解答立体几何问题的5大数学思想方法
数学立体几何解题技巧必看
数学立体几何解题技巧必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。
下面是小编给大家整理的一些数学立体几何解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。
高考数学答题技巧：立体几何解答立体几何篇高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。
选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。
随着新的课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。
从历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。
知识整合1、有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。
2、判定两个平面平行的方法：(1)根据定义--证明两平面没有公共点;(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;(3)证明两平面同垂直于一条直线。
3、两个平面平行的主要性质：(1)由定义知：“两平行平面没有公共点”。
(2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
(3)两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。
(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等。
高中学习立体几何的方法有哪些
⾼中学习⽴体⼏何的⽅法有哪些 升⼊⾼中后，⾯对新的课程，新的知识，新的学习⽅法很多学⽣多会感到⽆所适从，尤其是在⾼中⽴体⼏何⽅⾯颇感头疼。
那么⾼中学习⽴体⼏何的⽅法有哪些呢?以下是店铺分享给⼤家的⾼中学习⽴体⼏何的⽅法的资料，希望可以帮到你! ⾼中学习⽴体⼏何的⽅法⼀ ⽴⾜课本，夯实基础 直线和平⾯这些内容，是⽴体⼏何的基础，学好这部分的⼀个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是⼀些很关键的定理的证明。
例如：三垂线定理。
(这个定理对今后学习线⾯垂直以及⼆⾯⾓的平⾯⾓的作法⾮常重要)定理的内容都很简单，就是线与线，线与⾯，⾯与⾯之间的关系的阐述。
但定理的证明在出学的时候⼀般都很复杂，甚⾄很抽象。
掌握好定理有以下三点好处： (1)深刻掌握定理的内容，明确定理的作⽤是什么，多⽤在那些地⽅，怎么⽤。
(2)培养空间想象⼒。
(3)得出⼀些解题⽅⾯的启⽰。
在学习这些内容的时候，可以⽤笔、直尺、书之类的东西搭出⼀个图形的框架，(我要求学⽣⽤⼿⾥的书本当平⾯，笔作直线)这样亲⾃实践可以帮助提⾼空间想象⼒。
对后⾯的学习也打下了很好的基础。
⾼中学习⽴体⼏何的⽅法⼆ 培养空间想象⼒ 从认识平⾯图形到认识⽴体图形是⼀次飞跃，要有⼀个过程。
有的同学⾃制⼀些空间⼏何模型并反复观察，这有益于建⽴空间观念，是个好办法。
有的同学有空就对⼀些⽴体图形进⾏观察、揣摩，并且判断其中的线线、线⾯、⾯⾯位置关系，探索各种⾓、各种垂线作法，这对于建⽴空间观念也是好⽅法。
建⽴空间观念要做到：重视看图能⼒的培养：对于⼀个⼏何体，可从不同的⾓度去观察，可以是俯视、仰视、侧视、斜视，体会不同的感觉，以开拓空间视野，培养空间感。
加强画图能⼒的培养：掌握基本图形的画法;如异⾯直线的⼏种画法、⼆⾯⾓的⼏种画法等等;对线⾯的位置关系，所成的⾓，所有的定理、公理都要画出其图形，⽽且要画出具有较强的⽴体感，除此之外，还要体会到⽤语⾔叙述的图形，画哪⼀个⾯在⽔平⾯上，产⽣的视觉完全不同，往往从⼀个⽅向上看不清的图形，从另⽅向上可能⼀⽬了然。
用数学思想统领立体几何复习
平面距 离 ） ， 几何 问题代 数化 ， 文字 、 图形 线平行甘线面平行铮面面平行 ： （ ２ ）线线 与符号语言 的转化 ，变式 图形 与基本 图 垂直铮线面垂直§ 面面垂 直．
形 的转化． 例 １ 在 正 方 体 ＡＢ Ｃ －４ Ｃ 】 Ｄ 】 中 ， Ｅ、 Ｇ 、 Ｈ 分 别 为棱 Ｂ Ｃ 、 Ｃ Ｃ ｌ 、 Ｃ ｌ Ｄ１ 、
，
、
转化思想
化 归与转化思 想是 解决立体 几何 问 题 的最基 本 、 最常 用的数学思 想 ， 学 习时 要注 意强 化转化 的解 题意识 ．在 立体几
何中， 常见的转化 有 ： 位 置关系 （ 线线、 线
（ ４） ・ ． ・ Ｃ Ｃ １ 上平 面 ＡＣ ， ． ・ ． Ｃ Ｃ 】 上肋 ． 又Ｂ Ｄ上ＡＣ， ． ・ ．Ｂ Ｄ上平 面 Ａ Ａ１ Ｃ ． 又Ｂ Ｄ ｃ平 面 Ｂ Ｄ Ｆ，
・ ． ．
则 由图 ３有体积关系：
尸＿ ＾
平面 Ｂ Ｄ ＦＪ ＿ 平面 Ａ Ａ １ Ｃ．
面、 面面 ） 间的转化 ， 空 间问题平面化 （ 如
空间 角转化 为平面 角、空 间距 离转化 为
评注 ： 论证空 间位置关 系的基本 策略 是 利 用以下两 个关 系链反 复转 化 ： （ １ ） 线
（ ２ ） 按线线 平行 线 面平行 面面平 题 ， 常用方程 的思想方法解决 ．
种数学思想在解题 中的应 用， 深 刻领悟 转 行 的思路． 在平面 Ｂ １ Ｄ１ 日内寻找 曰 １ Ｄ１ 和Ｏ ＇ Ｈ 两 条关键 的相交直线．
立体几何 中， 类比的思想方法被广泛 采用， 常见的有 ： 平面 图形与 立体 图形的
再 寻找 Ａ １ ０垂直于平面 Ｂ Ｄ Ｆ内的另 题 获解 ． 同时 ， 以类 比为切入 点的 立体几
高中数学高考专题(5)立体几何的高考解答题型及求解策略
高中数学高考专题(5)立体几何的高考解答题型及求解策略立体几何的解答题型主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再计算几何体的体积．试题背景有折叠问题、探索性问题等，考查空间想象能力、逻辑思维能力及转化与化归思想的应用能力.题型一线面位置关系的证明题型概览：空间中线面的平行与垂直的证明有两种思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量法来论证，应用向量证明线、面的位置关系的关键是把空间线面位置关系的判定定理和性质定理与空间向量建立对应关系，把空间位置关系的证明转化为空间向量的运算，通过运算解决证明问题．这里以传统方法为例建立审题程序与答题模板，向量方法参照本专题题型二．如图，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，平面MADN⊥平面ABCD，E、F分别为MA、DC的中点，求证：(1)EF∥平面MNCB；(2)平面MAC⊥平面BND.[审题程序]第一步：利用中位线、平行四边形的性质在四边形MNCB内确定与EF平行的直线；第二步：在平面MAC和平面BND中寻找与另一平面垂直的直线；第三步：应用面面垂直、菱形的性质，由线线垂直解决．[规范解答](1)如图，取NC的中点G，连接FG，MG.因为ME∥ND且ME＝12ND，F、G分别为DC、NC的中点，FG∥ND且FG＝12ND，所以FG与ME平行且相等，所以四边形MEFG是平行四边形，所以EF∥MG，又MG⊂平面MNCB，EF⊄平面MNCB，所以EF∥平面MNCB.(2)如图，连接BD、MC.因为四边形MADN是矩形，所以ND⊥AD.因为平面MADN⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面MADN＝AD，DN⊂平面MADN，所以ND⊥平面ABCD，所以ND⊥AC.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.因为BD∩ND＝D，所以AC⊥平面BDN.又AC⊂平面MAC，所以平面MAC⊥平面BDN.[答题模板]解决这类问题的答题模板如下：1．(2016·北京西城区高三期末)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分别是CE，CF的中点．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求证：平面BDGH∥平面AEF；(3)求多面体ABCDEF的体积．[解](1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF.(2)证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF.又GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC∩BD＝O，连接OH.在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF.因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.(3)由(1)得AC⊥平面BDEF.因为AO＝2，四边形BDEF的面积S▱BDEF＝3×22＝62，＝4.所以四棱锥A－BDEF的体积V1＝13×AO×S▱BDEF同理，四棱锥C－BDEF的体积V2＝4.所以多面体ABCDEF的体积V＝V1＋V2＝8.题型二求空间几何体的体积题型概览：计算几何体的体积，关键是根据条件找出相应的底面和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．(1)直接法：对于规则几何体，直接利用公式计算即可．(2)割补法：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体．(3)等体积法：一般利用三棱锥的“等积性”求三棱锥体积，可以把任何一个面作为三棱锥的底面．注意两点：一是求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；二是利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥．(2016·全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面P AB；(2)求四面体N－BCM的体积．[审题程序]第一步：由线线平行或面面平行证明(1)；第二步：由N 为PC 中点，推证四面体N －BCM 的高与P A 的关系； 第三步：利用直接法求四面体的体积．[规范解答] (1)由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453. [答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：2．(2016·深圳一模)如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面SBC是正三角形，E是SB的中点，且AE⊥平面SBC.(1)证明：SD∥平面ACE；(2)若AB⊥AS，BC＝2，求点S到平面ABC的距离．[解](1)证明：连接BD，交AC于点F，连接EF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴F是BD的中点，又∵E是SB的中点，∴EF∥SD.∵SD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，∴SD∥平面ACE.(2)∵AB⊥AS，BC＝BS＝2，且E是SB的中点，∴AE＝1.∵AE⊥平面SBC，BS、CE⊂平面SBC，∴AE⊥BS，AE⊥CE.∴AB＝AE2＋BE2＝ 2.又侧面SBC 是正三角形，∴CE ＝3， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝2，∴△ABC 是底边长为2，腰长为2的等腰三角形， ∴S △ABC ＝12×2×4－12＝72.设点S 到平面ABC 的距离为h .由V 三棱锥S －ABC ＝V 三棱锥A －SBC ，得13h ·S △ABC ＝13AE ·S △SBC ，∴h ＝AE ·S △SBC S △ABC ＝237＝2217.题型三 立体几何中的探索性问题题型概览：如果知道的是试题的结论，而要求的却是试题的某一个存在性条件(如存在某个定点、定直线、定值等)，这种试题称为存在探索型试题．解题策略一般是先假设结论成立，然后以该结论作为一个已知条件，再结合题目中的其他已知条件，逆推(即从后往前推)，一步一步推出所要求的特殊条件，即要求的存在性条件．若能求出，则存在；若不能求出，则不存在．(2016·石家庄调研)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，E 在线段B 1C 1上，B 1E ＝3EC 1，AC ＝BC ＝CC 1＝4.(1)求证：BC ⊥AC 1；(2)试探究：在AC 上是否存在点F ，满足EF ∥平面A 1ABB 1？若存在，请指出点F 的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．[审题程序]第一步：由B 1E ＝3EC 1及EF ∥平面A 1ABB 1猜想点F 的位置；第二步：在平面A 1ABB 1内探求与EF 平行的直线或寻找经过EF 与平面A 1ABB 1平行的平面； 第三步：由线线平行或面面平行推理论证．[规范解答] (1)证明：∵AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥AA 1. 又∵BC ⊥AC ，AA 1∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面AA 1C 1C . 又AC 1⊂平面AA 1C 1C ，∴BC ⊥AC 1.(2)解法一：当AF＝3FC时，EF∥平面A1ABB1.证明如下：如图1，在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G，连接AG.∵B1E＝3EC1，∴EG＝34A1C1.又AF∥A1C1且AF＝3，4A1C1∴AF∥EG且AF＝EG，∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG.又EF⊄平面A1ABB1，AG⊂平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1.解法二：当AF＝3FC时，EF∥平面A1ABB1.证明如下：如图2，在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G，连接FG. ∵EG∥BB1，EG⊄平面A1ABB1，BB1⊂平面A1ABB1，∴EG∥平面A1ABB1.∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，∴FG∥AB.又AB⊂平面A1ABB1，FG⊄平面A1ABB1，∴FG∥平面A1ABB1.又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面A1ABB1.∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.[答题模板]解决这类问题的答题模板如下：3．如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，M为A1B1的中点．(1)证明：MC⊥AB；(2)若AA1＝26，侧棱CC1上是否存在点P，使得MC⊥平面ABP？若存在，求PC的长；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：取AB的中点N，连接MN，CN，则MN⊥底面ABC，MN⊥AB.因为△ABC是正三角形，所以NC⊥AB.因为MN∩NC＝N，MN⊂平面MNC，NC⊂平面MNC，所以AB⊥平面MNC，所以AB⊥MC.(2)由(1)知MC⊥AB，若存在点P使得MC⊥平面ABP，则必有MC⊥BP.过M作MQ⊥B1C1，垂足为Q，连接QC，则QC是MC在平面BCC1B1内的射影，只需QC⊥BP即可，此时Rt△QC1C与Rt△PCB相似，QC1C1C ＝PCCB，所以PC＝QC1·CBC1C＝3×426＝6，点P恰好是CC1的中点．。
数学解决立体几何问题的四种常用方法
数学解决立体几何问题的四种常用方法数学作为一门科学，其应用范围及其广泛。
在解决现实生活中的各种问题中，立体几何问题是其中之一。
在本文中，将介绍数学解决立体几何问题的四种常用方法，分别是平面几何方法、向量法、投影法和立体坐标法。
一、平面几何方法平面几何方法是解决立体几何问题最常用的方法之一。
该方法的基本思想是将立体几何问题转化为平面几何问题来求解。
具体来说，可以通过绘制立体几何图形的几个视图，将其分解为多个平面几何图形，然后利用平面几何中的定理和性质进行求解。
例如，对于一个立方体求其体积，可以将其展开成一个平面图形，然后计算出展开图形的面积。
再根据立方体的性质，将展开图形的面积乘以立方体高度所得的积即为立方体的体积。
二、向量法向量法是一种几何分析方法，可以有效地解决立体几何问题。
该方法利用向量的运算和性质，将立体几何问题转化为向量计算问题来求解。
在利用向量法解决立体几何问题时，首先需要确定坐标系，并定义几何体的位置和方向。
然后，通过向量运算来计算几何体的性质。
例如，对于一个平行六面体的体积，可以通过计算其底面向量与高度向量的叉积来求解。
三、投影法投影法是解决立体几何问题的另一种常用方法。
该方法利用几何体在不同平面上的投影关系，将立体几何问题转化为投影几何问题来求解。
具体来说，可以通过绘制几何体在不同平面上的投影图形，并利用投影几何的定理和性质进行求解。
例如，对于一个棱柱在某个平面上的截面积，可以通过计算棱柱的投影图形在该平面上的面积来求解。
四、立体坐标法立体坐标法是一种通过引入三维坐标系来解决立体几何问题的方法。
该方法通过确定几何体的坐标，将立体几何问题转化为坐标几何问题来求解。
在利用立体坐标法解决立体几何问题时，首先需要建立一个三维坐标系，并确定几何体的坐标。
然后，通过坐标运算来计算几何体的性质。
例如，对于一个球体求其体积，可以根据球体的坐标及其半径，利用坐标运算公式计算出体积。
总结起来，数学解决立体几何问题的常用方法有平面几何方法、向量法、投影法和立体坐标法。
高二数学学好立体几何的方法
高二数学学好立体几何的方法高二数学学好立体几何的方法第一、建立空间观念，提高空间想象力。
从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程。
有的同学自制一些空间几何模型并反复观察，这有益于建立空间观念，是个好办法。
有的同学有空就对一些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建立空间观念也是好方法。
此外，多用图表示概念和定理，多在头脑中“证明”定理和构造定理的“图”，对于建立空间观念也是很有帮助的。
第二、掌握基础知识和基本技能。
要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式，要及时不断地复习前面学过的内容。
这是因为《立体几何》内容前后联系紧密，前面内容是后面内容的根据，后面内容既巩固了前面的内容，又发展和推广了前面内容。
在解题中，要书写规范，如用平行四边形ABCD表示平面时，可以写成平面AC，但不可以把平面两字省略掉;要写出解题根据，不论对于计算题还是证明题都应该如此，不能想当然或全凭直观;对于文字证明题，要写已知和求证，要画图;用定理时，必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚，自己心中有数而不把它写出来是不行的。
要学会用图(画图、分解图、变换图)帮助解决问题;要掌握求各种角、距离的基本方法和推理证明的基本方法——分析法、综合法、反证法。
第三、不断提高各方面能力。
通过联系实际、观察模型或类比平面几何的结论来提出命题;对于提出的命题，不要轻易肯定或否定它，要多用几个特例进行检验，最好做到否定举出反面例子，肯定给出证明。
欧拉公式的内容是以研究性课题的形式给出的，要从中体验创造数学知识。
要不断地将所学的内容结构化、系统化。
所谓结构化，是指从整体到局部、从高层到低层来认识、组织所学知识，并领会其中隐含的思想、方法。
所谓系统化，是指将同类问题如平行的问题、垂直的问题、角的问题、距离的问题、惟一性的问题集中起来，比较它们的异同，形成对它们的整体认识。
牢固地把握一些能统摄全局、组织整体的概念，用这些概念统摄早先偶尔接触过的或是未察觉出明显关系的已知知识间的联系，提高整体观念。
《立体几何》中的几个考点分析
步计算才能确定。
解 决 二 面 角 的有
关 问题 ， 关 键 是 要 找 到或 作 出二 面 角 的平
面角 。常 见 的作 出二
面角的平面角的方法 ７
２ ０ １ ３．
二维 的、 熟悉 的、 简单 的、 具体 的、 特殊 的问题来进行 处理使之得以解决。
１ ． 直 线和 直 线 垂 直 、 直线和平面垂直、 平 面 和 平
有： （ｉ） 利 用 定 义 来
作． ： 即 在 二 面 角 的 棱 ‘ 上 适 当地 选 取 一 点 ，
就 要 考 虑 垂 足 落 在什 么地 方 。 因此 要 充 分利 用 题 中 条件 ， 并要 特 别 注意 两个 平 面垂 直 的性 质定 理 是作 平 面 的垂 线 的一 种 重要 方 法 ， 然后 再 放 到直 角三 角 形 中
然后 只需作它们交线 的垂线 即可。有了平面的垂线 ，
利 用 三 垂 线 定 理 或 其 逆定 理 又 往 往 可 以再 引 一些 垂 线得 到较多 的有 利于解 决 问题 的直角 三角 形 。 ２ ． 证： 证 明 作 出 的角就 是所 求 的 角 。这往 往 是根 据定义来进行的 ， 在 字 面 上 一般 均有 类 似 “ 就 是 所求 的异 面直线 所成 的角 的补 角 ， ， 这 样 的叙述 。 ／ ＿ ＿ Ａ Ｏ Ｂ ３ ． 算： 在平 面 图形 （ 多 为 三角 形或 四边形 ） 中来进
分 别 在 两 个 半 平 面 内作棱 的垂 线 。 （ ｉ ｉ ） 作 棱 的垂 面 ： 由棱 的垂 面与 二 面角 的两 个 面 的交 线 而 得 到 的 角就 是 二 面 角 的平 面角 。 （ ｉ ｉ ｉ ） 利用 三 垂 线定 理 或其 逆 定理 来作 。 如图 ， 如 果 二 面 角０ ｃ —Ｚ 一 的 面 内有一 点 Ｐ ， 且Ｐ 日上 ， 垂 足 为 日 。 则 在 内 过 点 日 作 Ｈ Ｏ 上 Ｚ 于 Ｄ 再 连 结 ＰＤ ， 或 在 内 过 点 Ｐ 作
高中数学中的立体几何解题技巧
高中数学中的立体几何解题技巧作者：王文杰来源：《文理导航》2012年第32期高中数学中的立体几何是重点和难点之一，作为培养空间思维的立体几何，其基础知识的掌握及应用程度取决于我们对空间图形的认识与处理及正确思维方法的选择。
为此，笔者现就立体几何解题中几种常见的技巧予以分解，以供同仁参考。
1、巧作辅助图形，采用特殊化法例：求棱长为a的正四面体A-BCD的体积和外接球的半径。
解析：由于正四面体的六条棱相等，易联想到正方体的六个面的对角线相等。
于是构作辅助图形，即将正四面体补成正方体DE. 由AB=a，易得正方体棱长AE=■a，V■=V■-4V■=■a■由正方体是球的内接正方体，易知外接球半径为■a.例：在三棱锥P—ABC中，三条棱PA，PB，PC两两互相垂直。
设D为底面ABC内任一点，若PD与平面PAB，面PBC所成角分别为30°，45°.求PD与平面PAC所成角的正切值。
解析：本题若直接求解非常冗繁，但若考虑到题设条件，则以PD所在直线为对角线，PA、PB、PC所在线段为三条棱构作辅助图形长方体，使问题特殊化：即求该长方体的对角线PM与侧面PAC所成角的正切值。
设PD与侧面PAB，PBC，PAC所成角分别为α，β，γ.则依据长方体性质有：sin2α+sin2β+sin2γ=1.由条件知α=30°，β=45°.∴sin2γ=1-（sin2α+sin2β）=■.∴tanγ=■为所求。
评注：通过构造辅助图形，使原命题特殊化来解答某些立体几何问题，不但可以简化解题过程，优化问题解答，而且能开拓解题的思维视野，使问题解答独辟蹊径。
2、寻找主要矛盾，采用“隔离法”例：二面角α-l-β为30°，点A在平面α内，点A到直线l的距离为2，点A在平面β内的射影为B，B在平面α内射影为点A′，点A′在面β内射影为B′.求点B′到棱l的距离。
解析：本题由于条件太复杂，干扰因素太多，不便于分析。
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解答立体几何问题—5大数学思想方法
学习立体几何，除了要掌握基本的数学知识和技能外，还要注意领会与总结解决解答对应问题的常见数学思想方法，下面对解答立体几何问题的五大数学思想方法加以归纳整理，供复习参考．１割补思想
分割与补形的思想方法是处理几何图形的重要方法，特别在处理非常规图形时，即使涉及比较熟悉的图形的问题，有时结合割补法也可以更好的得以解决，因此，此考点可明考，即出示陌生图形，也可暗考，即给出熟悉图形，但进行割补实现快速解题．
例１如图１，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且
均为正三角形，，，则该多面体的体积为（）．
解析本题所涉及的为非常规图形，没有可套用的体积公式，故需
要考虑割补．
解如图１，作垂直于，垂足分别为，连结
，由，则有垂直于．由图形的对称性，，知，由，，，得．故所求体积为，选．
例２表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）．
解析将正八面体嵌入到正方体中，即以正八面体的顶点为正方体各面的中心，则可知正八面体的棱长为１，则正方体底面对角线长为２，正方体棱长为，即为正八面体外接球的直径，故球的
体积为，选．
２分类讨论思想
若题目描述的情形不唯一，就要考虑借助分类与整合的思想方
法解答．
例３如图２，在直三棱柱中，
，，，分别为的
中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度
为．
解析分别将沿折到平面上；将沿
折到平面上；将沿折到平面上；将
沿折到平面上，比较其中长即可．结果为
．
３等价转化思想
一些立体几何问题，借助等价转化思想，可以得到更好解答．
３．１求距离的转化
点、线与面之间的距离，可以借助平行关系，借助等体积等方法实现距离的转化．
例４如图３，正方体的棱长为１，是底面的中心，则到平面的距离为（）．
解析若直接过点作平面的垂线求距离，则难以操
作．但若借助“过与平面平行的直线上每个点到平面
的距离相等”，如图４，点分别是棱的中点，易知过点且与平面平行，于是，只需求点到平面的距离，又可得所求为的，即．
３．２求角的转化
求角问题，往往也可以借助平行关系进行转化解答．
例５如图５，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，，点O、D分别是AC、PC 的中点，OP⊥底面ABC．求直线与平面所成角的大小．
解析若直接求直线与平面所成的角，不易操作，但若根据
，则可转化为求与平面所成的
角．，
，取的中点，连结，则，作
于，连结，则平面，所以是与平
面所成的角．又，所以与平面所成的角的大小等
于，在中，，所以与平面所成角的大小为．
例６（１）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则．
（２）已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于，则
．
解析对（１），由于正四棱柱的六个面两两对应平行，根据同一条直
线与多个平行平面所成的角相等，问题转化为一条直线与正四棱柱共顶点
的相邻三个面所成的角都为，求．如图６，设两两
垂直且相等，作平面，则与三个侧面成角相等，连结
并延长交于，连结，则，于是，设，则，，即．
对（２），类似可知，一组平行直线与同一平面所成的角相等，则问题可转化为如图６所示的与平面所成角的正弦，易知为．
３．３求最值的转化
一些立体几何的最值问题，往往通过图形变换进行转化．
例７如图７，已知正三棱柱的底面边长为1，高
为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周
．．到达点的最
短路线的长为．
解析问题转化为将三棱柱的侧面沿剪开后展开，并补上展开
后全等的部分后，所得矩形对角线的长，如图８所示，易得所求为．
３．４求体积的转化
一些求体积问题，往往需要借助体积的转化求解．
例８如图９，在体积为1的三棱锥侧棱
上分别取点，使
，记为三平面
的交点，则三棱锥的体积等于（）．
解析如图１０，设，，则连
结的交点为，设到平面的距离为，则由
，可知点到平面的距离为；又由
，故到平面的距离为；又由
，故到平面的距离为．三棱锥
的体积为１，故三棱锥的体积等于．选．
评注本题通过多次体积间关系的转化，实现了所求体积与已知体积关系的明朗化．
４向量法
借助空间向量，特别是建立空间直角坐标系后，使向量坐标化，能够更加简捷的解答很多涉及位置关系判断及求角，求距离的题目．
例９已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，是的中点．
（Ⅰ）证明：面面；
（Ⅱ）求所成的角；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小．
解析根据题目特征，注意到两两垂直，可建立空间直角
坐标系，借助直线的方向向量与平面的法向量解答．
解因为，，，以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，．（Ⅰ）证明：因，，故，所以．由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面．又在面
上，故面⊥面．
（Ⅱ）解：因故，所以
，即与所成的角为．（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使
．要使，只需，即，解得．可知当时，点坐标为，能使．此时，，有．由，
得，所以为所求二面角的平面角．
．，故所求的二面角为．
５极端化方法
一些几何问题，借助想象其极端情形，可以更好的使问题得以解决．
例１０若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）．
三棱锥四棱锥五棱锥六棱锥
解析对于正六棱锥，当其高趋近于０时，侧棱长趋近于底面边长，但侧棱长始终大于底面边长，而不会相等，故选．
借助极端化方法，同学们可以求一下正六棱锥相邻侧面所成二面角的取值范围．。