[学习]概率论与数理统计浙大四版第五章概率论复习
概率论与数理统计浙大四版习题答案第五章
第五章 大数定理和中心极限定理1．[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。
解：设第i 只寿命为X i ，（1≤i ≤16），故E (X i )=100，D (X i )=1002(l=1,2,…,16).依本章定理1知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-≤⨯-=≤∑∑∑===8.040016001001616001920100161600)1920(1616161i i i i i i X P X P X P.7881.0)8.0(=Φ=从而.2119.07881.01)1920(1)1920(161161=-=≤-=>∑∑==i ii iXP XP3．[三] 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 解：（1）设取整误差为X i （Λ,2,1=i ，1500），它们都在（－0.5, 0.5）上服从均匀分布。
于是： 025.05.0)(=+-==p X E i 12112)]5.0(5.0[)(2=--=i X D 18.111251211500)(,0)(==⨯==i i X nD X nE ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>∑∑∑===1515115115150011500115000i i i i i i X P X P X P⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--=∑=18.111518.1118.1115115001i i X P1802.0]9099.01[2)]34.1(1[2)]34.1()34.1([1=-⨯=Φ-=-Φ-Φ-=8．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。
(浙大四版)概率论与数理统计知识点总结(word文档物超所值)
1° 1, 2 L n ，
2°
P(1 ) P( 2 ) L
P( n )
1 n
。
设任一事件 A ，它是由1, 2 L m 组成的，则有
P(A)=(1 ) U ( 2 ) UL U ( m ) = P(1 ) P( 2 ) L P( m )
P(Bi ) ，（ i 1 ， 2 ，…， n ），通常叫先验概率。 P(Bi / A) ，（ i 1 ， 2 ，…， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式
3 / 29
（17）伯 努利概型
反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 我们作了 n 次实验，且满足 每次实验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； n 次实验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样； 每次实验是独立的，即每次实验 A 发生与否与其他次实验 A 发生与否是互不影响的。
第 1 章 随机事件及其概率
（1）排 列组合公 式
Pmn
m! 从 (m n)!
m
个人中挑出
n
个人进行排列的可能数
C
n m
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数
（2）加 法和乘法 原理
（3）一 些常见排 列 （4）随 机实验和 随机事件
（5）基 本事件、 样本空间 和事件
C Pn(k)
k n
pk qnk
，
k
0,1,2,L
,n 。
第二章 随机变量及其分布
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的 概率，即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用
(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结.
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概率论与数理统计 公式（全） 知识点总结
当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B)
P ( AB) 为事件 A 发生条 P ( A) P ( AB) （ 12 ） 条 件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P( B / A) 。 件概率 P ( A) 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω /B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P( AB) P( A) P( B / A) （ 13 ） 乘 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有 P( A1 A2 … An ) P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2) …… P( An | A1 A2 … 法公式 An 1) 。
A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为
A-B， 也可表示为 A-AB 或者 A B ， 它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
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概率论与数理统计 公式（全） 知识点总结
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同
p
k
；
f ( x)dx
。
P(X=1)=p, P(X=0)=q
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概率论与数理统计 公式（全） 知识点总结
二项分布
在 n 重贝努里试验中， 设事件 A 发生的概率为 p 。 事件 A 发生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为
0,1,2,, n 。
k k nk P( X k ) Pn(k ) Cn p q
F ( ) lim F ( x) 0 ，
浙江大学概率论与数理统计第4版课后答案及笔记
浙江⼤学概率论与数理统计第4版课后答案及笔记浙江⼤学《概率论与数理统计》（第4版）笔记和课后习题（含考研真题）详解第1章 概率论的基本概念1.1 复习笔记⼀、随机事件1事件间的关系（见表1-1-1）表1-1-1 事件间的关系2事件的运算设A，B，C为事件，则有：（1）交换律：A∪B＝B∪A；A∩B＝B∩A；（2）结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C；A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C；（3）分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）；（4）德摩根律：；。
⼆、频率与概率概率的性质（1）若A⊂B，则P（B－A）＝P（B）－P（A）与P（B）≥P（A）（2）（逆事件的概率）P（A＿）＝1－P（A）；（3）（加法公式）P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；推⼴：对于任意n个事件A1，A2，…，A n，三、等可能概型（古典概型）计算公式四、条件概率1乘法定理（1）乘法公式：若P（A）＞0，则P（AB）＝P（B|A）P（A）。
（2）若P（A1A2…A n－1）＞0，则有2全概率公式和贝叶斯公式（1）全概率公式P（A）＝P（A|B1）P（B1）＋P（A|B2）P（B2）＋…＋P（A|B n）P（B n）（2）贝叶斯公式注：全概率公式和贝叶斯公式的最简单形式五、独⽴性1两个事件独⽴（1）P（AB）＝P（A）P（B）（2）两个定理①若P（A）＞0，A，B相互独⽴，则P（B|A）＝P（B），反之同样。
②若事件A与B独⽴，则A与B＿独⽴，A＿与B独⽴，A＿与B＿独⽴。
2三个事件独⽴设A，B，C是三个事件，如果满⾜等式则称A，B，C两两独⽴，若也成⽴，则A，B，C相互独⽴。
3n个事件独⽴设A1，A2，…，A n是n（n≥2）个事件，∀1≤i＜j＜k＜…≤n，则A1，A2，…，A n相互独⽴。
《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案
概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念1.[一] 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn o S 1001, ，n 表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一] 2）S={10，11，12，………，n ，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一] (3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
表示为：C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C )（2）A ，B 都发生，而C 不发生。
表示为：C AB 或AB －ABC 或AB －C（3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ⋃⋃（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：C A C B B A ++。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生。
相当于：C B A ,,中至少有一个发生。
故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。
相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。
(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结
第1章随机事件及其概率（1）排列组合公式)!(!nmmP n m从m个人中挑出n个人进行排列的可能数)!(!!nmnmC n m从m个人中挑出n个人进行组合的可能数（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，？为不可能事件。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A 等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。
(完整word版)(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结详解
（7）概率 的公理化 定义
Ai Ai
德摩根率： i1
i1
AB AB，AB AB
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：
件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A) 乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A) 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 …
An 1) 。 ①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P(A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独 立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P(A) 0 ，则有
A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
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概率论与数理统计 公式（全）
知识点总结
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同
时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不 相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示
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概率论与数理统计 公式（全）
知识点总结
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
浙江大学概率论与数理统计(盛骤第四版)——概率论部分1-90页精品文档
# 频率 反映了事件A发生的频繁程度。
15
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2 An；
i1
i1
i1
i1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则：
A B {甲、乙至少有一人来}
都不来}
A BAB{甲、乙至少有一人不来}
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§3 频率与概率
例：
称S中的元素e为基本事件或样本点．
一枚硬币抛一次 S={正面，反面}； 记录一城市一日中发生交通事故次数
S={0,1,2,…}； 记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}； 记录一批产品的寿命x S={ x|a≤x≤b }
10
(二) 随机事件
一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且 仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。 例：观察89路公交车浙大站候车人数，S＝{0,1,2,…}；
概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。
1
第一章 概率论的基本概念
• 1.1 随机试验 • 1.2 样本空间 • 1.3 概率和频率 • 1.4 等可能概型（古典概型） • 1.5 条件概率 • 1.6 独立性
第二章 随机变量及其分布
• 2.1 随机变量 • 2.2 离散型随机变量及其分布 • 2.3 随机变量的分布函数 • 2.4 连续型随机变量及其概率密度 • 2.5 随机变量的函数的分布
记 A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…} S， A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。
如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生， 故又称S为必然事件。 为方便起见，记Φ 为不可能事件，Φ 不包含
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将 FY ( y) 关于 y 求导数得到Y 的概率密度为
fY
(
y)
2
1
y
[
f
X
(
y) fX (
y )],
0,
0 y 4, 其他.
当 0 y 1时, 0 y 1, 1 y 0,
于是
fX (
y) 1, 3
fX (
y) 1; 3
当 1 y 4 时, 1 y 2, 2 y 1,
0, 其他.
fY X ( y x)
f (x, y) fX (x)
e x y , 0 x y ,
0,
其他.
(4) P{ X 1Y 2} P{ X 1,Y 2} P{Y 2}
1
2
f (x, y)d xd y
2
fY ( y)d y
解：设 Bi ={箱中恰好有i件次品},i=0,1,2.
A={顾客买下所查看的一箱}
由题设可知：P(B0 )=0.8, P(B1 )=0.1; P(B2 )=0.1.
P(A∣B0 )=1;
P(A∣ B1
)= C149 C240
4 5
;
P(A∣B2)=
C148 C240
12 19
2
1）由全概率公式：P(A)= P( A Bi )P(Bi ) ≈0.94
概率论复习课
例1 设玻璃杯整箱出售，每箱20个，各箱含0,1,2个 次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，某顾客欲购买一 箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客开箱随机查看 4个。若无次品，则买一箱玻璃杯，否则不买。
求：1）顾客买此箱玻璃杯的概率； 2）在顾客买的此箱玻璃杯中,确实没有次品的 概率。
(5) 求 ( X ,Y ) 的联合分布函数 ;
(6) 求 Z X Y 的密度函数 ;
(7) 求 P{X Y 1}.
解 (1) 由 f ( x, y)d x d y 1 ,得
1
dy
y cxe y d x c
y2ey d y分部积分c,
例3 设随机变量( X ,Y ) 的联合概率密度为
cxe y , 0 x y ,
f (x, y)
(1) 求常数 c; 0.
其他.
(2) X 与Y 是否独立?为什么?
(3) 求 f X Y (x y), fY X ( y x); (4) 求 P{X 1Y 2}, P{X 1Y 2};
1
dx
2 xe y d y
0
x
2 1 y2e y d y 02
1 2e1 1 e2
2 1 5e2
.
又由条件密度的性质知
1
P{ X 1Y 2} fX Y ( x 2)d x,
而
f
X
Y
(
x
2)
x 2
,
0 x 2,
0, 其他.
从而有
P{ X 1Y 2} 1 x d x 1 .
因 0 Y X 2 4, 故当 y 0 时, FY ( y) 0,
当 y 4 时, FY ( y) 1,
当 0 y 4 时, FY ( y) P{Y y} P{X 2 y}
P{ y X y}
FX ( y) FX ( y).
i0
2）由贝叶斯公式：P(B0
A)
P( A B0 )P(B0 ) P( A)
≈0.85
例2 设 X 在区间(2,1) 上服从均匀分布,求 Y X 2
的概率密度. 解 X 的概率密度为
fX ( x) 13 ,
2 x 1,
先求 Y 的分布函数 FY ( y).
0, 其他.
0
0
20
c 1.
(2)
fX ( x)
f
( x,
y)d
y
x 0,
xe y
d
y,
xex , x 0,
0, x 0.
x0 x 0.
fY ( y)
f (x, y)d x
y 0
xe y d
x,
y0
0,
02
4
(5) 由于 F ( x, y) P{ X x,Y y}, 故有 :
当 x 0 或 y 0 时, 有 F ( x, y) 0.
当0 y x 时, 有
F(x, y) P{X x,Y y}
y
dv
v uev d u 1
y v2ev d v
故得 0,
x 0 或 y 0,
F ( x,
y)
1
(
y2 2
y
1)e y ,
0 y x ,
1 ( x
1)e x
1 2
x2e y ,0
x
y
.
(6)
根据 fZ (z)
f (x,z x)d x,
由于要被积函数 f (x,z x) 非零 ,只有当
于是 因此
f X ( y) 0,
fX (
y) 1. 3
2
1
y
1 3
1 3
,
fY
(
y)
2
1
y
0
13,
0,
0 y 1, 1 y 4, 其他.
即
3
1
y
,
fY
(
y)
6
1
y
,
0,
0 y 1, 1 y 4, 其他.
0 x z x, 即 0 x z 时, 从而有: 2
当 z 0 时, fZ (z) 0;
y 0.
12 y2e y , y 0,
0,
y 0.
由于在 0 x y 上, f ( x, y) f X ( x) fY ( y), 故 X 与Y 不独立.
(3)
fX Y (x y)
f (x, y) fY ( y)
2x y2
,
0 x y ,
0
0
20
1 ( y2 y 1)e y . 2
当0 x y 时, 有
F( x, y) P{X x,Y y}
x
du
y uev d v
0
u
x u(eu e y )d u 0
1 ( x 1)e x 1 x2e y . 2