三角形的三条重要线段精编版
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三角形中的三条重要线段ppt优秀课件
三角形中的三条重 要线段ppt优秀课件
目 录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与应用 • 高线性质与应用 • 角平分线性质与应用 • 垂直平分线性质与应用 • 综合运用与拓展延伸
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类
线。
性质
垂直平分线上的点到三角形三个顶 点的距离相等。
性质证明
可以通过全等三角形或轴对称性质 进行证明。
垂直平分线在解题中应用
应用一
利用垂直平分线的性质， 可以求解与三角形有关的 距离问题。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，可以利用垂直平分线 的性质进行推导。
应用三
在解决与三角形面积有关 的问题时，可以利用垂直 平分线的性质进行转化。
证明三角形全等
在一些特定的三角形中，可以通过证明两条高相等来证明两个三角 形全等。
解决与三角形高相关的问题
在解决与三角形高相关的问题时，可以通过作高、利用高的性质等 方法来简化问题。
典型例题解析
解析
由于AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。作高AH⊥BC于 点H，则AH平分BC。由于DE⊥AB和DF⊥AC，因此四边 形AEDF是矩形。根据矩形的性质，有DE=AF和DF=AE。 又因为AH⊥BC和DE⊥AB，所以∠DEH=∠AHB=90°， 从而∠B=∠HAC。在△DEH和△AHC中， ∠DEH=∠AHC=90°，∠B=∠HAC，因此△DEH∽△AHC。 根据相似三角形的性质，有DE/AH=EH/HC。同理可证 DF/AH=HF/HC。将两式相加得到 (DE+DF)/AH=(EH+HF)/HC=EF/HC。又因为EF=AH （矩形的对边相等），所以(DE+DF)/AH=AH/HC。从 而得到DE+DF=AH^2/HC。又因为 S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF=1/ 2×AB×(DE+DF)，所以DE+DF=2S△ABC/AB。最后根 据等腰三角形的性质，有BC=2HC，所以
目 录
• 三角形基本概念与性质 • 中线性质与应用 • 高线性质与应用 • 角平分线性质与应用 • 垂直平分线性质与应用 • 综合运用与拓展延伸
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次连接所组成的封闭图形。
三角形分类
线。
性质
垂直平分线上的点到三角形三个顶 点的距离相等。
性质证明
可以通过全等三角形或轴对称性质 进行证明。
垂直平分线在解题中应用
应用一
利用垂直平分线的性质， 可以求解与三角形有关的 距离问题。
应用二
在证明三角形全等或相似 时，可以利用垂直平分线 的性质进行推导。
应用三
在解决与三角形面积有关 的问题时，可以利用垂直 平分线的性质进行转化。
证明三角形全等
在一些特定的三角形中，可以通过证明两条高相等来证明两个三角 形全等。
解决与三角形高相关的问题
在解决与三角形高相关的问题时，可以通过作高、利用高的性质等 方法来简化问题。
典型例题解析
解析
由于AB=AC，因此△ABC是等腰三角形。作高AH⊥BC于 点H，则AH平分BC。由于DE⊥AB和DF⊥AC，因此四边 形AEDF是矩形。根据矩形的性质，有DE=AF和DF=AE。 又因为AH⊥BC和DE⊥AB，所以∠DEH=∠AHB=90°， 从而∠B=∠HAC。在△DEH和△AHC中， ∠DEH=∠AHC=90°，∠B=∠HAC，因此△DEH∽△AHC。 根据相似三角形的性质，有DE/AH=EH/HC。同理可证 DF/AH=HF/HC。将两式相加得到 (DE+DF)/AH=(EH+HF)/HC=EF/HC。又因为EF=AH （矩形的对边相等），所以(DE+DF)/AH=AH/HC。从 而得到DE+DF=AH^2/HC。又因为 S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×AB×DE+1/2×AC×DF=1/ 2×AB×(DE+DF)，所以DE+DF=2S△ABC/AB。最后根 据等腰三角形的性质，有BC=2HC，所以
第4课时 三角形中的三条重要线段
与△ACD的周长之差为(A
)
A.2 cm
C.6 cm
B.4 cm
D.18 cm
[变 式1](2024 肥城期中)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,
点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的顶点上,则△ABC的重心是(
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
)A
[变 式2](2024淄博博山中学期末)如图所示,在△ABC中,D,E分别是
因为 AD⊥BC,所以∠ADC=90°,
所以∠CAD=90°-∠C=90°-60°=30°,
所以∠DAE=∠CAE-∠CAD=44°-30°=14°.
谢谢观赏！
第4课时 三角形中的三条重要线段
知识梳理
1.三角形的中线
பைடு நூலகம்(1)在三角形中,连接一个顶点与它
形的中线.
(2)三角形的三条中线
对边中点 的线段,叫做这个三角
交于一点 ,这个点叫做三角形的重心.
2.三角形的角平分线
角平分线 与它的对边相交,这个角的
(1)在三角形中,一个内角的
顶点与交点 之间的线段叫做三角形的角平分线.
[典例2]如图所示,在△ABC中,∠BAC=80°,∠B=35°,AD平分∠BAC,则
∠ADC的度数为 75°
.
[变式3]如图所示,在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条角平分线,若
∠A=52°,则∠BOC的度数为 116° .
三角形的高
[典例3]如图所示.
(1)在△ABC中,BC边上的高是
(2)在△AEC中,AE边上的高是
(2)三角形的三条角平分线
交于一点 .
3.三角形的高线
(1)从三角形的一个顶点向它的
)
A.2 cm
C.6 cm
B.4 cm
D.18 cm
[变 式1](2024 肥城期中)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,
点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的顶点上,则△ABC的重心是(
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
)A
[变 式2](2024淄博博山中学期末)如图所示,在△ABC中,D,E分别是
因为 AD⊥BC,所以∠ADC=90°,
所以∠CAD=90°-∠C=90°-60°=30°,
所以∠DAE=∠CAE-∠CAD=44°-30°=14°.
谢谢观赏！
第4课时 三角形中的三条重要线段
知识梳理
1.三角形的中线
பைடு நூலகம்(1)在三角形中,连接一个顶点与它
形的中线.
(2)三角形的三条中线
对边中点 的线段,叫做这个三角
交于一点 ,这个点叫做三角形的重心.
2.三角形的角平分线
角平分线 与它的对边相交,这个角的
(1)在三角形中,一个内角的
顶点与交点 之间的线段叫做三角形的角平分线.
[典例2]如图所示,在△ABC中,∠BAC=80°,∠B=35°,AD平分∠BAC,则
∠ADC的度数为 75°
.
[变式3]如图所示,在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条角平分线,若
∠A=52°,则∠BOC的度数为 116° .
三角形的高
[典例3]如图所示.
(1)在△ABC中,BC边上的高是
(2)在△AEC中,AE边上的高是
(2)三角形的三条角平分线
交于一点 .
3.三角形的高线
(1)从三角形的一个顶点向它的
三角形中的三条重要线段
三角形中的三条重要线段
角平分线
中线
高
探究新知：
一、三角形的角平分线：A B C D
三角形中，一个角的平分线与这个角
的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线；
思考：1.用几何符号语言描述三角形的角平分线定义；2.三角形的角平分线与角平分线有何区别、联系？3.一个三角形有几条角平分线？它们有何特征？
E F
12
二、三角形的中线：A B
C D 三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线；
思考：1.用几何符号语言描述三角形的中线定义；
2.三角形的中线与线段的中点有何区别、联系？
3.一个三角形有几条中线？它们有何特征？F E 三角形的“重心”
三、三角形的高：A B C 从三角形的一个顶点到它对边所在
直线的垂线段叫做三角形的高；
D
E
F
A
B C D A B C
D E F 三角形的“垂心”
四、几何中的“定义”：
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义
定义既可看作“性质”又可以看作“判定”
它可以作为推理的依据。
应用新知：
例.如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD、AE分别为△ABC的角平分线和高，求∠DAE的度数。
A
50°70°
B C
D E
如图是一块三角形空地，现欲将其绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的两个三角形，以便种上两种不同的花草，请你帮助设计符合要求的图案。
A
B C
D。
三角形中三条重要线段ppt课件
什么组织贯穿于植物体的根、茎、叶？
输导组织。
周长分为12 cm和15 cm两部分，求△ABC各边的长．
解：设AB＝x
cm，则AD＝DC＝
1 2
x
cm.
①若AB＋AD＝12
cm，即x＋
1 2
x＝12，则x＝8，即AB＝
AC＝8 cm，所以DC＝4 cm，故BC＝15－4＝11(cm)，
显然此时三角形存在，所以三边长分别为8 cm，8 cm，
11 cm.
保＿护＿组织
肌＿肉＿组织
不 结同 构点
营＿养＿组织 输＿导＿组织
结＿缔＿组织 神＿经＿组织
层 次
无＿系＿统，由＿＿器直接官构成植 有八大＿＿系，统由＿＿构系成统动
物体。
物体。
相 由受精卵分裂、分化发育而来。由细胞构成组织，由不同
同 点
组织构成器官。
保护组织分布在植物体的哪些部位？
主要分布在植物体各器官的表面。
(2)△ACE和△ABE的周长的差．
解：因为AE是△ABC的中线，所以BE＝CE，所以 △ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－(AB ＋BE＋AE)＝AC－AB＝4－3＝1(cm)，即△ACE和 △ABE的周长的差是1 cm.
14．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的
答案显示
1．三角形的角平分线：三角形中，一个角的__平__分__线______ 与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形 的角平分线．
2．三角形的中线：三角形中，连接一个顶点与它对边 ___中__点___的线段叫做三角形的中线．
3．三角形的高线：从三角形的一个顶点到它对边所在直线 的_垂__线__段___叫做三角形的高线，也叫做三角形的高．
输导组织。
周长分为12 cm和15 cm两部分，求△ABC各边的长．
解：设AB＝x
cm，则AD＝DC＝
1 2
x
cm.
①若AB＋AD＝12
cm，即x＋
1 2
x＝12，则x＝8，即AB＝
AC＝8 cm，所以DC＝4 cm，故BC＝15－4＝11(cm)，
显然此时三角形存在，所以三边长分别为8 cm，8 cm，
11 cm.
保＿护＿组织
肌＿肉＿组织
不 结同 构点
营＿养＿组织 输＿导＿组织
结＿缔＿组织 神＿经＿组织
层 次
无＿系＿统，由＿＿器直接官构成植 有八大＿＿系，统由＿＿构系成统动
物体。
物体。
相 由受精卵分裂、分化发育而来。由细胞构成组织，由不同
同 点
组织构成器官。
保护组织分布在植物体的哪些部位？
主要分布在植物体各器官的表面。
(2)△ACE和△ABE的周长的差．
解：因为AE是△ABC的中线，所以BE＝CE，所以 △ACE的周长－△ABE的周长＝AC＋AE＋CE－(AB ＋BE＋AE)＝AC－AB＝4－3＝1(cm)，即△ACE和 △ABE的周长的差是1 cm.
14．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的
答案显示
1．三角形的角平分线：三角形中，一个角的__平__分__线______ 与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形 的角平分线．
2．三角形的中线：三角形中，连接一个顶点与它对边 ___中__点___的线段叫做三角形的中线．
3．三角形的高线：从三角形的一个顶点到它对边所在直线 的_垂__线__段___叫做三角形的高线，也叫做三角形的高．
13.1三角形三条重要线段(3)教学设计2023-2024学年青岛版数学七年级下册
5.能够运用三条重要线段解决实际问题，如计算三角形的面积等。
核心素养目标
本节课的核心素养目标是通过学习三角形的三条重要线段，培养学生的几何直观、逻辑推理和数学建模能力。具体包括：
1.几何直观：通过观察和操作，使学生能够直观地理解三角形底边、高线和角平分线的定义和性质，能够画出各种类型的三角形并标出相应的线段。
2.逻辑推理：通过探究三角形三条重要线段的性质和作用，培养学生从特殊到一般的推理能力，使学生能够运用逻辑推理解决实际问题。
3.数学建模：培养学生运用三角形三条重要线段解决实际问题的能力，如计算三角形的面积等，使学生能够将数学知识应用于解决生活中的问题。
学习者分析
1.学生已经掌握了哪些相关知识：在学习本节课之前，学生应该已经学习了三角形的基本概念，如三角形的定义、分类和性质。此外，学生还应该掌握了一些几何图形的性质，如线段的性质、直角的性质等。
过程：
将学生分成若干小组，每组选择一个与三角形三条重要线段相关的主题进行深入讨论。
小组内讨论该主题的性质、作用以及可能的实际应用。
每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。
5.课堂展示与点评（15分钟）
目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对三角形三条重要线段的认知和理解。
过程：
各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的性质、作用及实际应用。
课后拓展
1.拓展内容：
-阅读材料：《数学年鉴》中关于三角形三条重要线段的发现和发展历史，了解这些线段在数学发展中的地位和作用。
-视频资源：观看数学教育视频，介绍三角形三条重要线段的性质和应用，通过动态演示和实例分析，加深对知识点的理解。
2.拓展要求：
-学生自主学习和拓展，通过阅读材料和观看视频资源，进一步深化对三角形三条重要线段的理解和应用。
核心素养目标
本节课的核心素养目标是通过学习三角形的三条重要线段，培养学生的几何直观、逻辑推理和数学建模能力。具体包括：
1.几何直观：通过观察和操作，使学生能够直观地理解三角形底边、高线和角平分线的定义和性质，能够画出各种类型的三角形并标出相应的线段。
2.逻辑推理：通过探究三角形三条重要线段的性质和作用，培养学生从特殊到一般的推理能力，使学生能够运用逻辑推理解决实际问题。
3.数学建模：培养学生运用三角形三条重要线段解决实际问题的能力，如计算三角形的面积等，使学生能够将数学知识应用于解决生活中的问题。
学习者分析
1.学生已经掌握了哪些相关知识：在学习本节课之前，学生应该已经学习了三角形的基本概念，如三角形的定义、分类和性质。此外，学生还应该掌握了一些几何图形的性质，如线段的性质、直角的性质等。
过程：
将学生分成若干小组，每组选择一个与三角形三条重要线段相关的主题进行深入讨论。
小组内讨论该主题的性质、作用以及可能的实际应用。
每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。
5.课堂展示与点评（15分钟）
目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对三角形三条重要线段的认知和理解。
过程：
各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的性质、作用及实际应用。
课后拓展
1.拓展内容：
-阅读材料：《数学年鉴》中关于三角形三条重要线段的发现和发展历史，了解这些线段在数学发展中的地位和作用。
-视频资源：观看数学教育视频，介绍三角形三条重要线段的性质和应用，通过动态演示和实例分析，加深对知识点的理解。
2.拓展要求：
-学生自主学习和拓展，通过阅读材料和观看视频资源，进一步深化对三角形三条重要线段的理解和应用。
三角形的三种重要线段
三角形的三种重要线段精讲精练．B．C．D．3.给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE=ED=DC，∠1=∠2，则：①AD是△ABC的边上的高，也是的边BD上的高，还是△ABE 的边上的高；②AD既是的边上的中线，又是边上的高，还是的角平分线．5.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC=°．6．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是度．7．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC 的面积为18cm2，则△BEF的面积=cm2．8．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为．9．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积．10．如图，G是△ABC的重心，AG⊥GC，AC=4，则BG的长为．11．如图，点G是△ABC的重心，且△ABC的面积为9cm2，则△ABG的面积为cm2．12．如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数．13．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积是多少？14．已知：点A、B在平面直角坐标系中的位置如图所示，求△AOB的面积．15．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．16．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD=∠ABD时，x=；当∠BAD=∠BDA时，x=．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．17．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）若EF=4，BC=10，求△EFM的周长；（2）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠FME的度数．18．如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．（1）试说明CD是△ABC的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．。
4.1第3课时三角形的3条重要线段(教案)2023-2024学年七年级下册数学北师大版(安徽专版)
其次，在实践活动和小组讨论中，我发现有些学生过于依赖同伴，缺乏独立思考。为了培养学生的独立思考能力，我将在后续的教学中，增加一些个人任务，鼓励学生在小组讨论前先独立思考，然后再进行交流。
此外，对于教学难点的解析，我觉得可以尝试用更多生活中的实例来解释，让学生能够更加直观地理解三角形线段的概念和性质。同时，结合学生的认知水平，适当调整教学进度，确保他们在理解难点时有足够的时间消化和吸收。
3.提高学生的数学建模能力：通过探索三角形线段的性质和作用，使学生能够运用所学知识解决实际问题，建立数学模型，提高建模能力。
4.增强学生的数学运算能力：在探讨三角形线段性质的基础上，培养学生准确进行相关计算的能力，巩固数学运算基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握三角形的中线、角平分线、高的定义及性质。
-学会通过实际操作和观察，发现三角形线段之间的关系。
-能够运用三角形中线、角平分线、高的性质解决相关问题。
举例说明：
-中线的性质：强调中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，并引导学生通过折叠、测量等方法进行验证。
-角平分线的性质：讲解角平分线将角平分为两个相等角，并引导学生通过作图和观察来理解。
-高的性质：介绍高的概念，特别是在直角三角形中，强调高与斜边的关系，如直角三角形斜边上的高同时也是斜边的中线。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形线段在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
此外，对于教学难点的解析，我觉得可以尝试用更多生活中的实例来解释，让学生能够更加直观地理解三角形线段的概念和性质。同时，结合学生的认知水平，适当调整教学进度，确保他们在理解难点时有足够的时间消化和吸收。
3.提高学生的数学建模能力：通过探索三角形线段的性质和作用，使学生能够运用所学知识解决实际问题，建立数学模型，提高建模能力。
4.增强学生的数学运算能力：在探讨三角形线段性质的基础上，培养学生准确进行相关计算的能力，巩固数学运算基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握三角形的中线、角平分线、高的定义及性质。
-学会通过实际操作和观察，发现三角形线段之间的关系。
-能够运用三角形中线、角平分线、高的性质解决相关问题。
举例说明：
-中线的性质：强调中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，并引导学生通过折叠、测量等方法进行验证。
-角平分线的性质：讲解角平分线将角平分为两个相等角，并引导学生通过作图和观察来理解。
-高的性质：介绍高的概念，特别是在直角三角形中，强调高与斜边的关系，如直角三角形斜边上的高同时也是斜边的中线。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形线段在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
三角形中三条重要的线段1 (1)
0 1 2 3 4 5 7 8 9 10
三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在 直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 A
B
D
C
∵ AD是△ABC的BC边上的高
∠ADC=∠ADB= 90
0
锐角三角形的三条高
每人准备一个锐角三角形纸片。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? 使折痕过顶点，顶点的对边边缘重合 (3) 这三条高之间有怎样的位置关系？ 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点与它对 边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
A
∵ AD是△ ABC的 中线 1 BC BD = CD = 2
B
D
C
三角形的三条中线的性质
三角形有三条角中线,都在三角形的内 部,且它们相交于一点,这个交点叫做三 角形的重心.
1、如图，BD是△ABC的中线,AB=6cm, BC=4cm,求△ABD 与△BDC的周长之差.
1 ∠BAC=41° 2
A
C
反思收获
通过折纸、画图等活动，体验并获得了三角形的 “角平分线”、“中线”和“高线”的概念与性质。 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段， 叫做这个三角形的中线。 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂 线，顶点和垂足之间的线段就叫做三角形的高线， 简称三角形的高。 三角形的三条角平分线交于同一点. 三角形的三条中线交于一点.
如图,在△ABC中,∠ACB=90 ,CD⊥AB于点D, (1) 图中有几个直角三角形?
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三角形的三条中线 交于一点
三角形的三条角平分线
交于. 一点
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形的高、中线、 角平分线
古饶初中八年级数学备课组
做一做
在一张薄纸上任意画一 个三角形，你能设法画出它 的一个内角的平分线吗?
B
你能通过折纸的方法得到它吗?
在一张纸上画出一个
一个三角形并剪下，将它
的一个角对折，使其两边
重合。
A
A
C B
D C
三角形的角平分线的定义:
以前所学的“角平分线”是一条射线。
如图，BD是△ABC的中线,AB=6cm,BC=4cm, 求△ABD 与△BDC的周长之差.
B
A
D
C
已知△ABC中，AC=5cm。中线AD把△ABC分成两个
小三角形，这两个小三角形的周长的差是2cm。
你能求出AB的长吗？
A
A
B
C D
AB > AC
B
D
C
AB < AC
AB – AC = △ABD的周长 - △ADC的周长
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
(3)锐角三角形的三条高是在三角 形的内部还是外部? O
1.锐角三角形的三条高交于同一点.
2.锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
2:直角三角形的三条高
(1) 画出直角三角形的三条高,
A
它们有怎样的位置关系？
D
(2) AC边上的高是 BD ;
直角边BC边上的高是 AB ; B
C
直角边AB边上的高是 BC ;
直角三角形的三条高交于直角顶点.
3:钝角三角形的三条高
A 1. 你能画出钝角三角形的三条高吗？
F
D
B
C
E 2. AC边上的高呢？ AB边上呢？ BC边上呢？
BF
CE
AD
钝角三角形的三条高
A
1:钝角三角形的三条高交
F
于一点吗？
2:它们所在的直线交于一 D 点吗？
C.直角三角形
D. 周长相等的三角形
反思收获:
通过折纸、画图等活动，体验并获得了三角形的“ 角平分线”、“中线”和“高线”的概念与性质。
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角 的顶点与交点之间的线段,叫三角形的角平分线。
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段， 叫做这个三角形的中线。 从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂 线，顶点和垂足之间的线段,叫做三角形的高。
A “三角形线与它的对边相交，这 个角的顶点与交点之间的
线段叫三角形的角平分线。 B
1
2
D
C
“三角形的角平分线”是一条线段 。
∠1=∠2
三角形的角平分线的性质
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形 纸片各一个。 (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗?
DB
(4) 若AB=5,BC=3,AC=4,问△ABC的面积为多 少? CD的长为多少?
例1. 如图在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是
△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，
求∠DAE的大小。
解： ∵ AD是△ABC的高
A
∴∠ＡＤＣ＝９０°
∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°
∴ ∠DAC=180°-(∠ADC+∠C)
=180°-90°-40°
=50°
B
DE
C
∵AE是△ABC的角平分线且∠BAC=82° ∴∠CAE= 1∠BAC=41°
2
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=50°-41°=9°
随堂练习:
1.三角形的三条高线中（ ） A.最多有一条在三角形的内部 B.至少有一条在三角形的内部 C.每一条都在三角形的内部 D.每一条都在三角形的外部
2.如果一个三角形的三条高线的交点恰是一 个三角形的顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B. 直角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
3.钝角三角形的高在三角形外的数目有（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
4.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A.形状相同的三角形 B. 面积相等的三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
3、三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ D ）
A. 三角形的内部
B.三角形的外部
C.三角形的一条边上
D. 不能确定
如图,在△ABC中,∠ACB=900 ,CD⊥AB于点D,
(1) 图中有几个直角三角形?
C
(2)图中有几对相等的角?
21
(3) 图中互余的角有哪些? A
如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若 △ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD 与△ACD的周长差为3cm，求AB与AC的长。
C D
A
B
如图,D是BC中点S△ ABD与S△ ADC有什么关系?
A
B
C DE
如图,在△ABC中,
A
（1）AD是△ ABC的BC
F
E
边上的中线，则
S S ABD = ACD B
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系?
并与同桌交流。
观察发现
三角形的三条角平分线交于同一点.
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点与它对 边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
A
∵ AD是△ ABC的 中线
BD = CD = 1 BC
2
B
D
C
三角形的三条中线的性质
三角形的三条中线交于一点.
D
C
（2）设△ ABC的面积为S，则△ ACD的面积为_S_/_2_;
（3）若点E是AC的中点，则△ ADE的面积为_S_/_4_;
三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在
A
直线作垂线，顶点和垂足之间的线段
B
∵ AD是△ABC的BC边上的高
∠ADC=∠ADB= 900
DC
1:画锐角三角形的三条高
B
C
E O
1.钝 角三角形的三条高不相交于一点
2.钝角三角形的三条高所在直线交于一点
1. 下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高(D )
C AD
D
BC B
B C
CA
B (A)
(B)
AD (C)
D
A
(D)
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个
顶点，那么这个三角形是（ B）
A.锐角三角形
三角形的三条角平分线
交于. 一点
三角形的三条高所在直线交于一点
三角形的高、中线、 角平分线
古饶初中八年级数学备课组
做一做
在一张薄纸上任意画一 个三角形，你能设法画出它 的一个内角的平分线吗?
B
你能通过折纸的方法得到它吗?
在一张纸上画出一个
一个三角形并剪下，将它
的一个角对折，使其两边
重合。
A
A
C B
D C
三角形的角平分线的定义:
以前所学的“角平分线”是一条射线。
如图，BD是△ABC的中线,AB=6cm,BC=4cm, 求△ABD 与△BDC的周长之差.
B
A
D
C
已知△ABC中，AC=5cm。中线AD把△ABC分成两个
小三角形，这两个小三角形的周长的差是2cm。
你能求出AB的长吗？
A
A
B
C D
AB > AC
B
D
C
AB < AC
AB – AC = △ABD的周长 - △ADC的周长
(1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
(3)锐角三角形的三条高是在三角 形的内部还是外部? O
1.锐角三角形的三条高交于同一点.
2.锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
2:直角三角形的三条高
(1) 画出直角三角形的三条高,
A
它们有怎样的位置关系？
D
(2) AC边上的高是 BD ;
直角边BC边上的高是 AB ; B
C
直角边AB边上的高是 BC ;
直角三角形的三条高交于直角顶点.
3:钝角三角形的三条高
A 1. 你能画出钝角三角形的三条高吗？
F
D
B
C
E 2. AC边上的高呢？ AB边上呢？ BC边上呢？
BF
CE
AD
钝角三角形的三条高
A
1:钝角三角形的三条高交
F
于一点吗？
2:它们所在的直线交于一 D 点吗？
C.直角三角形
D. 周长相等的三角形
反思收获:
通过折纸、画图等活动，体验并获得了三角形的“ 角平分线”、“中线”和“高线”的概念与性质。
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角 的顶点与交点之间的线段,叫三角形的角平分线。
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段， 叫做这个三角形的中线。 从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂 线，顶点和垂足之间的线段,叫做三角形的高。
A “三角形线与它的对边相交，这 个角的顶点与交点之间的
线段叫三角形的角平分线。 B
1
2
D
C
“三角形的角平分线”是一条线段 。
∠1=∠2
三角形的角平分线的性质
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形 纸片各一个。 (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗?
DB
(4) 若AB=5,BC=3,AC=4,问△ABC的面积为多 少? CD的长为多少?
例1. 如图在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是
△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，
求∠DAE的大小。
解： ∵ AD是△ABC的高
A
∴∠ＡＤＣ＝９０°
∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°
∴ ∠DAC=180°-(∠ADC+∠C)
=180°-90°-40°
=50°
B
DE
C
∵AE是△ABC的角平分线且∠BAC=82° ∴∠CAE= 1∠BAC=41°
2
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=50°-41°=9°
随堂练习:
1.三角形的三条高线中（ ） A.最多有一条在三角形的内部 B.至少有一条在三角形的内部 C.每一条都在三角形的内部 D.每一条都在三角形的外部
2.如果一个三角形的三条高线的交点恰是一 个三角形的顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B. 直角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
3.钝角三角形的高在三角形外的数目有（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
4.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A.形状相同的三角形 B. 面积相等的三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
3、三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ D ）
A. 三角形的内部
B.三角形的外部
C.三角形的一条边上
D. 不能确定
如图,在△ABC中,∠ACB=900 ,CD⊥AB于点D,
(1) 图中有几个直角三角形?
C
(2)图中有几对相等的角?
21
(3) 图中互余的角有哪些? A
如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若 △ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD 与△ACD的周长差为3cm，求AB与AC的长。
C D
A
B
如图,D是BC中点S△ ABD与S△ ADC有什么关系?
A
B
C DE
如图,在△ABC中,
A
（1）AD是△ ABC的BC
F
E
边上的中线，则
S S ABD = ACD B
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系?
并与同桌交流。
观察发现
三角形的三条角平分线交于同一点.
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点与它对 边中点的线段，叫做这个三角形的中线.
A
∵ AD是△ ABC的 中线
BD = CD = 1 BC
2
B
D
C
三角形的三条中线的性质
三角形的三条中线交于一点.
D
C
（2）设△ ABC的面积为S，则△ ACD的面积为_S_/_2_;
（3）若点E是AC的中点，则△ ADE的面积为_S_/_4_;
三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在
A
直线作垂线，顶点和垂足之间的线段
B
∵ AD是△ABC的BC边上的高
∠ADC=∠ADB= 900
DC
1:画锐角三角形的三条高
B
C
E O
1.钝 角三角形的三条高不相交于一点
2.钝角三角形的三条高所在直线交于一点
1. 下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高(D )
C AD
D
BC B
B C
CA
B (A)
(B)
AD (C)
D
A
(D)
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个
顶点，那么这个三角形是（ B）
A.锐角三角形