概率论与数理统计 - 浙江大学数学系
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概率论与数理统计(浙江大学版本)
A1 : “至少有一人命中目标 ” :
ABC A6 : “三人均未命中目标” : B C A
A5 : “三人均命中目标” :
1.2 概率的定义及其运算
从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 发生的可能性大小的量 P（A）应具有何种性质？
* 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ * 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ * 向目标射击，命中目标的概率有多大？
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1；
(2) fn(S)＝1； fn( )=0
(3) 可加性：若AB＝ ，则
fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率
1.3.2. 概率的公理化定义
A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
N ( A) 7 P( A) N () 8
二、古典概型的几类基本问题 复习：排列与组合的基本概念 乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法。 （也可推广到分若干步）
i 1
Ai
n
3.积事件(p4) :事件A与事件B同时发生， 记作 AB＝AB
3’n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
4.差事件(5) ：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发 生而事件B不发生
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
5.互斥的事件（也称互不相容事件）(p4) 即事件与事件不可能同时发生。AB＝
P p m
n m n
某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天
ABC A6 : “三人均未命中目标” : B C A
A5 : “三人均命中目标” :
1.2 概率的定义及其运算
从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 发生的可能性大小的量 P（A）应具有何种性质？
* 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ * 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ * 向目标射击，命中目标的概率有多大？
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1；
(2) fn(S)＝1； fn( )=0
(3) 可加性：若AB＝ ，则
fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率
1.3.2. 概率的公理化定义
A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
N ( A) 7 P( A) N () 8
二、古典概型的几类基本问题 复习：排列与组合的基本概念 乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法。 （也可推广到分若干步）
i 1
Ai
n
3.积事件(p4) :事件A与事件B同时发生， 记作 AB＝AB
3’n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
4.差事件(5) ：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发 生而事件B不发生
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
5.互斥的事件（也称互不相容事件）(p4) 即事件与事件不可能同时发生。AB＝
P p m
n m n
某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天
概率论与数理统计-浙江大学数学系
8
定理5.2 契比雪夫定理的特殊情形 ： 设随机变量序列X 1 , X 2 , , X n , 相互独立，且具有相同的 数学期望 和相同的方差 2，作前n个随机变量的算术平均： Yn 1 X k , n k 1
n
则 0，有：
1 n lim P Yn lim P X k 1. n n n k 1 n 1 P 即， X k . n k 1 1 n 证明：由于E Yn E X k 1 n , n k 1 n 2 1 n 1 n 2 1 D Yn D X k 2 D X k 2 n n n n k 1 n k 1
师介绍——》统计研究所——》张彩伢
►
2
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词： 契比雪夫不等式
大数定律 中心极限定理
3
§1 大数定律
背景
本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式
4
定理5.1 契比雪夫不等式 ：设随机变量X 具有数学期望E X , 方差D X 2
此外，定理中要求随机变量的方差存在，但当随 机变量服从相同分布时，就不需要这一要求。
定理5.3 辛钦定理 ： 设随机变量序列X 1 , X 2 , , X n , 相互独立，服从同一分布， 且存在数学期望，作前n个随机变量的算术平均：Yn 1 X k n k 1 则 0，有： 1 n lim P Yn lim P X k 1. n n n k 1
§2 中心极限定理
背景：
有许多随机变量，它们是由大量的相互独立 的随机变量的综合影响所形成的，而其中每 个个别的因素作用都很小，这种随机变量往 往服从或近似服从正态分布，或者说它的极 限分布是正态分布，中心极限定理正是从数 学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的 时期内曾是概率论研究的中心课题。
定理5.2 契比雪夫定理的特殊情形 ： 设随机变量序列X 1 , X 2 , , X n , 相互独立，且具有相同的 数学期望 和相同的方差 2，作前n个随机变量的算术平均： Yn 1 X k , n k 1
n
则 0，有：
1 n lim P Yn lim P X k 1. n n n k 1 n 1 P 即， X k . n k 1 1 n 证明：由于E Yn E X k 1 n , n k 1 n 2 1 n 1 n 2 1 D Yn D X k 2 D X k 2 n n n n k 1 n k 1
师介绍——》统计研究所——》张彩伢
►
2
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词： 契比雪夫不等式
大数定律 中心极限定理
3
§1 大数定律
背景
本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式
4
定理5.1 契比雪夫不等式 ：设随机变量X 具有数学期望E X , 方差D X 2
此外，定理中要求随机变量的方差存在，但当随 机变量服从相同分布时，就不需要这一要求。
定理5.3 辛钦定理 ： 设随机变量序列X 1 , X 2 , , X n , 相互独立，服从同一分布， 且存在数学期望，作前n个随机变量的算术平均：Yn 1 X k n k 1 则 0，有： 1 n lim P Yn lim P X k 1. n n n k 1
§2 中心极限定理
背景：
有许多随机变量，它们是由大量的相互独立 的随机变量的综合影响所形成的，而其中每 个个别的因素作用都很小，这种随机变量往 往服从或近似服从正态分布，或者说它的极 限分布是正态分布，中心极限定理正是从数 学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的 时期内曾是概率论研究的中心课题。
概率论与数理统计(浙大版)第一章课件
然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科.
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
8
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机
试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
4
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
察出现的点数.
5
实例4 从一批含有正品
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
其结果可能为:
正品 、次品.
则 C A B AB 格”,Ｂ＝“直径合格”．
30
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
n
称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 积 事 件 ;
事件 A 发生 事件B 发生
实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格” 所以 A B
27
2.事件的相等
若两个事件 A 和B 相互包 含，则称这两个事件相等， 记为 A .B
A B A =B
A B且B A
A B
A 和 B 同时发生或者同时不发生
28
3.事件的和（并）
如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
8
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机
试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
4
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
察出现的点数.
5
实例4 从一批含有正品
和次品的产品中任意抽取 一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
其结果可能为:
正品 、次品.
则 C A B AB 格”,Ｂ＝“直径合格”．
30
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
n
称 Ak 为 n 个 事 件 A1 , A2 , , An 的 积 事 件 ;
事件 A 发生 事件B 发生
实例 A=“长度不合格” 必然导致 B=“产品不合格” 所以 A B
27
2.事件的相等
若两个事件 A 和B 相互包 含，则称这两个事件相等， 记为 A .B
A B A =B
A B且B A
A B
A 和 B 同时发生或者同时不发生
28
3.事件的和（并）
理学概率论与数理统计浙江大学第四版盛骤概率论部分
例：
✓ ✓ ✓ ✓
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
9
§2 样本空间·随机事件
(一)样本空间
定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S={e}，
例：
➢ ➢
称S中的元素e为基本事件或样本点．
一枚硬币抛一次 S={正面，反面}； 记录一城市一日中发生交通事故次数
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
1
第一章 概率论的基本概念
• 1.1 随机试验 • 1.2 样本空间 • 1.3 概率和频率 • 1.4 等可能概型（古典概型） • 1.5 条件概率 • 1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
• 2.1 随机变量 • 2.2 离散型随机变量及其分布 • 2.3 随机变量的分布函数 • 2.4 连续型随机变量及其概率密度 • 2.5 随机变量的函数的分布
第十二章 平稳随机过程
• 12.1 平稳随机过程的概念 • 12.2 各态历经性 • 12.3 相关函数的性质 • 12.4 平稳过程的功率谱密度
5
概率论
第一章概率论的基本概念
6
第一章 概率论的基本概念
关键词： 样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性
7
§1 随机试验
确定性现象
解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来 访者都是在周二、周四的概率为 212/712 =0.000 000 3.
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次 试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由 怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者， 即认为其接待时间是有规定的。
概率论与数理统计课后答案(浙江大学版)
P(
A
B),
P(
A
B),
P(
___
AB),
P[(
A
B)(
___
AB)]
。
解： P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.625，
P(AB) P[(S A)B] P(B) P(AB) 0.375 ，
___
P(AB) 1 P(AB) 0.875 ，
___
P[(A B)(AB)] P[(A B)(S AB)] P(A B) P[(A B)(AB)] 0.625 P(AB) 0.5
每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一
2
概率论与数理统计及其应用习题解答
特定的销售点得到 k(k n) 张提货单的概率。
解：根据题意， n(n M ) 张提货单分发给 M 个销售点的总的可能分法
有 M n 种，某一特定的销售点得到 k(k n) 张提货单的可能分法有
C
k n
6 7 5 4 840 0.0408。
11 12 13 12 20592
9，一只盒子装有 2 只白球，2 只红球，在盒中取球两次，每次任取 一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另
一只也是红球的概率。
解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件 A ，“另一只
也是红球”记为事件 B 。则事件 A 的概率为
P(N1
|
M)
P( N1 )P(M P(M )
|
N1 )
0.6 0.01 0.025
0.24
，
P( N 2
|
M)
P(N2 )P(M P(M )
|
N2)
概率论与数理统计-浙江大学数学系.
记 （） ij ij i j , ——水平Ai 和水平B j的交互效应, i 1,..., r , j 1,..., s. 易证 （） ij 0,
i 1 r
（） 0.
j 1 ij
s
当（） ij＝0对于一切的i 1,..., r , j 1,..., s都成立时， 称因子A与因子B对响应无交互作用，否则称有交互作用。 当因子A与因子B对响应无交互作用时， 模型可写成 X ijk i j ijk , ijk ~ N (0, 2 ), 各 ijk 独立， i 1,..., r , j 1,..., s, k 1,..., t. 称为可加（主）效应模型 r s i 0, j 0. i 1 j 1 4 2 , i , j , 均未知.
5
二、 可加效应模型的统计分析
因素A有r个水平A1 , A2 , 因素B有s个水平B1 , B2 , , Ar， , Bs .
现对因素A，B的水平的每对组合( Ai , B j ) i 1,
因素B
, r; j 1,
, s
只作一次试验（此时无法分离交互作用与误差），得到如下结果
因素A
B1
则
i 1
r
i
0,
j 1s来自j 0.7
注意到现在不存在交互作用，故 （） i 1,..., r, j 1,..., s. ij 0,
即 ij i j , i 1,..., r, j 1,..., s.
模型可写成 X ijk i j ij , 2 ij ~ N (0, ), 各 ij 独立， i 1,..., r , j 1,..., s. r s i 0, j 0. i 1 j 1 2 , i , j , 均未知.
概率论与数理统计浙大第四版
必然事件——全体样本点组成的事件,记 为S, 每次试验必定发生的事件.
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件
浙江大学《概率论与数理统计》第1章
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 P( A) 0
2。 P(S) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
称P(A)为事件A的概率。
性质：1 P() 0
证：令 An (n 1, 2,...),
例： 由n个部件组成的系统，记
n
• 串联系统： A Ai
i 1
n
• 并联系统： A Ai
i 1
Ai {第i个部件没有损坏}，i=1,2, ,n,
A＝{系统没有损坏}
1-3 频率与概率
(一)频率
定义：记
fn
(
A)
nA n
；
其中 n A —A发生的次数(频数)；
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
10 3 0.6 31 0.62
n =500 nH fn(H) 251 0.502 249 0.498 256 0.512 253 0.506 251 0.502 246 0.492 244 0.488 258 0.516 262 0.524 247 0.494
实验者 德·摩根
蒲丰 K·皮尔逊 K·皮尔逊
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
1i jk n
例：甲乙丙3人去参加某个集会的概率 均为0.4，其中至少有两人参加的概率为 0.3，都参加的概率为0.05，求3人中至 少有一人参加的概率。
1。 P( A) 0
2。 P(S) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
称P(A)为事件A的概率。
性质：1 P() 0
证：令 An (n 1, 2,...),
例： 由n个部件组成的系统，记
n
• 串联系统： A Ai
i 1
n
• 并联系统： A Ai
i 1
Ai {第i个部件没有损坏}，i=1,2, ,n,
A＝{系统没有损坏}
1-3 频率与概率
(一)频率
定义：记
fn
(
A)
nA n
；
其中 n A —A发生的次数(频数)；
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
10 3 0.6 31 0.62
n =500 nH fn(H) 251 0.502 249 0.498 256 0.512 253 0.506 251 0.502 246 0.492 244 0.488 258 0.516 262 0.524 247 0.494
实验者 德·摩根
蒲丰 K·皮尔逊 K·皮尔逊
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
1i jk n
例：甲乙丙3人去参加某个集会的概率 均为0.4，其中至少有两人参加的概率为 0.3，都参加的概率为0.05，求3人中至 少有一人参加的概率。