因为MO ⊂平面CDM ，所以A 1B 1⊥MO .又MO ⊥CD ，A 1B 1∩CD ＝D ，所以MO ⊥平面A 1B 1C ，即线段MO 的长就是点M 到平面A 1B 1C 的距离．由(1)可得CM⊥MD，又MD＝2，所以由勾股定理，得CD＝CM2＋MD2＝7.S△CMD＝12·CD·MO＝12·CM·MD，即12×7×MO＝12×3×2，解得MO＝2217，故点M到平面A1B1C的距离为221 7.。
直线和平面垂直的判定和性质(习题课)
DO的长度，∴P到平面ACC1A1的距离为
2a
2
例6、如图：ABCD是矩形，AB=a，BC=b（a>b）， 沿对角线AC把△ADC折起，使AD⊥BC （1）求证：BD是异面直线AD与BC的公垂线 （2）求BD的长
证明:
D
C
(1)∵AD⊥CD，AD⊥BC
CD∩BC=C， ∴AD⊥平面BCD
A
B
∴AD⊥BD 且AD∩BD=D 同理可证：BC⊥BD 又BC∩BD=B，
而AB 平面ABD， ∴CD⊥AB，
又EF∥AB ∴EF⊥CD
D
P
C
B
例4、PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，M、N分别是 AB、PC的中点. 求证：AB⊥MN
P
证明：连AC，取AC中点O， 连MO和NO
∵ ABCD是矩形 ∴AB⊥MO 又∵PA⊥平面ABCD AB 平面ABCD ∴ PA⊥AB 又由NO∥PA
∵D为Rt△ABC斜边的中点 ∴ CD=AD, 又PA＝PC,PD=PD A
D
B
∴ △PAD≌△PCD 而PD⊥AB
∴ PD⊥CD, CD∩AB = D
∴PD⊥平面ABC
例2、如图 平面α、β相交于PQ， 线段OA、OB分别垂直平面α、β， 求证：PQ⊥AB
证明：∵OA⊥α PQ α
A
∴ OA⊥PQ
（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行。
4、唯一性定理：
（1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。
（2）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。
例1、已知直角△ABC所在平面外有一点P，且 PA=PB=PC，D是斜边AB的中点，
求证：D⊥平面ABC.
P
证明：PA=PB，D为AB中点
直线、平面垂直的判定及其性质
例 1、如图,已知点 P 为平面 ABC 外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.
证明：过 P 作 PO⊥平面 ABC 于 O，连接 OA、OB、OC.
∵PO⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，
∴PO⊥BC. 又∵PA⊥BC，∴BC⊥平面 PAO.
解：连接 BC1 交 B1C 于点 O，连接 A1O. 设正方体的棱长为 a， 因为 A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,所以 A1B1⊥平面 BCC1B1. 所以 A1B1⊥BC1. 又因为 BC1⊥B1C，所以 BC1⊥平面 A1B1CD. 所以 A1O 为斜线 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影，∠BA1O 为直线 A1B 与平面 A1B1CD
直线与平面垂直的判定
日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如，旗杆与地 面的位置关系，大桥的桥柱与水面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂 直的印象. 问题1：如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这 个平面垂直？举例说明.
在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化，尽 管影子BC的位置在移动，但是旗杆AB所在直线始终与BC所在直线垂直.也就 是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B′C′也是垂直的.
∵BD∥NA，∴AC1⊥NA. 又由 BD⊥AC,可知 NA⊥AC， ∴∠C1AC 就是平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的平面角或补角.
在 Rt△ C1AC 中，tan∠C1AC= C1C 1 ，故∠C1AC=30°. CA 3
∴平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小为 30°或 150°.
直线、平面垂直的判定及其性质Word版含答案
直线、平面垂直的判定及其性质【课前回顾】1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：．平面与平面垂直的判定定理与性质定理21．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B∵m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.但l⊥m⇒/ l∥α，∵l⊥m 时，l可能在α内．故“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件．2．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥βD ．若α∥β，则l ∥m解析：选A ∵l ⊥β，l ⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A 正确．3．设m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是( )A ．若m ⊥α，α⊥β，则m ∥βB ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥βC ．若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥αD ．若m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n解析：选B 对于A ，m 可以在β内，故A 错；对于C ，n 可以在α内，故C 错误；对于D ，m 与n 可以平行，故D 错．4．已知PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连接PB ，PC ，PA ，AC ，BD ，则一定互相垂直的平面有________对．解析：由于PD ⊥平面ABCD ，故平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PDB⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面PAC ⊥平面PDB ，平面PAB ⊥平面PAD, 平面PBC ⊥平面PDC ，共7对．答案：7考点一 直线与平面垂直的判定与性质角度(一) 证明直线与平面垂直 证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α. (2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)性质：①a ∥b ，b ⊥α⇒a ⊥α，②α∥β，a ⊥β⇒a ⊥α. (4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ⇒l ⊥γ.(客观题可用)1．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．求证： (1)PH ⊥平面ABCD ； (2)EF ⊥平面PAB . [学审题]①想到AB 与平面PAD 内所有的直线垂直；②想到△PAD 为等腰三角形，可取PA 的中点得垂线；③可证PH 与平面ABCD 内的两条相交直线垂直；④可利用线面垂直的判定定理证明，也可以转化为与EF 平行的某条直线与平面PAB 垂直的证明．证明：(1)因为AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ， 所以PH ⊥AB .因为PH 为△PAD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD . 因为AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PH ⊥平面ABCD .(2)如图，取PA 的中点M ，连接MD ，ME . 因为E 是PB 的中点， 所以ME 綊12AB .又因为DF 綊12AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MDFE 是平行四边形，所以EF ∥MD . 因为PD ＝AD ，所以MD ⊥PA . 因为AB ⊥平面PAD ，所以MD ⊥AB . 因为PA ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面PAB ， 所以EF ⊥平面PAB .角度(二) 利用线面垂直的性质证明线线垂直 证明线线垂直的4种方法(1)以算代证法：先平移到相交位置，再证明所构成的三角形的三边满足勾股定理． (2)利用线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b . (3)三垂线定理(垂影⇒垂斜)及其逆定理(垂斜⇒垂影)． (4)a ∥b ，b ⊥c ⇒a ⊥c .2.(2017·江苏高考)如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .证明：(1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ， 所以EF ∥AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.【针对训练】1.如图，S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.考点二面面垂直的判定与性质1．证明面面垂直的2种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．2．三种垂直关系的转化线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直【典型例题】如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.[学审题]①想到线面垂直的判定，可证线面垂直；或想到转化为证与其中一直线的平行线垂直；②想到平行公理，可转化为一直线与另一直线的平行线平行；③想到连中点得三角形中位线，可证线线平行；④要证CE∥平面PAD想到证CE与平面PAD中的一条直线平行，或证CE所在平面与平面PAD平行；⑤要证平面EFG⊥平面EMN想到证其中一平面内的直线与另一平面垂直．证明：(1)法一：如图，取PA的中点H，连接EH，DH.因为E 为PB 的中点， 所以EH ∥AB ，EH ＝12AB .又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD ， 因此四边形DCEH 是平行四边形． 所以CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE ∥平面PAD . 法二：如图，连接CF .因为F 为AB 的中点， 所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形．因此CF ∥AD . 又CF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以CF ∥平面PAD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥PA .又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD .因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面PAD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面PAD . (2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点， 所以EF ∥PA .又AB ⊥PA ，所以AB ⊥EF . 同理可证AB ⊥FG .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ， 因此AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点， 所以MN ∥CD .又AB ∥CD ，所以MN ∥AB ，所以MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.【针对训练】(2017·北京高考)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．解：(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.因为BD⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因为D为AC的中点，所以DE＝12PA＝1，BD＝DC＝ 2.由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.所以三棱锥E-BCD的体积V＝16BD·DC·DE＝13.考点三平面图形的翻折问题平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征．解决此类问题的步骤为：【典型例题】(2018·广州综合测试)如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22.(1)求证：DE ∥平面BCF ； (2)求证：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积．[学审题]解：(1)所以AD AB ＝AEAC，所以DE ∥BC .因为DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， 所以DE ∥平面BCF .(2)证明：在折叠前的图形中， 因为△ABC 为等边三角形，BF ＝CF ，所以AF ⊥BC ，则在折叠后的图形中，AF ⊥BF ，AF ⊥CF . 又BF ＝CF ＝12，BC ＝22，所以BC 2＝BF 2＋CF 2，所以BF ⊥CF .又BF ∩AF ＝F ，BF ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ， 所以CF ⊥平面ABF .(3)由(1)知，平面DEG ∥平面BCF ， 由(2)知，AF ⊥BF ，AF ⊥CF ， 又BF ∩CF ＝F ，所以AF ⊥平面BCF ， 所以AF ⊥平面DEG ，即GF ⊥平面DEG . 在折叠前的图形中，AB ＝1，BF ＝CF ＝12，AF ＝32.由AD ＝23，知AD AB ＝23，又DG ∥BF ，所以DG BF ＝AG AF ＝AD AB ＝23，所以DG ＝EG ＝23×12＝13，AG ＝23×32＝33，所以FG ＝AF －AG ＝36. 故三棱锥F DEG 的体积V ＝13S △DEG ·FG ＝13×12×⎝⎛⎭⎫132×36＝3324.【针对训练】1．(2018·合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60°，CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57.将△CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP＝3，得到如图2所示的四棱锥P -ABCE .(1)求证：AP ⊥平面ABCE ；(2)记平面PAB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l . 证明：(1)在△CDE 中，∵CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝57，由余弦定理得CE ＝2.连接AC ，∵AE ＝2，∠AEC ＝60°， ∴AC ＝2. 又AP ＝3，∴在△PAE 中，PA 2＋AE 2＝PE 2， 即AP ⊥AE . 同理，AP ⊥AC .∵AC ∩AE ＝A ，AC ⊂平面ABCE ，AE ⊂平面ABCE ， ∴AP ⊥平面ABCE .(2)∵AB ∥CE ，且CE ⊂平面PCE ，AB ⊄平面PCE ， ∴AB ∥平面PCE .又平面PAB ∩平面PCE ＝l ，∴AB ∥l .2．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1-BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值． 解：(1)证明：在图1中，连接EC (图略)，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，E 是AD 的中点，所以四边形ABCE 为正方形， 所以BE ⊥AC ，即在图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 又A 1O ∩OC ＝O ，从而BE ⊥平面A 1OC ， 又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ， 又由(1)可知A 1O ⊥BE ， 所以A 1O ⊥平面BCDE ，即A1O是四棱锥A1-BCDE的高，由图1知，A1O＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1-BCDE的体积V＝13×S×A1O＝13×a2×22a＝26a3，由26a3＝362，解得a＝6.【课后演练】1．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.2．设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是()A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α解析：选B若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误．3．(2018·广州一模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n解析：选B A中m与α的位置关系不能确定，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故D错误．选B.4．(2018·天津模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选B对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错；易知B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D错．选B.5.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：选C因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.6.(2018·广州模拟)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B画出该几何体，如图所示，①因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故③正确；④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确．所以正确结论的个数是2.7.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有____________；与AP垂直的直线有________．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，又∵AP⊂平面PAC，∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，AC AB8．若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为________．①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线．解析：对于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；对于②，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若m⊂α，则在平面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确．答案：②④9．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是________．∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，解析：如图所示，因为AA所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC-A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确．答案：①③10．(2018·武汉调研)在矩形ABCD中，AB<BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．其中正确结论的序号是________．解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接CE .则 ⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BD AC ⊥BD AE ∩AC ＝A ⇒BD ⊥平面AEC ⇒BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，EC 与BD 不垂直，故假设不成立，①错误．②假设AB ⊥CD ，∵AB ⊥AD ，AD ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥AC ，由AB <BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB ⊥CD ，故假设成立，②正确．③假设AD ⊥BC ，∵DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面ADC ，∴BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB <BC ，故矛盾，假设不成立，③错误．答案：②11.如图，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 内部解析：选A 连接AC 1(图略)，由AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ，得AC ⊥平面ABC 1.∵AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC 1⊥平面ABC .∴C 1在平面ABC 上的射影H 必在两平面的交线AB 上．12．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°.将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A -BCD ，则在三棱锥A -BCD 中，下列结论正确的是()A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC解析：选D ∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD ⊥CD .又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，故CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB .又AD ⊥AB ，AD ∩CD ＝D ，AD ⊂平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，故AB ⊥平面ADC . 又AB ⊂平面ABC ，∴平面ADC ⊥平面ABC .13.如图，在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为( )A.12B ．1 C.32 D ．2解析：选A 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝ ⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66. 由面积相等得66× x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝22x ，解得x ＝12.14.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足______时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC ，则AC ⊥BD ，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BD .又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ，∴BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC )15．(2018·兰州实战考试)α，β是两平面，AB ，CD 是两条线段，已知α∩β＝EF ，AB ⊥α于B ，CD ⊥α于D ，若增加一个条件，就能得出BD ⊥EF .现有下列条件：①AC ⊥β；②AC 与α，β所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④AC ∥EF .其中能成为增加条件的序号是________．解析：由题意得，AB ∥CD ，∴A ，B ，C ，D 四点共面．①中，∵AC ⊥β，EF ⊂β，∴AC ⊥EF ，又∵AB ⊥α，EF ⊂α，∴AB ⊥EF ，∵AB ∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面ABCD ，又∵BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥EF ，故①正确；②不能得到BD ⊥EF ，故②错误；③中，由AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上可知平面ABCD ⊥β，又AB ⊥α，AB ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥α.∵平面ABCD ⊥α，平面ABCD ⊥β，α∩β＝EF ，∴EF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥EF ，故③正确；④中，由①知，若BD ⊥EF ，则EF ⊥平面ABCD ，则EF ⊥AC ，故④错误，故填①③. 答案：①③16．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P -ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积． 解：(1)证明：由∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD .又AP ∩PD ＝P ，所以AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)如图所示，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ，可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P -ABCD 的体积V P -ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2. 从而PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P -ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 17．(2017·山东高考)由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1-B 1CD 1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，A 1E ⊥平面ABCD .(1)证明：A 1O ∥平面B 1CD 1；(2)设M 是OD 的中点，证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.证明：(1)取B 1D 1的中点O 1，连接CO 1，A 1O 1，因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是四棱柱，所以A 1O 1∥OC ，A 1O 1＝OC ，因此四边形A 1OCO 1为平行四边形，所以A 1O ∥O 1C ，因为O 1C ⊂平面B 1CD 1，A 1O ⊄平面B 1CD 1，所以A 1O ∥平面B 1CD 1.(2)因为E ，M 分别为AD ，OD 的中点，所以EM ∥AO .因为AO ⊥BD ，所以EM ⊥BD .又A 1E ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以A 1E ⊥BD ，因为B 1D 1∥BD ，所以EM ⊥B 1D 1，A 1E ⊥B 1D 1，又A 1E ⊂平面A 1EM ，EM ⊂平面A 1EM ，A 1E ∩EM ＝E ，所以B 1D 1⊥平面A 1EM ，又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.。
直线、平面垂直的判定及其性质_练习题1(答案)
直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1、“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件2、如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是（）A、l⊂αB、l⊥αC、l∥αD、l⊂α或l∥α3、若两直线a⊥b，且a⊥平面α，则b与α的位置关系是（）A、相交B、b∥αC、b⊂αD、b∥α，或b⊂α4、a∥α，则a平行于α内的( )A、一条确定的直线B、任意一条直线C、所有直线D、无数多条平行线5、如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的 ( )A、一条直线不相交B、两条直线不相交C、无数条直线不相交D、任意一条直线都不相交6、若直线l上有两点P、Q到平面α的距离相等，则直线l与平面α的位置关系是( )A、平行B、相交C、平行或相交D、平行、相交或在平面α内二、填空题7、过直线外一点作直线的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.8、过平面外一点作该平面的垂线有条；垂面有个；平行线有条；平行平面有个.9、过一点可作________个平面与已知平面垂直.10、过平面α的一条斜线可作_________个平面与平面α垂直.11、过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直.三、解答题12、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面13、过一点和已知平面垂直的直线只有一条14、有一根旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D，如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？15、已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥l求证：AP在α内参考答案一、选择题1、B ；2、D ；3、D ；4、D ；5、D ；6、D二、填空题7、无数，一，一，无数8、一，无数，无数，一9、无数10、一个11、一个三、解答题12、已知：a∥b,a⊥α 求证：b⊥α证明：设m 是α内的任意一条直线αααα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥b m m b b a m a m a //13、已知：平面α和一点P 求证：过点P 与α垂直的直线只有一条证明：不论P 在平面α内或外，设直线PA α⊥，垂足为A（或P ） 若另一直线PB α⊥，设,PA PB 确定的平面为β，且a αβ=I ∴,PA a PB a ⊥⊥又∵,PA PB 在平面β内，与平面几何中的定理矛盾 所以过点P 与α垂直的直线只有一条βαa P B A14、解：在ABC∆和ABD∆中，∵8,6,10=====AB m BC BD m AC AD m Array∴222222+=+==6810AB BC AC222222+=+==AB BD AD6810∴90ABC ABD∠=∠=o即,⊥⊥AB BC AB BD又∵,,B C D不共线∴AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直；15、证明：设AP与l确定的平面为β如果AP不在α内，则可设α与β相交于直线AM∵l⊥α，∴l⊥AM又AP⊥l，于是在平面β内过点A有两条直线垂直于l，这是不可能的所以AP一定在α。
直线和平面垂直的判定和性质(习题)
利用直线和平面垂直的性质解决 实际问题，如建筑物的设计、空 间定位等。
总结词：结合其他几何知识，考 察对直线和平面垂直的综合应用 能力。
在给定的几何图形中（如长方体 、正方体、球等），判断某一直 线是否与某一平面垂直，并证明 。
在解析几何中，结合直线和平面 垂直的性质，研究曲线的性质和 几何意义。
04
数学建模中的应用
解析几何
在解析几何中，直线和平面垂直 的性质是重要的概念之一，用于 描述几何图形中的垂直关系和位
置关系。
物理建模
在物理建模中，直线和平面垂直的 性质常常被用来描述物体的运动轨 迹和受力分析，以解决物理问题。
经济建模
在经济建模中测经 济发展趋势。
判定定理的应用
应用场景
在几何、工程、建筑等领域中，常常需要判断一条直线是否与某个平面垂直。 通过应用判定定理，可以快速准确地判断出结果。
实例
在建筑设计中，为了确保建筑物的稳定性，需要确保建筑物的支撑柱与地面垂 直。这时，可以通过应用直线和平面垂直的判定定理来判断支撑柱是否与地面 垂直。
02
直线和平面垂直的性质
解释
这个定理说明，只要一条直线与 平面内的一条直线垂直，那么这 条直线就与整个平面垂直，不需 要与平面内的所有直线都垂直。
判定定理的证明
• 证明方法：通过反证法，假设直线与平面不垂直，那么直线要么与平面斜交，要么与平面平行。但当直线与平面斜交或平 行时，直线不可能与平面内的任意一条直线都垂直，这与已知条件矛盾。因此，原假设不成立，直线与平面垂直。
性质的理解
直线和平面垂直时， 该直线与平面内任意 一条直线都垂直。
直线和平面垂直时， 该直线上的任意一点 到平面的距离都相等。
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第18课时 直线与平面垂直的判定和性质习题课
教学目标：
使学生能够根据题设条件，联系定理，发挥空间想象能力，解决具体问题。
教学重点、难点：
如何分析、解决问题。
教学过程：
复习定理、定义。
例1：如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝a ，M 、N 分别是AB 、A 1C 的中点，
（1）求A 到平面A 1DCB 1的距离；（2）求AB 到平面A 1DCB 1的距离；
（3）求证：MN 是异面直线AB 、A 1C 的公垂线段，并求其长度。
解：（1）连结AD 1，设AD 1∩A 1D ＝E ，则AD 1⊥A 1D
且E 为A 1D 的中点，AE ＝22
a ， 又：AD 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩A 1D ＝A 1
∴AE ⊥平面A 1DCB 1
∴AE 的长为所求距离，即22
a （2）∵AB ∥A 1B 1，A 1B 1⊂平面A 1DCB 1，AB ⊂\平面A 1DCB 1
∴AB ∥平面A 1DCB 1
由（1）知，AE ⊥平面A 1DCB 1 ∴所求距离为22
a （3）∵EN 为△A 1DC 的中位线
∴EN ∥＝ 12 DC ，EN ∥＝ 12
AB 即EN ∥＝
AM 且∠EAB ＝900 ∴四边形AMNE 为矩形
∴MN ⊥AB ，AE ∥MN
由（1）知，AE ⊥平面A 1DCB 1
∴MN ⊥平面A 1DCB 1 又：A 1C ⊂平面A 1DCB 1
∴MN ⊥A 1C
∴MN 是异面直线AB 、A 1C 的公垂线段，MN ＝AE ＝22
a 例2：已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD 在平面α内，AB ︰CD ＝4︰6，AB 到α的距离为10cm ，求梯形对角线的交点O 到α的距离。
解：过B 作BE ⊥α＝E ，连结DE
过O 作OF ⊥DE
∵AB ∥CD ，AB ⊂\α，CD ⊂α，
∴AB ∥α，又BE ⊥α
∴BE 即为AB 到α的距离，BE ＝10cm 且∠BED ＝900
∵OF ⊥DE ∴OF ∥BE 得 OF BE ＝OD BD
∵AB ∥CD ∴△AOB ∽△COD
∴OD OB ＝CD AB ＝64 ， 得OD BD ＝610 ＝35
又：OF BE ＝OD BD
，BE ＝10cm ∴OF ＝35
×10＝6（cm ） ∵OF ∥BE ，BE ⊥α
∴OF ⊥α，即：OF 即为所求距离为6cm 。
例3：已知直线a ⊥b ，b ⊥α，a ⊂\α，求证：a ∥α
略证：在直线a 上取一点A ，过A 作b ′∥b ，则
b ′必与α相交，设交点为B ，过相交直线a 、b ′
作平面β，设α∩β＝a ′
∵b ′∥b ，a ⊥b ∴a ⊥b ′
∵b ⊥α，b ′∥b ∴b ′⊥α
又∵a ′⊂α ∴b ′⊥a ′
由：a ，b ′，a ′都在平面β内，且b ′⊥a ，b ′⊥a ′知a ∥a ′ ∴a ∥α
例4：（备用）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，（1）求证：BD 1⊥平面B 1AC
（2）求B 到平面B
1AC 的距离。
（1）证明：∵AB ⊥B 1C ，BC 1⊥B 1C
∴B 1C ⊥面ABC 1D 1 又：BD 1⊂面ABC 1D 1
∴B 1C ⊥BD 1
∵B 1B ⊥AC ，BD ⊥AC
∴AC ⊥面BB 1D 1D 又：BD 1⊂面BB 1D 1D
∴AC ⊥BD 1
∴BD 1⊥平面B 1AC
（2）解：∵O ∈BD
∴连结OB 1交BD 1于E
又O ∈AC ， ∴OB 1⊂面B 1AC
∴BE ⊥OE ，且BE 即为所求距离
∵BE OB ＝BD BD 1
∴BE ＝BD BD 1 ·OB ＝ 2 a 3 a · 22a ＝33a 课堂小结：
充分发挥空间想象能力，灵活运用定理解决具体问题。
课后作业：
课本P 38 习题第10，11，12题.
预习内容： P 35~P 37
预习提纲
（1）平面外一点和平面内各点连线构成的线段有几种？
（2）这些线段之间关系如何？
（3）直线和平面成角的范围，性质如何？。