人教版九年级数学《切线长定理及三角形的内切圆》优质课导学案
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：切线长定理三角形的内切圆内心》优课导学案_0
切线长定理
一、教学目标：
知识目标：1．理解切线长的概念。
2．掌握切线长定理及其应用。
能力目标：培养学生识图能力和逻辑思维能力。
情感目标：激发学生学习兴趣，培养探索精神和创新能力。
德育目标：渗透事物之间相互转化的思想，培养学生良好的学习习惯
和严谨的思维品质。
二、教学重点：切线长定理的应用。
教学难点：切线长定理的灵活应用。
突破关键：切线长定理的理解。
教学方法：观察、探究、讨论、概括等多种方法。
三、教学过程：
2.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，若∠APB=60°，PA=6cm，那么⊙O
是 .
探究加深：
芜湖经济技术开发区
九年级数学公开课
课题：§24.2.2直线和圆的位置关系（第三课时）
切线长定理
授课：张晓明
时间：2012年10月31日
班级：芜湖市第33中学
（安师大附中城北分校）
九（3）班。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了切线长定理和三角形内切圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
三角形内切圆的部分，学生们在小组讨论和实验操作中表现出了很高的热情。通过实际操作，他们能够更好地掌握内切圆半径的计算方法，这也证明了实践活动在数学教学中的重要性。今后，我会继续加大实践环节的比重，让学生在实践中学习和探索。
在小组讨论环节，我发现有些学生较为内向，不太愿意主动表达自己的观点。为了鼓励他们积极参与，我会在今后的教学中更加关注这些学生，多给予他们肯定和鼓励，提高他们的自信心。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“切线长定理和三角形内切圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
24.2.2切线长定理和三角形的内切圆（教案）
一、教学内容
本节课选自教材24.2.2节，主要内容包括：
1.切线长定理：探讨圆的切线与半径的关系，推导并掌握切线长定理，即从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
2.三角形的内切圆：介绍三角形内切圆的概念，探讨内切圆的半径与三角形面积的关系，掌握内切圆半径的计算公式。
新人教版九年级数学上册《切线长定理及角形内切圆》导学案
O BA P新人教版九年级数学上册《切线长定理及角形内切圆》导学案主备人审核人审批人 授课人 授课 时间[来源:Z_xx_]班级 姓名 小组课题 24.2.2切线长定理及角形内切圆课型 探究课[来源学科网]课时1四、反馈提升2如图在△ABC 中，内切圆I 与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，∠ B ＝60°，∠C ＝70°，求∠EDF 的度数。
网ZXXK]五、达标测评、过圆外一点作圆的切线，这点和______________，叫做这点到圆的切线长。
2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．3、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆； 内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。
4、作三角形两内角的平分线，两角平分线的交点就是[来源:学。
科。
网Z 。
X 。
X 。
K]内切圆的圆心， 是内切圆的圆心。
5、如图，PA,PB,分别切⊙O 于点A,B,∠P=70°， ∠C 等于_______________ 。
6、在⊿ABC 中，∠A=50° （1）若点O 是⊿ABC 的外心，则∠BOC= _________________ . (2) 若点O 是⊿ABC 的内心，则∠BOC=______________7．如图所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，[来源学科网]求证∠ABO =12∠APB.学法指导栏学习 目标1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。
学习 重点 理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明学习 难点会作已知三角形的内切圆题教师“复备栏”或学生“笔记栏”学习过程：一、 情景引入或知识回顾 1、 二、自主学习只限于演的有几种位置关系？分别是那几种？ _________________________________________________2、 判断直线与圆相切有几种方法？如何判断直线与圆相切？ _________________________________________3、 角平分线的判定和性质是什么？ ________________________________.二、自主学习自学教材自学教材P 96---P 98，思考下列问题 （1）通过自学教材P98页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？（2）通过自学教材P98页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． （3））通过自学教材P98页的探究你知道如何证明切线长定理吗？如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ． 证明：__________________ ____________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________（4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。
最新人教版九年级数学上册《切线长定理》优质教案
第3课时 切线长定理1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC)＋(CF ＋PF)＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD.由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以CD＝12BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD)2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等． 【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E)上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N.若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC.又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C.三、板书设计教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.学生励志寄语：同学们，通过这节课的学习，你们学到了哪些知识？要珍惜时间好好学习，要明白时间就像日历一样，撕掉一张就不会再回来。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：切线长定理三角形的内切圆内心》优质课教案_1
《切线长定理》教案教学目标1．知识与技能：理解切线长的概念，掌握切线长定理的内容，并会运用切线长定理解决相关的问题.2．过程与方法：通过复习引导给出切线长定义，经过实验、猜想、证明发现切线长定理。
培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．3．情感、态度和价值观：通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．教学重点切线长定理及其运用.教学难点切线长定理的导出及证明和运用定理解决实际问题.教学过程(一)情景引入由如何求“V ”形支架內篮球的半径而引出切线长.(二)探求新知活动一：切线长定义如图，已知⊙O外一点P,过P作⊙O的切线PA，切点为A，则P点与A点之间的线段长度，就是P点到⊙O的切线长.切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.（引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.）活动二：过圆外一点最多可以引圆的几条线.（演示）过圆外一点最多可以引圆的两条切线.活动三：观察：如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，则线段PA，PB都是点P到⊙O的切线长．1、提出问题：（1）线段PA与PB的长度有什么关系呢.(2)连接PO,则∠OPA与∠OPB的大小有什么关系.2、观察：在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？3、猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO4、证明猜想，形成定理(猜想的结论正确性，需要理论证明．)如图，P是⊙O外一点，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B为切点.求证：PA=PB . ∠OPA＝∠OPB.（组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(板书）几何语言：∵PA ,PB切于A ,B.∴PA=PB . ∠APO=∠BPO.（切线长定理为证明线段相等和角相等提供了新的方法。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：切线长定理三角形的内切圆内心》优课教案_0
24.2.2 切线长定理教学目标 1．了解切线长的概念．2．理解切线长定理，熟练掌握它的应用．教学重难点 重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题 教学过程一、探索新知：（自学课本99页）1、议一议 切线长：经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 切线和切线长是两个不同的概念：（1）、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； （2）、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。
2、折一折已知⊙o 及⊙o 外的一点P ，PA 与⊙o 相切于A 点，连接OA 、OP ，如果将⊙o 沿直线OP 翻折，在⊙o 上存在一点与A 点重合吗？这时，OB 是⊙O 的一条半径吗？PB 是⊙O 的切线吗？3、猜一猜如图，PA 、PB 是的两条切线，A 、B 为切点，猜想：PA 、PB 有什么关系？∠OPA 、∠OPB 有什么关系？4、证一证已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，求证：PA ＝PB ，∠OPA ＝∠OPB.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．∵ PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B.∴PA = PB ， ∠OPA=∠OPB5、想一想在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。
（1） 分别连结圆心和切点（2） 连结两切点（3） 连结圆心和圆外一点写出图中所有的垂直关系；写出图中所有的全等三角形；写出图中所有的等腰三角形．二、例题点拨：【例题1】如图,PA,PB 是☉O 的切线,A,B 为切点,∠OAB=30°.(1)求∠APB 的度数. (2)当OA=3时,求切线长PA.【例题2】已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：AC∥OP．三、学以致用：1、如图,已知⊙O的半径为3cm，PO＝6cm，PA，PB分别切⊙O于A，B，（1）PA＝______（2）若PO交⊙O于点Q，直线CD切⊙O于点Q，交PA、PB于点C、D，则△PCD的周长是______2、如图，AD是⊙O的直径，AB、BC、DC是切线，点A、E、D为切点，若DC=9，AB=4，求圆O的半径长.四、课堂小结：通过这节课，你有什么收获？五、课堂延伸：如图：从⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于点A和B，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E.且∠P=40°, PA=6.求:⑴求△PDE的周长. (2)求∠DOE的度数.。
新人教版初中数学九年级上册《第二十四章圆：切线长定理三角形的内切圆内心》优质课教学设计_2
教师引导学生将“三角形 的三条角平分线交于一 点，这点与三边距离相 等”和“圆心与圆上各点 距离都等于半径”结合， 理解三角形的内切圆的 概念.
从旧知识出发，呼 应引课问题，自然 引出三角形的内 切圆概念，便于 学生理解
D
A
O C
⑵ ∠DOE的大小是定值（∠AOB/2） E B
( 3) 若∠P=40° ，你能说出 ∠DOE的度数吗？
70°
四、小结归纳 1．圆的切线长概念和定理； 2．三角形的内切圆及内心的概念 五、测评
理清题意，观察图形，结 合题中条件思考解题思 路，综合运用勾股定理、 一元二次方程的根与系 数的关系和切线长定理.
例1 已知：如图, △ABC的内切圆⊙O与BC 、 CA、 AB 分别相切于点D 、 E 、 F ，且AB＝ 9厘米，BC ＝14厘米,CA ＝13厘米,求AF、BD、 CE的长。
A
E
F
O
B
D
C
学生审题，思考利用切线 长定理求出三角形三边 的长度，从题中条件 “ABC 的面积为 6”出 发，作辅助线，再以面 积为等量关系，建立以 r 为未知数的方程.
学生理解点到圆的切线 长概念，初步感知圆的切 线长定理.
使学生结合图形 理解概念ຫໍສະໝຸດ 从上面的操作及圆的对称性可得：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
2.几何证明．
如图，已知 PA、PB 是⊙O 的两条切线．求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB． 分析：据所要证明的结论在图中分布的位置特点和已知条件，易得只 要证明两个对应的三角形全等即可. 得到 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，
九年级数学《切线长定理》导学案
九年级数学《切线长定理》导学案学习目标：1、了解切线长的定义，掌握切线长定理2、能利用切线长定理解决问题学具准备：圆规、直尺、三角板、量角器等作图工具及练习本学习过程：一、复习旧知切线的判定和性质是什么？二、课堂导学阅读书上99页，完成以下问题：1、切线长定义：过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的，这一点和圆心的连线。
三、课内探究：〔一〕探究切线长的定义：过⊙O外任意一点P，画出⊙O的所有切线。
·OP引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
区别切线切线长〔三〕探究切线长定理：1、猜测上图中，PA与PB、∠APO与∠BPO有什么数量关系？2、尝试通过测量或对折验证猜测。
3、推理证明。
得到：切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的，这一点和圆心的连线。
4、定理用几何语言表达为∵∴5、衔接中考：如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，假设∠C＝65°，〔1〕求∠P的度数；〔2〕假设AO＝3，OP=5,求PB的长；〔四〕拓展提升如图：〔见ppt〕假设PA、PB是⊙O的两条切线A、B为切点，直线OP交⊙O于D、E，交AB于点C(1)请写出图中所有相等的线段(2)请写出图中所有的垂直关系(3)请写出图中与∠APO相等的角(4)请写出图中所有的等腰三角形(5) 请写出图中所有的全等三角形(五)课堂小结畅所欲言，查漏补缺四、课后作业如图PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°。
〔1〕求∠APB的度数；〔2〕当OA=3时，求AP的长。
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《切线长定理及三角形的内切圆》导学案
学习目标
1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。
2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点）
3、会作已知三角形的内切圆（重点）
教学流程
一、 知识准备：
1、 只限于演的有几种位置关系？分别是哪几种？
2、 判断直线与圆相切有几种方法？如何判断直线与圆相切？
3、 角平分线的判定和性质是什么？
二、 引入课题
过圆上一点可以作圆的一条切线，那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？从而引入课题。
三、 自学新知：
1自学教材自学教材P 96---P 98，思考下列问题
（1）通过自学教材P98页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？
（2）通过自学教材P98页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． （3））通过自学教材P98页的探究你知道如何证明切线长定理吗？
如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ． 证明：__________________ ____________________________________ ____________________________________
____________________________________
____________________________________ ____________________________________
（4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。
（5）__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。
四．当堂检测
1、过圆外一点作圆的切线，这点和 ，叫做这点到圆的切线长。
2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．
3、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆； 内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。
4、作三角形两内角的平分线，两角平分线的交点就是
内切圆的圆心， 是内切圆的圆心。
5、如图，PA,PB,分别切⊙O 于点A,B,∠P=70°，
∠C 等于 。
6、在⊿ABC 中，∠A=50°
（1）若点O 是⊿ABC 的外心，则∠BOC= . (2) 若点O 是⊿ABC 的内心，则∠BOC= .
五、典型精析：
例1：如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA=3时，求AP 的长．
例2如图在△ABC 中，内切圆I 与边BC 、CA 、AB 分别相切于点
∠B ＝60°，∠C ＝70°，求∠EDF 的度数。
例3 ：（教材97页例2）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB=9cm ，BC=14cm,CA=13cm,求AF 、BD 、CE 的长。
六、课堂小结
B C
七、作业布置
作业设计
一、选择题．
1．如图1，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，
则∠ACB=（ ）．
A ．60°
B ．75°
C ．105°
D ．120°
B
P
(1) (2) (3) (4)
2．从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，•从这点到圆的最短距离为
（ ）．
A ．
B ．9）
C ．9）
D ．9
3．圆外一点P ，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，C 为优弧AB 上一点，若∠ACB=a ，则∠APB=（ ）
A ．180°-a
B ．90°-a
C ．90°+a
D ．180°-2a 二、填空题
1．如图2，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线，分别相交于C 、D ，•已知PA=7cm ，则△PCD 的周长等于_________．
2．如图3，边长为a 的正三角形的内切圆半径是_________．
3．如图4，圆O 内切Rt △ABC ，切点分别是D 、E 、F ，则四边形OECF 是_______． 三、综合提高题
1．如图所示，EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，• 如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A 的度数．
E
2．如图所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，
A 求证∠ABO=
1
2
∠
APB.
、
3、如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC 的面积为6．求内切圆的半径r ．。