高一年级数学试题
2022-2023学年天津市红桥区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年天津市红桥区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）．{}1,1,2,4A =-{}1B x x =≤A B = A ．B ．C ．D ．{}1,2-{}1,2{}1,4{}1,1-【答案】D【分析】依次检验集合中的元素是否属于集合，从而求得.A B A B ⋂【详解】因为，，{}1,1,2,4A =-{}1B x x =≤当时，满足，故；=1x -1x =1x ≤1B -∈当时，满足，故；1x =1x =1x ≤1B ∈当时，不满足，故；2x =2x =1x ≤2∉B 当时，不满足，故；4x =4x =1x ≤4B ∉所以.{}1,1A B =- 故选：D.2．函数的最小正周期是（ ）．π2sin 24x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．π2π2π4π【答案】D 【分析】用周期公式计算.【详解】由题意，；12,42T πωπω=∴==故选：D.3．的否定是（ ）R,20x x ∀∈>A ．B ．C ．D ．R,20x x ∃∈>R,20x x ∃∈≤R,20x x ∀∈<R,20x x ∀∈≤【答案】B【分析】利用全称命题的否定可得结论.【详解】解：命题“”为全称命题，该命题的否定为“”.R,20x x ∀∈>R,20x x ∃∈≤故选：B.4．下列四个函数中，在区间上是减函数（ ）．()0,∞+A ．B ．C ．D ．0.5log y x=()21y x =-y x =2x y =【答案】A【分析】分别考虑对应函数的单调性即可求解.【详解】对于A ：因为0<0.5<1,所以函数在区间上是减函数，符合题意；0.5log y x =()0,∞+对于B ：，函数在单调递减，单调递增，不符合题意；()21y x =-()0,1()1,+∞对于C ：函数在区间上是增函数，不符合题意；y x=()0,∞+对于D ：函数在区间上是增函数，不符合题意.2x y =()0,∞+故选：A.5．设，则“”是“”的（ ）x R ∈1x <01x <<A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】 ，因此，“”是“”的必要不充分条件.{}1x x < {}01x x <<1x <01x <<故选：B.6．设，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）．0.73a =0.813b -⎛⎫= ⎪⎝⎭3log 2c =A ．B ．C ．D ．a b c>>b a c >>c a b >>b c a>>【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性并与特殊值比较即可求解.【详解】，0.70331a =>=，0.80.81313b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，3330log 1log 2log 31c =<=<=又，0.80.733b a =>=所以.b ac >>故选：B.7．若，则（ ）．tan 2α=1sin cos αα=A ．5B ．C ．D ．255212【答案】C【分析】根据同角三角函数基本关系式即可求解.【详解】因为，tan 2α=所以，sin 2cos αα=sin 2cos αα=再由，22sin cos 1αα+=解得，sin α=cos α=知与同号sin 2cos αα=sin αcos α所以，15sin cos 2αα=故选：C.8．已知函数在上具有单调性，则实数k 的取值范围为（）．()225f x x kx =+-[]2,4-A ．B ．4k ≤-2k ≥C ．或D ．或4k ≤-2k ≥4k <-2k >【答案】C【分析】首先求出二次函数的对称轴，再结合题意求解即可.【详解】函数的对称轴为，()225f x x kx =+-x k =-因为函数在上具有单调性，()225f x x kx =+-[]2,4-所以或，即或.4k -≥2k -≤-4k ≤-2k ≥故选：C9．若的值为（ ）sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭A B ．CD．【答案】D【解析】利用诱导公式进行变换，即可得答案；【详解】由题意可得cos sin 424πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查诱导公式求值，考查运算求解能力.二、填空题10．_______.sin120︒=【解析】利用正弦的诱导公式计算．【详解】，sin120sin(18060)sin 60︒=︒-︒=︒11．函数的定义域是________．()()ln 1f x x =-【答案】##()1,+∞{}1x x >【分析】利用对数的真数大于零可求得原函数的定义域.【详解】对于函数，，解得，故函数的定义域为.()()ln 1f x x =-10x ->1x >()f x ()1,+∞故答案为：.()1,+∞12．已知，则的最小值为_________．2x >-92x x ++【答案】4【分析】利用拼凑法结合均值不等式即可求解.【详解】，99222422x x x x +=++-≥-=++当且仅当即即时等号成立，92(2)2x x x +=>-+()229x +=1x =所以的最小值为4，92x x ++故答案为：4.13．若，则__________．3cos 5α=-cos 2=α【答案】##725-0.28-【分析】用二倍角公式展开代入计算.2cos 22cos 1αα=-【详解】22337cos cos 22cos 1215525ααα⎛⎫=-∴=-=⨯--=- ⎪⎝⎭ 故答案为：725-14．已知函数 ,则______．3log (0)()2(0)x x x f x x ，，>⎧=⎨≤⎩1[()]3f f =【答案】12【分析】由题意，根据函数的解析式，先求得，进而求得．()f x 1()13f =-11[()]32f f =【详解】由题意，函数，所以，()3log ,02,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩3()lo 113g 13f ==-所以，故答案为．111[()](1)232f f f -=-==12【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中正确利用分段函数的分段条件，合理代入求值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．15．若函数，函数有两个零点，则实数k 的取值是()0.52log ,0143,1x x f x x x x <≤⎧=⎨-+->⎩()()g x f x kx =-__________．【答案】和04-【分析】根据图象以及判别式求得正确答案.【详解】由得，即与的图象有两个公共点，()()0g x f x kx =-=()f x kx =()y f x =y kx =画出的图象如下图所，(),y f x y kx ==由图可知，当时，与有两个公共点，0k =()y f x =y kx =当时，与有一个公共点，0k <()y f x =y kx =当时，0k >由消去并化简得，243y kx y x x =⎧⎨=-+-⎩y ()2430x k x +-+=由，()22443840k k k ∆=--⨯=-+=解得，4k =-4k =+综上所述，有两个零点，则实数k 的值是和()()g x f x kx =-04-故答案为：和04-三、解答题16．已知，．5sin 13α=π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(1)求的值；sin 2α(2)求的值．πcos 6⎛⎫- ⎪⎝⎭α【答案】(1)120169-【分析】（1）先利用平方关系求出，再利用二倍角的正弦公式即可得解；cos α（2）利用两角差的余弦公式计算即可得解.【详解】（1）因为，所以，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0α<因为，所以，5sin 13α=12cos 13α==-所以.512120sin 22sin cos 21313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭（2）由（1）知，，5sin 13α=12cos 13α=-所以.πππcos cos cos sin sin 666ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭125113132=-⨯=17．（1）计算：；5lg 2lg 53log 5ln1++-（2）已知，且，求a 的值．35a b =111a b +=【答案】（1）；（2）43log 15【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可.（2）利用对数的换底公式求解即可.【详解】（1）5lg 2lg 53log 5ln1lg10304++-=+-=（2）设，()035a b k k ==>所以，.3log a k =5log b k =所以，即.351111log 3log 5log 151log log k k k a b k k +=+=+==15k =所以.3log15a =18．已知函数．()π46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的单调区间；()f x (2)求在区间上的最大值与最小值．()f x ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为()f x ()ππππ,Z 26212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.()ππππ,Z 21223k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)时时有最小值.π12x =()f x π8x =-()f x 【分析】（1）利用正弦函数的单调性，利用整体代入的方法求得的单调区间；()f x （2）根据函数的关系式，利用函数的定义域确定函数的最大和最小值．【详解】（1）由，解得，所以的()πππ2π42πZ 262k x k k -≤+≤+∈()ππππZ 26212k k x k -≤≤+∈()f x 单调递增区间为；()ππππ,Z 26212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦由，解得，所以的单调递减区间()ππ3π2π42πZ 262k x k k +≤+≤+∈()ππππZ 21223k k x k +≤≤+∈()f x 为()ππππ,Z 21223k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2），时，，()π46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2π4,633x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当即时ππ462x +=π12x =()f x当即时有最小值ππ463x +=-π8x =-()f x 19．已知函数．()()121x f x m m =+∈-R (1)判断函数在内的单调性，并证明你的结论；()f x (),0∞-(2)若函数在定义域内是奇函数，求实数m 的值．()f x 【答案】(1)函数在内的单调递减，证明详见解析()f x (),0∞-(2)12【分析】（1）利用函数单调性的定义证得的单调性.()f x （2）由列方程来求得的值.()()f x f x -=-m 【详解】（1）函数在内的单调递减，证明如下：()f x (),0∞-任取()()121212110,2121x x x x f x f x m m <<-=+----，()()2112222121x x x x -=--其中，2112220,210,210x x x x ->-<-<所以，()()()()12120,f x f x f x f x ->>所以函数在内的单调递减.()f x (),0∞-（2）的定义域是，()f x {}|0x x ≠若函数在定义域内是奇函数，则，()f x ()()f x f x -=-即，112121x x m m -⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭，11121221212121122121x xx x x x x x m ----=-=-=+=------所以.12m =。
2022-2023学年四川省宜宾市叙州区校高一年级下册学期开学考试数学试题【含答案】
2022-2023学年四川省宜宾市叙州区校高一下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知全集N 7U x x =∈∣，集合{}{}2,3,4,2,4,5A B ==，则()UA B ⋃=（ ）A ．{}0,1,6B ．{}1,6,7C ．{}0,1,6,7D ．{}0,1,3,5,6,7【答案】C【分析】写出{}0,1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A B ⋃=，根据补集含义得出答案. 【详解】由题意得{}0,1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A B ⋃=，{}()0,1,6,7UA B ⋃=.故选：C.2．800°是以下哪个象限的角（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】由800236080︒=⨯︒+︒可进行判断. 【详解】因为800236080︒=⨯︒+︒，所以800︒与80︒的终边相同，而80︒是第一象限的角， 所以800︒是第一象限的角， 故选：A.3．命题“N m ∃∈N ”的否定是（ ）A ．N m ∃∉NB ．N m ∃∈NC ．N m ∀∉ND ．N m ∀∈N【答案】D【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【详解】解：命题“N m ∃∈N ”为存在量词命题，其否定为：N m ∀∈N . 故选：D4．函数()ln 1f x x =-的零点是（ ） A ．1 B ．eC ．()e,0D ．4【答案】B【分析】根据零点的定义列式运算求解. 【详解】令()ln 10f x x =-=，解得e x =， 故函数()ln 1f x x =-的零点是e . 故选：B.5．函数()32cos e ex x x xf x -=+在区间[]2π,2π-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.【详解】∵()()()()332cos 2cos e e e e x x x xx x x x f x f x -----==-=-++，∴()f x 为奇函数，图象关于原点对称，C 、D 错误； 又∵若(]0,2πx ∈时，320,e e 0x x x ->+>，当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos 0x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，∴当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，A 错误，B 正确；故选：B.6．药物治疗作用与血液中药物浓度（简称血药浓度）有关，血药浓度C （t ）（单位mg/ml ）随时间t (单位：小时)的变化规律可近似表示为()0etC t C λ-=⋅，其中0C 表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，λ表示该药物在人体内的衰减常数.已知某病人第一次注射一种药剂1小时后测得血药浓度为31.210-⨯mg/ml ，2小时后测得血药浓度为-⨯30.810mg/ml ，为了达到预期的治疗效果，当血药浓度为-⨯30.410mg/ml 时需进行第二次注射，则第二次注射与第一次注射的时间间隔约为(lg 20.3010,lg30.4771≈≈)（ ）小时 A ．3.0 B ．3.5C ．3.7D ．4.2【答案】C【分析】先根据题意得到方程组，求出3ln 2λ=与30 1.810C -=⨯，进而得到关系式，再代入()30.410C t -=⨯，求出第二次注射与第一次注射的间隔时间t 约为多少【详解】由题意得：30230e 1.210e 0.810C C λλ----⎧=⨯⎨=⨯⎩，两式相除，得：3ln 2λ=，把3ln 2λ=代入30e 1.210C λ--=⨯，解得：30 1.810C -=⨯，所以()3ln20.0018e t C t -=⋅，令()30.410C t -=⨯得：3ln 320.0018e 0.410t --⋅=⨯，解得：2ln 3ln 2ln 3ln 2t -=-，由换底公式得：2ln 3ln 22lg 3lg 2ln 3ln 2lg 3lg 2t --==--，所以2lg3lg 220.47710.3010 3.7lg3lg 20.47710.3010t -⨯-=≈≈--故选：C7．已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b<c<a D ．c<a<b【答案】A【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可【详解】因为0.21log 0.5log log 2a ==，而150.2110.522b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且0.20.51<，所以a b <. 又12225log 0.4log log 212c ==>>， 所以a b c <<， 故选：A.8．已知函数()22log f x x ax =-在区间(]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0∞-B ．(][),02,-∞⋃+∞C ．()2,+∞D ．()(),01,2-∞【答案】B【分析】根据复合函数单调性的判断方法可知2x ax μ=-在(]0,1上单调递增且恒大于0；分别在a<0、0a =、01a <<和1a ≥的情况下去掉绝对值符号，结合二次函数单调性可得结果.【详解】令2x ax μ=-，()2log f μμ=在()0,∞+上单调递增，()22log f x x ax =-在(]0,1上单调递增， 2x ax μ∴=-在(]0,1上单调递增且恒大于0；①当a<0时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，20x ax ->；若(),0x a ∈，20x ax -<； ∴当(]0,1x ∈时，2x ax μ=-，μ∴在(]0,1上单调递增且0μ>，满足题意；②当0a =时，22x x μ==，μ∴在(]0,1上单调递增且0μ>，满足题意；③当0a >时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，20x ax ->；若()0,x a ∈，20x ax -<；当01a <<时，(]()22,0,,,1ax x x a x ax x a μ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，则当,2a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ax x μ=-单调递减，不合题意；当1a ≥时，若(]0,1x ∈，则2ax x μ=-，则其对称轴为2ax =， ∴若2ax x μ=-在(]0,1上单调递增且0μ>，则12a≥，解得：2a ≥； 综上所述：实数a 的取值范围为(][),02,-∞⋃+∞. 故选：B.二、多选题9．已知集合()(){}20N ,2Z x A xx B x x x x -⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭∣∣，则下列表述正确的有（ ） A ．{}0,3,4A B ⋂= B ．{}1,2A =C ．A B ⊆D ．满足A C ⊆且C B ⊆的集合C 的个数为8【答案】BCD【分析】根据集合的定义确定集合,A B 中的元素，然后再判断各选项． 【详解】因为()(){}{}20021,2x A xx x x x x -⎧⎫=∈=<≤∈=⎨⎬⎩⎭N N ∣∣，(){}{}20,1,2,3,4B x x =∈=Z ，A C B ⊆⊆，所以C 中元素个数至少有1，2，至多为0,1,2,3,4，所以集合C 的个数等于{}0,3,4子集的个数，即328=． 故选：BCD ．10．已知函数()22sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则下列各选项正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．3x π=-是()f x 的一条对称轴C ．()f x 在区间,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 向右平移23π个单位是一个奇函数.【答案】AC【分析】根据周期公式得到A 正确；代入验证知B 错误C 正确；根据平移法则得到()22sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不是奇函数，D 错误，得到答案.【详解】对选项A ：2ππ2T ==，正确； 对选项B ：当3x π=-时，2π20π,Z 32x k k π+=≠+∈，错误； 对选项C ：当,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2π2π2,323x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数单调递减，正确；对选项D ：()f x 向右平移23π得到()22sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不是奇函数，D 错误.故选：AC11．已知正数a ，b 满足22a b ab +=，则下列说法一定正确的是（ ） A ．24a b +≥ B ．4a b +≥ C ．8ab ≥ D ．2248a b +≥【答案】AD【分析】由基本不等式判断AD ，取1,2b a ==判断BC. 【详解】由题意可知1112b a +=，1122(2)2422a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭（当且仅当22a b ==时取等号），故A 正确；取1,2b a ==，则3,2a b ab +==，故BC 错误；因为22a b ab +=≥2ab （当且仅当22a b ==时取等号），则22448a b ab +（当且仅当22a b ==时取等号），故D 正确；故选：AD12．已知函数()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()24,044,4x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()0f x m -=的根，下列说法正确的有（ ） A ．当0m =时，方程有4个不等实根 B ．当01m <<时，方程有6个不等实根 C ．当1m =时，方程有4个不等实根D ．当1m >时，方程有6个不等实根 【答案】BC【分析】结合函数奇偶性以及0x ≥时解析式，作出函数图象，将关于x 的方程()0f x m -=的根的问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，求得答案.【详解】由题意函数()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()24,044,4x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，可作出函数()f x 的图象如图示：则关于x 的方程()0f x m -=的根，即转化为函数()f x 的图象与直线y m =的交点问题， 当0m =时，即0y =与()f x 的图象有三个交点，方程有3个不等实根，A 错误； 当01m <<时，y m =与()f x 的图象有6个交点，方程有6个不等实根，B 正确； 当1m =时，1y =与()f x 的图象有4个交点，方程有4个不等实根，C 正确；当1m >时，y m =与()f x 的图象有4个或2个或0个交点，方程有有4个或2个或0个实根，D 错误； 故选：BC.【点睛】本题考查了函数的奇偶性的以及分段函数的应用，考查了方程的根的个数的确定，解答时要注意函数图象的应用以及数形结合的思想方法，解答的关键是将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题.三、填空题13．若函数25(3)m y m x -=-是幂函数，则当12x =时的函数值为______． 【答案】2【分析】先求得m 的值，然后求得12x =时的函数值.【详解】由于函数25(3)m y m x -=-是幂函数， 所以31,2m m -==，则1y x -=， 所以当12x =时，2y =. 故答案为：214．已知函数()221,1,1x x f x xx -≤-⎧=⎨>-⎩，若()4f x =，则x =________【答案】2【分析】分两种情况，当1x ≤-时和当1x >-时，解方程即可. 【详解】当1x ≤-时，()214f x x =-=，可得52x =，不成立， 当1x >-时，()24f x x ==，可得2x =或2x =-（舍去），所以2x =. 故答案为：2.15．若方程2210ax x ++=至少有一个负数根，则实数a 的取值范围为________． 【答案】1a ≤【分析】当0x <时，由2210ax x ++=，可得212a x x=--，令10t x =<，()22f t t t =--，求出函数()f t 在(),0∞-上的值域，即为实数a 的取值范围. 【详解】当0x <时，由2210ax x ++=，可得222112x a x x x+=-=--， 令10t x=<，()()(]22211,1f t t t t =--=-++∈-∞，故1a ≤. 故答案为：1a ≤.16．已知函数12()log f x x a =+，g （x ）＝x 2-2x ，若11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是________． 【答案】[0，1]【解析】当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+，当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-，由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2），等价于[][]1,21,3a a -++⊆-，解不等式即可得解.【详解】当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+，当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-，由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2）， 则[][]1,21,3a a -++⊆-，可得：1123aa -≤-+⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤， 故答案为：01a ≤≤.【点睛】本题考查了求函数值域，考查了恒成立和存在性问题以及转化思想，有一定的计算量，属于中档题.四、解答题17．已知集合(){}2lg 65A x y x x ==-+-，{1B x x =≤或}2x ≥，{}()12C x m x m m =-≤≤∈R .(1)若A C A ⋃=，求m 的取值范围；(2)若“x B ∈R ”是“x C ∈”的充分条件，求m 的取值范围. 【答案】(1)()5,12,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(2)[]1,2【分析】（1）求出集合A ，分析可知C A ⊆，分C =∅、C ≠∅两种情况讨论，可得出关于实数m 的不等式（组），综合可得出实数m 的取值范围； （2）由题意可知B C ⊆R，求出集合B R ，可得出关于实数m 的不等式组，由此可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）解：因为(){}{}{}{}222lg 6565065015A x y x x x x x x x x x x ==-+-=-+->=-+<=<<， 因为A C A ⋃=，则C A ⊆.①当12m m ->时，即当1m <-时，C A =∅⊆，合乎题意； ②当12m m -≤时，即当1m ≥-时，C ≠∅，要使得C A ⊆，则1125m m ->⎧⎨<⎩，解得522m <<，此时522m <<.综上所述，实数m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）解：由题意可知B C ⊆R ，且{}12B x x =<<R ，所以1122m m -≤⎧⎨≥⎩，解得12m ≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]1,2. 18．已知()3tan 4απ+=. （1）若α为第三象限角，求sin α. （2）求cos 4sin 2sin 2παπαα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）3sin 5α=-（2）【解析】（1）根据诱导公式,先求得tan α,结合同角三角函数关系式即可求得sin α. （2）根据诱导公式化简式子,再由齐次式求法求解即可. 【详解】（1）()3tan tan 4απα+== ∴sin 3tan cos 4ααα==,即3sin cos 4αα=联立223sin cos 4sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩ 解得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵α为第三象限角 ∴3sin 5α=-（2）)cos cos sin 42sin cos 2sin 22sin cos παααπααααα⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭-=- ⎪⎝⎭==31434-==.【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数式化简中的应用,齐次式形式的求值,属于基础题.19．已知函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2(1)求函数()f x 的单调递增区间和其图象的对称轴方程;(2)先将函数()y f x =的图象各点的横坐标向左平移π12个单位长度，纵坐标不变得到曲线C ，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到()g x 的图象，若1()2g x ≥，求x 的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈； (2)πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由条件可得函数()f x 的最小正周期，结合周期公式求ω，再由正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数()g x 的解析式，根据直线函数性质解不等式求x 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2，所以()f x 的最小正周期为π，所以2ππω=，2ω=，所以π()2sin(2)3f x x =-， 由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，可得π5πππ1212k x k -≤≤+，()k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 由()ππ2πZ 32x k k -=+∈得π5π(Z)212k x k =+∈，所以所求对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈ （2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度得到曲线π:2sin(2)6C y x =-，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到π()sin(2)6g x x =-的图象， 由1()2g x ≥得π1sin(2)62x -≥，所以ππ5π2π22π666k x k +≤-≤+，Z k ∈，所以ππππ62k x k +≤≤+，Z k ∈，所以x 的取值范围为πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦20．某片森林原来面积为a ，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p %，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到2018. （1）求每年砍伐的森林面积的百分比p %； （2）到2018年年末，该森林已砍伐了多少年？【答案】（1）110112⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）5年. 【分析】（1）根据每年砍伐面积的百分比%p ，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，结合指数型函数得到方程，即可求解每年砍伐的森林面积的百分比p %．（2）结合（1）的结论，构造关于m 的方程，解得．【详解】（1）由题意可得，()1011%2a p a -=，解得1101%12p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴每年砍伐的森林面积的百分比%p 为110112⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）设经过m年森林剩余面积为原来面积的2，则()1%m a p ⋅-=，()1211%22m p ⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭， 由（1）可得，11011%2p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即11021122m ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1102m ∴=，解得5m =，故到2018年年末，该森林已砍伐了5年．【点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用，指数式与对数式的互化，其中关键是建立数学模型，属于中档题．21．已知函数()2cos sin 29f x a x x a =---，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (1)若a<0，求()f x 的最小值()g a ；(2)若关于x 的方程()f x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求a 的取值范围． 【答案】(1)()2210,2049,2a a a g a a a ⎧----<<⎪=⎨⎪--≤-⎩； (2)910,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）化简得出()22cos 21024a a f x x a ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭，令cos t x =，则[]0,1t ∈，可得出()()2221024a a f x h t t a ⎛⎫==+--- ⎪⎝⎭，分012a <-<、12a -≥两种情况讨论，利用二次函数的基本性质可求得()g a 的表达式；（2）分析可知关于x 的方程2cos 103cos x a x -=-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令[]3cos 2,3p x =-∈，可得出16a p p =--，利用函数的单调性求出函数()16H p p p=--在[]2,3的值域，即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）解：因为函数()2222cos sin 29cos cos 210cos 21024a a f x a x x a x a x a x a ⎛⎫=---=+--=+--- ⎪⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 0,1x ∈，令cos t x =，则[]0,1t ∈． 则()()2221024a a f x h t t a ⎛⎫==+--- ⎪⎝⎭． 又因为a<0，所以>02a -． 当012a <-<，即20a -<<时，则()h t 在0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故()h t 在[]0,1上的最小值为()221024a a g a h a ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭； 当12a -≥，即2a ≤-时，()h t 在[]0,1上单调递减， 故()h t 在[]0,1上的最小值为()()19g a h a ==--．综上所述，()2210,2049,2a a a g a a a ⎧----<<⎪=⎨⎪--≤-⎩. （2）解：因为关于x 的方程()f x a =在[0,]2π上有解， 即关于x 的方程2cos cos 1030x a x a +--=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解， 所以2cos 103cos x a x -=-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解． 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 0,1x ∈，令[]3cos 2,3p x =-∈， 则()231016p a p p p--==--， 因为函数()16H p p p =--在[]2,3上单调递增，则()910,23H p ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦， 故a 的取值范围是910,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 22．对于函数()f x ，若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则称()f x 为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断()|cos |f x x =是否为“伪奇函数”，简要说明理由；（2）若2()log (sin )1f x x m =++是定义在区间[,]33ππ-上的“伪奇函数”，求实数m 的取值范围； （3）试讨论22()4243x x f x m m +=-+-在R 上是否为“伪奇函数”？并说明理由．【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析；（21m <≤；（3）答案见解析. 【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可；（2）由题意可知，22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=， 即221sin 4m x -=在[,]33ππ-有解，结合三角函数的性质即可求解； （3）由题意可知，2444(22)860x x x x m m --+-++-=在R 上有解， 令22x x t -=+，则22,442x x t t -≥+=-，从而224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解， 再分类讨论即可得出结果【详解】（1） ()0()22f f ππ-==， ()()022f f ππ∴-+=． ()|cos |f x x ∴=是“伪奇函数”． （2）()f x 为“伪奇函数”，()()0f x f x ∴+-=，即22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=， 即221sin 4m x -=在[,]33ππ-有解．sin [x ∈， 2211sin [,1]44m x ∴=+∈． 又sin 0m x +>在[,]33ππ-恒成立，max (sin )m x ∴>-=1m <≤． （3）当22()4243x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“伪奇函数”时， 则()()f x f x -=-在R 上有解，可化为2444(22)860x x x x m m --+-++-=在R 上有解， 令22x x t -=+，则22,442x x t t -≥+=-，从而224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解，即可保证()f x 为“伪奇函数”，令22()488F t t mt m =-+-，则①当(2)0F ≤时，224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解，即22210m m --≤，m ≤ ②当(2)0F >时，224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解等价于 22164(88)0,22,(2)0,m m m F ⎧∆=--≥⎪>⎨⎪>⎩2m <，m ≤≤22()4243x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“伪奇函数”，否则不是．。
2022-2023学年山东省济南市长清区长清高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省济南市长清区长清高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集，，则（ ）{}1,2,3,4,5U ={}1,3A =UA = A ．B ．C ．D ．∅{}1,3{}2,4,5{}1,2,3,4,5【答案】C【分析】根据补集的定义可得结果.【详解】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.{}1,2,3,4,5U ={}1,3A ={}2,4,5U A = 【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．2．函数的定义域为ln(1)y x =-A ．B ．C ．D ．(,0)-∞(,1)-∞(0,)+∞(1,)+∞【答案】B【详解】由，得选B3．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是 ( )A ．B ．C ．-D ．-π3π6π3π6【答案】B【分析】由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为．6π【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转弧度.π6故选B.【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题．4．下列函数是在为减函数的是（ ）(0,1)A ．B ．C ．D ．lg y x =2xy =cos y x=121=-y x 【答案】C【分析】根据对数函数、指数函数、余弦函数、反比例函数的单调性即可找出正确选项．【详解】对数函数，底数大于1时，在上增函数，不满足题意；0x >指数函数，底数大于1时，在上增函数，不满足题意；0x >余弦函数，从最高点往下走，即上为减函数；[0,]x π∈反比例型函数，在与上分别为减函数，不满足题意；1(,2-∞1(,)2+∞故选C.【点睛】考查余弦函数，指数函数，正弦函数，以及正切函数的单调性，熟悉基本函数的图象性质是关键．5．方程的解所在区间是（ ）．3log 280x x +-=A ．B ．C ．D ．(1,2)(2,3)(3,4)(5,6)【答案】C【分析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案.【详解】∵,3()log 82f x x x =-+∴,,，,3(1)log 18260f =-+=-<3(2)log 2840f =-+<3(3)log 38610f =-+=-<3(4)log 40f =>∴,33(5)log 520,(6)log 640f f =+>=+>(3)(4)0f f ⋅<∵函数的图象是连续的,3()log 82f x x x =-+∴函数的零点所在的区间是.()f x (3,4)故选C【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力.6．若点在角的终边上，则（ ）2cos ,2sin 66P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭αsin α=A ．B ．CD ．1212-【答案】B【解析】根据任意角的三角函数的定义及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】解：2cos ,2sin 66P ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭1212sin 22α-⨯∴====-故选：B【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.7．已知，则等于3sin()35x π-=7cos()6x π+A ．B ．C ．D ．354535-45-【答案】C【分析】由诱导公式化简后即可求值．【详解】＝-sin[]＝7πcos x 6⎛⎫+ ⎪⎝⎭π cos x 6⎛⎫+=- ⎪⎝⎭26x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭π3sin x 35⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选C ．【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的应用，属于基础题．8．四个函数：①；②；③；④的图象(部分)如下，但顺sin y x x =cos y x x =cos y x x=2xy x =⋅序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．④①②③B ．①④②③C ．③④②①D ．①④③②【答案】B【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；sin y x x =⋅y ②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，cos y x x =⋅0,2π⎛⎫⎪⎝⎭在上的值为负数，故第三个图象满足；,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；cos y x x=⋅0x >()0f x ≥④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，2xy x =⋅故选：B ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.二、多选题9．下列命题是真命题的是（ ）A ．若幂函数过点，则()af x x =1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭12α=-B ．，(0,1)x ∃∈121log 2xx⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．，(0,)x ∀∈+∞1123log log x x>D ．命题“，”的否定是“，”x ∃∈R sin cos 1x x +<x ∀∈R sin cos 1x x +≥【答案】BD【解析】根据幂函数的定义判断，结合图象判断，根据特称命题的否定为全称命题可判断.A BC D 【详解】解：对于：若幂函数过点，则解得，故错误；A ()af x x =1,42⎛⎫⎪⎝⎭142aæöç÷=ç÷èø2α=-A 对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示B 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭12log y x=由图可知，，故正确；(0,1)x ∃∈121log 2xx⎛⎫> ⎪⎝⎭B 对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示C 13log y x=12log y x =由图可知，当时，，当时，，当时，，(0,1)x ∈1123log log x x>1x =1123log log x x=(1,)x ∈+∞1123log log x x<故错误；C 对于：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“，”的否定是“，D x ∃∈R sin cos 1x x +<x ∀∈R ”，故正确；sin cos 1x x +≥D 故选：BD【点睛】本题考查指数函数对数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题.10．已知，，则下列结论正确的是（ ）()0,πθ∈1sin cos 5θθ+=A ．B ．C ．D ．π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ=-3tan 4θ=-7sin cos 5θθ-=【答案】ABD【分析】由题意得，可得，根据的范围，可()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-θ得，的正负，即可判断A 的正误；求得的值，即可判断D 的正误，联立可求sin θcos θsin cos θθ-得，的值，即可判断B 的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C 的正误，即可得答sin θcos θ案.【详解】因为，1sin cos 5θθ+=所以，则，()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-因为，所以，，()0,πθ∈sin 0θ>cos 0θ<所以，故A 正确；π,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=所以，故D 正确；7sin cos 5θθ-=联立，可得，，故B 正确；1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 5θ=3cos 5θ=-所以，故C 错误.sin 4tan cos 3θθθ==-故选：ABD.11．若，则下列不等式成立的是（ ）0a b >>A ．B ．C ．D ．11a b <11b b a a +>+11a b b a+>+11a b a b+>+【答案】AC【分析】根据不等式的性质判断A ，C ；利用作差法比较大小判断B ，D.【详解】解：对于A ，因为，所以，故A 正确；0a b >>11a b <对于B ，，由于，所以，()()()()111111b a a b b b b a a a a a a a +-++--==+++0a b >>()0,10b a a a -+则，即，故B 错误；11b b a a +-<+11b b a a +<+对于C ，因为，所以，所以，故C 正确；0a b >>11b a >11a b b a +>+对于D ，，由于，则()()()11111b a ab a b a b a b a b a b a b ab ab --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0a b >>，但与的大小不确定，故D 错误.0,0a b ab ->>ab 1故选：AC.12．已知函数，下列四个结论确的是（ ）()sin cos22f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．函数是周期函数；()f x B ．函数的图象关于点成中心对称；()f x (,0)πC ．函数的图象关于直线成轴对称；()f x 2x π=-D ．函数在区间上单调递增．()f x 3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】利用诱导公式化简函数，借助周期函数的定义判断A ；利用函数图象对称的意义判断()f x B 、C ；取特值判断D 作答.【详解】依题意，，因，是周()cos cos2f x x x =4(4)cos(4)cos cos cos ()22x xf x x x f x πππ++=+==()f x 期函数，是它的一个周期，A 正确；4π因，，()cos()coscos sin 22πx x f πx πx x +=+=+()cos()cos 2f πx πx πx =---cos sin 2xx =-即，因此的图象关于点成对称中心，B 正确；()()f x f x ππ+=--()f x (,0)π因，(2)cos(2)coscos cos 222πxf πx πx x x -+=-+=--+，(2)cos(2)coscos cos 222πx f πx πx x x --=--=---即，因此的图象关于直线成轴对称，C 正确；(2)(2)f πx f πx -+=--()f x 2x π=-因，，，()cos cos2f πππ==4421()cos cos 3334f πππ==333()cos cos 0224f πππ==显然有，而，因此函数在区间上不单调递增，D 不正4332πππ<<34()(()23f f f πππ=<()f x 3(,)2ππ确，所以，所有正确命题是ABC.故选：ABC.三、填空题13．已知幂函数过点，若，则________．()af x x =(28)，0()5f x =-0x =【答案】135-【分析】先由已知条件求出的值，再由可求出的值α0()5f x =-0x 【详解】因为幂函数过点，()af x x =(28)，所以，得，28α=3α=所以，3()f x x =因为，所以，得0()5f x =-305x =-0x =故答案为：14．已知某扇形的半径为，面积为，那么该扇形的弧长为________.33π2【答案】π【分析】根据扇形面积公式可求得答案.【详解】设该扇形的弧长为,由扇形的面积,可得,解得.l 12S lr =3π1322l =⨯πl =故答案为.π【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.15．若两个正实数x ，y恒成立，则实数m的取值1=26m m >-范围是____________．【答案】28m -<<的最小值，进而求解即可.2616m m-<【详解】由于，所以,0,0x y >>88=+≥+取等号，故，解得，64,4x y ⇒==2616m m -<28m -<<故答案为：28m -<<16．已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范ln ,0()e 1,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩()()g x f x m =-m 围是___________.【答案】12m <≤【分析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点()y f x =()g x y m =()y f x =问题解决.【详解】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，()0g x =()f x m =()g x y m =()y f x =当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函0x ≤()e 1xf x =+0x >()ln f x x =数，函数值为一切实数，在坐标平面内作出函数的图象，如图，()y f x =观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点，12m <≤y m =()y f x =()g x 所以实数的取值范围是：.m 12m <≤故答案为：12m <≤四、解答题17．计算：（1）；7log 23log lg 252lg 27+-（2）已知，求．()3sin 32sin 2ππαα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭sin 4cos 5sin 2cos αααα-+【答案】（1）；（2）3216-【解析】（1）根据对数的运算法则和对数恒等式，即可求解；（2）根据诱导公式，由已知可得，代入所求式子，即可求解.sin 2cos αα=【详解】（1）原式；323log 32(lg 2l 332222g 5)2==++-=+-（2）∵，∴，()3sin 3sin 2sin 2cos 2ππαααα⎛⎫+=-=+=- ⎪⎝⎭sin 2cos αα=故．sin 4cos 2cos 4cos 15sin 2cos 10cos 2cos 6αααααααα--==-++【点睛】本题考查对数计算，考查诱导公式，以及三角求值，属于基础题.18．已知，二次函数的图象经过点，且的解集为.,,a b c ∈R 2()f x ax bx c =++(0,1)()0f x >11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求实数a ，b 的值；（2）若方程在上有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围.()7f x kx =+(0,2)【答案】（1），（2）6a =-1b =(14,11)--【解析】（1）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的关系计算可得.（2）由（1）知，得方程等价于方程，令2()61f x x x =-++()7f x kx =+26(1)60x k x +-+=，即的两个零点满足分析可得.2()6(1)6g x x k x =+-+()g x 12,(0,2)x x ∈【详解】解：（1）因为的图象经过点，所以，()f x (0,1)1c =所以，2()1f x ax bx =++的解集为，2()10f x ax bx =++>11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭所以，且，11()032f x a x x ⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a<0且，得，1c =2()61f x x x =-++故，6a =-1b =（2）由，2()61f x x x =-++得方程等价于方程，()7f x kx =+26(1)60x k x +-+=令，即的两个零点满足，2()6(1)6g x x k x =+-+()g x 12,(0,2)x x ∈所以必有，(0)0(2)0102120g g k >⎧⎪>⎪⎪⎨-<<⎪⎪∆>⎪⎩即，解得，142311311k k k k >-⎧⎪-<<⎨⎪><-⎩或1411k -<<-所以实数k 的取值范围是(14,11)--【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数以及一元二次不等式的关系，二次函数的零点问题，属于中档题.19．已知，，，02πα<<2πβ-<<1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1)求的值；cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求的值；sin β【答案】(2)13-【分析】（1）通过条件中的范围得出与的范围，即可根据条件得出与4πα+42βπ-sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再将利用三角恒等变换展开代入值求解即sin 42πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦可；（2）令再根据三角恒等变换化简即可代入值即可求解.sin sin 2242ππββ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【详解】（1），02πα<< ，3444πππα∴<+<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 4πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，02πβ-<< ，4422ππβπ∴<-<cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 42πβ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，cos cos sin sin 442442ββααππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13==（2）21sin sin 2cos 22cos 124242423ππβπβπββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦20．已知函数()2sin cos x x x f x =（1）求的最小正周期；()f x （2）当时，求函数的值域.36x ππ-≤≤()y f x =【答案】（1）；（2）T π=0,1⎡⎢⎣【解析】（1）利用二倍角的正弦公式可把化为的形式，由周期公式可求.()f x ()()sin f x A x =+ωϕ（2）由求出的取值范围，再利用三角函数的性质即可求解.36x ππ-≤≤x ωϕ+【详解】（1）())21sin cos sin 21cos 22x x x x x f x =-+=，1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭函数的最小正周期为.∴()y f x =22T ππ==（2）由，则，36x ππ-≤≤22333x πππ-≤+≤所以，所以sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭()01f x ≤≤+所以函数的值域为.()y f x =0,1⎡⎢⎣【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、三角函数的周期以及三角函数的值域，属于基础题.21．为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y （单位：毫克）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x 成正比，药物释放完毕后，y 与x 的函数关系式为（a 为常数），根据图中提供的信息，回答下列116x a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭问题：(1)写出从药物释放开始，y 与x 的之间的函数关系；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．【答案】(1)0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩(2)0.6【分析】（1）利用函数图象经过点，分段讨论即可得出结论；()0.1,1（2）利用指数函数的单调性解不等式．0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】（1）解：依题意，当时，可设，且，00.1x ≤≤y kx =10.1k =解得10k =又由，解得，0.11116a -⎛⎫= ⎪⎝⎭0.1a =所以；0.110,00.11,0.116x x x y x -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）解：令，即，0.110.2516a -⎛⎫< ⎪⎝⎭20.21144a -⎛⎫< ⎪⎝⎭得，解得，20.21a ->0.6x >即至少需要经过后，学生才能回到教室．0.6h 22．已知函数．()21log 1x f x x -=+(1)若，求a 的值；()1f a =(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；()f x (3)若对于恒成立，求实数m 的范围．()f x m ≥[)3,x ∈+∞【答案】(1)3-(2)奇函数，证明见解析(3)(],1-∞-【分析】（1）代入，得到，利用对数的运算即可求解；x a =21log 11a a -=+（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明；()(),f x f x -（3）将已知转化为，求出在的最小值，即可得解.()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦()f x [)3,+∞【详解】（1），，即，解得，()1f a = 21log 11a a -∴=+121a a -=+3a =-所以a 的值为3-（2）为奇函数，证明如下：()f x由，解得：或，所以定义域为关于原点对称，10110x x x -⎧>⎪+⎨⎪+≠⎩1x >1x <-()(),11,-∞-⋃+∞又，()()122221111log log log log 1111x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪-+-++⎝⎭所以为奇函数；()f x （3）因为，()2221122log log log 1111x x f x x x x -+-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭又外部函数为增函数，内部函数在上为增函数，2log y u =211y x =-+[)3,+∞由复合函数的单调性知函数在上为增函数，()f x [)3,+∞所以，()()22min 3113log log 1312f x f -====-+又对于恒成立，所以，所以，()f x m ≥[)3,x ∈+∞()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦1m ≤-所以实数的范围是m (],1-∞-。
2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}11A x x =-<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围（ ） A ．0a ≤ B ．2a ≥ C ．2a > D ．2a ≤【答案】B【分析】根据集合间的包含关系求参数的取值范围. 【详解】由11x -<解得111x -<-<即02x <<， 所以{}02A x x =<<， 因为A B ⊆，所以2a ≥， 故选:B.2．命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是（ ） A ．x +∃∈R ，使得x e +∉R B ．x +∃∉R ，使得x e +∉R C ．x +∃∈R ，使得x e +∈R D ．x +∃∉R ，使得x e +∈R【答案】A【分析】全称改存在，再否定结论即可.【详解】命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是“x +∃∈R ，使得x e +∉R ”. 故选：A3．已知cos140m ︒=，则tan50︒等于（ ）AB C D 【答案】B【分析】利用诱导公式化简，求出sin50,cos50︒︒，然后利用同角三角函数的商数关系即可求得. 【详解】()cos140cos 9050sin500m ︒=︒+︒=-︒=<，则sin50m ︒=-，cos50∴︒sin 50tan 50cos50︒∴︒==︒.故选：B.4．已知函数()tan 4(,R)f x a x a b =+∈且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =（ ）A ．-5B ．-3C ．3D ．随,a b 的值而定【答案】C【分析】先推导()()8f x f x +-=，再根据3lg log 10lg lg 30+=求解即可【详解】由题意，()()()tan 4tan 48f x a x a x f x =+++-+=-，又3lg10lg log 10lg lg3lg lg3lg10lg3⎛⎫+=⋅== ⎪⎝⎭，故3(lg log 10)(lg lg3)8f f +=.又3(lg log 10)5f =，故(lg lg3)853f =-= 故选：C5．已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解.【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数， 所以函数()f x 在R 上不可能是增函数， 综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B6．已知m 为正实数，且22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，则m 的最小值为（ ） A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D 【分析】()22222max tan 1515sin tan sin sin ≥mx m x x x x+⇒≥-，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案. 【详解】由22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立， 可得()222max 15sin tan sin m x x x ≥-.()()()22422222221cos sin 15sin tan sin 151cos 151cos cos cos x xx x x x x xx--=--=--2211716179cos cos x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+≤-=，当且仅当22116cos cos x x=，即21cos 4x =时取等号.则9m ≥.故选：D7．设sin7a =，则（ ）A ．222log aa a <<B ．22log 2a a a <<C ．22log 2aa a << D ．22log 2aa a <<【答案】D【分析】分别判断出21142a <<2a <211log 2a -<<-，即可得到答案. 【详解】()sin7sin 72a π==-.因为7264πππ<-<，所以12a <<所以21142a <<；因为2x y =在R 1222a =<<因为2log y x =在()0,∞+上为增函数，且12a <<2221log log log 2a <<211log 2a -<<-；所以22log 2aa a <<.故选：D8．设函数()()()cos cos f x m x n x αβ=+++，其中m ，n ，α，β为已知实常数，x ∈R ，若()π002f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．对任意实数x ，()0f x =B ．存在实数x ，()0f x ≠C ．对任意实数x ，()0f x >D ．存在实数x ，()0f x <【答案】A【分析】根据π(0)()02f f ==，可推出cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=-，整理化简后可得m n =或m n =-，分类讨论，结合三角函数诱导公式化简，即可判断答案.【详解】由题意知π(0)()02f f == ，即cos cos sin sin 0m n m n αβαβ+=--= ，即cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=- ，两式两边平方后可得 22m n =，故m n =或m n =-，若0m n =≠ ，则cos cos sin sin αβαβ=-=-， ，故π2π,Z k k αβ=++∈， 此时()cos(π2π)cos()cos()cos()0f x m x k m x m x m x ββββ=++++=-++=++ ， 若0m n =-≠ ，则cos cos ,sin sin αβαβ== ，故2π,Z k k αβ=+∈ ， 此时()cos(2π)cos()0f x m x k m x ββ=++-+= ，若0m n == 或0m n =-= ，则()0f x = ，故对任意实数x ，()0f x =， 则A 正确，B,C,D 错误， 故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据已知等式化简得到m 和n 之间的关系，然后分类讨论，化简即可解决问题.二、多选题9．下列三角函数值为负数．．的是（ ） A ．3tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．tan505︒C ．sin7.6πD ．sin186︒【答案】BCD【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案. 【详解】对于A ，33tan tan (1)144ππ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭，故A 为正数； 对于B ，tan505tan(360)tan145tan350145+︒︒=︒=︒=-︒<，故B 为负数； 对于C ，sin7.6π2sin(80.4)sin05πππ=-=-<，故C 为负数；对于D ，sin186sin(1806)sin 60︒=︒+︒=-︒<，故D 为负数； 故选：BCD10．下列计算或化简结果正确的是（ ） A ．若1sin cos 2θθ⋅=，cos tan 2sin θθθ+= B ．若1tan 2x =，则2sin 2cos sin x x x =- C ．若25sin 5α=，则tan 2α= D ．若α为第二象限角，则22cos sin 21sin 1cos αααα+=-- 【答案】AB【分析】利用22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求值即得.【详解】对于A 选项：1sin cos 2θθ=，cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos θθθθθθθθθ∴+=+==，故A 正确； 对于B 选项：1tan 2x =，则122sin 2tan 221cos sin 1tan 12x x x x x ⨯===---，故B 正确； 对于C 选项：∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定，故C 错误； 对于D 选项：α为第二象限角， sin 0,cos 0αα∴><,22cos sin cos sin cos sin =0cos sin cos sin 1sin 1cos αααααααααααα∴++=-+=--,故D 错误. 故选：AB.11．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确的有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD【解析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解； 当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.12．已知函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11xg x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（ ） A ．1αβ+= B ．αββα=+C ．32αβ-<-D ．2αβ->-【答案】BD【分析】先说明,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称，由题意可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，化简可得αββα=+，判断B;写出αβ+的表达式，利用基本不等式可判断4αβ+>，判断A;利用零点存在定理判断出322α<<，写出αβ-的表达式，由此设函数13,(2)1()12x h x x x <<-=--，根据其单调性可判断C,D . 【详解】对于函数,11xy x x =≠- ，有,11y x y y =≠-， 即函数,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称， 由题意函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β， 可知α为(),21,1x xy y x x ==>-的图象的交点的横坐标， β为()2,log ,11xy y x x x ==>-的图象的交点的横坐标， 如图示，可得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，则2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=， 故1)(0ααβ--=，即αββα=+，故B 正确； 由题意可知1,10αα>∴-> ， 所以11(111122241)11ααααβαααα+=-+=-+-++≥-⋅≥--， 由于()22221220,2f α=-≠-∴-≠=，即4αβ+>，A 错误； 因为32332232123220f ⎛⎫=- ⎪⎝=-->⎭，()22202221f =-=-<-， 且()()21111x f x x x =-+>-为单调减函数， 故()()211x x f x x x =->-在3(,2)2上存在唯一的零点 ，即322α<< ，故13,(2)1112αβαααααα-=-=--<<--， 设13,(2)1()12x h x x x <<-=--，则该函数为单调递增函数， 故3311()122322212()h h x >=--=->--，且1(2)211()02h h x =--=-<，故3202αβ-<-<-<， 故C 错误，D 正确， 故选：BD【点睛】关键点点睛：解答本题要注意到函数图象的特点，即对称性的应用，解答的关键在于根据题意推得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，从而可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，然后写出αβ+以及αβ-的表达式，问题可解.三、填空题13．已知()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---.若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________. 【答案】13-【分析】利用三角函数的诱导公式化简()f θ，结果为cos θ，结合π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，再利用诱导公式化简5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为πcos()6θ--，即得答案.【详解】由题意()()()()π3πsin cos tan π(cos )sin (tan )22cos tan πsin π(tan )(sin )f θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===-----， 由π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，故5π5πππ1cos cos[π()]cos()66663f θθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：13-14．若正数a ，b 满足24log log 8a b +=，48log log 2a b +=，则82log log a b +的值为__________. 【答案】523-【分析】根据对数的运算性质列出方程组求出22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩即可求解.【详解】因为24log log 8a b +=，所以221log log 82a b +=，又因为48log log 2a b +=，所以2211log log 223a b +=，联立22221log log 8211log log 223a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩，所以8222152log log log log 33a b a b +=+=-，故答案为：523-. 15．已知实数,[0,2]a b ∈，且844a b +=，则22b a -的最大值是_______________． 【答案】2【分析】由已知可得22b a-=，令2a x =，构造函数()[1,4]f x x =∈，根据函数的单调性，即可求出最大值. 【详解】解：由844a b +=，可知()()()()22844222222b a b a b a b a =-=-=+-， 则82222b a b a -=+，且有2b =22b a ∴-=，令2a x =，[0,2]a ∈()[1,4]f x x =∈，可知()f x 在[1,4]上单调递减，max 8()(1)24f x f ∴====，即22b a -的最大值是2， 故答案为：2.16．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=，其中0P ，k 是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，那么经过_______h 污染物减少50%（精确到1h ）？取lg 0.50.3=-，lg 0.90.045=- 【答案】33【分析】代入给定的公式即可求解. 【详解】由题知， 当0=t 时，解得0P P =，当5t =时，()500110%ekP P P -=-=，解得：1ln 0.95k =-， 所以500.9t P P =， 当050%P P =时，则有：50000.950%0.5tP P P ==， 即50.90.5t=，解得：0.9lg 0.50.35log 0.55533lg 0.90.45t -==⨯=⨯≈-. 故答案为：33.四、解答题17．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()21sin sin sin cos cos αβααβ+=.(1)解关于x 的不等式2tan cos tan 0x x βαβ-+<的解集（解集用α的三角值表示）； (2)求tan β的最大值.【答案】(1)1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】(1)根据题意2sin cos tan 1sin ααβα=+，用α的三角函数值替换β的三角函数值，从而解一元二次不等式即可； (2)利用基本不等式求解. 【详解】（1）2sin cos tan 1sin ααβα=+，∴()22sin 1sin sin 0x x ααα-++<， ()()sin 1sin 0x x αα⋅--<，因为1sin sin αα<所以1sin sin x αα<<， ∴原不等式解集1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）222sin cos tan tan 2sin cos 2tan 1αααβααα===++当且仅当22tan 1α=即tan α=时取得等号.18．中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了min t 会与时针重合，一天内分针和时针重合n 次.(1)建立t 关于n 的函数关系；(2)求一天内分针和时针重合的次数n .【答案】(1)72011t n =. (2)22次. 【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案；（2）根据时针旋转一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案. 【详解】（1）设经过min t 分针就与时针重合，n 为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为()2ππrad/min 6030=， 时针旋转的角速度为()2ππrad/min 1260360=⨯，所以ππ2π30360t n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即72011t n =. （2）因为时针旋转一天所需的时间为24601440⨯=（min ），所以720144011n ≤，于是22≤n , 故时针与分针一天内只重合22次.19．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ弧度．．后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=.(1)求函数()y f θ=的解析式，并求π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)若()f θ=()0,πθ∈，求4πtan 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，12(2) 【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；（1）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.【详解】（1）因为1sin 2α=-，且0m <，所以7π6α=，由此得()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ππ7π5π1sin sin 33662f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由()f θ=知7ππsin sin 664θθ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由于()0,πθ∈，得ππ7π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，与此同时πsin 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以πcos 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭由平方关系解得：πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin cos 4π36tan tan ππ33cos sin 36θθπθθθθ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=-=== ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．已知函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++（a 为常数）.(1)当1a =，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（参考数据：lg30.5=，lg50.7=） (2)若函数()f x 为偶函数，求()f x 在区间[]2,1--上的值域.【答案】(1)0.3 (2)999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算；(2)根据偶函数的性质列方程求a ，判断函数的单调性，利用单调性求值域.【详解】（1）当1a =时，()lg 254x x f x -=-，此时1122119lg 254lg 2lg 2lg3lg510.70.3255f -⎛⎫-=-=-==-=-= ⎪⎝⎭（2）函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++的定义域为()(),00,∞-+∞，()110110lg 52lg 52lg lg 55x xx x x x x x f x a a ---+-=-++=+()lg 110lg5lg 110lg5x x x x a =--++- ()101101lg 52lg 52lg lg 22x x x x x x x xf x a a ---+=-++=+ ()lg 101lg2lg 110lg2x x x x a =--++-由偶函数的定义得恒有()()=f x f x -即：lg5lg5lg 2lg 2x x x x a a --=--也就是恒有()lg2lg5lg5lg2x x x xa -=-,所以1a =-当[]2,1x ∈--时，()()()1102lg 25lg 52lg lg 1101101x x x x x x x f x ---⎛⎫=--+==-+ ⎪++⎝⎭， 因为函数101x y =+为[]2,1--上的增函数，所以()f x 在[]2,1--单调递减，∴[]2,1x ∈--，()999lg ,lg 11101f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()f x 在[]2,1--上值域999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21．武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额Y （元）与发车时间间隔t （分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当812t ≤≤时，单程营业额Y 与60412t t-+成正比；当58t ≤≤时，单程营业额会在8t =时的基础上减少，减少的数量为()2408t -.(1)求当512t ≤≤时，单程营业额Y 关于发车间隔时间t 的函数表达式；(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均120t 次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间[]8,12t ∈，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额R 最大？求出该最大值.【答案】(1)2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. (2)10t =时，max 22080R =,【分析】（1）由题意设当812t ≤≤时的函数表达式，由12t =时满载求得比例系数，进而求得当58t ≤≤时表达式，写为分段函数形式，即得答案；（2）由题意可得6012040412R t t t ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈，采用换元并结合二次函数性质,求得答案. 【详解】（1）当812t ≤≤时，设60412Y a t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，a 为比例系数， 由12t =时满载可知55042200Y =⨯=， 即6041212220012a ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则40a =， 当8a =时，6040481214608Y ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭， 故当58t ≤≤时，()221460408406401100Y t t t -+=--=-, 故2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. （2）由题意可得6012040412R t t t⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 化简得211192001531R t t ⎛⎫=-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 令111,,812u u t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()2192001531R u u =-++， 当312(15)10u =-=-，即10t =时，[]108,12∈符合题意，此时max 22080R =. 22．已知函数()32x a f x x =+，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a 是常数. (1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)设函数()()2log g x f x a x =-，试问，函数()g x 是否有零点，若有，求a 的取值范围；若没有，说明理由.【答案】(1)⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭(2)答案见解析【分析】（1）利用分离参数法解决函数恒成立问题，结合定义法证明函数的单调性及单调性与最值的关系即可求解；（2）根据已知条件及函数零点的定义，结合函数最值即可求解.【详解】（1）若()0f x ≥恒成立，即恒有32x a x ≥-⋅设()2x h x x =-⋅，任取121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且满足12x x <，由于1222x x <，由不等式性质可得121222x x x x -⋅>-⋅，即()()12h x h x >， 所以函数()g x 在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以()max 12h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以3a ≥a ≥；所以a 的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. （2）由题意可知232log 0x a a x x +-=，即232log 0x a x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数2x y =单调递增，23log y x x =-单调递减， 所以231log ,72x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当0a ≥时，232log 0x a x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭； 当a<0时，2312log ,,22x y a x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦单调递增，2312log 7,42x y a x a a x ⎛⎫⎤=+-∈+ ⎪⎥⎝⎭⎦，70a >或1402a +<即07a <<或8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.综上，a >8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.。
高一年级数学期末测试试卷
高一年级数学期末测试试卷数学试题一、 单选题1．若集合{}2320A x ax x =-+=至多含有一个元素，则a 的取值范围是（ ）．A ．(]9,0,8⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭ C ．90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．90,8⎛⎤⎥⎝⎦2．①0∈∅，①{}∅∈∅，①{}0∅=，①满足{}1,2A ⊆ {}1,2,3,4的集合A 的个数是4个，以上叙述正确的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知a ∈R ，b ∈R ，若集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则20192020a b +的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．24．已知命题:R p x ∀∈，220x x a +->.则p 为假命题的充分不必要条件是（ ）A ．1a >-B ．1a <-C ．1a ≥-D ．1a ≤-5．已知正数x 、y 满足22933x y xy ++=，则3x y +的最大值为（ ）A ．1 BC ．2 D6．已知函数()2211,2,21x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪-⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]3,2--B ．[)3,0-C ．(],2-∞-D ．(],0-∞7．若1sin cos 3x x +=，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin cos x x -的值为（ ）A ．BC ．D ．138．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，对于()12,0,x x ∀∈+∞且12x x ≠，有()()1221210x f x x f x x x ->-，()216f =，142f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()00f =，则不等式()80f x x ->的解集为（ ）A ．()(),22,∞∞--⋃+B ．1,00,22⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭（） C ．()1,2,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D ．()1,02,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭ 二、多选题9．（多选）{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，且A B A ⋃=，则m 的可能值为（ ） A ．13- B ．13 C ．0 D ．12- 10．下列推理正确的是（ ）A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11a b >D ．若a b c >>，则a c b c a b a c-->-- 11．下列说法正确的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,4B ．()12x f x x +=+图象关于点()2,1-成中心对称C ．函数1y x =的单调递减区间是()(),00,∞-+∞D ．幂函数()()23433m f x m m x -=-+在()0,∞+上为减函数，则m 的值为1 12．若函数244y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]8,4--，则实数m 的值可能为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5 三、填空题13．函数()221log 5428xy x x =+-+-的定义域_____ 14．已知π1cos 62α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________. 15．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．16．设函数()23y g x =-+是奇函数，函数()132x f x x -=+的图像与()g x 的图像有2022个交点，则这些交点的横，纵坐标之和等于_________ 四、解答题17．已知非空集合{|121}P x a x a =+≤≤+，{|25}Q x x =-≤≤．(1)若3a =，求R ()P Q ⋂；(2)若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．若函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x =． (1)求a 、b 的值；(2)若不等式()220x x f k -⋅≥在[1,1]x ∈-上有解，求实数k 的取值范围；19．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数()33x f x a -=--（0a > 且1a ≠）的定点M .(1)求sin 2cos +tan ααα-的值；(2)求()()()()3πsin πcos 2tan 3πcos 2πsin ααααα⎛⎫++- ⎪⎝⎭-+-+-的值.20．某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3x -与1t +成反比例，当年促销费用0=t 万元时，年销量是1万件．已知每一年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．(1)求x 关于t 的函数；(2)将下一年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数；(3)该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）21．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈（1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同实根，求实数a 的取值.22．已知函数2()1|1|f x x k x =---，k ①R ．(1)若()y f x =为偶函数，求k 的值；(2)若()y f x =有且仅有一个零点，求k 的取值范围；(3)求()y f x =在区间[0,2]上的最大值．。
2022-2023学年天津市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年天津市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．若{}24xA x =<，{}12B x x =∈-<N ，则A B =（ ）A ．{}12x x -<<B ．{}0,1C ．{}1D ．{}13x x -<<【答案】B【分析】分别解指数不等式与绝对值不等式，列举法写出集合B ，再求交集可得结果. 【详解】∵242x x <⇒<，|1|213x x -<⇒-<< ∴{|2}A x x =<，{0,1,2}B = ∴{0,1}A B =. 故选：B.2．命题“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为（ ） A ．x ∃∈R ，210x x ++≥ B ．x R ∃∉，210x x ++≥ C ．x ∀∈R ，210x x ++≥ D ．x R ∀∉，210x x ++≥【答案】C【分析】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解. 【详解】“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为“x ∀∈R ，210x x ++≥”， 故选：C.3．已知3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35B ．45C ．35 D ．45-【答案】C【分析】利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项. 【详解】因为23sin sin cos cos 362665πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题4．已知在三角形ABC 中，1sin 3A =，则()cosBC +的值等于（ ）A B ．C ．D ．89【答案】C【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为在三角形ABC 中，πA B C ++=，则πC B A +=-， 所以()cos =cos(π)cos B C A A +-=-，又1sin 3A =，所以cos A ==所以()cos =B C +± 故选：C .5．若0.62a =，πlog 3b =，22πlog sin 3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【分析】利用指数、对数的单调性，以及三角函数特殊值，即可得出结果. 【详解】解：0.60221a =>=， πππ0log 1log 3log π1=<<=，01b <<，2222log sin πlog log 103c ==<=，∴a b c >>， 故选：A.6．要得到函数()sin(2)4f x x π=+的图象，可将函数()cos2g x x =的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向左平移8π个单位 C ．向右平移4π个单位D ．向右平移8π个单位【答案】D【分析】先将cos2x 转化为sin[2()]4x π+，由此根据三角函数图像变换的知识判断出正确选项.【详解】()cos2sin(2)sin[2()]24g x x x x ππ==+=+，()sin[2()]8f x x π=+，因为()()848x x πππ+=+-，所以需要将()g x 的图象向右平移8π个单位. 故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，0πϕ≤<2，若对x ∀∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ=（ ）A ．π6B ．5π6C ．7π6D ．11π6【答案】D【分析】根据题意可知，函数()()sin 2f x x ϕ=+在π3x =时取最大值，所以2ππ22π,Z 3k k ϕ⨯+=+∈，根据0πϕ≤<2即可求得ϕ的值.【详解】由函数()()sin 2f x x ϕ=+对x ∀∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可知函数()()sin 2f x x ϕ=+在π3x =时取最大值，即ππsin 2133f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，2ππ22π,Z 3k k ϕ⨯+=+∈，即π2ππ2π2π,Z 236k k k ϕ=-+=-+∈ 又因为0πϕ≤<2， 所以1k =时，π611ϕ= 故选：D 8．函数()sin 2cos x xf x x=-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的x ∈R ，2cos 0x ->，则函数()f x 的定义域为R ，()()()()sin sin 2cos 2cos x x x xf x f x x x---===---，则函数()f x 为偶函数，排除BC 选项，当02x π<<时，sin 0x >，则()sin 02cos x xf x x=>-，排除D 选项.故选：A.9．已知函数()()πsin 2cos 206f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．411,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．411,36⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．513,36⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】先化简函数式，然后根据x 的范围求出π23x ω+的范围，()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，再利用正弦函数相关知识求ω的范围．【详解】πππ3π()sin(2)cos2sin 2cos cos2sin cos 2cos2)66623f x x x x x x x x ωωωωωωωω=++=++++，因为当[]0,πx ∈时，πππ2,2π333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又因为()f x 在[]0,π上有且仅有3个零点，所以π3π2π4π3ω+<，综上：43611ω<， 故选：A10．已知函数()11,02lg ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在不相等的实数a ，b ，c ，d 满足()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围为（ ） A ．()0,+∞B ．812,10⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．612,10⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．810,10⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】将问题转化为y m =与|()|f x 图象的四个交点横坐标之和的范围，应用数形结合思想，结合对数函数的性质求目标式的范围.【详解】由题设，将问题转化为y m =与|()|f x 的图象有四个交点，1,221,20|()|2lg ,01lg ,1xx xx f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪+-<≤=⎨⎪-<≤⎪⎪>⎩，则在(,2]-∞-上递减且值域为[0,)+∞；在(2,0]-上递增且值域为(0,1]；在(0,1]上递减且值域为[0,)+∞，在(1,)+∞上递增且值域为(0,)+∞；|()|f x 的图象如下：所以01m <≤时，y m =与|()|f x 的图象有四个交点，不妨假设a b c d <<<， 由图及函数性质知：142011010a b c d -≤<-<≤<≤<<≤，易知：4a b +=-，101(2,]10c d +∈， 所以61(2,]10a b c d +++∈-. 故选：C二、填空题11．120318(π1)lg2lg52-⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭___________.【答案】4【分析】根据指数对数运算性质化简计算即可【详解】120318(π1)lg2lg52-⎛⎫+--++ ⎪⎝⎭()()()21313212lg 25--=+-+⨯4121=+-+ 4=故答案为：4.12．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm ，内弧线的长为20cm ，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm ，则该扇形的中心角的弧度数为____________．【答案】209【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为α的关系，可求得9cm OC =，进而可得该扇形的中心角的弧度数. 【详解】解：如图，依题意可得弧AB 的长为60cm ，弧CD 的长为20cm ，设扇形的中心角的弧度数为α 则,AB OA CD OC αα=⋅=⋅，则60320OA OC ==，即3OA OC =． 因为18cm AC =，所以9cm OC =，所以该扇形的中心角的弧度数209CD OC α==． 故答案为：209. 13．已知tan 2θ=，则2sin cos sin sin θθθθ++的值为______.【答案】2310【分析】进行切弦互化即可求值【详解】22222sin sin tan 4cos 1sin θθθθθ===-，∴24sin 5θ=，∴22sin cos 11423sin 1sin 1sin tan 2510θθθθθθ++=++=++=.故答案为：231014．函数()2sin cos f x x x =+在区间2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是______.【答案】14##0.25【分析】由题得()2cos cos 1f x x x =-++，转化为求函数()21g t t t =-++，12[]2t ∈-的最小值得解.【详解】解：()221cos cos cos cos 1f x x x x x =-+=-++，设π212cos ,[,π],[432t x x t =∈∴∈-，所以()21g t t t =-++，12[2t ∈-.二次函数抛物线的对称轴为112(1)2t =-=⨯-, 由于111112424g ⎛⎫-=--+= ⎪⎝⎭，212211124g +=-=>⎝⎭.所以函数的最小值是14.故答案为：1415．已知函数()()21ln 11f x x x=+-+，若实数a 满足()()313log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是______． 【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据奇偶性定义可判断出()f x 为定义在R 上的偶函数，从而将所求不等式化为()()32log 21f a f ≤；根据复合函数单调性的判断以及单调性的性质可确定()f x 在[)0,∞+上单调递增，由偶函数性质可知()f x 在(],0-∞上单调递减，由此可得3log 1a ≤，解不等式即可求得结果. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()()21ln 11f x x f x x-=+-=+， f x 为定义在R 上的偶函数，()()()()313333log log log log 2log f a f a f a f a f a ⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭；当0x ≥时，21y x =+单调递增，()2ln 1y x ∴=+在[)0,∞+上单调递增；又11y x=+在[)0,∞+上单调递减，f x 在[)0,∞+上单调递增，()f x 图象关于y 轴对称，f x 在(],0-∞上单调递减；则由()()32log 21f a f ≤得：3log 1a ≤，即31log 1a -≤≤，解得：133a ≤≤，即实数a 的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．已知关于x 函数()322253sin x tx x x tf x x t++++=+在[]2022,2022-上的最大值为M ，最小值N ，且2022+=M N ，则实数t 的值是______.【答案】1011【分析】先利用常数分离法化得函数3253sin ()x x x f x t x t ++=++，再构造函数()3253sin x x xg x x t++=+，判断得()g x 为奇函数，从而利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为()()233222253sin 53sin t x t x x x x tx x x t f x x t x t++++++++==++3253sin x x x t x t ++=++，[]2022,2022x -∈，令()3253sin x x xg x x t++=+，[]2022,2022x -∈，则()()f x g x t =+，因为()g x 定义域关于原点对称，()33225()3()sin()53sin ()()x x x x x xg x g x x t x t-+-+-----===--++， 所以()g x 是在[]2022,2022-上的奇函数， 故由奇函数的性质得()()max min 0g x g x +=，所以()()max min max min ()()2022M N f x f x g x t g x t +=+=+++=， 所以22022t =，则1011t =. 故答案为：1011.【点睛】关键点睛：由于奇函数的图像关于原点对称，所以其最大值与最小值也关于原点对称，这一性质是解决本题的关键所在.三、解答题17．已知0,022ππαβ<<<<，且3cos ,cos()510ααβ=+=. (1)求sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求β的值.【答案】 (2)4πβ=.【分析】（1）由同角平方关系可得4sin 5α，再由二倍角正余弦公式有7cos 225α=-、24sin 225α=，最后利用和角正弦公式求值.（2）由题设可得sin()αβ+=，根据()βαβα=+-，结合差角余弦公式求出β对应三角函数值，由角的范围确定角的大小. 【详解】（1）由02πα<<，3cos 5α=，则4sin 5α， 所以27cos 22cos 125αα=-=-，24sin 22sin cos 25ααα==，而17sin 22cos 2)425αααπ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭（2）由题设0αβ<+<π，而cos()αβ+=sin()10αβ+=，而cos cos[()]cos()cos 3sin (45)si 5n βαβααβααβα=+-=+++==又02βπ<<，则4πβ=.18．已知函数ππ())cos()sin(2π)(0)44f x x x x ωωωω=+⋅+-+>，且函数()f x 的最小正周期为π．(1)求函数()f x 的解析式； (2)若将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值，并指出此时x 的值．【答案】(1)()2sin(2)3f x x π=+(2)0x =时，最小值为 512x π=时，最大值为 2．【分析】（1）利用三角恒等变换可得π()2sin(2)3f x x ω=+，再由最小正周期可得解；（2）利用三角函数的图象变换可得π()2sin(2)3g x x =-，再利用整体法可得解.【详解】（1）∵函数ππ())cos()sin(2π)44f x x x x ωωω=+⋅+-+ππ)sin 22sin 22sin(2)23x x x x x ωωωωω=++=+=+的最小正周期为π，∴2ππ2ω=，解得1ω=，π()2sin(2)3f x x ∴=+. （2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度， 得到函数πππ()2sin 2()2sin(2)333g x x x ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦的图象，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当233x ππ-=-，即当0x =时，函数()g x 取得最小值为当ππ232x -=，即当5π12x =时，函数()g x 取得最大值为 2．19．已知函数()2cos 2cos f x x x x =+. (1)求函数()f x 的周期和单调递减区间；(2)将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到()g x 的图象，已知()02313g x =，0,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 值.【答案】(1)π，()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先根据三角函数的平移变换规则求出()g x 的解析式，根据()02313g x =，得到05sin 2613x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的基本关系求出0cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，最后根据两角和的余弦公式计算可得；【详解】（1）解：∵()2cos 2cos f x x x x =+2cos 21x x =++122cos 212x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期22T ππ==， 令()3222262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得()263k x k k ππππ+≤≤+∈Z . 故函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）解：由题意可得()2sin 212sin 216666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵()002sin 2163231g x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，∴05sin 2613x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以052266x πππ≤-≤，则012cos 2613x π⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，因此0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦125113132=-⨯=. 20．已知函数2()1mx nf x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =．（1）求()f x 的解析式；（2）已知0a >，0b >，且128a b+=，若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，求实数t 的取值范围．【答案】（Ⅰ）22()1x f x x =+；（Ⅱ）(2⎤⎦． 【解析】（1）根据题意分析可得()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解可得m 、n 的值，则可得出函数()f x 的解析式； （2）因为128a b +=，所以112282b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开利用基本不等式可得122b a +≥， 则只需使1()2f t >，然后求解不等式即可解得实数t 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意，函数2()1mx n f x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数， 则(0)0f =，可得0n =，则2()1mx f x x =+， 又由()11f =得，则12m =，可得2m =， 则22()1x f x x =+． （2）因为0a >，0b >，且128a b+=，所以1121211222828282b b b a a a a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22b a a b =，即14a =，12b =时，等号成立， 若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，则1()2f t >，即22112t t >+，解得：22t <[]1,1t ∈-，所以实数t 的取值范围是(2⎤⎦．【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解函数的解析式，考查基本不等式的运用，解答本题时注意以下几点：（1）当奇函数()f x 在0x =处有意义时，则有()00f =；（2）若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，只需使min ()2b f t a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，然后根据128a b +=，利用基本不等式求解2b a +的最小值．。
2022-2023学年西藏拉萨市第二高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
★启用前秘密★拉萨市第二高级中学2022-2023学年度第一学期期末测试高 一 年级 数学 试卷命题人： 时间： 120 分钟 满分： 150分 得分：一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，则M ∩N ＝（）A. {0，－1}B. {1}C. {0}D. {－1，1}【答案】B 【解析】【分析】利用集合之间的交集运算即得结果.【详解】因为集合M ＝{－1，1}，N ＝{－2，1，0}，所以M ∩N ＝{1}.故选：B.【点睛】本题考查了集合之间的交集运算，属于简单题.2. 命题的否定为（ ）2“R,10”x x x ∀∈++>A.B.2R,10x x x ∀∈++≤2R,10x x ∀∉++≤C.D.2000R,10x x x ∃∈++≤2000R,10x x x ∃∉++≤【答案】C 【解析】【分析】利用特称量词对全称命题进行否定.【详解】因为利用特称量词对全称命题进行否定，所以命题的否定为“2“R,10”x x x ∀∈++>”.2000R,10x x x ∃∈++≤故选：C 3. 函数）()f x =A. B. C.D.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()(),33,-∞+∞ ()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】由，即可求得函数的定义域.230x -≥()f x 【详解】由，即，230x -≥32x ≥所以函数的定义域为.()f x 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故选：A.4. 若，则下列不等式中不正确的是（ ）110a b <<A. B. C. D. a b ab +<2b aa b+>2ab b>22a b<【答案】C 【解析】【分析】，可得，则根据不等式的性质逐一分析选项，A ：，，所以110a b <<0b a <<0a b +<0ab >成立；B ：，则，根据基本不等式以及等号成立的条件则可判断；C ：a b ab +<0b a <<0,0b aa b >>且，根据可乘性可知结果；D ：，根据乘方性可判断结果.b a <0b <0b a <<【详解】A：由题意，不等式，可得，11a b <<0b a <<则，，所以成立，所以A 是正确的；0a b +<0ab >a b ab +<B ：由，则，所以，因为，所以等号不成立，所以0b a <<0,0b aa b >>2b a a b +≥=a b ¹成立，所以B 是正确的；2b aa b +>C ：由且，根据不等式的性质，可得，所以C 不正确；b a <0b <2ab b <D ：由，可得，所以D 是正确的，0b a <<22a b <故选C.【点睛】本题考查不等式的性质，不等式等号成立的条件，熟记不等式的性质是解题的关键，属于基础题.5. 不等式的解集是（ ）2320x x --≥A.B.213x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭213x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C. D. 213x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或213x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或【答案】C 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．【详解】解：232(32)(1)0x x x x --=+-≥解得：.213x x ≤-≥或故选：C.6. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）()(R,R)f x k x k αα=⋅∈∈(14,2k α+=A. B. C. D. 121322【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数的概念求出，再代入点的坐标可求出，即可得解.1k =α【详解】因为函数为幂函数，所以，则，()f x 1k =()f x x α=又因为的图象经过点，所以，得，()f x (14,2142α=12α=-所以.11122k α+=-=故选：A 7. 函数的图象如图所示，则（ ）()f xA. 函数在上单调递增()f x []1,2-B. 函数在上单调递减()f x []1,2-C. 函数在上单调递减()f x []1,4-D. 函数在上单调递增()f x []2,4【答案】A 【解析】【分析】根据函数图像分析直接得解.【详解】由图像可知，图像在上从左到右是“上升”的，则函数在上是单调递增的；图像[]1,2-()f x []1,2-在上从左到右是“下降”的，则函数在上是单调递减的.[]2,4()f x []2,4故选：A.8. 函数的值域是（ ）2222x y x -=+A. ， B. C. ， D. (1-1](1,1)-[1-1](2,2)-【答案】A 【解析】【分析】把已知函数解析式变形，由 可得的范围，进一步求得函数值域.222x ≥+212x +【详解】因为，2222222422412x x y x x x --+==-=-++++，，222x +≥ 210221x +∴<≤则，24220x +<≤24121x -++∴-<≤1所以函数的值域是2222x y x -=+(]1,1-故选：A.9. 下列函数是奇函数且在上是减函数的是（）[0,)+∞A.B. C. D.1()f x x=()||f x x =-3()f x x =-2()f x x =-【答案】C 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可；【详解】解：对于A ：定义域为，故A 错误；1()f x x ={}|0x x ≠对于B ：，所以，故为偶函数，故B 错误；()||f x x =-()||||()f x x x f x -=--=-=()||f x x =-对于C ：为奇函数，且在上单调递减，故C 正确；3()f x x =-R 对于D ：为偶函数，故D 错误；2()f x x =-故选：C10. 下列转化结果错误的是（）A. 化成弧度是B. 化成弧度是60 π3150-76-C. 化成度是D. 化成度是10π3-600- π1215【答案】B 【解析】【分析】利用角度与弧度的互化逐项判断可得出合适的选项.【详解】，，，ππ60601803=⨯= π5π1501501806-=-⨯=- 10π1018060033-=-⨯=-.π1180151212=⨯= 故选：B.11. 化简的结果是（ ）()()sin 2cos 633sin cos 22παπααπαπ---⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A. B. 1C. D. 21-2-【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式化简求解即可.【详解】原式()()sin cos sin 2cos 222ααπππαπα-⋅-=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin cos sin cos 22ααππαα-⋅=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.sin cos sin cos 1cos sin sin cos 22ααααππαααα-⋅-⋅===-⋅⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B12. 若，，，则、、的大小关系为（ ）2log 3a =33b -=31log 2c =a b c A. B. C. D. b a c >>b c a>>a c b>>a b c>>【答案】D 【解析】【分析】利用对数函数的单调性结合中间值法判断可得出结论.【详解】因为，，，故.22log 3log 21a =>=31327b -==331log log 102c =<=a b c >>故选：D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．直接写出最简结果．）13. 设函数，则_____()34,00,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩()()3f f -=【答案】5【解析】【分析】由函数的解析式由内到外可计算出的值.()f x ()()3ff -【详解】由题意可得.()()()030345f f f -==+=故答案为：.514. 化简________43251log 5log 88-⎛⎫-⋅=⎪⎝⎭【答案】13【解析】【分析】利用指数的运算性质以及换底公式化简可得结果.【详解】原式.()433ln 53ln 2216313ln 2ln 5--=-⋅=-=故答案为：.1315. 若一个扇形的圆心角是，面积为，则这个扇形的半径为________452π【答案】4【解析】【分析】将扇形的圆心角化为弧度，利用扇形的面积公式可求得该扇形的半径长.【详解】设该扇形的半径为，，该扇形的面积为，解得.r π454=21π2π24S r =⨯⨯=4r =故答案为：.416. 已知，都是正实数，且，则的最小值为___________.x y 2x y xy +=xy 【答案】8【解析】【分析】由，即可求解.2xy x y =+≥0≥【详解】由，都是正实数，且，x y 2x y xy +=可得，2xy x y =+≥0≥≥8xy ≥当且仅当时，即时，等号成立，2x y =4,2x y ==所以的最小值为.xy 8故答案为：.8三、解答题（本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分．要求写出必要的计算或证明过程，按主要考查步骤给分．）17. 计算下列各式的值：（1）；2013112726-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）.7log 2325log lg 25lg 47log 5log 4++-+⋅【答案】（1） 112（2）114【解析】【分析】（1）利用指数的运算性质计算可得所求代数式的值；（2）利用对数的运算性质以及换底公式计算可得出所求代数式的值.【小问1详解】解：原式.11134122=-+-=【小问2详解】解：原式.()343ln 52ln 2311log 3lg 2542222ln 2ln 544=+⨯-+⋅=+-+=18. 已知集合．{}1|4,|32212A x x B x a x a ⎧⎫=-<<=-<<+⎨⎬⎩⎭（1）当时，求；0a =A B ⋂（2）若，求的取值范围．A B ⋂=∅a 【答案】（1） 1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）[)3,2,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）当时，，即可解决；（2）分，两种情况解决即可.0a ={}|21B x x =-<<B =∅B ≠∅【小问1详解】由题知，，{}1|4,|32212A x x B x a x a ⎧⎫=-<<=-<<+⎨⎬⎩⎭当时，，0a ={}|21B x x =-<<所以.1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭【小问2详解】由题知，{}1|4,|32212A x x B x a x a ⎧⎫=-<<=-<<+⎨⎬⎩⎭因为，A B ⋂=∅所以当时，解得，满足题意；B =∅3221,a a -≥+3a ≥当时，或，B ≠∅32211212a a a -<+⎧⎪⎨+≤-⎪⎩3221324a a a -<+⎧⎨-≥⎩解得，或，34a ≤-23a ≤<综上所述，的取值范围为，a [)3,2,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 19. （1）已知，为第三象限角，求的值；3cos 5α=-αsin α（2）已知，计算的值.tan 3α=4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+【答案】（1）；（2）.4sin 5α=-57【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系可求得的值；sin α（2）利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】解：（1）因为为第三象限角，则；α4sin 5α==-（2）.4sin 2cos 4tan 243255cos 3sin 53tan 5337αααααα--⨯-===+++⨯20. 已知为二次函数，且满足：对称轴为，．()y f x =1x =(2)3,(3)0f f =-=（1）求函数的解析式，并求图象的顶点坐标；()f x ()y f x =（2）在给出的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的单调区间．|()|y f x =|()|yf x =【答案】（1）,顶点坐标为. 2()23f x x x =--()1,4-（2）图象见解析，函数的增区间为：，函数的减区间为：.[][)1,1,3,-+∞(][],1,1,3-∞-【解析】【分析】(1)根据已知条件列出方程组即可求解；(2)作出函数图象可求解.【小问1详解】设函数为，2()f x ax bx c =++所以解得，所以，12423930b x a a b c a b c ⎧=-=⎪⎪++=-⎨⎪++=⎪⎩123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩2()23f x x x =--所以，所以顶点坐标为.(1)4f =-()1,4-【小问2详解】图象如图所示，函数的增区间为：，函数的减区间为：.[][)1,1,3,-+∞(][],1,1,3-∞-21. 已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，其中0<a <1.（1）求函数f (x )的定义域；（2）若函数f (x )的最小值为－4，求a 的值.【答案】（1）()3,1-（2【解析】【分析】（1）根据对数函数真数大于0求解定义域；（2）根据函数单调性求最小值，列出方程，求出a 的值.【小问1详解】要使函数有意义，则有,解得：，所以函数的定义域为.1030x x ->⎧⎨+>⎩31x -<<()3,1-【小问2详解】函数可化为，因为，所()()()()()22log 13log 23log 14a a a f x x x x x x ⎡⎤=-+=--+=-++⎣⎦()3,1x ∈-以.()20144x <-++≤因为，所以，01a <<()2log 14log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦即，由，得，所以.()min log 4a f x =log 44a =-44a -=144a -==22. 已知函数,其中为非零实数, ,.()bf x ax x =-,a b 1122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()724f =（1）判断函数的奇偶性,并求的值；,a b （2）用定义证明在上是增函数.()f x ()0,∞+【答案】（1）；（2）证明见解析.11,2a b ==【解析】【分析】(1)由奇函数的定义可得函数为奇函数,由已知条件列方程组可解得答案;(2)利用取值,作差,变形,判号,下结论五个步骤可证在上是增函数.()f x ()0,∞+【详解】（1）函数定义域为,关于原点对称， ()(),00,-∞⋃+∞由,()()()b b f x a x ax f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭ 得函数为奇函数，由,()117,2224f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得,11172,22224a b a b -=--=解得；11,2a b ==(2).由(1)得,任取,且,则()12f x x x =-()12,0,x x ∈+∞12x x <()()()()1212121212122112111122222x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=---=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12121()12x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为,且,()12,0,x x ∈+∞12x x <所以,所以,即，121102x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上是增函数.()f x ()0,∞+【点睛】本题考查了函数的奇偶性,考查了用定义证明函数的单调性,掌握函数奇偶性和单调性的定义是解题关键.属于基础题.。
2022-2023学年安徽省阜阳市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年安徽省阜阳市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则1}{0|A x x -≥={0,1,2}B =A B = A ．B ．C ．D ．{0}{1}{1,2}{0,1,2}【答案】C【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果．【详解】解：由集合A 得,x 1≥所以{}A B 1,2⋂=故答案选C.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．2．已知存在量词命题，，则命题的否定是（ ）:p x ∃∈R 210x +≤p A ．，B ．，x ∃∈R 210x +>x ∀∈R 210x +>C ．，D ．，x ∃∈R 210x +≤x ∀∈R 210x +≥【答案】B【分析】根据特称命题的否定形式书写即可.【详解】因为命题，，:p x ∃∈R 210x +≤则命题的否定为：，p R,210x x ∀∈+>故选：.B 3．下列函数中，周期为的是（ ）2πA ．y ＝sinB ．y ＝sin2x 2xC ．y ＝cosD ．y ＝cos(－4x )4x【答案】D【解析】根据周期公式求解即可.【详解】根据公式2T ωπ=的周期为，故A 错误；sin2xy =4T π=的周期为，故B 错误；sin 2y x =T π=的周期为，故C 错误；cos4xy =8T π=的周期为，故D 正确；cos(4)y x =-2T π=故选：D【点睛】本题主要考查了求正弦型函数和余弦型函数的周期，属于基础题.4．已知，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）1.42.25log 0.6,3,0.9a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c <<a c b<<c<a<b b<c<a【答案】B【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；【详解】解：因为，即，，即，，即55log 0.6log 10<=a<0 1.41333>=3b >202.100.90.9<<=，所以01c <<b c a>>故选：B 5．函数的零点所在的一个区间是（ ）()()3log 21+f x x x =+-A ．B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】A【解析】将选项中区间的端点代入运算，然后利用零点存在性定理判断零点所在区间.【详解】解：因为函数，所以，()()3log 21f x x =+-3(0)log 210f =-<，3(1)log (12)+111>0f =+-=所以，(0)(1)0f f <根据零点存在性定理，函数的零点所在的一个区间是，3()log (2)1f x x x =++-(0,1)故选：A.6．函数的部分图像大致为（ ）()2sin 1xf x x =+A ．B ．C．D ．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性和特殊区间的函数值确定正确选项.【详解】的定义域为，，所以为奇函数，排除AB 选项.()f x R ()()2sin 1xf x f x x --==-+()f x 当时，，，由此排除C 选项.()0,x π∈sin 0x >()0f x >故选：D7．医学家们为了揭示药物在人体内吸收､排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x (单位：)与给药时间t (单位：)近似满足函数关系式mg h ，其中，k 分别称为给药速率和药物消除速率(单位：).经测试发现，当()01kt k x e k -=-0k mg /h 时，，则该药物的消除速率k 的值约为()（ ）23t =02k x k =ln 20.69≈A ．B ．C ．D ．31003101031003【答案】A【解析】将，代入，得到，再解方程即可.23t =02k x k =()01kt kx e k -=-2312ke -=【详解】由题知：将，代入，23t =02k x k =()01kt k x e k -=-得：，化简得.()230012k k k e k k -=-2312ke -=即，解得.1ln232k=-ln 20.6932323100k =≈=故选：A8．已知且，若函数的值域为[1，+∞），则的取值范围是（ ）0a >1a ≠3,2()log ,2a x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩a A ．B ．C ．D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭()1,+∞()1,2(]1,2【答案】D【分析】首先求出当时，的取值范围，再根据对数函数的单调性求出的值域，结合2x ≤()f x 2x >分段函数的值域即可求解.【详解】由函数，3,2()log ,2a x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩当时，，2x ≤()3321f x x =-≥-=当时，，若时，2x >()log a f x x=01a <<函数单调递减，所以，()log log 20a a f x x =<<若时，函数单调递增，所以，1a >()log log 2a a f x x =>又因为分段函数的值域为[1，+∞），所以，，1a >log 21log a a a ≥=所以.12a <≤所以的取值范围是.a (]1,2故选：D二、多选题9．下列关系式正确的是（ ）A ．B ．{0}∅∈{2}{1,2}⊆CD ．⊆Q 0∈Z【答案】BD【分析】由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断可得答案.【详解】对于A 选项，由于符号用于元素与集合间，是任何集合的子集，所以应为，∈∅{0}∅⊆A 错误；对于B 选项，根据子集的定义可知，B 正确；{2}{1,2}⊆对于C 选项，由于符号用于集合与集合间，C 错误； ⊆对于D 选项，是整数集，所以正确.Z 0∈Z 故选：BD.10．已知，则下列不等式成立的是（ ）01a b <<<A ．B ．1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln ln a b>C ．D ．11a b >11ln ln a b>【答案】ACD【解析】根据指数函数、对数函数的单调性进行判断.【详解】解：因为，为减函数，01a b <<<1()2xy =所以，1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，为增函数，01a b <<<ln y x =所以，ln ln 0a b <<又因为在区间上为减函数，在区间上也为减函数，1y x =(),0∞-()0,∞+所以，同理可得，，11ln ln a b >11a b >故选：ACD【点睛】本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的单调性是关键.11．已知，且，则下列结果正确的是（ ）1sin cos 8αα=ππ42α<<A ．B ．sin cos αα+=cos sin αα-=C ．D ．cos sin αα-=tan 4α=【答案】ACD【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可.【详解】因为，()2225sin cos sin cos 2sin cos 4αααααα+=++=且，所以所以ππ42α<<sin cos 0,αα+>sin cos αα+=故A 正确；，()2223cos sin cos sin 2sin cos 4αααααα-=+-=且，所以所以，ππ42α<<sin cos αα>cos sin αα-=B 错误，C 正确；联立sin cos cos sin αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以D正确；sin tan 4cos ααα==+故选:ACD.12．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>ϕπ<确的是（ ）A ．23πϕ=-B ．函数图象的对称轴为直线()f x ()7212k x k ππ=+∈Z C ．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象()fx 3π()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦A ⎡-⎣a 133,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【解析】利用函数图象求出函数的解析式，可判断A 选项的正误；解方程()f x 可判断B 选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C 选项的正误；()2232x k k πππ-=+∈Z 由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D 选项的正误.2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦223x π-a 【详解】对于A 选项，由图可知，2A =设函数的最小正周期为，则，，，则()f x T 73312644T πππ⎛⎫--== ⎪⎝⎭T π∴=22T πω∴==，()()2sin 2f x x ϕ=+由得，解得，772sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()7262k k ππϕπ+=+∈Z ()223k k πϕπ=-+∈Z 又，，，A 正确；ϕπ<23πϕ∴=-()22sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭对于B 选项，由，得，B 正确；()2232x k k πππ-=+∈Z ()7212k x k ππ=+∈Z 对于C 选项，将函数的图象向左平移个单位长度，()f x 3π得的图象，C 错误；()22sin 22sin 2333g x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D 选项，由得，2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2222,2333x a πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦由的图象可知，要使函数在区间上的值域为，2sin y t =()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡-⎣则，解得，D 正确.3272233a πππ≤-≤133122a ππ≤≤故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下：()()sin f x A x bωϕ=++（1）求、，；A ()()max min:2f x f x b A -=()()max min2f x f x b +=（2）求出函数的最小正周期，进而得出；T 2T πω=（3）取特殊点代入函数可求得的值.ϕ三、填空题13．已知一个扇形的面积为，圆心角为，则其半径为___________.π3π6【答案】2【分析】利用扇形面积公式即可求得该扇形的半径【详解】扇形的面积为，圆心角，设其半径为r,π3S =π6α=则由，可得21122S lr r α==2r ====故答案为：214．已知或，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_______．:1p x >3x <-:q x a >qp a 【答案】[)1,+∞【分析】依题意可得推得出，推不出，即可求出参数的取值范围；qp p q【详解】解：因为是的充分不必要条件，所以推得出，推不出，qp qp p q又或，，:1p x >3x <-:q x a >所以，即；1a ≥[)1,a ∈+∞故答案为：[)1,+∞15．已知函数（且）恒过定点，且满足，其中()log 11a y x =-+0a >1a ≠()00,A x y 001mx ny +=m ，n 是正实数，则的最小值__________．21m n +【答案】9【分析】根据对数函数的性质确定定点坐标，结合基本不等式“1”的妙用求最值即可.【详解】解：函数，当时，，所以函数恒过定点，()log 11a y x =-+2x =1y =()2,1A 所以，其中m ，n 是正实数，21m n +=所以，当且仅当时，即()21212224159n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭22n m m n =时等号成立，13m n ==则的最小值为.21m n +9故答案为：.916．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是3(2)1()21(2)x x x f x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩()()=-g x f x k k _______【答案】()0,1【分析】画出函数图象，将问题转化为函数与有个交点，数形结合即可得解.()y f x =y k =3【详解】解：由函数，可得函数图象如下所示：3(2)1()21(2)x x x f x x ⎧≥⎪-=⎨⎪-<⎩令，则，即与有个交点，()()0g x f x k =-=()f x k =()y f x =y k =3由图可知，实数的取值范围是．k ()0,1故答案为：()0,1四、解答题17．（1）计算；25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭（2）求值：．()23227lg4lg250.528-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）．052-【分析】（1）根据诱导公式及特殊角的三角函数值即得；（2）根据对数及指数的运算法则运算即得.【详解】（1）原式；π4π3π1π11sincos tan cos 106342322=-+=+-=-=（2）原式.()()2332395lg 4252222242⎡⎤⎛⎫=⨯--⨯=-⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦18．已知角满足αsin cos αα-=(1)若角是第一象限角，求的值；αtan α(2)若角是第三象限角，，求的值.α()()()()()sin πtan 5πcos π3πtan 2πcos 2f αααααα-++=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()f α【答案】(1)12(2)()f α=【分析】（1）利用同角三角函数基本关系先求得的值，进而求得的值；cos ,sin ααtan α（2）先利用三角函数诱导公式化简，进而求得的值.()f α()f α【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，22sin cos sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩消去得，sinα25cos 20αα-=解得cos α=cosα=又角是第一象限角，则．α1cos tan 2ααα==（2）因为角是第三象限角，所以αcos α=，()()()()()sin πtan 5πcos π3πtan 2πcos 2f αααααα-++=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin tan cos cos tan sin αααααα--==--所以()f α=19．若定义在上的函数为奇函数.[]1,1-()141x f x a =++（1）求的值；a （2）判断的单调性（无需证明），并求的解集.()f x ()()1f m f m -<【答案】（1）；（2）12a =-10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用奇函数的性质，求后，再验证；()00f =a （2）利用函数的定义域和单调性，解抽象不等式.【详解】（1）因为函数是定义在的奇函数，所以，[]1,1-()1002f a =+=得，12a =-此时，，()11241xf x =-++()1114241214x x x f x --=-+=-+++，满足函数是奇函数，所以成立；()()0f x f x -+=12a =-（2）是减函数，()11241xf x =-++所以，解得：，111111m m m m -≤-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩102m ≤<所以不等式的解集是()()1f m f m -<10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭20．已知函数的最小正周期为.()π2sin 1(0)3f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭π(1)求的值；π6f ⎛⎫⎪⎝⎭(2)求函数的单调递减区间：()f x (3)若，求的最值.π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)π16f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3)最大值为3，最小值为1+【分析】（1）由最小正周期，求得，得到，再求；ω()f x 6f π⎛⎫⎪⎝⎭（2）整体代入法求函数的单调递减区间；（3）由的取值范围，得到的取值范围，可确定最值点，算出最值.x π23x +【详解】（1）由最小正周期公式得：，故，2ππω=2ω=所以，所以.()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭πππ2sin 211663f ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）令，解得，ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤+≤+∈π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈故函数的单调递减区间是.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）因为，所以，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当，即时，的最大值为3，ππ232x +=π12x =()f x 当，即时，的最小值为.π4π233x+=π2x =()f x 121．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本为万元，且.()P x 322128,1100100()()175,100300x x x x P x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪=∈⎨⎪++>⎪⎩N (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台机器人?(2)现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落n 袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量为（单位：()8(50),12551000,25n n n q n n ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1000件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少?【答案】(1)使每台机器人的平均成本最低，问应买150台机器人(2)引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少155人【分析】（1）由题意，整理每台机器人的平均成本的函数解析式，利用二次函数的性质以及基本不等式，比较大小，可得答案；（2）根据每台机器人的日平均分拣量的函数，根据二次函数的性质，求得最值，进而求得引进机器人直线，所需人数，可得答案.【详解】（1）由题意，每台机器人的平均成本，()()2128,1100100,N 1751,100300x x x P x y x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪==∈⎨⎪++>⎪⎩当时，，易知该开口向上的二次函数的对称轴为直线，则此时，1100≤≤x 2128100y x x =-+50x =当时，；50x =2min 15050283100y =⨯-+=当时，，当且仅当，即时，等号成立；100x >175112300y x x =++≥+=175300x x =150x =由，则使每台机器人的平均成本最低，问应买150台机器人.32>（2）当时，，；令 易知该开口向下的二次125n ≤≤()()288508055q n n n n n =-=-+28805y x x=-+函数的对称轴为直线，则此时，当时，8025825x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭25n =，()()max 825502512005q n =⨯⨯-=由，则在上的最大值为，此时，即引进机器人后，日平均分拣12001000>()q n *N n ∈120025n =量的最大值为（件）.1501200180000⨯=（人），（人）.1800001000180÷=18025155-=故引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少155人.22．已知函数．()2442f x x mx m =-++(1)若的图象与x 轴的两个不同交点的横坐标分别为，，求的取值范围；()f x 1x 2x 2212x x +(2)若在上是减函数，且对任意的，，总有()2442f x x mx m =-++(],1-∞1x []22,1x m ∈-+成立，求实数m 的取值范围．()()1264f x f x -≤【答案】(1)1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)‒12≤m ≤4【分析】（1）求得的范围，利用韦达定理代入，然后配方求得答0∆>m ()2221212122x x x x x x +=+-案；（2）在上是减函数求得的范围，转化为，求出、()f x (],1-∞m ()()max min 64f x f x -≤()max f x ，然后解不等式可得答案．()minf x 【详解】（1）由题意可知方程有两个不相等的实数根，，24420x mx m -++=1x 2x 由韦达定理得，，12x x m +=1224m x x +=所以，解得或，()()244420m m ∆=--⨯+>m>21m <-，()22222121212211722416m x x x x x x m m +⎛⎫+=+-=-=--⎪⎝⎭令，()2117416m g m ⎛⎫--⎪⎝⎭=则当时，，当时，，m>2()211722416g m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭>1m <-()2117114162g m ⎛⎫---= ⎪⎝⎭>所以，所以，即的取值范围为．()12g m >221212x x +>2212x x +1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）函数图象的对称轴为直线，在上是减函数，()2442f x x mx m =-++2mx =()f x (],1-∞所以有，即，12m ≥2m ≥又因为对任意的，，总有，1x []22,1x m ∈-+()()()()12max min f x f x f x f x -≤-要使成立，则必有，()()1264f x f x -≤()()max min 64f x f x -≤在区间上，在上单调递减，在上单调递增，[]2,1m -+()f x 2,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,12m m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦又，所以，，()1222m m m +-<--()()max 2918f x f m =-=+()2min 22m f x f m m ⎛⎫==-++ ⎪⎝⎭所以有，即，解得，()2918264m m m +--++≤28480m m +-≤124m -≤≤综上，实数m 的取值范围是．‒12≤m ≤4。
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高一年级数学试题
一、选择题(4’×12=48’)
1.半径是20㎝的轮子按逆时针方旋转，若轮周上一点转过的弧长是40㎝，则轮子转过的弧度数是……………………………………………………………………（ ）
(A)2
(B)－2
(C)4
(D)－4
2.在0°～360°范围内，与－1185°24’终边相同的角是…………………（ ）
(A)254°36’
(B)254°24’
(C)105°24’
(D)105°36’
3.已知0cot sin <•θθ，则α是……………………………………………………（ ）
(A)第二像限角 (B)第四像限角
(C)第二或第三像限角 (D)第二或第四像限角
4. 在[- π,π]内是增函数，又是奇函数的函数是:
（A ）. y=sin2x （B ）.y= cos x/2（C ）. y = -sin x/4 （D ）. y=sin x/2 5. 下列不等式中成立的一个是：
(A). sin1<sin2 (B). cos1<cos2 (C). tg1< tg2 (D). ctg1< ctg2
6.︒-460cos 12=……………………………………………………………………（ ）
(A)︒-460sin
(B)︒10cos
(C)︒-230sin
(D)︒80cos
7.已知α
αα
ααcos 3sin 2cos sin ,2tan +--=则的值是……………………………………（
）
(A)－1
(B)1
(C)－3
(D)3
8.函数]2
,6[,cos π
π-
∈=x x y 值域是…………………………………………（ ）
(A)[0，1] (B)[－1，1]
(C)[0，2
3
]
(D)]1,2
1[-
9.已知=-=+-
=-)sin(,2
1
sin cos ,43cos sin αββαβα则…………………（ ）
(A)
32
19
(B)32
19-
(C)0
(D)19
16-
10.设868cos 1,18tan 118tan ,5sin 435cos 412︒-=︒
-︒=︒+︒=q n m ，则有（
）
(A)m<n<q
(B)m<q<n
(C)q<n<m
(D)q<m<n
11. 函数 y=cos(x+π)+1的单调递增区间为（ ） (A)
(B)
(C)
(D)
12. f (x) 是定义域为R, 最小正周期为3π/2的函数, 若 则:
A. 1
B.
C. 0
D.
二、填空题(5’×4=20’)
13. 若 y = 5 tg (3kx+π/ 4)的最小正周期为π/6, 则k=______________.
14. 已知曲线y = Asin(ωx+ φ)+k 在同一个周期内的最高点的坐标为 (π/8, 4), 最低点的坐标为(5π/8, -2), 此曲线的一个函数表达式是 ____________________________________________
15.已知s (]π2,0,6
1
∈-
=x inx ，则x=_____________________________(用反正弦表示). 16.设函数)sin()(ϕω+=x x f (2
2
,0π
ϕπ
ω<
<-
>)，给出以下四个论断：
①它的图像关于直线12
π
=
x 对称； ②它的图像关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,3π对称 ③它的周期是π ④在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
0,6π上是增函数
以其中两个论断作为条件，余下作为结论，写出你认为正确的一个命题为_______
_______________________________________________________________________ 三、解答题（共32’） 17.已知角α的终边经过点P(7m,—24m)(m<0)，求
α
αα
cos sin 2sin 1++的值
18. 已知10
27cos ,21)tan(),,0(,-==-∈ββαπβα，求βα-2的值（12’）
19.已知函数R x x y ∈-
=),4
2sin(2π
①用“五点法”画出函数的简图
②说明由正弦函数y=sinx ，R x ∈的图像经过如何变换可以得出)4
2sin(2π
-=x y ，R
x ∈的图像。
③根据图像写出此函数单调区间，并求出函数取得最大值时x 的集合。
20、设函数f(x)=4cos2x(cos2x-1)+3-4cos2x. (1)求使f(x)>0的x 取值范围；
(2)求x 为何值时，f(x)取得最大值和最小值。