数学中考二轮 探索规律题型 专题复习 20题(含答案)
2023年+九年级数学中考二轮复习选择题专题提升训练 探索与表达规律(含答案)
2023年春九年级数学中考二轮复习《探索与表达规律》选择题专题提升训练（附答案）1．根据图中数字的规律，则代数式x﹣（y﹣x）的值是（ ）A．﹣396B．﹣398C．﹣400D．﹣4022．将全体自然数按如图的方式进行排列，按照这样的排列规律，2021应位于（ ）A．A位B．B位C．C位D．D位3．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2021次输出的结果是（ ）A．3B．4C．7D．84．技一定规律排列的多项式：﹣x+，…，根据上述规律，则第2022个多项式是（ ）A．B．C．D．5．一只小球落在数轴上的某点P0，第一次从P0向左跳1个单位到P1，第二次从P1向右跳2个单位到P2，第三次从P2向左跳3个单位到P3，第四次从P3向右跳4个单位到P4…若按以上规律跳了100次时，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是200，则这只小球的初始位置点P0所表示的数是（ ）A．﹣149B．149C．﹣150D．1506．如图，数轴上O，A两点的距离为1，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…处，问经过这样2021次跳动后的点A2021与点O的距离是（ ）A．B．C．D．7．已知a1+a2＝1，a2+a3＝2，a3+a4＝﹣3，a4+a5＝﹣4，a5+a6＝5，a6+a7＝6，a7+a8＝﹣7，a8+a9＝﹣8，…，a99+a100＝﹣99，a100+a1＝﹣100，那么a1+a2+a3+…+a100的值为（ ）A．﹣48B．﹣50C．﹣98D．﹣1008．已知a1＝+＝，a2＝+＝，a3＝+＝，…，依据上述规律，则a99＝（ ）A．B．C．D．9．观察下列关于x的单项式，探究其规律，x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2021个单项式是（ ）A．4041x2021B．4042x2021C．4043x2021D．4044x202110．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A n，如果点A n与原点的距离不小于17，那么n的最小值是（ ）A．9B．10C．11D．1211．观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；……，已知按一定规律排列的一组数：2501，2502，2503，……，2999，21000．若2500＝a，用含a的式子表示这组数之和是（ ）A．2a2﹣2a B．2a10﹣2a5﹣2C．2a2﹣a D．2a20﹣a12．把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，…，则第6个数字是（ ）A．114B．120C．124D．13113．将自然数按照下列规律排列成一个数阵根据规律，自然数2021应该排在从上往下数的第m行，是该行中从左往右数的第n个数，那么m+n＝（ ）A．129B．130C．131D．13214．对于正数x，规定f（x）＝，例如f（4）＝，，则f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…的结果是（ ）A．B．4039C．D．404115．观察下列等式第1层1+2＝3第2层4+5+6＝7+8第3层9+10+11+12＝13+14+15第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24……在上述数字宝塔中，从上往下数，数字2023所在的层数是（ ）A．43B．44C．45D．4616．一列数a1，a2，a3…a n，其中，则a1×a2×a3×…×a2020＝（ ）A．﹣1B．1C．2020D．﹣202017．观察下列等式（式子中的“!”是一种数学运算符号）1!＝1，2!＝2×1，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，…，那么计算的值是（ ）A．2018B．2019C．2020D．202118．将从1开始的自然数按规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第4列的数是（ ）A．2025B．2023C．2022D．202119．数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为CH3OH，乙醇化学式为C2H5OH，丙醇化学式为C3H7OH…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示（ ）A．∁n H3n OH B．∁n H2n﹣1OH C．∁n H2n+1OH D．∁n H2n OH20．若a≠2，则我们把称为a的“友好数”，如3的“友好数”是，﹣2的“友好数”是，已知a1＝3，a2是a1的“友好数”，a3是a2的“友好数”，a4是a3的“友好数”，……，依此类推，则a2021＝（ ）A．3B．﹣2C．D．参考答案1．解：由图知，22+1＝5，42+1＝17，62+1＝37，∴x＝82+1＝65，∵2×5+2＝12，4×17+4＝72，6×37+6＝228，∴8x+8＝y，即y＝8×65+8＝528，∴x﹣（y﹣x）＝65﹣（528﹣65）＝﹣398，故选：B．2．解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，∵2021是第2022个数，且2022÷4＝505......2，∴2021应位于第506循环组的第2个数，在B位．故选：B．3．解：根据题意可知：开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是3，第4次输出的结果是8，第5次输出的结果是4，第6次输出的结果是2，第7次输出的结果是1，第8次输出的结果是6，依次继续下去，…，发现规律：从第2次开始，6，3，8，4，2，1，每次6个数循环，因为（2021﹣1）÷6＝336…4，所以第2021次输出的结果与第5次输出的结果一样是4．故选：B．4．解：由多项式的变化可知，第n个多项式为（﹣1）n（2n﹣1）x n+（﹣1）n+1，∴第2022个多项式是4043x2022﹣，故选：D．5．解：由题知，小球每跳两次所表示的数加1，∵100÷2＝50，P100所表示的数是200，∴P0所表示的数是200﹣50＝150，故选：D．6．解：由题意知，2021次跳动后的点A2021与点O的距离是++++…+＝1﹣，∴2021次跳动后的点A2021与点A的距离是，故选：A．7．解：由题意得：a1+a2+a3+a4＝1﹣3＝﹣2，a5+a6+a7+a8＝5﹣7＝﹣2，…，则a1+a2+a3+…+a100＝（a1+a2+a3+a4）+（a5+a6+a7+a8）+…+（a97+a98+a99+a100）＝﹣2×（100÷4）＝﹣2×25＝﹣50．故选：B．8．解：由题中所给的式子可得，所有第一个加数分子是1，分母是三个连续自然数的乘积，第二个加数分子是1，分母是三个连续自然数中间的数，和的分母是三个连续自然数两端数的乘积，分子是三个连续自然数中间的数，…，所以a99＝+＝，故选：A．9．解：∵一列单项式为：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…，∴第n个单项式为（2n﹣1）x n，∴当n＝2021时，这个单项式是（2×2021﹣1）x2021＝4041x2021，故选：A．10．解：根据题目已知条件，A1表示的数，1﹣3＝﹣2；A2表示的数为﹣2+6＝4；A3表示的数为4﹣9＝﹣5；A4表示的数为﹣5+12＝7；A5表示的数为7﹣15＝﹣8；A6表示的数为7+3＝10，A7表示的数为﹣8﹣3＝﹣11，A8表示的数为10+3＝13，A9表示的数为﹣11﹣3＝﹣14，A10表示的数为13+3＝16，A11表示的数为﹣14﹣3＝﹣17．所以点A n与原点的距离不小于17，那么n的最小值是11．故选：C．11．解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…，∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴2501+2502+2503+…+2999+21000＝2500×（2+22+23+…+2499+2500）＝2500×（2500+1﹣2）＝2500×（2×2500﹣2），∵2500＝a，∴原式＝a（2a﹣2）＝2a2﹣2a．故选：A．12．解：∵第一个数字为0，第二个数字为0+6＝6，第三个数字为0+6+15＝21，第四个数字为0+6+15+24＝45，第五个数字为0+6+15+24+33＝78，第六个数字为0+6+15+24+33+42＝120．故选：B．13．解：∵每行的第一个数是（n﹣1）2，第n行的数字的个数是2n﹣1，∵第45行第一个数字为：（45﹣1）2＝1936，第46行第一个数字为：（46﹣1）2＝2025，∴2021在第45行，共有89个数，∵2021﹣1936＝85，∴2021在第（85+1）＝86（位），∴m＝45，n＝86，∴m+n＝131．故选：C．14．解：∵f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，…，∴f（2）+f（）＝＝1，f（3）+f（）＝＝1，∴f（x）+f（）＝1，∴f（2021）+f（2020）+…+f（2）+f（1）+f（）+…＝[f（2021）+f（）]+[f（2020）+f（）]+…+[f（2）+f（）]+f（1）＝1×（2021﹣1）+f（1）＝2020+＝．故选：C．15．解：第一层，第一个数是12＝1，最后一个数为22﹣1＝3，第二次，第一个数是22＝4，最后一个数是32﹣1＝8，第三层，第一个数是32＝9，最后一个数是42﹣1＝15，∴第n层，第一个数n2，最后一个数是（n+1）2﹣1，∵442＜2023＜452，∴第2023个数在第44层，故选：B．16．解：∵a1＝﹣1，∴，，，…得：这列数以﹣1，，2，每3个数重复出现，∵，2020÷3＝673…1，∴a2020＝﹣1，∴a1×a2×a3×…×a2020＝﹣1××2×…×（﹣1）＝1．故选：B．17．解：根据题中的新定义得：＝＝2021．故选：D．18．解：观察数字的变化，发现规律：第n行的第一个数为n2，所以第45行第一个数为452＝2025，再依次减1，到第4列，即452﹣3＝2022．故选：C．19．解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为a n，观察，发现规律：a1＝3＝2×1+1，a2＝5＝2×2+1，a3＝7＝2×3+1，…，∴a n＝2n+1．∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为∁n H2n+1OH．故选：C．20．解：∵a1＝3，a2是a1的“友好数”，∴a2＝＝﹣2，∵a3是a2的“友好数”，∴a3＝＝，∵a4是a3的“友好数”，∴a4＝＝，∵a5是a4的“友好数”，∴a5＝＝3，……∴每四个数是一组循环，∵2021÷4＝505…1，∴a2021＝a1＝3，故选：A．。
2021年九年级数学中考二轮复习探索规律专题突破训练：数字的变化规律(附答案)
2021年九年级数学中考二轮复习探索规律专题突破训练：数字的变化规律（附答案）1．计算1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2017+2018﹣2019﹣2020的值为（）A．0B．﹣1C．2020D．﹣20202．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……第2020个单项式是（）A．2020a B．﹣2020a C．a2020D．﹣a20203．已知函数f（x）＝，若M＝f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014），N＝f （）+f（）+f（）+…+f（）+f（），则M+N＝（）A．2014B．C．2013D．4．一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（）A．37B．41C．55D．715．在数列，，，，，，，，，，…中，请你观察数列的排列规律，推算该数列中的第5055个数为（）A．B．C．D．6．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，按如图所示进行排列，则﹣2021应排在（）A．A位置B．B位置C．D位置D．E位置7．已知f（1）＝2（取1×2的末位数字），f（2）＝6（取2×3的末位数字），f（3）＝2（取3×4的末位数字），…，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）的值为（）A．6B．4028C．4042D．40488．已知整数a1，a2，a3，a4，…，满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，…，依此类推，则a2035的值为（）A．﹣2035B．2035C．﹣1018D．﹣10179．一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗的取出，最终盒内都只剩下一颗糖，如果每次以11颗的取出，那么正好取完，则盒子里共有颗糖．10．按一定规律排列的一列数依次为，﹣，，﹣，，﹣，…，按此规律排列下去，这列数中第8个数是，第n个数是（n为正整数）．11．一组按规律排列的式子：，，，，，其中第8个式子是，第n个式子是（用含的n式子表示，n为正整数）．12．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，依此类推，则a2019的值为．13．设第n行第m个数为a n，m．满足a n，n＝a n，1＝，a n，m＝a n+1，m+a n+1，m+1，求a12，11＝．14．正整数按如图所示的规律排列，则第29行第30列的数字为．15．已知a1＝0，a n+1＝﹣|a n+n|（n≥1，且n为整数），则a2020的值是．16．正整数按如图的规律排列．请写出第20行，第21列的数字．17．观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．18．如果a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝4，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2022＝．19．观察下列两个数的积（这两个数的十位上的数相同，个位上的数的和等于10）；71×79＝5609；24×26＝624；35×35＝1225；53×57＝3021；…（1）计算83×87＝，552＝．（2）根据观察与计算能得出什么结论，请将它用文字或字母表示出来；（3）证明得出的结论．20．阅读材料：求1+2+22+23+…+22019+22020的值．解：设S＝1+2+22+23+…+22019+22020①，将等式①的两边同乘以2，得2S＝2+22+23+24+…+22020+22021②，用②﹣①得，2S﹣S＝22021﹣1，即S＝22021﹣1．即1+2+22+23+…+22019+22020＝22021﹣1．请仿照此法计算：（1）请直接填写1+2+22+23的值为；（2）求1+5+52+53+…+510的值；（3）请直接写出1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020﹣的值．21．我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若对于一个数列中任意相邻有序的三个数a，b，c总满足c＝ab+2a﹣b，则称这个数列为“梦数列”．（1）若0，1，﹣1，2，y是“梦数列”，则y＝；（2）如果数列…，x，3，6x﹣1，…是“梦数列”，求x的值；（3）如果数列…，2m，n，5…是“梦数列”，求代数式8m﹣2n+4mn﹣9的值．22．有一系列等式：第1个：52﹣12＝8×3；第2个：92﹣52＝8×7；第3个：132﹣92＝8×11；第4个：172﹣132＝8×15；……（1）请写出第5个等式：．（2）请写出第n个等式，并加以验证．（3）依据上述规律，计算：8×3+8×7+8×11+……+8×399．23．观察下列等式：＝1，＝，＝．将以上三个等式的两边分别相加，得：+＝1＝1＝．（1）直接写出计算结果：＝．（2）计算：．（3）猜想并直接写出：＝．（n 为正整数）24．阅读下列材料，然后回答问题：观察下列等式：＝1，＝，将以上三个等式相加得：＝1＝1＝．（1）猜想并写出：＝；（2）直接写出下列各式的结果：①＝；②＝；（3）探究并计算：．25．观察下列各式：12+32+42＝2×（12+32+3）；22+42+62＝2×（22+42+8）；32+52+82＝2×（32+52+15）；…（1）用a，b，c表示等式左边的由小到大的三个底数，发现c与a，b的数量关系是；（2）等式右边括号内的三个数可用a，b表示为：；（3）用a，b表示你发现的等式，并加以证明．26．定义一种新运算“⊙”，观察下列等式：①1⊙3＝1×3﹣（﹣1）﹣（﹣3）＝7，②（﹣1）⊙（﹣2）＝（﹣1）×（﹣2）﹣1﹣2＝﹣1，③0⊙（﹣2）＝0×（﹣2）﹣0﹣2＝﹣2，④4⊙（﹣3）＝4×（﹣3）﹣（﹣4）﹣3＝﹣11，…（1）计算（﹣5）⊙3的值；（2）有理数的加法和乘法运算满足交换律，“⊙”运算是否满足交换律？请说明理由．27．有一列数，按一定规律排成1，，，，，，…．（1）这列数中的第7个数是，第n个数是．（2）若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中最大的数是多少？28．观察下列等式：①1﹣1﹣＝﹣；②﹣﹣＝﹣；③﹣﹣＝﹣；④﹣﹣＝﹣；…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第⑤个等式；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）并证明其正确性．29．我们将不大于2020的正整数随机分为两组，第一组按照升序排列得到a1＜a2＜…＜a1010，第二组按照降序排列得到b1＞b2＞…＞b1010．求|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a1010﹣b1010|的所有可能值．30．观察下列等式：12＝；12+22＝；12+22+32＝；12+22+32+42＝；…（1）根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；（2）你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）．（3）根据你发现的规律，计算下面算式的值：62+72+82+92+…+592+602．参考答案1．解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四项结果为﹣4，∵2020÷4＝505，∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×505＝﹣2020．故选：D．2．解：∵一列单项式为：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，…，∴第n个单项式为（﹣1）n+1•a n，当n＝2020时，这个单项式是（﹣1）2020+1•a2020＝﹣a2020，故选：D．3．解：根据题意可知：f（2）＝＝，f（）＝÷（1+）＝，∴f（2）+f（）＝+＝1，…可得：f（2014）+f（）＝1，又∵f（1）＝，∴M+N＝2013+＝．故选：D．4．解：1＝1×2﹣1，5＝2×3﹣1，11＝3×4﹣1，19＝4×5﹣1，…第n个数为n（n+1）﹣1，则第7个数是：55．故选：C．5．解：观察数列发现规律：第n组的分数有n个，它们的分子是从1开始的连续自然数，分母是从n开始的连续降序自然数，因为前100组有：1+2+3+…+100＝5050个分数，所以5055个数在第101组的第5个，分母为101﹣4＝97，分子是5，所以第5055个数为：．故选：B．6．解：由图可知，每个凸起对应5个数字，这些数字的奇数都是负数，偶数都是正数，∵（2021﹣1）÷5＝2020÷5＝404，∴﹣2021应排在E位置，故选：D．7．解：∵f（1）＝2（取1×2的末位数字），f（2）＝6（取2×3的末位数字），f（3）＝2（取3×4的末位数字），f（4）＝0（取4×5的末位数字），f（5）＝0（取5×6的末位数字），f（6）＝2（取6×7的末位数字），f（7）＝6（取7×8的末位数字），f（8）＝2（取8×9的末位数字），f（9）＝0（取9×10的末位数字），f（10）＝0（取10×11的末位数字），f（11）＝2（取11×12的末位数字），…，可知末位数字以2，6，2，0，0依次出现，∵2021÷5＝404…1，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2021）＝（2+6+2+0+0）×404+2＝10×404+2＝4040+2＝4042，故选：C．8．解：由题意可得，a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣2，…，∵（2035﹣1）÷2＝2034÷2＝1017，∴a2035＝﹣1017，故选：D．9．解：已知如果每次11颗地取出正好取完，则盒子内糖数必为11的倍数．又知盒子里装有不多于200颗糖，则盒子内糖数可能为11、22、33、44、55、66、77、88、99、110、121、132、143、154、165、176、187、198．又已知如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，则盒子内糖数为12的倍数+1．又知盒子里装有不多于200颗糖则盒子内糖数可能为13，25，37，49，61，73，85，97，109，121，133，145，157，169，181，193．取上面两组数的交集可得121，故盒子里共有121颗糖．故答案为：121．10．解：根据分析可知：一列数依次为：，﹣，，﹣，，﹣，…，按此规律排列下去，则这列数中的第8个数是﹣，所以第n个数是：（﹣1）n+1（n是正整数）．故答案为：﹣；（﹣1）n+1．11．解：∵＝（﹣1）2•，﹣＝（﹣1）3•，＝（﹣1）4•，…∴第8个式子是，第n个式子为：（﹣1）n+1•．故答案是：；（﹣1）n+1•．12．解：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，a6＝﹣|a5+5|＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，a7＝﹣|a6+6|＝﹣|﹣3+6|＝﹣3，…，所以，n是奇数时，a n＝﹣（n﹣1），n是偶数时，a n＝﹣，∴a2019＝﹣（2019﹣1）＝﹣1009．故答案为：﹣1009．13．解：因为a n，n＝a n，1＝，所以a11，11＝a11，1＝，a12，12＝a12，1＝，因为a n，m＝a n+1，m+a n+1，m+1，所以a12，11＝a11，11﹣a12，12＝﹣＝．故答案为：．14．解：根据图表分析如下：第一行：首个数字1，横向箭头共有1个数字，第二行：首个数字4，横向箭头共有2个数字，第三行：首个数字9，横向箭头共有3个数字，第四行：首个数字16，横向箭头共有4个数字，可以发现每行首个数字是行数的平方，每行横向箭头数字个数等于行数，因此，第29行第30列的数字应该为第30行第1列上面的数字的平方减去30，302﹣30＝870．故答案为：870．15．解：∵a1＝0，a n+1＝﹣|a n+n|（n≥1，且n为整数），∴a2＝﹣|0+1|＝﹣1，a3＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，a4＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，a5＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，a6＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，a7＝﹣|﹣3+6|＝﹣3，…，∴a2020＝﹣＝﹣1010，故答案为：﹣1010．16．解：第一行第二列对应的数字为：2＝1×2，第二行第三列对应的数字为：6＝2×3，第三行第四列对应的数字为：12＝3×4，第四行第五列对应的数字为：20＝4×5，…第20行，第21列对应的数字为：20×21＝420；故答案为：420；17．解：观察下列一组数：﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n．故答案为：（﹣1）n．18．解：∵a1＝4a2＝＝＝﹣，a3＝＝＝，a4＝＝＝4，…数列以4，﹣，三个数依次不断循环，∵2022÷3＝674，∴a2022＝a3＝，故答案为：．19．解：（1）∵83×87＝7221，552＝3025，（2）可得规律为：十位上数字乘以十位上数字加一作为结果的千和百位数字，两个个位相乘作为结果的个位和十位．（3）设十位数字为x，个位数字为y，一个数为10x+y，则另一个数为10x+10﹣y＝10（x+1）﹣y，（10x+y）[10（x+1）﹣y]＝100x（x+1）+y（10﹣y），前一项就是十位上数字乘以十位上数字加一，后一项就是两个个位数字相乘．故答案为：（1）7221；3025．20．解：（1）1+2+22+23＝1+2+4+8＝15，故答案为：15；（2）设S＝1+5+52+53+ (510)则5S＝5+52+53+ (511)∴5S﹣S＝511﹣1，∴4S＝511﹣1，∴S＝，即1+5+52+53+…+510＝；（3）设S＝1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020，则10S＝10﹣102+103﹣104+105﹣…﹣102020+102021，∴S+10S＝1+102021，∴11S＝1+102021，∴S＝，∴1﹣10+102﹣103+104﹣105+…﹣102019+102020﹣＝﹣＝．21．解：（1）∵0，1，﹣1，2，y是“梦数列”，∴y＝﹣1×2+2×（﹣1）﹣2＝﹣2+（﹣2）+（﹣2）＝﹣6，故答案为：﹣6；（2）∵数列…，x，3，6x﹣1，…是“梦数列”，∴6x﹣1＝3x+2x﹣3，解得x＝﹣2，即x的值为﹣2；（3）∵数列…，2m，n，5…是“梦数列”，∴5＝2mn+4m﹣n，∴8m﹣2n+4mn﹣9＝2（2mn+4m﹣n）﹣9＝2×5﹣9＝1．22．解：（1）由题意可知：相间两个奇数的乘方差，等于这个两数的平均数的8倍，∴第5个等式为：212﹣172＝8×19，故答案为：212﹣172＝8×19；（2）第n个等式为：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8（4n﹣1）．验证：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝16n2+8n+1﹣（16n2﹣24n+9）＝32n﹣8＝8（4n﹣1），∴（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8（4n﹣1）；（3）8×3+8×7+8×11+……+8×399＝52﹣12+92﹣52+132﹣92+……+4012﹣3972＝4012﹣12＝402×400＝160800．23．解：（1）＝1﹣+…+＝1﹣＝，故答案为：；（2）＝1﹣+…+＝1﹣＝＝；（3）＝×（1﹣+…+）＝×（1﹣）＝×＝×＝，故答案为：．24．解：（1）由题意可得，＝，故答案为：；（2）①＝1﹣+…+＝1﹣＝，故答案为：；②＝＝1﹣+…+＝1﹣＝＝，故答案为：；（3）＝×（+…+）＝×（）＝×＝．25．解：（1）∵12+32+42＝2×（12+32+3）；22+42+62＝2×（22+42+8）；32+52+82＝2×（32+52+15）；…，∴用a，b，c表示等式左边的由小到大的三个底数，则c＝a+b，故答案为：c＝a+b；（2）∵12+32+42＝2×（12+32+3）；22+42+62＝2×（22+42+8）；32+52+82＝2×（32+52+15）；…，∴用a，b，c表示等式左边的由小到大的三个底数，则等式右边括号内的三个数可表示为a2+b2+ab，故答案为：a2+b2+ab；（3）a2+b2+（a+b）2＝2（a2+b2+ab），证明：∵a2+b2+（a+b）2＝a2+b2+a2+2ab+b2＝2（a2+b2+ab），∴a2+b2+（a+b）2＝2（a2+b2+ab）．26．解：（1）观察已知等式可知：（﹣5）⊙3＝﹣5×3﹣5﹣（﹣3）＝﹣17；（2）“⊙”运算满足交换律，理由如下：因为a⊙b＝ab﹣（﹣a）﹣（﹣b）＝ab+a+b；b⊙a＝ba﹣（﹣b）﹣（﹣a）＝ab+b+a＝ab+a+b＝a⊙b．所以a⊙b＝b⊙a．27．解：（1）∵一列数为1，，，，，，…．∴这列数的第n个数为，当n＝7时，这个数是＝﹣，故答案为：﹣，；（2）设这三个数是4x，﹣2x，x，则4x+（﹣2x）+x＝，解得x＝﹣，则﹣2x＝，4x＝﹣，故这三个数中最大的数是．28．解：（1）∵左边的第2项和第3项的分母分别是连续的奇数和偶数，右边的分母为是左边第2项和第3项的分母之积，∴第5个等式为：﹣﹣＝﹣；（2）第n个等式为：﹣﹣＝﹣，证明：左边＝＝﹣，右边＝﹣，∴左边＝右边，∴原式成立．29．解：（1）若a k≤1010，且b k≤1010，则a1＜a2＜…＜a k≤1010，1010≥b k＞b k+1＞…＞b1010，则a1，a2，…a k，b k，……，{b1010，共1011个数，不大于1010不可能；（2）若a k＞1010，且b k＞1010，则a1010＞a1009＞…＞a k+1＞a k＞1010及b1＞b2＞…＞b k＞1010，则${b}_{1}，……，{b}_{k}，{a}_{k}……{a}_{1010}共1011个数都大于100，也不可能；∴|a1﹣b1|，……，|a1010﹣b1010|中一个数大于1010，一个数不大于1010，∴|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a1010﹣b1010|＝1010×1010＝1020100．30．解：（1）12+22+32+42+52＝＝55，即12+22+32+42+52的值是55；（2）∵12＝；12+22＝；12+22+32＝；12+22+32+42＝；…∴第n个算式是12+22+32+…+n2＝；（3）62+72+82+92+…+592+602＝12+22+32+…+602﹣（12+22+32+42+52）＝﹣＝73810﹣55＝73755。
中考数学二轮专题复习：探索规律
35．猜想、探索规律型一、选择题1．如图，小陈从O 点出发，前进5米后向右转20O ， 再前进5米后又向右转20O ，……，这样一直走下去， 他第一次回到出发点O 时一共走了（ ）A ．60米B ．100米C ．90米D ．120米 【答案】C.2．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子数（ ）粒。
A 、12+nB 、12-nC 、n 2D 、2+n【关键词】探索规律型【答案】A3．下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：11122-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ……第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）A ．第10个数B ．第11个数C ．第12个数D ．第13个数【答案】A4．（对于每个非零自然数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n 、B n 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B +++ 的值是A ．20092008 B ．20082009C ．20102009D ．20092010【答案】DO 20o20o5．观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）A ．22n +B ．44n +C ．44n -D ．4n【答案】D ．6．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 … 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16 … 这样的数称为“正方形数”． 从图7中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（ ）A ．13 = 3+10B ．25 = 9+16C ．36 = 15+21D ．49 = 18+31 【答案】C二、填空题1．把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。
中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)
中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（26题）一 、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案用了9根木棍 第①个图案用了14根木棍 第①个图案用了19根木棍 第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（ ）A ．39B ．44C ．49D ．542．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案中有2个圆圈 第①个图案中有5个圆圈 第①个图案中有8个圆圈 第①个图案中有11个圆圈 … 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（ ）A ．14B ．20C ．23D ．263．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：23452345,a a a a a 第n 个单项式是（ ）A nB 11n n a --C n naD 1n na -4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中 每个网格小正方形的边长均为1个单位长度 以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去 所作正方形的顶点均在格点上 其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,05．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，， 若12a =，则2023a 的值是（ ） A ．12-B ．13C ．3-D ．26．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形 曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（ ）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004C ．2022D ．20238．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（ ）A ．199B ．200C ．201D ．2029．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a =以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-二 填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差 且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数 可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 第23个智慧优数是 ．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳 氢元素组成的有机化合物 在生产生活中可作为燃料 润滑剂等原料 也可用于动 植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷 乙烷 丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示 如十一烷 十二烷……）等 甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示 按照此规律 十二烷的化学式为 ．12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是 ．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯 分别对应着编号为1-100的100个开关 灯分为“亮”和“不亮”两种状态 每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态 所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人 第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次 第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次 第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程 可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏．14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案 其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形 第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为 （用含n 的式子表示）．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案 它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片 第2个图案中有6个白色圆片 第3个图案中有8个白色圆片 第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律 第n 个图案中有 个白色圆片（用含n 的代数式表示）16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置 并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍 得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍 得到22A OB △ …．依次类推 得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为点2023A 的坐标为 ．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =．19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点 它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始 把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 就会发现其中的规律．请写出第n 个数对： ．21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上 延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上 以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是 ．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数 探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现 完成填空：第①行数的第10个数为 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．25．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中 点1234A A A A 、、、在x 轴的正半轴上 点123B B B 、、在直线()0y x =≥上 若点1A 的坐标为()2,0 且112223334A B A A B A A B A △、△、△均为等边三角形．则点2023B 的纵坐标为 ．26．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上 顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴 且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线 垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴 交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线 垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴 交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是 ．参考答案一 单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案用了9根木棍 第①个图案用了14根木棍 第①个图案用了19根木棍 第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（ ）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律 由此即可得到答案． 【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍 第①个图案用了45214+⨯=根木棍 第①个图案用了45319+⨯=根木棍 第①个图案用了45424+⨯=根木棍 ……第①个图案用的木棍根数是45844+⨯=根 故选：B ．【点睛】此题考查了图形类规律的探究正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案其中第①个图案中有2个圆圈第①个图案中有5个圆圈第①个图案中有8个圆圈第①个图案中有11个圆圈… 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律即可求解.=⨯-【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈2311=⨯-第①个图案中有5个圆圈5321=⨯-第①个图案中有8个圆圈8331=⨯-第①个图案中有11个圆圈11341…⨯-=所以第①个图案中圆圈的个数为37120故选：B.n-是解题的【点睛】本题考查了图形类规律探究根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31关键.3．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a第n个单项式是（）B1n-C n D1n-A【答案】C字母为a指数为1开始的自然数据此即可求解．【分析】根据单项式的规律可得【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a第n n故选：C．【点睛】本题考查了单项式规律题找到单项式的变化规律是解题的关键．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去 所作正方形的顶点均在格点上 其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,0【答案】A【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环 从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：①()121A -， ()412A -， ()703A ， ()1014A ，①()323n A n n --，①1003342=⨯-，则34n =①()1003134A ， 故选：A ．【点睛】本题考查了点的规律变化 解答本题的关键是仔细观察图象 得到点的变化规律． 5．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，， 若12a =，则2023a 的值是（ ） A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =- 413a = 52a =…… 由此可得规律求解．【详解】解：①12a =①212312a +==-- 3131132a -==-+ 411121312a -==+51132113a +==- ……. 由此可得规律为按2 3- 12- 13四个数字一循环①20234505.....3÷= ①2023312a a ==- 故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律 解题的关键是得到数字的一般规律．6．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形 曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（ ）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π【答案】A【分析】曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的 半径每次比前一段弧半径12+ 得到1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+ 得出半径 再计算弧长即可．【详解】解：由图可知 曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的 半径每次比前一段弧半径12+∴112AD AA ==111BA BB == 1132CB CC == 112DC DD ==12122AD AA ==+2221BA BB ==+ 22322CB CC ==+ 2222DC DD ==+ ⋯⋯1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+故20232023A B 的半径为()202320231420231140452BA BB ==⨯⨯-+=∴20232023A B 的弧长90404540451802ππ=⨯=． 故选A【点睛】此题主要考查了弧长的计算 弧长的计算公式：180n rl π= 找到每段弧的半径变化规律是解题关键． 7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004 C ．2022 D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致 故202023在第20列 即20b = 向前递推到第1列时 分数为201912023192042-=+ 故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =． ①2042202022.a b -=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点 解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．8．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（ ）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果． 【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ 122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ …2100200(100)1100101f ⨯==+ 1212100()11001011100f ⨯==+1(100)()2100f f += 11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+ 201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算 熟练掌握运算法则 找到数字变化规律是解本题的关键． 9．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n --- 再利用规律解题即可． 【详解】解：第1圈有1个点 即1(0,0)A 这时10a = 第2圈有8个点 即2A 到()91,1A 第3圈有16个点 即10A 到()252,2A 依次类推 第n 圈 ()211,1n A n n ---由规律可知：2023A 是在第23圈上 且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+= 故A 选项不正确 2024A 是在第23圈上 且()202421,22A 即2024212243a =+= 故B 选项正确第n 圈 ()211,1n A n n --- 所以2122n a n -=- 故C D 选项不正确 故选B ．【点睛】本题考查图形与规律 利用所给的图形找到规律是解题的关键．二 填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差 且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数 可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 第23个智慧优数是 ． 【答案】 15 45【分析】根据新定义 列举出前几个智慧优数 找到规律 进而即可求解．【详解】解：依题意 当3m = 1n =，则第1个一个智慧优数为22318-= 当4m = 2n =，则第2个智慧优数为224214-= 当4m = 1n =，则第3个智慧优数为224115-= 当5m = 3n =，则第5个智慧优数为225316-= 当5m = 2n =，则第6个智慧优数为225221-= 当5m = 1n =，则第7个智慧优数为225324-= ……6m =时有4个智慧优数 同理7m =时有5个 8m =时有6个12345621+++++=第22个智慧优数 当9m =时 7n = 第22个智慧优数为2297814932-=-= 第23个智慧优数为9,6m n ==时 2296813645-=-= 故答案为：15 45．【点睛】本题考查了新定义 平方差公式的应用 找到规律是解题的关键．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳 氢元素组成的有机化合物 在生产生活中可作为燃料 润滑剂等原料 也可用于动 植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷 乙烷 丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示 如十一烷 十二烷……）等 甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示 按照此规律 十二烷的化学式为 ．【答案】1226C H【分析】根据碳原子的个数 氢原子的个数 找到规律 即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H ……碳原子的个数为序数 氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个十二烷的化学式为1226C H 故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题 找到规律是解题的关键． 12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是 ．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数 等式的右边为这个数乘以这个数减1 即可求解． 【详解】解：①21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …①第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律 找到规律是解题的关键．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯 分别对应着编号为1-100的100个开关 灯分为“亮”和“不亮”两种状态 每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态 所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人 第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次 第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次 第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程 可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏． 【答案】10【分析】灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮” 确定1-100中 各个数因数的个数 完全平方数的因数为奇数个 从而求解．【详解】所有灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮”因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数 1-100中 完全平方数为1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 有10个数 故有10盏灯被按奇数次 为“亮”的状态 故答案为：10．【点睛】本题考查因数分解 完全平方数 理解因数的意义 完全平方数的概念是解题的关键． 14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案 其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形 第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为 （用含n 的式子表示）．【答案】66n +/66n +【分析】当1n =时 有()2114+=个三角形 当2n =时 有()2216+=个三角形 当3n =时 有()2318+=个三角形 第n 个图案有()2122n n +=+个三角形 每个三角形用三根计算即可．【详解】解：当1n =时 有()2114+=个三角形 当2n =时 有()2216+=个三角形 当3n =时 有()2318+=个三角形 第n 个图案有()2122n n +=+个三角形 每个三角形用三根故第n 个图案需要火柴棍的根数为66n +． 故答案为：66n +．【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题 熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案 它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片 第2个图案中有6个白色圆片 第3个图案中有8个白色圆片 第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律 第n 个图案中有 个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯ ⋯ 可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯⋯①第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片． 故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律 通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素 然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=- 进而即可求解． 【详解】解：依题意 ()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-， ①123n a a a a ++++=()21432122n n n n n n +-==-=- 故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律 找到规律是解题的关键．17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置 并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍 得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍 得到22A OB △ …．依次类推 得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为 点2023A 的坐标为 ．【答案】 20232 ()202220222,2【分析】根据旋转角度为60︒ 可知每旋转6次后点A 又回到x 轴的正半轴上 故点2023A 在第四象限 且202320232OA = 即可求解．【详解】解：①AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0 ①1OA =①每次旋转角度为60︒ ①6次旋转360︒第一次旋转后 1A 在第四象限 12OA =第二次旋转后 2A 在第三象限 222OA =第三次旋转后 3A 在x 轴负半轴 332OA =第四次旋转后 4A 在第二象限 442OA =第五次旋转后 5A 在第一象限 552OA =第六次旋转后 6A 在x 轴正半轴 662OA =……如此循环 每旋转6次 点A 的对应点又回到x 轴正半轴①202363371÷=点2023A 在第四象限 且202320232OA =如图，过点2023A 作2023A H x ⊥轴于H在2023Rt OHA 中 202360HOA ∠=︒①202320232022202320231cos 2cos60222OH OA HOA =⋅∠=⨯︒=⨯=202320222023202320233sin 232A H OA HOA =⋅∠= ①点2023A 的坐标为()202220222,32．故答案为：20232 ()202220222,32．【点睛】本题考查图形的旋转 解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质 根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =． 【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子 抽象出相应的数字规律 进行作答即可． 【详解】解：①21312⨯+= 22413⨯+=23514⨯+=……①()()2211n n n ++=+①()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律． 19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点 它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．【答案】2023253【分析】求出1234,,,P P P P …的纵坐标 从而可计算出1234,,,S S S S …的高 进而求出1234,,,S S S S … 从而得出123n S S S S +++⋯+的值．【详解】当1x =时 1P 的纵坐标为8 当2x =时 2P 的纵坐标为4 当3x =时 3P 的纵坐标为83当4x =时 4P 的纵坐标为2当5x =时 5P 的纵坐标为85…则11(84)84S =⨯-=- 2881(4)433S =⨯-=-3881(2)233S =⨯-=-481(2)2558S =⨯-=- (881)n S n n =-+ 1238888888844228335111n n S S S S n n n n +++⋯+=-+-+-+-++-=-=+++ ①12320238202320242532023S S S S ⨯+++⋯+==． 故答案为：2023253． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用 解题的关键是求出881n S n n =-+． 20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始 把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 就会发现其中的规律．请写出第n 个数对： ．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++ 第n 个数对的第二个位：()211n ++ 即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3 7 13 21 31 … 即：121⨯+ 231⨯+ 341⨯+ 451⨯+ 561⨯+ … 则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++ 每个数对的第二个数分别为5 10 17 26 37 … 即：221+ 231+ 241+ 251+ 261+… 则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++①第n 个数对为：()221,22n n n n ++++ 故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律 找出数字之间的排列规律 利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．【答案】()2023,1-【分析】将四分之一圆弧对应的A 点坐标看作顺时针旋转90︒ 再根据A 1A 2A 3A 4A 的坐标找到规律即可．【详解】①A 点坐标为()1,1 且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90︒所得 ①1A 点坐标为()2,0又①2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90︒所得 ①2A 点坐标为()0.2-又①3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90︒所得 ①3A 点坐标为()3,1-又①4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90︒所得 ①4A 点坐标为()1,5由此可得出规律：n A 为绕B O C A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90︒ 且半径为1 2 3 n每次增加1． ①202355053÷=故2023A 为以点C 为圆心 半径为2022的2022A 顺时针旋转90︒所得 故2023A 点坐标为()2023,1-． 故答案为：()2023,1-．【点睛】本题考查了点坐标规律探索 通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上 延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上 以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是 ．【答案】20221⎛ ⎝⎭【分析】分别求出点点1B 的横坐标是1 点2B 的横坐标是1 点3B 2413⎛+= ⎝⎭找到规律 得到答案见即可．【详解】解：当0y = 0= 解得1x = ①点()11,0A ,①111A B C O 是正方形 ①11111OA A B OC === ①点()11,1B ①点1B 的横坐标是1当1y =时 1 解得1x =+①点21A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭①2221A B C C 是正方形①2212211A B C C A C ===①点212B ⎛ ⎝⎭即点2B 的横坐标是1当2y =时 2= 解得)223x =①点34,23A ⎝⎭①3332A B C C 是正方形①33233243A B C C A C ===①点3B 2413⎛= ⎝⎭……以此类推，则点2023B 的横坐标是202231⎛ ⎝⎭故答案为：202231⎛ ⎝⎭【点睛】此题是点的坐标规律题 考查了二次函数的图象和性质 正方形的性质等知识 数形结合是是解题的关键．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数 探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现 完成填空：第①行数的第10个数为 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．【答案】 1024 202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n - 第二行数的规律为(2)1n n -++ 代入数据即可. 【详解】第一行数的规律为(2)n - ①第①行数的第10个数为10(2)1024-= 第二行数的规律为(2)1n n -++①第①行数的第2023个数为2023(2)- 第①行数的第2023个数为2023(2)2024-+ ①202422024-+故答案为：1024 202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化 找其中的规律 是今年考试中常见的题型. 24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．。
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。
2020年中考数学二轮复习必刷题一 有关数字的规律探索题含答案
2020年中考数学二轮复习必刷题一有关数字的规律探索题一、选择题1.请你计算:(1-x)(1+x)，(1-x)(1+x+x2)，…，则(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是( )A.1-x n+1B.1+x n+1C.1-x nD.1+x n2.若x是不等于1的实数，我们把11−x 称为x的差倒数，如2的差倒数是11−x＝﹣1，﹣1的差倒数为11−(−1)＝12，现已知x1＝13，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2019的值为（）A.﹣13B.﹣2C.3D.43.定义一种变换f：对于一个由有限个数组成的序列品，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S，例如序列S：(4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：(2，2，1，2，2），若某一序列S0，经变换得到新序列S1，由序列S1继续进行变换得到S2，最终得到序列S n-1；（n≥2）与序列S n相同，则下面的序列可作为S n的是（）A.(1，2，1，2，2）B.(2，2，2，3，3)C.(1，1，2，2，3）D.(3，2，3，3，2）4.若正整数按如图所示的规律排列,则第8行第5列的数是 ()A.64B.56C.58D.605.定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）= n2k（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（）A.1B.4C.2018D.420186.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为（）A.84B.56C.35D.287.按一定规律排列的单项式：a，﹣a2， a3，﹣a4， a5，﹣a6，……，第n个单项式是（）A.a nB.﹣a nC.（﹣1）n+1a nD.（﹣1）n a n8.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A.第504个正方形的左下角B.第504个正方形的右下角C.第505个正方形的左上角D.第505个正方形的右下角9.观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是（）A.0B.3C.4D.810.观察下图“d”形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n的值为（）A.241B.113C.143D.271二、填空题，（n为自然数），其中[a n]与{a n}分别表示a n的整数部分和小11.设a0=√2,a n+1=[a n]+1{a n}数部分，如[2.5]=2, {2,5} =0.5; [−2,6]=−3 , {−2,6} =0.4;则a2019 =________12.任意写出一个3的倍数(例如：111)，首先把这个数各数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数重复上述运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数M，它会掉入一个数字“黑洞”.那么最终掉入“黑洞”的那个数M是________.13.我国古代数学家的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图这个三角形的构造法其两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了(a+b)n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.利用规律计算：25-5×24+10×23-10×22+5×2-1的值为________.14.观察下列各式：、√1+13=2√13，√2+14=3√14，√3+15=4√15…，请你找出其中的规律，并将第n(n≥1)个等式写出来________15.砸金蛋游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，…，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部硬碎，然后将剩下的”金蛋”重新连续编号为1，2，3，…，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部硬碎…按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止。
【中考优选】安徽省中考数学二轮复习题型四：规律探索题(含答案).doc
题型四 规律探索题类型一 数式规律探索1. (2018霍邱县一模)如下数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答：(1)第9行的最后一个数是________；(2)第n 行的第一个数是________，第n 行共有________个数；第n 行各数之和为____________．2. (2018安庆二模)观察下列等式： (1)1－12＋11×2＝1；(2)12－14＋13×4＝13； (3)13－16＋15×6＝15； …根据上述规律解决下列问题：(1)写出第(4)个等式：(________)－(________)＋(________)＝(________)； (2)写出你猜想的第(n )个等式，并证明．3. 观察下列等式： ①11＋12－12＝11；②13＋14－112＝12；③15＋16－130＝13；④17＋18－156＝14；…(1)请根据以上规律写出第5个等式：__________________________；(2)猜想并写出第n个等式，并验证其正确性．4. 观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式：第1层1＋2＝3；第2层4＋5＋6＝7＋8；第3层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；第4层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；…(1)填空：第6层等号右侧的第一个数是________，第n层等号右侧的第一个数是________(用含n的式子表示，n是正整数)，数字2017排在第几层？请简要说明理由；(2)求第99层右侧最后三个数字的和．5. (2018太和县模拟)观察下列等式：①1＋2＝3；②4＋5＋6＝7＋8；③9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；④16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；…(1)试写出第五个等式；(2)根据你的发现，试说明145是第几行的第几个数？6. 按如下方式排列正整数，第1行有1个数，第2行有3个数，第3，4行分别有7个、13个数．依此规律，解答下列问题：12 3 43 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 10…15 16 …(1)第10行有________个数，第n 行有________个数(结果用含n 的式子表示)； (2)第2，3，4行都含有数4，其中第2行最先出现4，那么2019最先出现在第几行？7. 已知下列等式： ①32－12＝8， ②52－32＝16， ③72－52＝24， …(1)请仔细观察，写出第4个式子；(2)根据以上式子的规律，写出第n 个式子，并用所学知识说明第n 个等式成立； (3)利用(2)中发现的规律计算：8＋16＋24＋…＋792＋800.8. 【问题提出】观察下列图形，回答问题：第8题图由此可以得出第1个图形中所有线段的长度的和是1，第2个图形中所有线段的长度的和是4，第3个图形中所有线段的长度的和是10，第4个图形中共有________条线段，所有线段的长度的和是________；【规律探索】在计算第1，2，3个图形中所有线段的长度的和的时候，得出了下列等式： 1×1＝1×2×36；1×2＋2×1＝2×3×46；1×3＋2×2＋3×1＝3×4×56；第4个等式为____________；…【问题解决】求第n 个图形中所有线段的长度的和．9. (2017安徽19题)我们知道，1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，那么12＋22＋32＋…＋n 2结果等于多少呢？在图①所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2＋2，即22；……；第n 行n 个圆圈中数的和为n ＋n ＋…＋n ,\s \do 4(n 个n ))，即n 2.这样，该三角形数阵中共有n （n ＋1）2个圆圈，所有圆圈中数的和为12＋22＋33＋…＋n 2.第9题图①【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图②所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n －1行的第一个圆圈中的数分别为n －1，2，n )，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________．由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3(12＋22＋32＋…＋n 2)＝________，因此，12＋22＋32＋…＋n 2＝________．第9题图②【解决问题】根据以上发现，计算12＋22＋32＋…＋201721＋2＋3＋…＋2017的结果为________．类型二图形规律探索1. 下列各图形中的“”的个数和“△”的个数是按照一定规律摆放的：第1题图(1)观察图形，填写下表：第n个图形 1 2 3 4 …n“”的个数 3 6 9 12 …________“△”的个数 1 3 6 10 …________2. 用同样大小的“”按如图所示的规律摆放：第2题图(1)第5个图形有多少枚“”？(2)第几个图形有2018枚“”？请说明理由．3. 如图，图①中小黑点的个数记为a1＝4，图②中小黑点的个数记为a2＝8，图③中小黑点的个数记为a3＝13，…第3题图根据以上图中的规律完成下列问题：(1)图④中小黑点的个数记为a4，则a4＝________；(2)图n中小黑点的个数记为a n，则a n＝________(用含n的式子表示)；(3)第几个图形中的小黑点的个数为43个？4. (1)观察下列图与等式的关系，并填空：放置方式①放置方式②放置方式①中圆圈的个数1＋2＝3×22＝32＋3＋4＝6×32＝93＋4＋5＋6＝9×42＝184＋5＋6＋7＋8＝______＝______………n＋(n＋1)＋…＋______＝______几个圆圈？5. (2018安徽名校大联考)如图，下列每个图案均是由若干边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，探究规律，解答问题．第5题图(1)请根据你的探究直接写出：第10个图案中共有______个小正方形，第n个图案中共有______个小正方形；(2)是否存在有37个小正方形的图案？若存在，请求出是第几个图案；若不存在，请说明理由．6. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)认真观察图①，并填写出第4个点阵图相应的等式．第6题图①(2)结合(1)观察图②，并填写出第5个点阵图相应的等式．第6题图②(3)通过猜想，直接写出(2)中与第n个点阵图相对应的等式．7. (2018怀远县模拟)如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD 的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠)：第7题图(1)填写下表：正方形ABCD1 2 3 4 …n内点的个数分割成的三4 6 ____ ____ …____角形的个数若不能，请说明理由.8. (2018合肥包河区一模)如图，每个图形可以看成由上下左右4个等腰梯形组成或者是由外围大正方形减去正中间的正方形(阴影部分)所得，而每个等腰梯形又由若干个更小的全等正方形和全等等腰直角三角形组成，且等腰直角三角形的面积正好是小正方形面积的一半，设小正方形的面积为1，则第1个图形的面积为4×(2×1＋4×12)＝16，第2个图形的面积为4×(5×1＋5×12)＝30，第3个图形的面积为4×(9×1＋6×12)＝48，…根据上述规律，解答下列问题：(1)第4个图形的面积为：4×(____×1＋____×12)＝____，(2)第n 个图形的面积为：4×[____×1＋____×12](用含n 的式子填空)；(3)上面的图形还可看成一个大正方形再减去中间1个小正方形组成，这时，第1个图形的面积为(32)2－2，第2个图形的面积为(42)2－2，第3个图形的面积为(52)2－2，…再根据这个规律，完成下列问题：①按此规律，第n 个图形的面积为：[____]2－2(用含n 的式子填空)； ②比较两个猜想，写出你发现的结论并验证．第8题图9. (2016安徽)(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：第9题图①(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(________)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝________．第9题图②参考答案类型一 数式规律探索1. 解：(1)81；【解法提示】根据题意，观察发现：第1行的最后一个数为12＝1，第2行的最后一个数为22＝4，第3行的最后一个数为32＝9，第4行的最后一个数为42＝16，第5行的最后一个数为52＝25，第6行的最后一个数为62＝36，…，∴第n 行的最后一个数为n 2，∴第9行的最后一个数是81.(2)(n －1)2＋1，2n －1, (n 2－n ＋1)(2n －1)．【解法提示】观察发现：第1行的第一个数为(1－1)2＋1＝1，第2行的第一个数为(2－1)2＋1＝2，第3行的第一个数为(3－1)2＋1＝5，第4行的第一个数为(4－1)2＋1＝10，第5行的第一个数为(5－1)2＋1＝17，第6行的第一个数为(6－1)2＋1＝26，…，∴第n 行第一个数为(n －1)2＋1；观察发现：第1行共有1个数，第2行共3个数，第3行共5个数，第4行共7个数，第5行共9个数，第6行共11个数，…，∴第n 行共(2n －1)个数；由(1)知第n 行的最后一个数为n 2，∴第n 行的各数之和为（n －1）2＋1＋n 22·(2n －1)＝(n 2－n ＋1)(2n －1)．2. 解：(1)14，18，17×8，17；【解法提示】观察上述等式发现：第(1)个等式：1－12×1＋11×（1＋1）＝12×1－1＝1；第(2)个等式：12－12×2＋1（2×2－1）×（2×2）＝12×2－1＝13；第(3)个等式：13－12×3＋1（2×3－1）×（2×3）＝12×3－1＝15；∴第(4)个等式为：14－12×4＋1（2×4－1）×（2×4）＝12×4－1＝17.即14－18＋17×8＝17.(2)第(n )个等式为1n －12n ＋12n （2n －1）＝12n －1.证明：左边＝2（2n －1）－（2n －1）＋12n （2n －1）＝4n －2－2n ＋1＋12n （2n －1）＝12n －1＝右边．∴原式成立．3. 解：(1)19＋110－190＝15；【解法提示】观察发现：第①个等式：12×1－1＋12×1－1（2×1－1）（2×1）＝11；第②个等式：12×2－1＋12×2－1（2×2－1）（2×2）＝12；第③个等式：12×3－1＋12×3－1（2×3－1）（2×3）＝13；第④个等式：12×4－1＋12×4－1（2×4－1）（2×4）＝14；∴第⑤个等式：12×5－1＋12×5－1（2×5－1）（2×5）＝15，即19＋110－190＝15；(2)根据上述规律，得第n 个等式为12n －1＋12n －12n （2n －1）＝1n.证明：左边＝2n ＋2n －1－12n （2n －1）＝2（2n －1）2n （2n －1）＝1n＝右边，∴等式成立．4. (1)43，n 2＋n ＋1；2017排在第44层，理由略；(2)第99层右侧最后三个数字的和为29994.5. 解：(1)根据题意可得，第五个等式为25＋26＋27＋28＋29＋30＝31＋32＋33＋34＋35；(2)根据已知等式得，第n 行的第1个数为n 2，∵122＝144，∴145是第12行的第2个数.6. 解：(1)91，n 2－n ＋1；【解法提示】根据题意可知，第2行最后一个数为4＝22，数字个数是22－1；第3行最后一个数为9＝32，数字个数是32－2；第4行最后一个数为16＝42，数字个数是42－3；…，∴第10行最后一个数为102＝100，数字个数是102－9＝91；第n 行最后一个数为n 2，数字个数是n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1.(2)∵第44行最后一个数是442＝1936，第45行第一个数字是45，而最后一个数字是452＝2025，45＜2019＜2025， ∴2019最先出现在第45行．7. 解：(1)∵第1个式子为：32－12＝(2×1＋1)2－(2×1－1)2＝8×1；第2个式子为：52－32＝(2×2＋1)2－(2×2－1)2＝8×2；第3个式子为：72－52＝(2×3＋1)2－(2×3－1)2＝8×3；∴第4个式子为：(2×4＋1)2－(2×4－1)2＝92－72＝8×4＝32；即第4个式子为：92－72＝32； (2)由(1)的推理过程可得，第n 个式子为：(2n ＋1)2－(2n －1)2＝8n ；证明：∵左边＝4n 2＋4n ＋1－4n 2＋4n －1＝8n ＝右边， ∴所写等式成立；(3)8＋16＋24＋…＋792＋800＝32－12＋52－32＋72－52＋…＋2012－1992＝2012－1＝40400. 8. 解：【问题提出】10，20；【规律探索】1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝4×5×66；【问题解决】n （n ＋1）（n ＋2）6.9. 解：【规律探究】2n ＋1，n （n ＋1）（2n ＋1）2，n （n ＋1）（2n ＋1）6；【解法提示】第n －1行的第一个圆圈中的数分别为n －1，2，n ，则n －1＋2＋n ＝2n＋1；3(12＋22＋32＋…＋n 2)＝(1＋2＋3＋…＋n )(2n ＋1)＝n （n ＋1）（2n ＋1）2；12＋22＋32＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）2·13＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.【解决问题】1345. 【解法提示】 12＋22＋32＋…＋201721＋2＋3＋…＋2017＝2017×（2017＋1）（2×2017＋1）62017×（2017＋1）2＝2×2017＋13＝1345.类型二 图形规律探索1. 第n 个图形 1 2 3 4 … n“”的个数3 6 9 12 … 3n“△”的个数1 3 6 10 … n （n ＋1）2【解法提示】根据题意知n （n ＋1）2＝2×3n ，解得n ＝0(舍去)或n ＝11, ∴当n ＝11时，“△”的个数是“”的个数的2倍．2. 解：(1)图①有2枚“”，2＝2×12，图②有8枚“”，8＝2×22，图③有18枚“”，18＝2×32， …图⑤有2×52＝50，∴第五个图形有50枚“”；(2)由(1)可得第n 个图形有(2n 2)枚“”，令2n 2＝2018， 此方程无整数解，∴没有哪个图形有2018枚“”． 3. 解：(1)19；【解法提示】根据题意知a 4＝1＋2＋3＋4＋5＋4＝19. (2)12n 2＋52n ＋1； 【解法提示】a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＋n ＋1＋n ＝n （n ＋1）2＋2n ＋1＝12n 2＋52n ＋1.(3)当12n 2＋52n ＋1＝43时，解得：n ＝7(负值舍去)，∴第7个图形中的小黑点的个数为43个.4. 解：(1)12×52，30，2n ，3n （n ＋1）2；(2)由题意得，3n （n ＋1）2＝165，解得n 1＝10，n 2＝－11(舍去)，即最上面有10个圆圈．5. 解：(1)56，n （n ＋1）2＋1(或n 2＋n ＋22)；【解法提示】观察发现：第1个图案有1＋1＝2个小正方形； 第2个图案有1＋2＋1＝4个小正方形； 第3个图案有1＋2＋3＋1＝7个小正方形； 第4个图案有1＋2＋3＋4＋1＝11个小正方形；…∴第10个图案有1＋2＋3＋4＋…＋10＋1＝56个小正方形；第n 个图案有1＋2＋3＋4＋…＋n ＋1＝n （n ＋1）2＋1个小正方形.(2)存在．理由如下： 令n （n ＋1）2＋1＝37，解得n ＝－9(舍去)，或n ＝8，∴存在有37个小正方形的图案，是第8个图案．6. 解：(1)1＋2＋3＋4＝（1＋4）×42＝10；(2)10＋15＝52；(3)由(1)(2)可知，n （n －1）2＋n （n ＋1）2＝n 2.【解法提示】可以将(2)中点阵图分为两部分，一部分与(1)的点阵图完全相同，剩余部分与(1)中前一部分的点阵图完全相同，因此可以得出(2)中第n 个点阵图等于(1)中第n 个点阵图和n －1个点阵图之和，∴n 2＝n （n －1）2＋n （n ＋1）2.7.分割成4＋2＝6个三角形；有3个点时，内部分割成4＋2×2＝8个三角形；有4个点时，内部分割成4＋2×3＝10个三角形；…∴有n 个点时，内部分割成4＋2×(n －1)＝(2n ＋2)个三角形；(2)能． 令2n ＋2＝2008，解得n ＝1003.即此时正方形ABCD 内部有1003个点． 8. 解：(1)14，7，70；(2)(2＋3＋4＋…＋n ＋n ＋1)(形式不唯一)，n ＋3； (3)①(n ＋2)2；【解法提示】观察图形可知，第1个图形的面积为[(1＋2)2]2－2＝(32)2－2；第2个图形的面积为[(2＋2)2]2－2＝(42)2－2，第3个图形的面积为[(3＋2)2]2－2＝(52)2－2，…∴第n 个图形的面积为[(n ＋2)2]2－2.② 4[(2＋3＋4＋…＋n ＋n ＋1)×1＋12(n ＋3)]＝[(n ＋2)2]2－2.证明：右边＝2n 2＋8n ＋6；左边＝4[n （n ＋3）2＋n ＋32]＝2(n ＋3)(n ＋1)＝2n 2＋8n ＋6，∴左边＝右边．即4[(2＋3＋4＋…＋n ＋n ＋1)×1＋12(n ＋3)]＝[(n ＋2)2]2－2.9. 解：(1)42；n 2；【解法提示】观察每一行图形变换，可以发现，当小球有4行时，小球的总个数＝4×4＝42(个)，∴第一个空填“42”；根据此规律可知，当小球有n 行时，小球的总数＝n ·n ＝n 2，∴第二个空填“n2”．(2)2n＋1；2n2＋2n＋1.【解法提示】在连续的奇数中，2n－1后边的数是2n＋1，∴第一个空填“2n＋1”；由第(1)小题的结论可知，在等式的左边的数中，“2n－1”前面的所有数之和等于n2，后面的所有的数之和也等于n2，∴总和＝n2＋(2n＋1)＋n2＝2n2＋2n＋1，∴等式的右边填“2n2＋2n ＋1”．。
2024辽宁中考数学二轮专题训练 题型四 规律探索题 (含答案)
2024辽宁中考数学二轮专题训练题型四规律探索题类型一图形递推变化典例精讲例1如图，∠MON ＝45°，正方形ABB 1C ，正方形A 1B 1B 2C 1，正方形A 2B 2B 3C 2，正方形A 3B 3B 4C 3，…，的顶点A ，A 1，A 2，A 3，…，在射线OM 上，顶点B ，B 1，B 2，B 3，B 4，…，在射线ON 上，连接AB 2交A 1B 1于点D ，连接A 1B 3交A 2B 2于点D 1，连接A 2B 4交A 3B 3于点D 2，…，连接B 1D 1交AB 2于点E ，连接B 2D 2交A 1B 3于点E 1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD 与△B 1DE 的面积之和为S 1，△A 1C 1D 1与△B 2D 1E 1的面积之和为S 2，△A 2C 2D 2与△B 3D 2E 2的面积之和为S 3，…，若AB ＝2，则S n 等于______．(用含有正整数n 的式子表示)例1题图基本模型【解题步骤】分析图形可知，所有图形都是由如图所示的基本模型构成，故求出S 1，S 2，S 3的面积可类比出S n 的面积．①求S 1的面积：根据题意可得：∠AOB ＝45°，∠ABO ＝90°，∴OB ＝AB ，∵AB ＝AC ＝B 1C ＝BB 1＝______，AB ∥A 1B 1，∴A 1B 1＝2AB ＝________，∴A 1B 1＝A 1C 1＝B 2C 1＝B 1B 2＝________，∵AC ∥ON ，∴CD DB 1＝AC B 1B 2＝____，∴CD ＝________B 1C ＝________，B 1D ＝__________B 1C ＝__________．同理可得，B 2D 1＝________B 2C 1＝________．∵B 1D ∥B 2D 1，∴DE B 2E ＝B 1D B 2D 1＝________，∴S △B 1DE ＝________S △B 1B 2D ＝________，∵S △ACD ＝____，∴S 1＝________；②求S 2，S 3，…的面积：A 2B 2＝________，S △B 2D 1E 1＝________S △B 2B 3D 1＝________，∵S △A 1C 1D 1＝________，∴S 2＝________；S 3＝________；③总结，类比可得：S n ＝________．例2如图，在平面直角坐标系中，△ABC ，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3，…，△A n B n C n 都是等腰直角三角形，点B ，B 1，B 2，B 3，…，B n 都在x 轴上，点B 1与原点重合，点A ，C 1，C 2，C 3，…，C n 都在直线l ：y ＝13x ＋43上，点C 在y 轴上，AB ∥A 1B 1∥A 2B 2∥…∥A n B n ∥y 轴，AC ∥A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n ∥x 轴，若点A 的横坐标为－1，则点C n 的纵坐标是________．例2题图基本模型【解题步骤】分析图形可知，所有图形都是由如图所示的基本模型构成，故求出点C 1，C 2，C 3，C 4的纵坐标可类比出点C n 的纵坐标．①求点C 1的坐标：∵点C 1在直线y ＝13x ＋43上，∴设点C 1的坐标为(t ，______)．∵△B 1B 2C 1是等腰直角三角形，且点B 1与原点O 重合，∴B 1B 2＝B 2C 1，即t ＝______，解得t ＝2.∴点C 1的纵坐标为________；②求点C 2，C 3，C 4的坐标：设点C 2的坐标为(m ，______)，∵△B 2B 3C 2是等腰直角三角形，∴m －2＝________，解得m ＝________，∴点C 2的纵坐标为________．同理可得，点C 3的纵坐标为_________；点C 4的纵坐标为________；③总结，类比可得：点C n 的纵坐标为________．辽宁近年中考真题精选1.如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E ，使AE ＝DA ，连接EB ，点F 1是CD 的中点，连接EF 1,BF 1，得到△EF 1B ；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B ；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为_________________________．(用含正整数n 的式子表示)第1题图基本模型：____________________2.如图，在△A 1C 1O 中，A 1C 1＝A 1O ＝2，∠A 1OC 1＝30°，过点A 1作A 1C 2⊥OC 1，垂足为C 2，过点C 2作C 2A 2∥C 1A 1交OA 1于点A 2，得到△A 2C 2C 1；过点A 2作A 2C 3⊥OC 1，垂足为C 3，过点C 3作C 3A 3∥C 1A 1交OA 1于点A 3，得到△A 3C 3C 2；过点A 3作A 3C 4⊥OC 1，垂足为C 4，过点C 4作C 4A 4∥C 1A 1交OA 1于点A 4，得到△A 4C 4C 3；…；按照上面的作法进行下去，得到△A n ＋1C n ＋1C n 的面积为________．(用含正整数n 的代数式表示)第2题图基本模型：__________________3.如图，等边△A 1C 1C 2的周长为1，作C 1D 1⊥A 1C 2于D 1，在C 1C 2的延长线上取点C 3，使D 1C 3＝D 1C 1，连接D 1C 3，以C 2C 3为边作等边△A 2C 2C 3；作C 2D 2⊥A 2C 3于D 2，在C 2C 3的延长线上取点C 4，使D 2C 4＝D 2C 2，连接D 2C 4，以C 3C 4为边作等边△A 3C 3C 4；…；且点A 1，A 2，A 3，…都在直线C 1C 2同侧，如此下去，则△A 1C 1C 2，△A 2C 2C 3，△A 3C 3C 4，…，△A n C n C n ＋1的周长和．．．为________．(n ≥2，且n 为整数)第3题图基本模型：__________________4.如图，点B 1在直线l ：y ＝12x 上，点B 1的横坐标为2，过B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点C n 的横坐标为________(结果用含正整数n 的代数式表示)．第4题图基本模型：__________________5.如图，直线l 1的解析式是y ＝33x ，直线l 2的解析式是y ＝3x ，点A 1在l 1上，A 1的横坐标为32，作A 1B 1⊥l 1交l 2于点B 1，点B 2在l 2上，以B 1A 1，B 1B 2为邻边在直线l 1，l 2间作菱形A 1B 1B 2C 1，分别以A 1，B 2为圆心，以A 1B 1为半径画弧得扇形B 1A 1C 1和扇形B 1B 2C 1，记扇形B 1A 1C 1与扇形B 1B 2C 1重叠部分的面积为S 1；延长B 2C 1交l 1于点A 2，点B 3在l 2上，以B 2A 2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2；…；按照此规律继续作下去，则S n＝__________________________(用含有正整数n的式子表示)．第5题图基本模型：________________针对训练1.如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．将△OAB进行n次变换得到△OA n B n，则△OA n B n 的面积为________．第1题图2.如图，∠MON＝30°，点A1在ON上，点C1在OM上，OA1＝A1C1＝2，C1B1⊥ON于点B1，以A1B1和B1C1为邻边作矩形A1B1C1D1，点A1，A2关于点B1对称，A2C2∥A1C1交OM 于点C2，C2B2⊥ON于点B2，以A2B2和B2C2为邻边作矩形A2B2C2D2，连接D1D2，点A2，A3关于点B2对称，A3C3∥A2C2交OM于点C3，C3B3⊥ON于点B3，以A3B3和B3C3为邻边作矩形A3B3C3D3，连接D2D3，…，依此规律继续下去，则D2021D2022＝________．第2题图3.如图，直线y＝－x＋1分别交x轴、y轴于点A、B，点O1、A1分别是BO、BA的中点，连接A1O1、AO1；O2、A2分别是BO1、BA1的中点，连接A2O2、A1O2，…，按此规律进行下去，则S△A n A n＋1O n＋1的面积是________．第3题图4.如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，则△A n A n＋1A n＋2的面积等于________．第4题图5.如图，n个腰长为1的等腰直角三角形(Rt△B1AA1，Rt△B2A1A2，Rt△B3A2A3，…)有一条腰在同一直线上，设△A1B2C1的面积为S1，△A2B3C2的面积为S2，△A3B4C3的面积为S3，…，则S n＝________．(用含n的代数式表示)第5题图6.如图，分别过x 轴上点A 1(1，0)，A 2(2，0)，…，A n (n ，0)作x 轴的垂线，与反比例函数y ＝6x(x ＞0)的图象的交点分别为B 1，B 2，…，B n ，若△A 1B 1A 2的面积为S 1，△A 2B 2A 3的面积为S 2，…，△A n B n A n ＋1的面积为S n ，则S n ＝________．(用含n 的式子表示)第6题图7.已知直线m ：y ＝12x ＋12与直线n ：y ＝－12x ＋12交于点A ，直线n 与x 轴交于点B 1，过B 1作B 1C 1⊥x 轴，交直线m 于点C 1，作菱形AB 1D 1C 1得点D 1，过D 1作B 2C 2⊥x 轴，分别与直线n 和直线m 交于点B 2，C 2，作菱形AB 2D 2C 2得点D 2，过点D 2作B 3C 3⊥x 轴，分别与直线n 和直线m 交于点B 3，C 3，作菱形AB 3D 3C 3得点D 3，…，设△B 1C 1D 1的面积为S 1，△B 2C 2D 2的面积为S 2，△B 3C 3D 3的面积为S 3，…，依次类推，则△B 2022C 2022D 2022的面积S 2022的值是________．第7题图8.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，作BC 1⊥AC ，垂足为C 1，作CB 1⊥AB ，垂足为B 1，BC 1与CB 1交于点A 1；作B 1C 2⊥AC ，垂足为C 2，作C 1B 2⊥AB ，垂足为B 2，B 1C 2与C 1B 2交于点A 2；作B 2C 3⊥AC ，垂足为C 3，作C 2B 3⊥AB ，垂足为B 3，B 2C 3与C 2B 3交于点A 3；…；若△A 1BC 的面积为1，则四边形A n B n A n ＋1C n 的面积为________．第8题图9.如图，∠MON＝90°，点A1，A2，A3，….A n＋1在射线OM上，点B1，B2，B3，…，B n＋1在射线ON上，连接A1B2，A2B1，∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，A1B2∥A2B3∥A3B4…∥A n B n＋1，A2B1∥A3B2∥A4B3…∥A n＋1B n，A1B2与A2B1相交于点C1，A2B3与A3B2相交于点C2，A3B4与A4B3相交于点C3，…，A n B n＋1与A n＋1B n相交于点C n，OA1＝OB1＝1，则四边形A n C n B n O的周长为________．第9题图10.如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…的顶点A，A1，A2，A3，…在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设四边形A1DED1的面积为S1，四边形A2D1E1D2的面积为S2，四边形A3D2E2D3的面积为S3，…，若AB＝2，则S n等于________．(用含有正整数n的式子表示)第10题图11.正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝－x＋2和x＝1上，且A1在x轴上，则点C2022的横坐标是________．第11题图12.如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，0)，直线l：y＝33x＋33与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推，连接AB1，与A1B交于点C1，连接A1B2，与A2B1交于点C2，以此类推，则点C2022的纵坐标是________．第12题图类型二图形周期变化典例精讲例3如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n－2A3n－1A3n(n为正整数)均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O 是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为________．例3题图【解题步骤】①确认周期：观察图形可知，三角形的顶点______个为一个循环；②确定A2016的位置：∵2016÷______＝______，∴点A2016在y轴上，且是第________个三角形的顶点；③求A2016的坐标：在△A1A2A3中，A1A2＝2，∴△A1A2A3的高为________．∵点O是△A1A2A3的中心，∴OA3＝________，同理得OA6＝________，OA9＝________，…，∴点A2016的坐标为________．辽宁近年中考真题精选1.如图①，边长为1的正三角形ABC放置在边长为2的正方形内部，顶点A在正方形的一个顶点上，边AB在正方形的一边上，将△ABC绕点B顺时针旋转，当点C落在正方形的边上时，完成第1次无滑动滚动(如图②)；再将△ABC绕点C顺时针旋转，当点A落在正方形的边上时，完成第2次无滑动滚动(如图③)；…；每次旋转的角度都不大于120°，依次这样操作下去，当完成第2016次无滑动滚动时，点A经过的路径总长为________．第1题图针对训练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内有一条折线，构成这条线段的端点的坐标是这样的：A1(1，1)、A2(1，2)、A3(2，2)、A4(2，3)、A5(3，3)、A6(3，4)、A7(4，4)，…，依此规律，点A71的坐标为________．第1题图2.如图，多边形A1A2A3A4A5A6、多边形A7A8A9A10A11A12、…、多边形A6n－5A6n－4A6n－3A6n－2A6n A6n(n为正整数)均为正六边形，它们的边长依次是2、4、…、2n，顶点A6、A12、…、A6n －1均在x轴上，点O是所有正六边形的中心，则A2021的坐标是________．第2题图3.如图，四边形OA1B1C1是边长为1的正方形，点A1、C1分别在x轴、y轴的负半轴上，连接OB1，以OB1的长为边长向右侧作正方形OA2B2C2，点A2在y轴的负半轴上，点C2在x轴的正半轴上，连接OB2，以OB2的长为边长向上方作正方形OA3B3C3，点A3、C3分别在x轴、y轴的正半轴上，…，按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为________．第3题图4.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y＝x和y＝－x分别交于A1，A2，A3，A4，…，则点A30的坐标是________．第4题图5.如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二个等腰Rt△OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰Rt△OA3A4，…，依此规律，得到等腰Rt△OA2021A2022，则点A2022的坐标为________．第5题图6.如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依据图形所反映的规律，则A100的坐标为________．第6题图7.如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△O n BA n，则A2020的横坐标为________．－1第7题图参考答案类型一图形递推变化典例精讲例17×22n－19【解题步骤】①2，4，4，12，13，23，23，43，23，83，12，13，13×12×43×4＝89，12×2×23＝23，23＋89＝149；②8，13，13×12×83×8＝329，12×4×43＝83，83＋329＝569，2249；③7×22n －19.例23n －12n －2【解题步骤】①13t ＋43，13t ＋43，2；②13m ＋43，13m ＋43，5，3，92，274；③3n －12n －2.辽宁近年中考真题精选1.2n ＋12n 【解析】设AB ＝CD ＝a ，AD ＝CB ＝EA ＝b ，则DE ＝2b ，DF 1＝CF 1＝12a ，CF 2＝14a ，CF 3＝18a ，∴S △EF 1B ＝S 四边形BCDE －S △DEF 1－S △CBF 1＝12(2b ＋b )a －12×2b ×12a －12×12ab ＝34ab ＝34×2＝32；S △EF 2B ＝S 四边形BCDE －S △DEF 2－S △CBF 2＝12(2b ＋b )a －12×2b ×34a －12×14ab ＝58ab ＝58×2＝54；S △EF 3B ＝S 四边形BCDE －S △DEF 3－S △CBF 3＝12(2b ＋b )a －12×2b ×78－12×18ab ＝916ab ＝916×2＝98；…；由面积变化规律可知S △EF n B ＝2n ＋12n .基本模型：2.34n 【解析】∵A 1O ＝A 1C 1＝2，∠A 1OC 1＝30°，A 1C 2⊥OC 1，∴A 1C 2＝12A 1O ＝1，C 1C 2＝C 2O ＝3，又∵A 2C 3⊥OC 1，∴A 2C 3∥A 1C 2，∴A 2C 3是△A 1C 2O 的中位线，∴A 2C 3＝12A 1C 2＝12，S △A 2C 2C 1＝12C 1C 2·A 2C 3＝34；以此类推，S △A 3C 3C 2＝342；S △A 4C 4C 3＝343；…；∴S △A n ＋1C n ＋1C n ＝34n.基本模型：3.2n －12n －1【解析】∵△A 1C 1C 2是等边三角形，∴∠A 1C 2C 1＝60°，∵C 1D 1⊥A 1C 2，∴D 1C 2＝12C 1C 2，∠D 1C 1C 2＝30°，∵C 1D 1＝D 1C 3，∴∠D 1C 3C 2＝∠D 1C 1C 2＝30°，∴∠C 2D 1C 3＝∠C 2C 3D 1＝30°，∴C 2C 3＝C 2D 1＝12C 1C 2，∴C △A 2C 2C 3＝12C △A 1C 1C 2＝12，同理C △A 3C 3C 4＝12C △A 2C 2C 3＝122，∴△A n C n C n ＋1的周长为12n －1，∴这些三角形的周长和为1＋12＋122＋…＋12n －1＝2n －12n －1.基本模型：4.7×3n －12n 【解析】如解图，过点B 1作B 1M ⊥x 轴于点M ，过点C 1作C 1N ⊥x 轴于点N ，∵点B 1的坐标为(2，1)，∴点M 的坐标为(2，0)，即B 1M ＝1，OM ＝2，由△A 1MB 1∽△B 1MO可得A 1M ＝12，又∵△C 1NA 1≌△A 1MB 1，∴A 1N ＝1，C 1N ＝12，∴点C 1的横坐标为72；同理可得，点C 2的横坐标为72×32；点C 3的横坐标为72×(32)2；…；∴点C n 的横坐标为7×3n －12n .第4题解图基本模型：5.(π3－32)×(32)2n －2【解析】∵直线l 1∶y ＝33x ，∴∠A 1Ox ＝30°，∵直线l 2∶y ＝3x ，∴∠B 1Ox ＝60°，∴∠A 1OB 1＝30°.∵A 1B 1⊥l 1，∴∠OB 1A 1＝60°，∵四边形A 1B 1B 2C 1是菱形，∴A 1C 1∥B 1B 2，∴∠B 1A 1C 1＝∠A 1B 1O ＝60°，∵A 1B 1＝A 1C 1，∴△A 1B 1C 1是等边三角形，∴S 1＝2(S 扇形A 1B 1C 1－S △A 1B 1C 1).∵点A 1的横坐标为32，∴点A 1的纵坐标为32，OA 1＝3.如解图，过点A 1作A 1D ⊥x 轴于点D ，则△A 1OB 1∽△DOA 1，∴A 1B 1DA 1＝A 1O DO ，即A 1B 132＝332，∴A 1B 1＝1，∴S 1＝2×(π6－34)＝π3－32.在△A 2A 1C 1中，A 1C 1＝A 1B 1＝1，∠C 1A 1A 2＝30°，∴A 2C 1＝12A 1C 1＝12，∴A 2B 2＝A 2C 1＋B 2C 1＝32，∴S 2＝2[(π6×(32)2－12×32×(32)2]＝(π3－32)×(32)2，同理S 3＝(π3－32)×(32)4，S 4＝(π3－32)×(32)6，∴S n ＝(π3－32)×(32)2(n －1)＝(π3－32)×(32)2n －2.第5题解图基本模型：针对训练1.3·2n 【解析】∵A ，A 1，A 2…A n 都在平行于x 轴的直线上，点的纵坐标都相等，∴A n 的纵坐标是3，这些点的横坐标有一定的规律A n ＝2n ；B ，B 1，B 2，…，B n 都在x 轴上，B n 的纵坐标是0，这些点的横坐标也有一定的规律B n ＝2n ＋1，点A n 的坐标是(2n ，3)，B n 的坐标是(2n ＋1，0)，∴△OA n B n 的面积＝12×3×OB n ＝3·2n .2.22020·7【解析】由题意得D 1D 2＝22＋（3）2＝7＝20·7，D 2D 3＝42＋（23）2＝27＝21·7，D 3D 4＝82＋（43）2＝47＝22·7，…，∴D n D n ＋1＝2n －1·7.∴D 2021D 2022＝22020·7.3.122n ＋3【解析】把x ＝0代入y ＝－x ＋1得，y ＝1，∴OB ＝1，把y ＝0代入y ＝－x ＋1得，x ＝1，∴OA ＝1，∴OA ＝OB ，∵点O 1、A 1分别是BO 、BA 的中点，∴OO 1＝12OB ＝12，O 1A 1是△OAB 的中位线，∴O 1A 1∥OA ，O 1A 1＝12OA ＝12，如解图，连接OA 1，O 1A 2，∵O 1A 1∥OA ，∴S △AO 1A 1＝S △OO 1A 1＝12×12×12＝123，同理，O 2A 2＝12O 1A 1＝14，O 2O 1＝12BO 114，S △A 1O 2A 2＝S △O 1O 2A 2＝12×14×14＝125，…，∴S △A n A n ＋1O n ＋1＝122n ＋3.第3题解图4.2n －1【解析】设△AA 1A 2、△A 1A 2A 3、△A 2A 3A 4的面积分别为S 1、S 2、S 3，∵四边形OAA 1B 1是正方形，∴OA ＝AA 1＝A 1B 1＝1，∴S 1＝12，∵∠OAA 1＝90°，∴OA 21＝12＋12＝2，∴OA 2＝A 2A 3＝2，∴S 2＝1，同理可求：S 3＝2，S 4＝4，…，∴S n ＝2n －2，∴△A n A n ＋1A n ＋2的面积S n ＋1＝2n －1.5.n2n ＋2【解析】如解图，连接B 1B 2，B 2B 3，B 3B 4，∵n 个腰长为1的等腰三角形有一条腰在同一直线上，∴B 1B 2＝B 2B 3＝B 3B 4＝1，∴△A 1B 1B 2的面积＝12，∵B 1B 2∥AA 4，∴B 1B 2AA 1＝1，B 2B 3AA 2＝12，B 3B 4AA 3＝13，∴S 1＝12×11＋1＝14，∵S 2＝12×21＋2＝13，S 3＝12×33＋1＝38，∴S n ＝12×n n ＋1＝n 2n ＋2.第5题解图6.3n【解析】如解图，分别连接OB 1，OB 2，…，OB n ，∵点A 1(1，0)，A 2(2，0)，…，A n (n ，0)，∴OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝…，∵B 1，B 2，…，B n 在反比例函数y ＝6x(x ＞0)的图象上，∴S △A n OB n ＝12×6＝3，∴S 1＝S △A 1OB 1＝3，S 2＝12S △A 2OB 2＝32，S 3＝13S △A 3OB 3＝33，…，S n ＝1n S △A n OB n ＝3n .第6题解图7.24041【解析】由12x ＋12＝－12x ＋12得x ＝0，则A (0，12)，令y ＝0，由y ＝－12x ＋12＝0得x ＝1，则B 1(1，0)，C 1(1，1)，∴B 1C 1＝1，如解图，连接AD 1，D 1D 2，D 2D 3，由菱形的对称性可得AD 1＝2，∴S 菱形AB 1D 1C 1＝12AD 1·B 1C 1＝12×2×1＝1，∴S 1＝12S 菱形AB 1D 1C 1＝12，把x ＝2分别代入y ＝12x ＋12与y ＝－12x ＋12得y ＝32和y ＝－12，∴B 2(2，－12)，C 2(2，32)，∴B 2C 2＝2，由菱形的对称性得AD 2＝4，∴S 2＝12S 菱形AB 2D 2C 2＝12×12×4×2＝2，把x ＝4分别代入y ＝12x ＋12与y ＝－12x ＋12得y ＝52和y ＝－32，∴B 3(4，－32)，C 3(4，52)，∴B 3C 3＝4，由菱形的对称性得AD 3＝8，∴S 3＝12S 菱形AB 3D 3C 3＝12×12×8×4＝8，同理可得S 4＝32，S 5＝128，…，由上可知S n ＝22n －3，∴S 2022＝24041.第7题解图8.3n22n －1【解析】∵∠A ＝30°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝75°，∵BC 1⊥AC ，∴∠CBA 1＝15°，同理可得∠BCB 1＝15°，∴∠CA 1C 1＝30°，A 1B ＝A 1C ，∴CC 1＝12A 1C ，∵△A 1BC 的面积为1，∴12A 1B ·CC 1＝1，即12A 1C ·12A 1C ＝1，∴A 1C ＝2，∴A 1C 1＝32A 1C ＝3，∵A 1C 1⊥AC ，B 1A 2⊥AC ，∴A 1C 1∥B 1A 2，同理，A 1B 1∥A 2C 1，∴四边形A 1B 1A 2C 1是平行四边形，∵∠B 1BC ＝∠C 1CB ，∠BB 1C ＝∠CC 1B ＝90°，BC ＝CB ，∴△BB 1C ≌△CC 1B (AAS)，∴BC 1＝CB 1，∵A 1B ＝A 1C ，∴A 1B 1＝A 1C 1，∴四边形A 1B 1A 2C 1是菱形，∴A 1C 1＝A 2C 1，∵CB 1∥C 1B 2，∴∠A 2C 1A 1＝∠CA 1C 1＝30°，如解图，过点A 1作A 1M ⊥A 2C 1于M ，∴A 1M ＝12A 1C 1＝123，∴菱形A 1B 1A 2C 1的面积＝A 2C 1·A 1M ＝32＝3122×1－1；同理可得，菱形A 2B 2A 3C 2的面积＝98＝3222×2－1；菱形A 3B 3A 4C 3的面积＝2732＝3322×3－1；…；由上可知四边形A n B n A n ＋1C n 的面积＝3n 22n －1.第8题解图9.2(3)n 【解析】∵OA 1＝OB 1＝1，∠A 1B 2O ＝∠B 1A 2O ＝30°，∴OA 2＝1tan ∠OA 2B 1＝1tan30°＝3，∴A 1A 2＝OA 2－OA 1＝3－1，∵∠A 1B 2O ＝∠B 1A 2O ＝30°，∴∠B 2A 1O ＝60°，∵∠B 2A 1O ＝∠B 1A 2O ＋∠A 1C 1A 2，∴∠A 1C 1A 2＝30°，∴∠B 1A 2O ＝∠A 1C 1A 2＝30°，∴A 1A 2＝A 1C 1＝3－1，同理OB 2＝3，B 1B 2＝B 1C 1＝3－1，∴四边形A 1C 1B 1O 的周长为1＋1＋3－1＋3－1＝23，∵A 1B 2∥A 2B 3，A 2B 1∥A 3B 2，∴∠OA 1B 2＝∠OA 2B 3，∠OB 1A 2＝∠OB 2A 3，∴四边形OA 1C 1B 1∽四边形OA 2C 2B 2，且相似比为OA 2OA 1＝3，同理四边形OA 2C 2B 2∽四边形OA 3C 3B 3，且相似比为3；以此类推，四边形OA n －1C n －1B n －1∽四边形OA n C n B n ，且相似比为3；∴四边形OA 1C 1B 1∽四边形OA n C n B n ，且相似比为(3)n －1，∴四边形OA 1C 1B 1的周长四边形OA n C n B n 的周长＝1（3）n －1，∴四边形A n C n B n O 的周长为23×(3)n －1＝2(3)n .10.19×4n ＋2【解析】设△ADC 的面积为S ，由题意得，AC ∥B 1B 2，AC ＝AB ＝2，B 1B 2＝4，∴△ACD ∽△B 2B 1D ，∴S △ADC S △B 1B 2D ＝(AC B 1B 2)2＝14，∴S △B 1B 2D ＝4S ，∵CD DB 1＝AC B 1B 2＝12，CB 1＝2，∴DB 1＝43，同理D 1B 2＝83，设△B 1DE 的边B 1D 上的高为h 1，△B 2D 1E 的边B 2D 1上的高为h 2，∵B 1D ∥B 2D 1，∴△B 1DE ∽△D 1B 2E ，∴h 1h 2＝B 1D B 2D 1＝4383＝12，又∵h 1＋h 2＝4，∴h 1＝43，S 1＝12(B 1B 2)2－12B 1D ·h 1＝19×43，同理可得S 2＝19×44，…，S n ＝19×4n ＋2.11.22021＋1【解析】如解图，令y ＝0，则y ＝－x ＋2＝0，得x ＝2，∴点A 1的坐标为(2，0)．令x ＝0，则y ＝－x ＋2＝2，∴M (0，2)，∴OM ＝OA 1＝2，∴∠MA 1O ＝45°，∴∠A 1PN ＝45°，∵四边形A 1B 1C 1A 2为正方形，∴∠MA 1B 1＝90°，∴∠NA 1B 1＝45°，∴∠A 1B 1N ＝45°，∴A 1N ＝B 1N ＝2－1＝1，∴A 1P ＝A 1B 1＝A 1A 2＝A 2C 1＝B 1C 1＝2，B 1(1，－1)，如解图，连接A 2B 1，A 1C 1，则∠A 1B 1A 2＝∠C 1A 1B 1＝45°，∴∠A 2B 1N ＝∠C 1A 1N ＝90°，∴点C 1的横坐标与A 1的横坐标相等为2，A 2与B 1的纵坐标相等为－1，当y ＝－1时，y ＝－x ＋2＝－1，得x ＝3，∴点A 2的坐标为(3，－1)．∵四边形A 2B 2C 2A 3为正方形，∴∠PA 2B 2＝90°，∵∠A 1PN ＝45°，∵A 2B 2＝A 2P ＝22，∴PB 2＝2A 2B 2＝4，∴B 2(1，－3)，如解图，连接A 3B 2，A 2C 2，则A 3B 2∥x 轴，A 2C 2∥y 轴，∴点C 2的横坐标与A 2的横坐标相等为3，A 3与B 2的纵坐标相等为－3，当y ＝－3时，y ＝－x ＋2＝－3，得x ＝5，∴点A 3的坐标为(5，－3)．∴点C 3的横坐标为5.同理可得，C 4的横坐标为9，C 5的横坐标为17，…，由上可得规律，C n 的横坐标为2n －1＋1(n ≥2)，∴点C 2022的纵坐标为22021＋1.第11题解图12.22023－363【解析】∵直线l ：y ＝33x ＋33与x 轴交于点B ，∴B (－1，0)，∴OB ＝1，∵A (－2，0)，∴OA ＝2，∴AB ＝1，∵△ABA 1是等边三角形，∴A 1(－32，32)，把y ＝32代入y ＝33x ＋33，求得x ＝12，∴B 1(12，32，∴A 1B 1＝2，设C 1到x 轴的距离为h 1，C 1到A 1B 1的距离为h 1′，∴h 1＋h 1′＝yA 1＝123，∵A 1B 1//AB ，∴△A 1B 1C 1∽△BAC 1，∴h 1h 1′＝BA A 1B 1＝12，∴h 1＝13(h 1＋h 1′)＝13×123＝163，∴C 1的纵坐标为163；∵A 1B 1＝2，∴A 2(－12，332，将y ＝332代入y ＝33x ＋33中，得33x ＋33＝332，求得x ＝72，∴B 2(72，332)，∴A 2B 2＝4，设C 2到A 1B 1的距离为h 2，C 2到A 2B 2的距离为h 2′，∴h 2＋h 2′＝12A 1B 1·3＝3，∵A 1B 1//A 2B 2，∴△A 1B 1C 2∽△B 2A 2C 2，∴h 2h 2′＝A 1B 1A 2B 2＝12，∴h 2＝13(h 2＋h 2′)＝13×3＝133，∴C 2的纵坐标为yA 1＋h 2＝123＋133＝563；同理可得，C 3的纵坐标为1363；C 4的纵坐标为2963；…，∴C n 的纵坐标为2n ＋1－36 3.∴点C 2022的纵坐标是22023－363.第12题解图类型二图形周期变化典例精讲例3(0，4483)【解题步骤】①3；②3，672,672；③3，233，433，23，(0，4483)辽宁近年中考真题精选1.560π【解析】第一次操作：A 点运动路径长为l 1＝120×π×1180＝23π，第二次操作：A 点运动路径长为l 2＝30×π×1180＝16π，第三次操作：A 点运动路径长为l 3＝0，第四次操作：A 点运动路径长为l 4＝30×π×1180＝16π，第五次操作：A 点运动路径长为l 5＝120×π×1180＝23π，第六次操作：A 点运动路径长为l 6＝0，第七次操作：A 点运动路径长为l 7＝120180×π×1＝23π，…，以此类推，不难发现每三次操作，A 点的运动路径总长相同，即为l ＝23π＋16π＋0＝56π，又∵2016÷3＝672刚好整除，∴A 点的运动总路径长为l 总＝672×56π＝560π.针对训练1.(36，36)【解析】观察这些端点的坐标，有以下规律：当n 为奇数时，第n 个点的坐标为(n ＋12，n ＋12)；当n 为偶数时，第n 个点的坐标为(12n ，12n ＋1)．由此可知，点A 71的坐标为(36，36)．2.(337，－3373)【解析】观察图形可知，六边形的顶点是6个为一个循环，∵2021÷6＝336……5，∴点A 2021是第337个正六边形的顶点，且在第四象限，如解图连接OA 5，A 5，A 11，并延长至A 2021，∵点O 是所有正六边形的中心，易得△OA 5A 6、△OA 11A 12…，都是等边三角形，∴OA 5＝2、OA 11＝4、…，OA 2021＝337×2＝674，作A 2021P ⊥x 轴于点P ，∵∠A 2021OP ＝60°，∴A 2021P ＝OA 2021·sin60°＝3373，OP ＝OA 2021·cos60°＝337，∴点A 2021的坐标是(337，－3373)．第2题解图3.(－21010，－21010)【解析】由题意得，点B 1，B 2，B 3，B 4分别在第三象限，第四象限，第一象限，第二象限的角平分线上，且点B 5与点B 1在一条直线上，∴周期为4.∵2021÷4＝505……1，∴点B 2021在第三象限的角平分线上．∵四边形OA 1B 1C 1是边长为1的正方形，∴OA 1＝1，∴OB 1＝2.∵正方形OA 2B 2C 2的边长等于OB 1，∴OA 2＝2，∴OB 2＝2OA 2＝2＝(2)2.∵正方形OA 3B 3C 3的边长等于OB 2，∴OA 3＝2，∴OB 3＝2OA 3＝22＝(2)3.同理可得，OB 2021＝(2)2021，∴点B 2021的横坐标为－(2)2021×cos45°＝－（2）20222＝－210112＝－21010，纵坐标为－(2)2021×sin45°＝－（2）20222＝－210112＝－21010，∴点B 2021的坐标为(－21010，－21010)．4.(－42，42)【解析】观察题图可知，每4个点在一个图上，∴周期为4，∵30÷4＝7……2，∴A 30在直线y ＝－x 上，且在第二象限第8个圆上，即射线OA 30与x 轴的夹角是45°，∵在直角坐标系中，以原点O 为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，∴OA 30＝8，如解图，OA ＝8，∠AOB ＝45°，∵sin45°＝AB 8，cos45°＝OB 8，∴AB ＝42，OB ＝42，∵A 30在第二象限，∴A 30的横坐标是－42，纵坐标是42，即A 30的坐标是(－42，42)．第4题解图5.(－21010，－21010)【解析】∵等腰Rt △OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1＝A 1A 2＝1＝(2)°，以OA 2为直角边作第二个等腰Rt △OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰Rt △OA 3A 4，…，∴OA 1＝1＝(2)°，OA 2＝2，OA 3＝(2)2，…，OA 2022＝(2)2021，∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴，2022÷8＝252……6，∴点A 2022在第三象限对角线上，∵OA 2022＝(2)2021，∴点A 2022的坐标为(－21010，－21010)．6.(52，－5132)【解析】观察，发现规律：A 2(2，3)，A 4(52，－332)，A 6(2，23)，A 8(52，－532)，…，∴A 4n ＋2(2，3n ＋3)，A 4n ＋4(52，－（2n ＋3）32)(n 为自然数)，∵100＝4×24＋4，∴A 100的坐标为(52，－5132)．7.－3101022019【解析】∵边长为4的等边△ABC ，AC 边在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，OB ⊥AC ，∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°，∠ABO ＝12∠ABC ＝30°，∴AO ＝12AB ＝2，OB ＝3AO ＝23；∵以OB 为边作等边△OBA 1，边OA 1与AB 交于点O 1，以O 1B 为边作等边△O 1BA 2，边O 1A 2与A 1B 交于点O 2，∴∠BA 1O ＝∠A 1OB ＝∠A 2O 1B ＝60°，∠A 1BO 1＝∠OBO 1＝12∠A 1BO＝30°，∴∠AOO 1＝∠A 1O 1O 2＝90°－60°＝30°，在△OO 1A 与△O 1O 2A 1OAO 1＝∠A 1AOO 1＝∠A 1O 1O 2，∴△OO 1A ∽△O 1O 2A 1，同理，可得△OO 1A ∽△O 1O 2A 1∽△O 2O 3A 2∽…∽△O n －1O n A n －1，相似比O 1A 1OA ＝O 1O 2OO 1＝sin60°＝32，∴O 1A 1＝32OA ，同理O 2A 2＝32O 1A 1＝(32)2OA ，…，O n A n ＝(32)n OA ∵∠OBA ＝∠O 1BA 1＝∠O 2BA 2＝∠O 3BA 3＝…＝∠O n －2BA n －2＝∠O n －1BA n －1＝30°，360°÷30°＝12，∴这些点所在的位置以12个为一个周期依次循环，∵2020÷12＝168……4，∴O 2020A 2020为4÷2×(32)2020＝3101022019.∴△O 2019BA 2020的边长为2O 2020A 2020＝2×(3101022019)＝3101022018，∵点A 2020与点A 4位置类似，∴点A 2020的横坐标为－3101022019·sin30°＝－3101022019.。
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专题一：中考探索规律题型专题复习
一、选择题
1.在平面直角坐标系中，对于点P(x,y)，我们把点P/(-y+1,x+1)叫做点P伴随点.已知点A
的伴随点为A2，
1
点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，….若点A1的坐标为(2，4)，点A2017的坐标为( )
A.(-3，3)
B.(-2，-2)
C.(3，-1)
D.(2，4)
2.大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3＋5，33=7＋9＋11，43=13＋15＋17＋19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是103，则m的值是（）
A.9
B.12
C.11
D.10
3.下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为( )
A.73
B.81
C.91
D.109
4.如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是()
A.y=2n＋1
B.y=2n＋n
C.y=2n＋1＋n
D.y=2n＋n＋1
5.小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：
3－2=1；
8＋7－6－5=4；
15＋14＋13－12－11－10=9；
24＋23＋22＋21－20－19－18－17=16；
…
根据以上规律可知第10行左起第1个数是( )
A.100
B.121
C.120
D.82
6.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，顺次连结各边中点得到四边形A
B1C1D1，再顺次连结四边形A1B1C1D1
1
各边中点得到四边形A2B2C2D2…，依此类推，则四边形A7B7C7D7的周长为()
A.14
B.10
C.5
D.2.5
7.如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1.将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2015次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2015的坐标为()
A.(1343，0)
B.(1342，0)
C.
D.
8.如图，在第1个△A
BC中，∠B=30°,A1B=CB,在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D,
1
得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是( ）
9.如图，在一单位长度为1cm的方格纸上，依如图所示的规律，设定点A
、A2、A3、A4、A5、A6、A7、…、
1
A n，连接点O、A1、A2组成三角形，记为△1，连接O、A2、A3组成三角形，记为△2…，连O、A n、A n+1
组成三角形，记为△n（n为正整数），请你推断，当n为50时，△n的面积=（）cm2.
A.1275
B.2500
C.1225
D.1250
10.如图，已知Rt△ABC的面积为1，D
是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于
1
D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，D n，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BD n E n的面积为S1，S2，S3，…S n.则S n等于()
A. B. C. D.
11.观察算式，探究规律：
当n=1时，S1=13=1=12；
当n=2时，；
当n=3时，；
当n=4时，；
…
那么S n与n的关系为（）
A．B．C．D．
12.一组正方形按如图所示的方式放置,其中顶点B1在y轴上,顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3 (x)
上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2016B2016C2016D2016边长是( )
A.()2015
B.()2016
C.()2016
D.()2015
13.如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中“→”方向排列,如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3,2)，(3,1)，(3,0)，(4,0)．根据这个规律探索可得,第100个点的坐标为( )
A.(14,8)
B.(13,0)
C.(100,99)
D.(15,14)
14.已知一列数：1，-2，3，-4，5，-6，7，…将这列数排成下列形式：
按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第5个数是( )
A.-4955
B.4955
C.-4950
D.4950
15.如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA
B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，
1
再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2017的坐标是（）
A.（0，21008）
B.（21008，21008）
C.（21009，0）
D.（21009，－21009）
二、填空题
16.即“结绳记数”.如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,用来记录采集到的野果数量,由图可知,她一共采集到的野果数量为个.
17.如图，已知△ABC的周长为1，分别连接AB，BC，CA各边的中点得△A
B1C1，再连接A1B1，B1C1，
1
C1A1的中点得△A2B2C2，……，这样延续下去，最后得△A n B n C n.那么△A n B n C n的周长等于.
18.计算并观察下列各式：
(x-1)(x+1)= ______ ；
(x-1)(x2+x+1)= ______ ；
(x-1)(x3+x2+x+1)= ______ ；
(2)从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格.
(x-1)( ______ )=x6-1；
(3)利用你发现的规律计算：
(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= ______ ；
(4)利用该规律计算1+4+42+43+…+42017= ______ .
19.如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=错误！未找到引用源。
，tan∠BA3C=错误！未找到引用源。
，
计算tan∠BA4C=________，…按此规律，写出tan∠BA n C=________(用含n的代数式表示).
20.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…，和点C1，C2，C3，…，分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1、B2的坐标分别为B1（1，1），B2（3，2），则B8的坐标是．
参考答案
1.答案为：D
2.答案为：D；
3.答案为：C.
4.答案为：B；
解析：∵观察可知：左边三角形的数字规律为1，2，…，n，右边三角形的数字规律为21，22…，2n，下边三角形的数字规律为1＋2，2＋22，…，n＋2n，∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y=2n＋n.
5.答案为：C；
解析：根据规律可知第10行等式的右边是102=100，等式左边有20个数加减.
∵这20个数是120＋119＋118＋…＋111－110－109－108－…－102－101，
∴左起第1个数是120.
6.答案为：D.
7.答案为：D.
8.答案为：C.
9.答案为：A.
10.答案为：A.
11.答案为：C
12.答案为：D
13.答案为：B
14.答案为：B；
15.答案为：B.
16.答案为:1946.解析：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1946.
17.答案为：
18.答案为：x2-1；x3-1；x4-1；x5+x4+x3+x2+x+1；x7-1；错误！未找到引用源。
(42018-1)
19.答案为：错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
.
20.答案为：（28﹣1，28﹣1）或（255，128）．。