第八章一般壳体问题的有限元法
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壳体的有限元线法(Ⅱ)——数值算例
取 的 Ｇ ｕ ｓ点 数 均 为 ５个 。 ａｓ
２ 数 值 算例
以下 我 们 统 一 使 用 下 述 符 号 ： ＮＣＯ Ｐ— — ＣＯ ＹＳ 每 个 子 区 间 内 的 Ｌ ＬＳ ［
Ｇａ ｓ 配 点 数 ｕｓ
可 解 得 各 结 线 位 移 函数 ，代 入 前 面 应 变 场 、应 力 场
＝
＝
ｈ
＝ ＝
等
ｌｂｚｈ 丘ｏ 等 ：ｄ ｆ ２ｔ ｈ 出 Ｔ＝ Ｙ ｆ１ ｚ： 麓 Ｏ ｔ
Ｉ ＝ ｆ出＝ 鲁 ｄ Ⅳ 』 ｆ
Ｑ ￣ ｙ ａ
Ｄ— — 壳 体 抗 弯 刚度 ： Ｄ：—
１（一ｙ 、 ２１
例 １：简 固 支 方 板 图 １ 示 方 板 受 均 布 荷 载 ｑ作 用 ，考 虑 四边 简 所
维普资讯
壳 体 的 有 限 元 线 法 分 析 （ ） — 数 值 算 例 Ｉ— Ｉ
ｌ ７
由 表 中 结 果 可 以 看 出 ， 随 着 单 元 次 数 Ｐ的 提 高 ，无 论 是 薄 板 还 是 中 厚 板 ，本 法 结 果 都 迅 速 向 精 确 解 收 敛 ，显 示 出 Ｐ收 敛 快 速 高效 的特 点及 其 易 十
支 及 四边 固支 两 种 边 界 形 式 ，并计 算 薄 板 和 中厚 板 两 种 情 形 ： 对 于 薄 板 ，取 厚 跨 比 ｈ ￡＝ｌ ～； 对 于 ／ ０ 中 厚 板 ， 取 厚 跨 比 ｈ ￡＝０１。 材 料 Ｐ ｉｓｎ 比 ／ ． ｏｓｏ ｙ＝０３。 由对 称 性 ，取 四分 之 一 用 一 个 单 元 计 算 ， ． 计 算 所 用 参 数 为 ： ＮＳ Ｂ ＝１， ＮＣ Ｌ ＵＩ Ｏ Ｐ＝５ ， Ｔ ｌｒ ．％ 。 计 算 结 果依 次 见 表 １、 表 ２ 、表 ３ ｏｅ ＝０１ 和 表 ４前 两 表 的剪 力 引 自文 献 ［】。 （ ４）
２ 数 值 算例
以下 我 们 统 一 使 用 下 述 符 号 ： ＮＣＯ Ｐ— — ＣＯ ＹＳ 每 个 子 区 间 内 的 Ｌ ＬＳ ［
Ｇａ ｓ 配 点 数 ｕｓ
可 解 得 各 结 线 位 移 函数 ，代 入 前 面 应 变 场 、应 力 场
＝
＝
ｈ
＝ ＝
等
ｌｂｚｈ 丘ｏ 等 ：ｄ ｆ ２ｔ ｈ 出 Ｔ＝ Ｙ ｆ１ ｚ： 麓 Ｏ ｔ
Ｉ ＝ ｆ出＝ 鲁 ｄ Ⅳ 』 ｆ
Ｑ ￣ ｙ ａ
Ｄ— — 壳 体 抗 弯 刚度 ： Ｄ：—
１（一ｙ 、 ２１
例 １：简 固 支 方 板 图 １ 示 方 板 受 均 布 荷 载 ｑ作 用 ，考 虑 四边 简 所
维普资讯
壳 体 的 有 限 元 线 法 分 析 （ ） — 数 值 算 例 Ｉ— Ｉ
ｌ ７
由 表 中 结 果 可 以 看 出 ， 随 着 单 元 次 数 Ｐ的 提 高 ，无 论 是 薄 板 还 是 中 厚 板 ，本 法 结 果 都 迅 速 向 精 确 解 收 敛 ，显 示 出 Ｐ收 敛 快 速 高效 的特 点及 其 易 十
支 及 四边 固支 两 种 边 界 形 式 ，并计 算 薄 板 和 中厚 板 两 种 情 形 ： 对 于 薄 板 ，取 厚 跨 比 ｈ ￡＝ｌ ～； 对 于 ／ ０ 中 厚 板 ， 取 厚 跨 比 ｈ ￡＝０１。 材 料 Ｐ ｉｓｎ 比 ／ ． ｏｓｏ ｙ＝０３。 由对 称 性 ，取 四分 之 一 用 一 个 单 元 计 算 ， ． 计 算 所 用 参 数 为 ： ＮＳ Ｂ ＝１， ＮＣ Ｌ ＵＩ Ｏ Ｐ＝５ ， Ｔ ｌｒ ．％ 。 计 算 结 果依 次 见 表 １、 表 ２ 、表 ３ ｏｅ ＝０１ 和 表 ４前 两 表 的剪 力 引 自文 献 ［】。 （ ４）
7_板壳问题有限元分析
T i
1 1 2 h 1 1 2
h
BiT DB j abd d dz
(6.17)
21 /44
薄板问题的有限元法
代入 D 、 Bi 和 B j 于是有
D 1 1 b2 T kij N i , N j , uN iT, N T, uN iT, N T, j j 1 1 a 2 ab +2(1- )N
2
24 /44
薄板问题的有限元法
k23 15H ab(i j )(i j ) b2 b2 k31 3Ha (2 3 5 2 ) j0 15 2 j 5i0 a a k32 15H ab(i j )(i j )
23 /44
薄板问题的有限元法
其中
b2 a2 a2 b2 k11 3H 0 15( 2 0 2 0 ) (14 4 5 2 5 2 ) 00 b b a a a2 a2 k12 3Hb (2 3 5 2 ) 0i 15 2 i 5 0i b b b2 b2 k13 3Ha (2 3 5 2 )i0 15 2 i 50 j a a a2 a2 k21 3Hb (2 3 5 2 ) 0 j 15 2 j 5 0i b b a2 k22 Hb 2(1 ) 0 (3 50 ) 5 2 (3 0 )(3 0 ) b
1 E D 2 1 0
薄板问题的有限元法
图 6.2 平板内力
10 /44
薄板问题的有限元法
设 M x 、 M y 和 M xy 表示单位宽度上的内力矩，于是有
2w 2 x Mx h h3 2 w h3 M M y h2 z dz D DC D 'C (6.5) 2 12 y 12 2 M xy 2w 2 xy
1 1 2 h 1 1 2
h
BiT DB j abd d dz
(6.17)
21 /44
薄板问题的有限元法
代入 D 、 Bi 和 B j 于是有
D 1 1 b2 T kij N i , N j , uN iT, N T, uN iT, N T, j j 1 1 a 2 ab +2(1- )N
2
24 /44
薄板问题的有限元法
k23 15H ab(i j )(i j ) b2 b2 k31 3Ha (2 3 5 2 ) j0 15 2 j 5i0 a a k32 15H ab(i j )(i j )
23 /44
薄板问题的有限元法
其中
b2 a2 a2 b2 k11 3H 0 15( 2 0 2 0 ) (14 4 5 2 5 2 ) 00 b b a a a2 a2 k12 3Hb (2 3 5 2 ) 0i 15 2 i 5 0i b b b2 b2 k13 3Ha (2 3 5 2 )i0 15 2 i 50 j a a a2 a2 k21 3Hb (2 3 5 2 ) 0 j 15 2 j 5 0i b b a2 k22 Hb 2(1 ) 0 (3 50 ) 5 2 (3 0 )(3 0 ) b
1 E D 2 1 0
薄板问题的有限元法
图 6.2 平板内力
10 /44
薄板问题的有限元法
设 M x 、 M y 和 M xy 表示单位宽度上的内力矩，于是有
2w 2 x Mx h h3 2 w h3 M M y h2 z dz D DC D 'C (6.5) 2 12 y 12 2 M xy 2w 2 xy
第八章 一般壳体问题的有限元法
一. 单元几何形状的确定 在图8-6中所示的壳单元，象空间等参数单元一样引进一个自然 坐标系 oξηζ 。命 ξ ,η 为壳体中面上的曲线坐标；对应于 ζ = 1 的表 面称为顶面（或上表面），对应于 ζ = −1 的表面称为底面（或下表 面）。在单元的中面上选取八个点称为结点，过各结点i(i=1,2,…,8) 作中面的法线，交顶面和底面的点称为结点i的对点。结点i相对应 的对点，它的整体坐标值分别记作
[ ]
[k ] = [λ ] [k ' ][λ ]
ij ij
T
(8-8)
5.集和单元刚度矩阵及等效结点力。线作简单求和
∑ [k ]
ne ij e =1
∑ [R ]
i e =1
ne
然后将它们放入整体刚度矩阵[K]和等效结点荷载列阵 {R} 的相应位 置上去。
6.修改整体刚度矩阵，然后求解平衡方程
[ K ] {δ } = {R}
图8-1 任意壳体作为平面三角形单元的集合
图8-2 圆柱壳作为平面矩形单元的集合
壳体平面单元的应力状态是由平面应力和弯曲应力的叠加而成 的，因此在构造壳体平面单元时，只要将第二章和第七章所讨论的 相应单元进行简单的组合就可以了。同样，前述二章所导出的刚度 矩阵可作为建立壳体平面单元刚度矩阵的基础。 现在把平面单元的计算步骤归纳如下 1. 划分单元，选定整体坐标系 oxyz ，定出节点在整体坐标系中 的坐标值。 2. 对于各个单元利用节点坐标值，建立一个局部坐标系 ox' y ' z ' 例如三角形单元123，可以选取节点1为局部坐标系的原点，并且以 1-2边为 x ' 轴的正方向，如图8-3所示。于是，x ' 方向的单位e1求得 是
壳有限单元法矩阵
壳有限单元法矩阵摘要：一、引言二、壳有限单元法简介1.壳有限单元法定义2.壳有限单元法的基本假设三、壳有限单元法矩阵1.单元刚度矩阵2.总刚度矩阵3.单元质量矩阵4.总质量矩阵四、壳有限单元法应用1.结构分析2.结构优化设计五、结论正文：一、引言随着现代工程技术的发展，有限单元法已经成为工程界解决复杂问题的重要手段。
壳有限单元法作为有限单元法的一个分支，广泛应用于板壳结构的分析与设计。
本文将详细介绍壳有限单元法的相关知识，包括壳有限单元法矩阵的构建与应用。
1.壳有限单元法定义壳有限单元法是一种基于有限元法的壳体结构分析方法，它将壳体结构离散成许多小的、简单的几何形状，称为单元。
通过单元的刚度矩阵、质量矩阵等矩阵方程，求解结构的内力、位移等响应。
2.壳有限单元法的基本假设壳有限单元法的基本假设包括：假设壳体结构为线性弹性材料，假设结构的几何形状和边界条件保持不变，假设单元的刚度矩阵和质量矩阵可以通过简单的几何和物理关系得到。
三、壳有限单元法矩阵1.单元刚度矩阵单元刚度矩阵是描述壳有限单元法中单元受力变形关系的矩阵。
它由单元的形函数和单元的刚度系数组成。
2.总刚度矩阵总刚度矩阵是描述壳体结构受力变形关系的矩阵。
它由所有单元的刚度矩阵组成。
3.单元质量矩阵单元质量矩阵是描述壳有限单元法中单元惯性特性的矩阵。
它由单元的形函数和单元的质量系数组成。
4.总质量矩阵总质量矩阵是描述壳体结构惯性特性的矩阵。
它由所有单元的质量矩阵组成。
1.结构分析壳有限单元法可以用于分析壳体结构在各种受力条件下的内力、位移等响应，为结构设计提供依据。
2.结构优化设计壳有限单元法可以用于壳体结构的优化设计，通过调整结构参数，使结构在满足性能要求的同时，具有最小的材料消耗或最优的结构形式。
五、结论壳有限单元法是一种有效的壳体结构分析与设计方法，通过对壳有限单元法矩阵的构建与应用，可以解决复杂的工程问题。
有限元法原理
有限元法原理
有限元法是一种工程计算方法，主要用于求解连续介质的力学问题。
它的基本原理是将连续介质离散成有限个小单元，然后利用有限元的形状函数对每个小单元进行近似，最终利用这些近似解来求解整个连续介质的力学问题。
有限元法的主要思想是将问题的解表示为一个有限个数的基函数的线性组合。
这些基函数与小单元的形状函数相联系，通过对小单元的形状函数进行合适的选取和调整，可以确保解在小单元内满足边界条件。
然后，通过将所有的小单元的解进行组合，就可以得到整个连续介质的解。
在实际的计算中，有限元法通常分为以下几个步骤：首先，需要根据实际问题确定合适的有限元模型，包括选择适当数量和类型的有限元单元。
然后，需要确定边界条件，即确定整个连续介质的边界约束条件。
接下来，根据小单元的形状函数和基函数，可以建立刚度矩阵和荷载向量。
最后，通过求解线性方程组，可以得到整个连续介质的解。
有限元法具有广泛的应用范围，在工程领域中可以用于求解各种静力学、动力学、热力学、流体力学等问题。
它不仅能够提供精确的解，同时也具有较高的计算效率和灵活性。
因此，有限元法已经成为工程计算领域中一种非常重要的数值分析方法。
有限元法与程序-壳的弯曲1
由此得应力矩阵为
s σ DBse DB 1 s DB2 s DB3 s DB4 e
单元刚度矩阵为
K es B sT DB s dV
V
将单元刚度矩阵写成分块形式 k11 k12 k13 k14 k k k k 22 23 24 K es 21 k31 k32 k33 k34 k41 k42 k43 k44
N
s 3
N 1
s 4
2 3
4
T
其中：
x N is N ip I 2 z N ib 0 y b p N ib N xi 0 z z Ni x x b b N N p 0 N i z i z xi y y
b N xi z x b N xi z y b N xi
x b N yi y
b N yi
i p i ib (i 1, 2,3, 4) zi
将上式改写为
f u v N N s e
s T s 1
N
s 2
1. 局部坐标系的建立 三角形单元 矩形单元
2. 坐标转换 （1）三角形单元
可以选取节点1为局部坐标系的原点，并以1-2边为 x′轴的正方向 ，该方向的单位矢量为
其中：
取单元的法线方向作为z ′轴的正方向，它的单位 矢量是
其中：
Δ 为三角形123的面积
因此，y ′轴的正方向的单位矢量为 其中：
局部坐标节点位移列阵和整体坐标节点位移列阵 之间的转换关系为：
局部坐标系下矩形单元节点位移和整体坐标系下的单 元节点位移之间的转换关系为
有限元法PPT课件
和时间。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
有限元法简介.ppt
四边形单元
u4 v4
4 u1
v1
1
u2 v2 2
(82)
u3
v3 3
u2 v2
2
2节点
2×3
3个节点自由度
用处：平面刚架
3节点
3×2
2个节点自由度
用处：平面应力
4节点 2个节点自由度
4×2
用处：平面应力
轴对承单元
板单元 (板弯曲)
三维
三棱柱 (四面体单元)
节点数:3
处理问题对象:
uv1 1
节点自由度:2 轴对承问题
...... ......
......
......
......
......
...... ...... ...... ......
......
......
...... ...... ...... ......
......
0
...... 0
...... [K63]4
1
常数项
xy x2 xy y2
一次项 二次项
x3 x2 y xy2 y3 三次项
x4 x3 y x2 y 2 xy3 y 4 四次项
实例分析 对单元1进行分析
取位移模式 u=α 0+ α 1x 1点： x=0 u=u1 2点： x=l1 u=u2
l1
l2
P
A1
A2
1
2
1
2
3
划分单元
uu12
0 0
ANSYS
预备知识：
1.线性代数（矩阵加、减、乘、除、秩、逆、 分块等）
2.弹性力学
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b k '11
b b k '12 k '13
k 'b 21
p k ' 31
k 'b 22
p k ' 32
p k ' 33
k 'b 23
k 'b 21
k 'b 22
k 'b 32
k 'b 23
k 'b 33
k 'b 31
k 'b 31
k 'b 32
k 'b 33
图8-5 三角形壳体单元刚度矩阵用平面应力和平板弯曲刚度矩阵的构成方法
容易看出，把以上结点位移和结点力变换到整体坐标中后，他 的结点位移和结点力列阵具有如下形式
T u v w i i i i xiyizi T F U M M i iV iW i M xi yi zi
(8-5)
上式右端的前三项分别表示位移和力，后三项分别表示转角和力矩， 它们都是有明显物理意义的矢量。因此，（8-4）式和（8-5）式之 间的坐标变换公式是
n
(h)
把(h)式代入(g)式得
R ki j 'i 'i
j 1
将公式(g)中的第一式左乘矩阵 ，并且同上式进行比较，可
以得到
k ' k ij ij
1 T 由于 t 是正交阵，容易证明 也是正交阵，即 。这样
(f)
式中n = 3是对应于三角形单元；n = 4对应于四边形单元。本节以下 的n所指的意义均是如此，不再重复说明。
系中的单元刚度矩阵。如果将单元刚度矩阵 k 和 k ' 对应于单元节 点划分为n×n个子矩阵，每个子矩阵都是6×6的，于是 k ' 的子矩 阵有如下形式
4.建立局部坐标系中的单元刚度矩阵 k ' ，从而求出整体坐标
(c)
或
e
e
T T T T 1 2 n
(d)
而所对应的单元节点力（包括等效节点力）列阵是
或
T TT T R ' F ' Q ' R ' R ' R ' 1 2 n
(e)
e
T T T T R R R 1R 2 n
是
12 e1 12
(8-1)
z
z'
y'
3
x'
y
1
2
o
x
图8-3 三角形单元局部坐标系
2 2 2 式中 12 是矢量12的长 l x x y y z z 12 2 1 2 1 2 1
度。取单元的外法线方向作为 z ' 轴的正方向，于是它的单位矢量
壳体实质上是从平板演变而来的，它的中面是一个曲面。在分
析壳中应力时，虽然平板的基本假定同样有效，但是壳体的变形有
着很大程度的不同，它除了弯曲变形外还存在中面变形。因而，壳 中内力包括有弯曲内力和中面内力。 应用有限单元法分析壳体结构时，广泛地采用了平面单元和曲 面的单元这两类壳体单元。本章首先介绍平面单元，它是平面应力 问题和平板弯曲问题的组合；这种单元虽然简单，但是相当有效。 然后讨论一个考虑横向剪切影响的曲面单元，称为八结点40个自由 度的一般壳单元，可以适用于厚壳和薄壳。
现在把平面单元的计算步骤归纳如下
1. 划分单元，选定整体坐标系 oxyz ，定出节点在整体坐标系中 的坐标值。
2. 对于各个单元利用节点坐标值，建立一个局部坐标系 ox' y' z' 例如三角形单元123，可以选取节点1为局部坐标系的原点，并且以
1-2边为 x ' 轴的正方向，如图8-3所示。于是，x ' 方向的单位e1求得
(8-10)
式中l3i、m3i和n3i是结点i处中面法线方向对于整体坐标轴oxyz的方向
余弦，而hi是结点i处的壳体厚度，即
2 2 2 (a) h x x y y z z i i 顶 i 顶 i 顶 i 底 i 底 i 底
结点i处法线上任意点的整体坐标值，可以通过矢量相加得到 （图8-7），即
p 0 0 0 k 'rs 0 0 0 0 0 k'rs 0 0 k 'b rs 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
r, s 1 ,2 , , n
(8-7)
式中 k' p 和 k'b 分别是平面应力问题和平面弯曲问题的相应子 rs rs 矩阵，它们是2×2和3×3矩阵。图8-5 示出了在局部坐标系中三角 形壳体单元刚度矩阵用平面应力和平面弯曲刚度矩阵的构成方法。
在整体坐标系中对各特征量的计算，我们引进
T ' u ' ' ' ' ' i i v i w i ' xi yi zi
Байду номын сангаас
T F ' U ' ' ' ' M ' M ' i iV iW iM xi yi zi
(8-4)
显然，在上式中 M 'zi 实际上总是等于零的。
显然，结点i处的中面法线方向可以由下列单位矢量所确定
(8-9)
x x l3 i 1 i i V m y y 3 i 3 i i i h i n z z i i i 3 顶 底
体，如图8-2所示。
图8-1 任意壳体作为平面三角形单元的集合
图8-2 圆柱壳作为平面矩形单元的集合
壳体平面单元的应力状态是由平面应力和弯曲应力的叠加而成
的，因此在构造壳体平面单元时，只要将第二章和第七章所讨论的
相应单元进行简单的组合就可以了。同样，前述二章所导出的刚度 矩阵可作为建立壳体平面单元刚度矩阵的基础。
就得到关于矩阵 k ij 的转换公式
k k '
ij ij
T
(8-8)
5.集和单元刚度矩阵及等效结点力。线作简单求和
k
ij e 1
ne
R
i e 1
ne
然后将它们放入整体刚度矩阵[K]和等效结点荷载列阵 R 的相应位 置上去。
6.修改整体刚度矩阵，然后求解平衡方程
xi yi zi 顶
xi yi zi 底
图8-6 八结点四十个自由度 的一般壳体单元
于是，中面上的结点i的整体坐标值是
x x xi 1 i i yi yi yi 2z z z i i i 顶 底
以求出结构在整体坐标下的
节点载荷列阵。
'xi ' u ' ' ' i i v i w i
显然，平面单元在局部坐标系中，结点i有五个广义位移：即
T 'yi ，其中前两个对应于平面应力问题，
后三个对应于平板弯曲问题。类似地，所对应的结点力列阵
T 。为了经坐标变换后不影响 F ' U ' V ' W ' M ' M ' i i i i xi yi
定精度的解答。另外，在薄壳理论中都是用中面位移来表示中面转
动。正如在第七章中所述，这将要求在单元交界面上有横向位移及 其一阶导数的连续性，于是增加了选择位移模式的困难。如果考虑 横向剪切变形的影响就可以认为中面转动是独立变量而不依赖于位 移的一阶导数。因此，只要利用单元交界面上位移函数的连续性就 可以了，并不要求其一阶导数的连续性。 现在我们来论述一个考虑横向剪切影响的曲面单元，称为八结 点四十个自由度的一般壳体单元，如图8-6所示。
12 13 e3 12 13
容易看出，矢量12和13的矢性积的模等于三角形面积Δ的一倍，即 |12×13|=2Δ。最后，按右手定则可以决定y轴的正方向,它的单位 矢量e2是 e2 = e3 ×e1 (8-3)
利用上述方法确定的局部坐标系，三角形单元123是在 x ' y ' 平面内 ，它的三个角点的局部坐标值是很容易确定的。 对于柱面上的矩形单元，局部坐标的原点 o ' 选在矩形的形心，
F F ' ' i i i i
式中
(8-6)
而
t e 1e 2e 3
t 0 0 t
(a) (b)
于是，壳体单元e在局部坐标下的结点位移列阵是
'
e
T T T T ' ' 1 ' 2 n
点力）可以直接引用第二章和第七章中所叙述的载荷计算的相应公
式。 各个单元的结点载荷列阵 R'i 求得后，建立变换矩阵
z y
1
y ' ( )
公式，从而把 R'i 转换到整
z'
4
o'
3
x ' ( )
体坐标系中去求出在整体坐
标下的单元节点载荷列阵， 然后经各单元的简单叠加可
2
x o
图8-4 矩形单元局部坐标
一. 单元几何形状的确定 在图8-6中所示的壳单元，象空间等参数单元一样引进一个自然 坐标系 o 。命 , 为壳体中面上的曲线坐标；对应于 1 的表 面称为顶面（或上表面），对应于 1 的表面称为底面（或下表 面）。在单元的中面上选取八个点称为结点，过各结点i(i=1,2,…,8) 作中面的法线，交顶面和底面的点称为结点i的对点。结点i相对应 的对点，它的整体坐标值分别记作