中考数学试题分类开放型问题
初中数学开放型试题含答案-
开放型试题开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。
观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。
例1．（2005年梅州）如图，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，E 、F 是对角线AC上的点。
（1）如果 ，则ΔDEC ≌ΔBFA （请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论。
分析：这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件。
解：（1）AE=CF （OE=OF ；DE ⊥AC ；BF ⊥AC ；DE ∥BF 等等）（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∠DCE=∠BAF 又∵AE=CF ，∴AC －AE=AC －CF ，∴AF=CE ，∴ΔDEC ≌ΔBAF 说明:考查了矩形的性质及三角形全等的判定。
练习一1. (2005年黑龙江课改）如图, E 、F 是□ABCD 对角线BD 上的两点，请你添加一个适当的条件: ___________ ，使四边形AECF 是平行四边形.2、（2005年金华）如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD ＝BE. （1）请你再添加一个条件，使得△BEA ≌△BDC ，并给出证明.你添加的条件是： . 证明：A D E FO F EDCBA（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： . （只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程） 3、（2005年玉溪）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ＝CD ，AB ＜CD 且∠ABC 为锐角，若AD ＝4，BC ＝12，E 为BC 上一点。
问：当CE 分别为何值时，四边形ABED 是等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由。
例2、（2005年长沙）己知点E 、F 在ABC ∆的边 AB 所在的直线上，且AE BF =，FH EG AC ，FH 、EG 分别交边BC 所在的直线于点H 、G ．⑴如图l ，如果点E 、F 在边AB 上，那么EG FH AC +=；⑵如图2，如果点E 在边AB 上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_______________ ；⑶如图3，如果点E 在AB 的反向延长线上，点F 在AB 的延长线上，那么线段EG 、FH 、AC 的长度关系是_________ ； 对⑴⑵⑶三种情况的结论，请任选一个给予证明． 分析：这是一道探索、确定结论的开放型试题，解决这类问题的方法是根据条件，结合已学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解。
2013年全国各地中考数学试卷分类汇编：开放性问题
开放性问题一．选择题二．填空题1．（2013•徐州，13，3分）请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：．考点：中心对称图形．专题：开放型．分析：常见的中心对称图形有：平行四边形、正方形、圆、菱形，写出一个即可．解答：平行四边形是中心对称图形．故答案可为：平行四边形．点评：本题考查了中心对称图形的知识，同学们需要记忆一些常见的中心对称图形．2．（2013上海市，15，4分）如图3，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF = CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是____________．（只需写一个，不添加辅助线）3.（2013四川巴中，14，3分）如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是CA=FD．（只需写出一个）边长，且S △ABC =3，请写出一个．．符合题意的一元二次方程 ． 【答案】x 2－5x +6=0【解析】先确定两条符合条件的边长，再以它为根求作一元二次方程． 【方法指导】本题是道结论开放的题（答案不唯一），已知直角三角形的面积为3（直角边长未定），要写一个两根为直角边长的一元二次方程，我们尽量写边长为整数的情况（即保证方程的根为整数），如直角边长分别为2、3的直角三角形的面积就是3，以2、3为根的一元二次方程为2560x x -+=；也可以以1、6为直角边长，得方程为2760x x -+=.5．（2013山东菏泽，12，3分）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”. “面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”) .已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是______(写出1个即可).(写出1个即可).【解析】1）根据“三线合一”等可知，面径为底边上的高h ，31222=-=h ；（2）与一边平行的线段（如图），设DE=x ，因为△ADE 与四边形 DBCE 面积要相等，根据三角形相似性质，有2122=）（x.解得综上所述，所以符合题意的面径只有这两种数量关系.【方法指导】根据规定内容的定义，思考要把边长为2的等边三角形分成面积相等的两部分的直线存在有两种情形：（1）高（中线、角平分线）所在线；（2）与一边平行的线.要把一个三角形面积进行两等份，这样的直线有无数条，都过这个三角形三边中线的交点（重心）.经过计算无数条中等边三角形“面径”长只有上述两种情形.三．解答题1.（2013山西，25，13分）（本题13分）数学活动——求重叠部分的面积。
【中考必备】最新中考数学试题分类解析 专题58 开放探究型问题
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题58：开放探究型问题一、选择题 二、填空题1. （2012陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=2x+6-的图象无．公共点，则这个反比例函数的表达式是 ▲ （只写出符合条件的一个即可）． 【答案】5y x=（答案不唯一）。
【考点】开放型问题，反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系。
【分析】设反比例函数的解析式为：k y x=， 联立y=2x+6-和k y x=，得k 2x+6x -=，即22x 6x+k 0-=∵一次函数y=2x+6-与反比例函数ky x = 图象无公共点，∴△＜0，即268k 0<--（），解得k ＞92。
∴只要选择一个大于92的k 值即可。
如k =5，这个反比例函数的表达式是5y x=（答案不唯一）。
2. （2012广东湛江4分） 请写出一个二元一次方程组 ▲ ，使它的解是x=2y=1⎧⎨-⎩．【答案】x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。
【考点】二元一次方程的解。
【分析】根据二元一次方程解的定义，围绕x=2y=1⎧⎨-⎩列一组等式，例如：由x ＋y =2＋（－1）=1得方程x ＋y =1；由x －y =2－（－1）=3得方程x －y =3；由x ＋2y =2＋2（－1）=0得方程x ＋2y =0；由2x ＋y =4＋（－1）=3得方程2x ＋y =3；等等，任取两个组成方程组即可，如x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。
3. （2012广东梅州3分）春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验，这块正方形木板在地 面上形成的投影是可能是 ▲ （写出符合题意的两个图形即可） 【答案】正方形、菱形（答案不唯一）。
【考点】平行投影。
【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行。
所以，在同一时刻，这块正方形木板在地面上形成的投影是平行四边形或特殊的平行四边形，例如，正方形、菱形（答案不唯一）。
2014中考数学总复习专题2开放性问题
专题突破区
专题视点· 考向解读
重点解析
真题演练
专题考点 0 3 条件和结论都开放问题
此类问题没有明确的条件和结论, 并且符合条件的结论具有多样性, 因此必 须认真观察与思考, 将已知的信息集中分析, 挖掘问题成立的条件或特定条件下 的结论, 通过设问方式多方面、多角度、多层次探索认定条件和结论. 组成一个 或多个新命题, 并进行证明或判断.
重点解析
真题演练
又∵∠E P F = 90°, ∴∠A P E + ∠G P F = 90°. ∴∠A E P = ∠G P F . ∴△A P E ∽△G P F . ∴ PE AP 1 = 2.
PF ∴R t △E P F 中, t an∠P E F = PE = 2. ∴t an∠P E F 的值不变.
2. (2013·威海)如图, 在△A B C 中, ∠A C B = 90°, B C 的垂直平 分线 E F 交 B C 于点 D , 交 A B 于点 E , 且 BE= BF, 添加一个条件, 仍不能证明四边形 B E C F 为正方形的是( A. BC = AC 【答案】 D B. C F ⊥B F C. BD = D F ) D. AC = BF
专题突破区
专题视点· 考向解读
重点解析
真题演练
【解析】 ( 1) 在矩形 A B C D 中, ∠A = ∠D = 90°, A B = 1, C D = A B = 2, 则 PB= ∴∠A B P + ∠A P B = 90°. 又∵∠B P C = 90°, ∴∠A P B + ∠D P C = 90°, ∴∠A B P = ∠D P C . ∴△A P B ∽△D C P .
专题突破区
2014年全国中考数学分类汇编：开放性问题
开放性问题1. （2014•四川巴中，第28题10分）如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．考点：矩形的判定．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH 时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）答：添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大．2. （2014•山东威海，第24题11分）猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD 上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=DE．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．，4. （2014•山东烟台，第25题10分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．考点：全等三角形，正方形的性质，勾股定理，运动与变化的思想.分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得OC的长，再求CP即可．解答：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△ODC中，OC=，∴CP=OC﹣OP=．点评：本题主要考查了四边形的综合知识．综合性较强，特别是第（4）题要认真分析．5. （2014•浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．，﹣﹣。
中考数学复习专题三 开放探究型问题
________________；
(2)如图②所示，如果 AB 是不过圆
心 O 的弦，且∠CAE＝∠B，那么 EF
是⊙O 的切线吗？试证明你的判断．
单击此处编辑母版标题样式
解：(1)①∠BAE＝90° ②∠EAC＝∠ABC，理由是：①∵∠BAE＝ • 单击此处编辑母版文本样式 90°• 第，二∴级AE⊥AB，∵AB 是直径，∴EF 是⊙O 的切线 ②∵AB 是直
FH，∴四边形 BFCE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行
四边形)，∵当 BH＝EH 时，则 BC＝EF，∴平行四边形 BFCE 为矩形
(对角线相等的平行四边形为矩形)
单击【例此2】处编(201辑6·临母沂)版如图标①，题在样正方式形 ABCD 中，点 E，F 分
别是边 BC，AB 上的点，且 CE＝BF.连接 DE，过点 E 作 EG⊥DE，
• 第三级
73kk＋＋bb＝＝• 30第，，四• 解级第五得级kb＝ ＝34－，94，∴y＝34x－94
(3)存在．点 P 与点 B 重合时，P1(3，0)，点 P 与点 B 关于点 C 对
称时，P2(11，6)
单击[对此应训处练]编辑母版标题样式
3．(2016·新疆)如图，直线 y＝2x＋3 与 y 轴相交于 A 点，与反比
• 第三级
，
BF＝CE， ∠FBC＝∠ECD， BC＝DC，
∴
△
CBF
≌
△
• 第四级
DCE(SAS)，•∴第∠五级BCF＝∠CDE，CF＝DE，∵EG＝DE，∴CF＝EG，
∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°，∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠
CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形 CEGF 平行
2020中考数学复习测试：热点专题突破 专题六%E3%80%80开放型
专题六开放型条件开放类[类型解读]条件开放类问题的三种类型(1)补充条件型:题目给出部分条件,然后再添加一个(或几个)条件,使结论成立.(2)探索条件型:题目只给出结论,通过分析给出的结论特征,发现使结论成立的条件.(3)条件变化型:在原有条件与结论的基础上,题目的结论发生变化,需要补充条件.[例1](2019绍兴)在屏幕上有如下内容:如图,△ABC内接于☉O,直径AB的长为2,过点C的切线交AB的延长线于点D.张老师要求添加条件后,编制一道题目,并解答.(1)在屏幕内容中添加条件∠D=30°,求AD的长.请你解答.(2)以下是小明、小聪的对话:小明:我加的条件是BD=1,就可以求出AD的长.小聪:你这样太简单了,我加的是∠A=30°,连接OC,就可以证明△ACB与△DCO全等.参考此对话,在屏幕内容中添加条件,编制一道题目(可以添线添字母),并解答.解决条件开放型问题的一般思路:从结论出发,执果索因,逆向思维,逐步探求结论成立的条件.强化运用1:(2019齐齐哈尔)如图,已知在△ABC和△DEF中,∠B=∠E,BF=CE,点B,F,C,E在同一条直线上,若使△ABC≌△DEF,则还需添加的一个条件是(只填一个即可).结论开放类[类型解读]结论开放型问题的两种类型(1)结论是否成立型:这类探索问题的设问,常以适合某种条件的结论“成立”“不成立”等语句加以表述.从给出的已知条件出发,经过推理证明能够推出结论是否成立.(2)判断猜想型:这类问题设问通常有两条线段有何关系(探索相等、平行或垂直),两个角是否相等,这个三角形是什么特殊的三角形,这个四边形是什么特殊的四边形等.它与传统题的区别在于:探索问题的结论过程往往也是解题过程.[例2]小敏思考解决如下问题:原题:如图1,点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上,∠PAQ=∠B,求证:AP=AQ.(1)小敏进行探索,若将点P,Q的位置特殊化:把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF,使AE⊥BC,点E,F分别在边BC,CD上,如图2.此时她证明了AE=AF,请你证明;(2)受以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图3,作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F.请你继续完成原题的证明.解决结论开放型问题,要充分利用题目中给出的条件合理地猜想,正确地推理,就会获得所求的结论.强化运用2:(2019贵阳)(1)数学理解:如图①,△ABC是等腰直角三角形,过斜边AB的中点D 作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,求AB,BE,AF之间的数量关系;(2)问题解决:如图②,在任意直角△ABC内,找一点D,过点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,若AB=BE+AF,求∠ADB的度数;(3)联系拓广:如图③,在(2)的条件下,分别延长ED,FD,交AB于点M,N,求MN,AM,NB的数量关系.存在性开放类[类型解读]存在性开放问题常见的四种类型(1)特殊点存在性开放问题:图形中存在特殊的点,该点满足题目中的某些条件,通过探索,推理证明或运算说明该点存在.(2)特殊三角形存在性开放问题:图形中存在着特殊的三角形(等腰三角形或直角三角形),通过探索,推理证明或运算说明该特殊三角形存在.(3)相似三角形存在性开放问题:图形中存在着与原三角形相似的三角形,通过探索,推理证明说明该三角形存在.(4)特殊四边形存在性开放问题:图形中存在着特殊的四边形,通过探索,推理证明或运算说明该特殊四边形存在.[例3](2019辽阳)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC 的边BC在x轴上,∠ABC=90°,以A 为顶点的抛物线y=-x2+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P从A点出发,沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过点P作PD⊥AB交AC于点D,过点D作平行于y轴的直线l交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?(3)若点M是平面内的任意一点,在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,E,C为顶点的四边形是菱形,若存在,请求出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由.解决存在性问题,需先假设存在,再进行推演,若得出推演结果,则说明结论存在;若推出矛盾,则推翻假设,说明结论不存在.2+bx+c(a≠0)经过点A(3,0),B(-1,0),C(0,-3).(1)求该抛物线的解析式;(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标;(3)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.1.(2019咸宁)若整式x2+my2(m为常数,且m≠0)能在有理数范围内分解因式,则m的值可以是(写一个即可).2.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,3),(n,3),若直线y=2x与线段AB有公共点,则n的值可以为.(写出一个即可)3.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件: ,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)第2题图第3题图4.(2019舟山)如图,在矩形ABCD中,点E,F在对角线BD上.请添加一个条件,使得结论“AE=CF”成立,并加以证明.5.(2019温州)如图,在7×5的方格纸ABCD中,请按要求画图,且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A,B,C,D重合.(1)在图1中画一个格点△EFG,使点E,F,G分别落在边AB,BC,CD上,且∠EFG=90°.(2)在图2中画一个格点四边形MNPQ,使点M,N,P,Q分别落在边AB,BC,CD,DA上,且MP=NQ.6.如图,已知二次函数的图象过点O(0,0),A(8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3.(1)求该二次函数的解析式;(2)若M是OB上的一点,作MN∥AB交OA于点N,当△ANM面积最大时,求点M的坐标;(3)P是x轴上的点,过P作PQ⊥x轴,与抛物线交于点Q.过A作AC⊥x轴于点C,当以点O,P,Q 为顶点的三角形与以点O,A,C为顶点的三角形相似时,求P点的坐标.专题六开放型专题突破[例1]解:(1)如图,连接OC,∵CD为切线,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,∵∠D=30°,∴OD=2OC=2,∴AD=AO+OD=1+2=3.(2)(答案不唯一)添加∠DCB=30°,求AC的长.解:∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵∠ACO+∠OCB=90°,∠OCB+∠DCB=90°,∴∠ACO=∠DCB,∵∠ACO=∠A,∴∠A=∠DCB=30°,在Rt△ACB中,BC=AB=1,∴AC=BC=.强化运用1:AB=DE(答案不唯一)[例2]证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴∠B+∠C=180°,∠B=∠D,AB=AD,∵∠EAF=∠B,∴∠EAF+∠C=180°,∴∠AEC+∠AFC=180°,∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∴∠AFC=∠AFD=90°,在△AEB和△AFD中,∴△AEB≌△AFD,∴AE=AF.(2)由(1)得∠PAQ=∠EAF=∠B,AE=AF,∴∠EAP=∠FAQ,在△AEP和△AFQ中,∴△AEP≌△AFQ(ASA),∴AP=AQ.强化运用2:解:(1)AB=(AF+BE).理由如下:∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,∠A=∠B=45°,AB=AC,∵四边形DECF是正方形,∴DE=DF=CE=CF,∠DFC=∠DEC=90°,∴∠A=∠ADF=45°,∴AF=DF=CE,∴AF+BE=BC=AC,∴AB=(AF+BE).(2)如图,延长AC到点M,使FM=BE,连接DM,∵四边形DECF是正方形,∴DF=DE,∠DFC=∠DEC=90°,∵BE=FM,∠DFC=∠DEB=90°,DF=ED,∴△DFM≌△DEB(SAS),∴DM=DB,∵AB=AF+BE,AM=AF+FM,FM=BE,∴AM=AB,又DM=DB,AD=AD,∴△ADM≌△ADB(SSS).∴∠DAC=∠DAB=∠CAB,同理,得∠ABD=∠CBD=∠ABC,∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°,∴∠DAB+∠ABD=(∠CAB+∠CBA)=45°,∴∠ADB=180°-(∠DAB+∠ABD)=135°. (3)∵四边形DECF是正方形,∴DE∥AC,DF∥BC,∴∠CAD=∠ADM,∠CBD=∠NDB,∠MDN=∠AFD=90°,∵∠DAC=∠DAB,∠ABD=∠CBD,∴∠DAB=∠ADM,∠NDB=∠ABD,∴AM=MD,DN=NB,在Rt△DMN中,MN2=MD2+DN2,∴MN2=AM2+NB2.[例3]解:(1)将点C(3,0),E(0,3)的坐标分别代入二次函数解析式,得解得故抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(2)由(1)知y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴点A的坐标为(1,4),设直线AC的解析式为y=kx+b,把A(1,4),C(3,0)代入,得解得∴直线AC的解析式为y=-2x+6,由题意,知AP=t,∴BP=4-t(0≤t≤4).把y=4-t代入y=-2x+6得4-t=-2x+6,解得x=1+.∴点D的坐标为1+,4-t.把x=1+代入y=-x2+2x+3,得y=-1+2+2×1++3=-+4,∴点Q的坐标为1+,-+4.∴QD=y Q-y D=-+4-(4-t)=-+t,∴S△ACQ=S△ADQ+S△CDQ=QD·(x Q-x A)+QD·(x C-x Q)=QD·(x C-x A)=×-+t×(3-1)=-+t=-(t-2)2+1(0≤t≤4).∴当t=2时,△ACQ的面积最大,最大面积为1.(3)设点P的坐标为(1,m),点M的坐标为(x,y),①当EC是菱形一条边时,且点M在直线AB右侧时,点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C,则点P向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M,则1+3=x,m-3=y,而MP=EP,得1+(m-3)2=(x-1)2+(y-m)2,解得y=m-3=,故点M的坐标为(4,);当点M在直线AB左侧时,同理,得点M的坐标为(-2,3+);②当EC是菱形一对角线时,则EC的中点即为PM的中点,则x+1=3,y+m=3,而PE=PC,即1+(m-3)2=4+m2,解得m=1,故x=2,y=3-m=3-1=2,故点M的坐标为(2,2).综上,点M的坐标为(4,)或(-2,3+)或(2,2).强化运用3:解:(1)把A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)代入抛物线解析式,得解得则该抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)设直线BC的解析式为y=kx-3,把B(-1,0)代入得-k-3=0,即k=-3,∴直线BC的解析式为y=-3x-3,∵A(3,0),B(-1,0),C(0,-3),∴AB=4,BC=,BO=1,如图,∵以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,∴AM⊥BC,∴∠AMB=∠COB=90°.∵∠ABM=∠CBO,∴△ABM∽△CBO,∴=,∴=,∴BM=,设M点的坐标为(m,-3m-3).则BM2=(-1-m)2+(3m+3)2=,解得m1=-,m2=-(不合题意,舍去)∴M点的坐标为-,-.(3)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形.设Q(x,0),P(n,n2-2n-3),当四边形BCQP为平行四边形时,由B(-1,0),C(0,-3),则-1+x=0+n,0+0=-3+n2-2n-3,解得n1=1+,n2=1-,当n=1+时,n2-2n-3=3,即P1(1+,3);当n=1-时,n2-2n-3=3,即P2(1-,3).当四边形BCPQ为平行四边形时,则-1+n=0+x,0+n2-2n-3=-3+0,解得n3=0,n4=2,当n=0时,不合题意,舍去;当n=2时,n2-2n-3=-3,即P3(2,-3).当四边形BQCP为平行四边形时,x+n=-1+0,0+n2-2n-3=-3+0,解得n5=0,n6=2,则P4(2,-3).综上可得,存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形,点P的坐标为(1+,3)或(1-,3)或(2,-3).专题精练1.-1(答案不唯一)2.2(答案不唯一)3.∠BDF=∠A(答案不唯一)4.解:(答案不唯一)添加的条件是BE=DF.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠ABD=∠BDC,又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS),∴AE=CF.5.解:(1)(答案不唯一)满足条件的△EFG,如图1,2所示.(2)(答案不唯一)满足条件的四边形MNPQ如图所示.6.解:(1)∵抛物线过原点,对称轴是直线x=3,∴点B的坐标为(6,0),设抛物线解析式为y=ax(x-6),把A(8,4)代入,得4=8a(8-6),解得a=,∴抛物线解析式为y=x(x-6)=x2-x.(2)设M(t,0),直线OA的解析式为y=x,设直线AB的解析式为y=kx+b,把B(6,0),A(8,4)代入得,解得∴直线AB的解析式为y=2x-12,∵MN∥AB,∴设直线MN的解析式为y=2x+n,把M(t,0)代入得2t+n=0,解得n=-2t,∴直线MN的解析式为y=2x-2t,解方程组得则N t,t,∴S△AMN=S△AOM-S△NOM=×4t-t×t=-t2+2t=-(t-3)2+3,当t=3时,S△AMN有最大值3,此时M点坐标为(3,0).(3)设点P(m,0),则点Q m,m2-m,当△PQO∽△COA时,=,即=,∴PQ=2PO,即m2-m=2|m|,解方程m2-m=2m,得m1=0(舍去),m2=14,此时P点坐标为(14,0);解方程m2-m=-2m,得m3=0(舍去),m4=-2,此时P点坐标为(-2,0).当△PQO∽△CAO时,=,即=,∴PQ=PO,即m2-m=|m|,解方程m2-m=m,得m5=0(舍去),m6=8(舍去),解方程m2-m=-m,得m7=0(舍去),m8=4,此时P点坐标为(4,0).综上所述,P点坐标为(14,0)或(-2,0)或(4,0).。
中考数学中的开放性试题
（ 上 一组 满 足 条 填
件的值 即可 ） ．
（Ｏ４ 天津市 中考题 ） ２Ｏ ， 分析 ： 这是 一个 结论 开放 的问题 ， 解题 时
日 Ｃ
的对角线 Ｂ Ｄ上
一
的两点 ， 添加 请 个 适 当 的 条
必须从“ 、 都是无理数 ， 口＋ｂ＝ ” 口ｂ 且 ２ 这两 个条件 出发 ， 从而可得到下面一些答案 ：
例 ２ 如 图 ２ ，
Ｅ、 是 ｚ Ａ Ｃ Ｆ ： ＢＤ Ｔ
Ｄ
给 出试题 的条 件 ， 考 生 通 过 分 析探 索 让 后得 到 可能 的结 论 ， 样 的试 题 可 称 为 结 论 这
开 放性 试题 ．
例 ３ 若 口ｂ 、 都是无理数 ， 口＋ｂ ２ 且 ＝，
则 口 ｂ的值 可 以是 、
２Ｏ Ｏ６年第 ７期
９
从 二次 根式 的计 算 考虑 ， 可取
０＝１ √２， ＋ ｂ＝１ ４２； —
定 的， 需要 考 生认 定条 件 和结论 ， 成 一个 新 组 的命 题并 加 以论证 或 判 断 ． 例 ５ 本题 有 Ａ Ｂ两类 题 ， 、 Ａ类题 满 分 ７
从 三 角 函数考 虑 ， 可取
几个 ：
ＢＥ ＝ ＤＦ ： 经过分析探索后 添加条件 以使结论成立 ， 这 样的试题可称为条件开放性试题 ． Ａ Ｃ Ｅ？Ｆ 例 １ 如图 １ ， ＢＥＡ ＝ ＤＦＣ； Ａ Ｂ∥ Ｃ 要 使 Ｄ， ＡＥＦ ＝ Ｃ阳 ． 四 边 形 ＡＣ ＢＤ 但本题值得注意的是不能仅以 Ａ Ｅ＝Ｃ Ｆ 是 平 行 四边 形 ， Ｃ 作答案 ， 因为只 由 Ａ Ｅ＝Ｃ Ｆ不能推 出四边形 还 需 要 补 充 个 条 件： 图１ ＡＣ Ｅ Ｆ是 平行 四边 形 ．
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第43章 开放型问题1. （2011四川宜宾,22,7分）如图，飞机沿水平方向（A ，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN ．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离），请设计一个求距离MN 的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；（2）用测出的数据写出求距离MN 的步骤．【答案】解：此题为开放题，答案不惟一，只要方案设计合理，可参照给分⑴如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为α，测出飞机在B 处对山顶的俯角为β，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM ．⑵第一步，在AMN Rt ∆中，AN MN =αtan ∴αtan MN AN = 第二步，在BMN Rt ∆中，BNMN =βtan ∴βtan MN BN = 其中BN d AN +=，解得αββαtan tan tan tan -⋅⋅=d MN ．2. （2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N .当6CP =时，EM 与EN 的比值是多少经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：DF DE FC EP=，因为DE EP =，所以DF FC =.可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程.（第25题解答图）(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN =的结论.你认为小东的这个结论正确吗如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.（1）解：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ， 则DF DE FC EP =，EM EF EN EG=，12GF BC ==. ∵DE EP =，∴DF FC =. ·········································································· 2分 ∴116322EF CP ==⨯=，12315EG GF EF =+=+=. ∴31155EM EF EN EG ===. ·············································································· 4分 （2）证明：作MH ∥BC 交AB 于点H ， ····················································· 5分则MH CB CD ==，90MHN ∠=︒.∵1809090DCP ∠=︒-︒=︒，∴DCP MHN ∠=∠.∵90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=︒-∠，90DPC CDP ∠=︒-∠，∴DPC MNH ∠=∠.∴DPC MNH ∆≅∆. ························································· 7分∴DP MN =. ···························································································· 8分(第22题) HBC DEM NA P3. （2011山东威海，24，11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与D N交于点K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MNK的度数．（2）△MNK的面积能否小于12若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．（备用图）【答案】解：∵ABCD是矩形，∴AM∥DN，∴∠KNM=∠1．∵∠KMN=∠1，∴∠KNM=∠KMN．∵∠1=70°，∴∠KNM=∠KMN=70°．∴∠MNK=40°．（2）不能．过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1,由（1）知∠KNM=∠KMN．∴MK=NK．又MK≥ME,∴NK≥1．∴1122 MNKS NK ME∆=⋅≥．∴△MNK的面积最小值为12，不可能小于12．（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合．设MK=MD=x，则AM=5-x，由勾股定理，得2221(5)x x +-=,解得， 2.6x =．即 2.6MD ND ==． ∴11 2.6 1.32MNK ACK S S ∆∆==⨯⨯=． （情况一） 情况二：将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕为AC ．设MK =AK = CK =x ，则DK =5-x ，同理可得即 2.6MK NK ==．∴11 2.6 1.32MNK ACK S S ∆∆==⨯⨯=． ∴△MNK 的面积最大值为． （情况二）4. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，CD ⊥AD ，AD 2＋CD 2＝2AB 2．（1）求证：AB ＝BC ；（2）当BE ⊥AD 于E 时，试证明：BE ＝AE ＋CD ．【答案】（1）证明：连接AC ，∵∠ABC ＝90°，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∵CD ⊥AD ，∴AD 2＋CD 2＝AC 2.∵AD 2＋CD 2＝2AB 2，∴AB 2＋BC 2＝2AB 2，∴AB ＝BC .（2）证明：过C 作CF ⊥BE 于F .∵BE ⊥AD ，∴四边形CDEF 是矩形.∴CD ＝EF .∵∠ABE ＋∠BAE ＝90°，∠ABE ＋∠CBF ＝90°，∴∠BAE ＝∠CBF ，∴△BAE ≌△CBF .∴AE ＝BF .∴BE ＝BF ＋EF ＝AE ＋CD .4. （2011湖北襄阳，21，6分）如图6，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE . ①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD ＝CE .以此三个等式中的A BC D两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答） ；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.【答案】（1）①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①. ··································· 3分（2）（略）6分E DC B A图6。