材料力学中应力计算公式的教学探讨.
引言
材料力学是固体力学的一个分支 , 主要研究杆件在载荷作用下的强度、刚度和稳定性等问题。
这一课程是机械、土木、水利和交通等领域的一门重要的技术基础课,往往是许多工科学生的必修课。
很多学生是从这门课开始接触了力学中的一些比如应力、应变等基本概念的,初步了解现代力学到底是干什么的。
虽然材料力学在固体力学中是最基础的,相对比较简单,但是教学实践发现学生掌握的情况普遍不太理想。
许多工科学生的理论功底是比较薄弱的,特别是那些在高中没有系统学习物理的学生。
另外现在很多大学中的力学课程的课时安排又很紧张。
这
些因素导致有些学生觉得材料力学内容繁杂,概念难以理解,公式不易记住并熟练运用。
笔者认为对力学公式进行孤立的机械记忆效率相当底下。
整个力学是一个完整的体系,其中不同地方的内容都是有密切联系的。
应该在深刻理解每一个定理公式背后的物理含义的基础上,了解它们之间内在的关系,只有这样才能融会贯通。
考虑到这一点,在教学过程中应该注意经常回顾比较不同的知识点。
本文以材料力学中几种基本变形的应力计算公式为例,分析这些概念内在的异同点。
1杆件横截面上的应力计算公式
强度问题是材料力学中的一类比较重
要的问题。
而计算这一问题必须涉及杆件中应力的计算。
从本质上讲,这里的应力计算问题都是超静定问题。
比如图 1(a中的轴向拉伸问题中,静力平衡方程只能求出轴力(分布内力系的静力等效结果,而无法求出横截面上各处的应力大小。
材料力学对这个问题的分析并不采用像弹性力学那样的严格的解析求解方法, 而是借助于一些简单的假设。
对于横截面上的应力计算问题,这一假设就是平截面假设——杆件变形以后横截面仍然保持为平面。
超静定问题的求解需要用到三方面的关系:静力平衡关系、几何关系和物理关系。
平截面假设提供了几何材料力学中应力计算公式的教学探讨
顾云风南京林业大学机械电子工程学院210037
关系。
对图 1(a 中的轴向拉伸问题,根据平截面假设,杆件两个横截面间的所有纵向纤维的伸长是相同的,即变形在横截面上是均匀分布的。
因为材料力学一般只考虑均匀材料,所以横截面上各处的物理关系是相同的。
综合考虑几何关系和物理关系,可知轴向拉伸杆横截面上的应力是均匀分布的。
由此可以用轴力F N 和横截面面积 A 表示轴向拉伸杆横截面上的正应力
图 1
对于圆截面扭转问题,几何关系仍然是平截面假设——变形前为平面的横截面, 变形后仍然为平面, 形状和大小不变, 半径保持为直线,不同横截面只是间距不变地绕轴线发生相对转动。
这一几何关系表明扭转时横截面上的变形大小是与到圆心的距离成正比的。
这里材料的物理关系在各处仍然是相同的。
由此可知横截面上的切应力τ如图 1(b 所示沿半径线性分布。
最后结合静力平衡关系,可以得到横截面上的切应力
(2
此处 T、I p 和ρ分别为扭转时的内力 (扭矩、横截面对圆心的极惯性矩和到圆心距离。
对于梁的纯弯曲问题,作为几何关系的平截面假设指出变形前为平面的横截面
在梁弯曲变形后仍然保持为平面,并且仍然垂直于变形后的轴线。
基于这一假设, 两个横截面之间的纵向纤维的长度变形是沿着梁的高度线性变化的,进一步考虑到材料的物理关系在各处相同,可以推出梁的横截面上的正应力如图 1(c所示是按直线规律变化的。
最后加上静力平衡关系, 可以得到应力计算公式
(3
此处 M、T z 和 y 分别为弯曲时的内力 (弯矩 ,横截面对中性轴的惯性矩和到中性轴的距离。
通过将式(1到(3的这三个公式比较可以发现应力计算公式可以统一改写为
(4
其中的“横截面上内力”对于轴向拉压、扭转和弯曲分别是轴力 F N 、扭矩 T 和弯矩M。
“横截面几何参数” 代表不同基本变形对应的一种特征的横截面几何性质。
轴向拉压对应的是零次矩,即横截面面积 A;扭转是对圆心的二次矩,即极惯性矩 I P ;弯曲是对中性轴的二次矩,即轴惯性矩 I z 。
“应力分布参数”取决于作为几何关系的平截面假设和物理关系。
由前面的分析可知,轴向拉压时,这一参数可以看成是“1” ,表示应力均匀分布。
扭转和弯曲时, “应力分布参数”分别是ρ和 y,表示应力在横截面上的线性分布特征。
“ 应力分布参数”也可以用量纲进行分析帮助记忆。
以[M]和[L]分别表示质量和长度的量纲。
轴向拉压的内力F N 除以横截面几何参数 A 后, 量纲为[M][L]-2, 正好是应力的量纲,所以式(1中的“应力分布参数” 是一个无量纲量。
对式(2和式 (3 进行分析发现, “应力分布参数” 必须是一个具有长度量纲的参数。
2结束语
本文从超静定问题的角度分析了材料力学中轴向拉压、扭转和弯曲这些基本变形中杆件横截面上应力计算公式的内在的逻辑联系。
本文利用平截面假设这一几何关系将这些概念联系起来,并且用一个统一的公式表示应力计算公式,另外提出量纲分析的方法帮助学生记忆。
教学实践证明这种方法可以有效地帮助学生深入理解材料力学的基本概念。
DOI:10.3969/j.issn.1001-8972.2011.09.157。
材料力学中的应力与应变关系
材料力学中的应力与应变关系材料力学是研究材料在受力作用下的力学行为和性能的学科，应力与应变关系是其中的核心内容之一。
本文将讨论材料力学中的应力与应变的概念及其数学表示，以及应力与应变之间的线性关系与非线性关系。
一、应力的概念及表示应力是指材料单位面积上的内部力，常用符号σ表示。
根据受力情况的不同，可以分为正应力、切应力和体积应力。
正应力是指与作用力方向垂直的内部力，常用符号σ表示；切应力是指与作用力方向平行的内部力，常用符号τ表示；体积应力是指作用在体积内的内部力，常用符号p表示。
正应力的数学表示为σ = F/A，其中F为作用力的大小，A为受力面积。
切应力的数学表示为τ = F/A，其中F为切力的大小，A为受力面积。
体积应力的数学表示为p = F/V，其中F为体积力的大小，V为受力体积。
二、应变的概念及表示应变是指材料在受力作用下产生的形变程度，常用符号ε表示。
根据变形方式的不同，可以分为线性应变和体积应变。
线性应变是指在受力作用下，材料产生的长度或角度发生变化，常用符号ε表示；体积应变是指在受力作用下，材料产生的体积发生变化，常用符号η表示。
线性应变的数学表示为ε = ΔL/L0，其中ΔL为长度变化量，L0为原始长度。
体积应变的数学表示为η = ΔV/V0，其中ΔV为体积变化量，V0为原始体积。
三、应力与应变的线性关系在一定范围内，应力与应变之间可以表现为线性关系。
根据胡克定律（Hooke's Law），线性弹性材料的应力与应变之间满足σ = Eε，其中E为弹性模量。
弹性模量是材料刚度的度量，表示材料单位应力产生的单位应变。
常见的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比。
杨氏模量的数学表示为E = σ/ε，其中σ为应力，ε为线性应变。
剪切模量的数学表示为G = τ/γ，其中τ为切应力，γ为切应变。
泊松比的数学表示为ν = -εv/εh，其中εv为垂直方向的线性应变，εh为水平方向的线性应变。
材料力学三个主应力计算公式
材料力学三个主应力计算公式
1材料力学三个主应力计算公式
材料力学是用物理学的方法研究材料在外加拉力、轴向力、压力等机械荷载作用下的弹性和非弹性变形行为的一门学科。
这里我们主要讲解三个主要的应力计算公式，它们是拉伸应力公式、压缩应力公式和弯曲应力公式。
1拉伸应力公式
拉伸应力公式是研究材料受到拉力的变形的一个主要的应力计算公式。
对一般的条件，拉伸应力公式可以表示为：σ=F/A，其中σ是拉伸作用下材料的应力，F为拉力的大小，A是拉力所作用的面积。
2压缩应力公式
压缩应力公式是研究材料受到压缩的变形的一个主要的应力计算公式。
对一般的条件，压缩应力公式可以表示为：σ=F/A，其中σ是压缩作用下材料的应力，F为压缩力的大小，A是压缩力所作用的面积。
3弯曲应力公式
弯曲应力公式是研究材料受到弯曲的变形的一个主要的应力计算公式。
对一般的条件，弯曲应力公式可以表示为：σ=M/I，其中σ是弯曲作用下材料的应力，M为弯矩的大小，I是受到弯矩作用的轴状截面积的矩。
弯曲应力几何关系可以表示为：σm=E⋅（1/R）
⋅σ=E⋅（1/r）⋅截面有效截面积，其中R和r分别是弯曲的半径和有效截面的半径。
以上是关于材料力学三个主要的应力计算公式，也就是拉伸应力公式、压缩应力公式和弯曲应力公式的介绍。
通过对这些公式的学习，可以深入了解材料的变形以及如何从力学的角度来衡量材料的应力。
《材料力学》课件2-3应力.拉(压)杆内的应力
d
A
FNAB cos 300 FNBC
FNAB
300
C
B
AB
FNAB 28.3MPa AAB
a
FNBC
F
BC
FNBC 4.8MPa ABC
例题 2.7
试求图示结构AB杆横截面上的正应力。已 知F=30KN，A=400mm2
F 2a FN AB a 0
应力.拉(压)杆内的应力 应力的概念
受力杆件某截面上一点的内力分布疏密程度，内力集度. (工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度 的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏”或“ 失效”往往 从内力集度最大处开始。)
F1 F2
应力就是单位面积 上的内力?
F3
Fn
F1
ΔFQy
DF
ΔA
Δ FN
垂直于截面 的应力称为 “ 正应力”
45
F
0
1 杆轴线成450截面上。 min 2 450 45
0
1 轴向拉压杆件的最大切应力发生在与 2
45
45
切应力互等定理
0
0
3、 900
90 0
0
90 0
0
在平行于杆轴线的截面上σ、τ均为零。
FN A
圣维南原理
书中例题
长为b、内径d=200mm、壁厚δ=5mm的薄壁圆环， 承受p=2MPa的内压力作用，如图a所示。试求 圆环径向截面上的拉应力。
d
b
P
P
y
d
b
P
P
FR d
工程力学中的应力和应变的计算方法
工程力学中的应力和应变的计算方法在工程力学这一领域中，应力和应变是两个极其重要的概念。
它们对于理解材料在受力情况下的行为以及结构的稳定性和安全性起着关键作用。
接下来，让我们深入探讨一下应力和应变的计算方法。
应力，简单来说，就是单位面积上所承受的内力。
想象一下，我们有一根杆子，在它的横截面上受到一个力的作用。
这个力除以横截面的面积，得到的值就是应力。
应力的单位通常是帕斯卡（Pa）。
在计算应力时，我们需要先明确受力的类型。
如果是拉伸或压缩力，应力的计算公式为：应力＝力／横截面面积。
例如，有一根横截面面积为 001 平方米的杆子，受到 1000 牛顿的拉力，那么应力＝ 1000／ 001 ＝ 100000 帕斯卡。
如果是剪切力，应力的计算就稍微复杂一些。
对于矩形截面，剪切应力＝剪力／（横截面面积 ×剪切面的距离）。
假设一个矩形截面的宽度为 b，高度为 h，受到的剪力为 V，那么剪切面上的平均剪切应力＝ 3V ／ 2bh 。
应变则是描述物体在受力时发生的变形程度。
它是相对变形量，没有单位。
应变分为线应变和角应变。
线应变是指物体在某一方向上长度的变化量与原始长度的比值。
如果一根杆子原来的长度是 L，受力后长度变成了 L'，那么线应变＝（L' L）／ L 。
角应变，也称为切应变，用于描述物体的角度变化。
例如，一个正方形在受力后变成了菱形，其角度的变化量就是角应变。
在实际工程中，应力和应变的关系通常通过材料的本构方程来描述。
对于线弹性材料，应力和应变之间存在线性关系，遵循胡克定律。
胡克定律在拉伸或压缩情况下可以表示为：应力＝弹性模量 ×应变。
这里的弹性模量是材料的一个固有属性，反映了材料抵抗变形的能力。
不同的材料具有不同的弹性模量。
例如，钢材的弹性模量通常较大，这意味着它在受力时相对不容易发生变形；而橡胶的弹性模量较小，受力时容易产生较大的变形。
除了简单的拉伸和压缩情况，对于复杂的受力状态，如弯曲、扭转等，应力和应变的计算就需要运用更复杂的理论和方法。
(整理)材料力学应力分析(方案)
x+ 2y-x- 2yco 2 + sxs y i2 n
-x- 2ysi2 n-xy co2s
材料力学
应力优状选态
24
§2 平面应力状态分析
因此
+x+y
即单元体两个相互垂直面上 x
的正应力之和是一个常数.
应力优状选态
-
yx
即又一次证明了切应力的互等定理.
xy y
25 材料力学
3
§1 概述
P B A
D C
B、C——单向受力，τ＝0 A——纯剪切， σ＝0 D——既有 σ，又有τ
材料力学
B
C
应力优状选态
D
4
§1 概述
例如一 F
横截面
应力优状选态
F
1
1
材料力学
F
A
1
5
§1 概述
例如二：
5 4
3
2
材料力学
1
F
横截面
应力优状选态
l/2
l/2
5
横截面
4
3
2
1
7
§1 概述
x1
x- 2ysi2n+xyco2s
对求一次导数，并令其等于零，得到
（ x-y） c2 o - s2 xy si 2 ＝ n 0 由此得出另一特征角，用1表示
tan21
x -y 2xy
30
材料力学
§2 平面应力状态分析
应力优状选态
面内最大切应力
tan21
x -y 2xy
x- 2ysi2n+xyco2s
0
dA·cos t e
x+ 2y+x- 2 yyco 2 - sxs y i2 n
材料力学相当应力计算公式
材料力学相当应力计算公式材料力学是研究物质内部受力和变形规律的一门学科，它是工程力学的重要组成部分。
在工程实践中，我们经常需要计算材料在受力作用下的应力，以便评估材料的强度和稳定性。
其中，相当应力是一个重要的参数，它可以帮助我们更好地理解材料的受力情况。
相当应力是指在复杂受力状态下，将各向异性材料的应力状态转化为等效的单轴拉伸或压缩应力状态，以便于进行强度计算和设计。
相当应力计算公式是在这种情况下使用的一种数学表达式，它可以帮助工程师快速准确地计算出材料在受力作用下的相当应力。
相当应力计算公式的一般形式为：σeq = √(σ1^2 + σ2^2 σ1σ2 + 3τ^2)。
其中，σeq为相当应力，σ1和σ2分别为材料的主应力，τ为剪应力。
这个公式是由斯坦霍普公式推导而来的，它适用于各种复杂受力状态下的材料，可以帮助工程师更好地理解材料的受力情况。
在实际工程中，相当应力计算公式可以帮助工程师快速准确地评估材料的强度和稳定性。
通过计算出材料在受力作用下的相当应力，工程师可以及时发现材料的受力状况，从而采取相应的措施，保证工程的安全可靠。
除了上述的一般形式外，相当应力计算公式还有一些特殊情况的简化形式。
比如，在单轴拉伸或压缩应力状态下，相当应力可以直接等于主应力；在纯剪应力状态下，相当应力可以直接等于剪应力。
这些简化形式可以帮助工程师更快地进行计算，提高工作效率。
另外，相当应力计算公式还可以用于材料的强度设计。
在进行材料的强度设计时，工程师需要根据材料的受力情况来确定其强度，并采取相应的措施。
通过使用相当应力计算公式，工程师可以更加准确地评估材料的受力情况，从而确定材料的强度，并进行相应的设计。
总的来说，相当应力计算公式是材料力学中的一个重要工具，它可以帮助工程师更好地理解材料的受力情况，评估材料的强度和稳定性，并进行相应的设计。
在实际工程中，工程师可以根据具体情况选择合适的相当应力计算公式，从而更好地完成工程设计和实施工作。
应力计算公式的适用阶段
应力计算公式的适用阶段引言。
应力是物体内部受力的一种表现形式，它是描述物体受力情况的重要参数。
在工程领域中，对于材料的应力分析是非常重要的，因为它可以帮助工程师设计合理的结构和材料，以保证其在使用过程中不会发生破坏。
应力计算公式是用来计算材料在受力情况下的应力值的数学表达式，它在工程实践中具有广泛的应用。
本文将探讨应力计算公式的适用阶段，以帮助读者更好地理解在何种情况下可以使用这些公式进行应力计算。
弹性阶段。
在材料受到轻微外力作用时，它会发生弹性变形。
在这种情况下，应力计算公式可以很好地适用于计算材料的应力情况。
弹性阶段的应力计算公式通常包括胡克定律和杨氏模量等参数，可以根据受力情况和材料性质来选择合适的公式进行计算。
在弹性阶段，材料的应力与应变呈线性关系，因此可以通过简单的数学公式来计算应力值，这对于工程设计和材料选择具有重要意义。
屈服阶段。
当外力继续增大，超过了材料的屈服极限时，材料会发生塑性变形。
在这种情况下，应力计算公式的适用阶段会有所不同。
塑性变形的材料在受力情况下会出现应力集中和非均匀变形的现象，这就需要使用更为复杂的应力计算公式来进行计算。
在屈服阶段，工程师需要考虑材料的屈服强度和应力集中的情况，以选择合适的应力计算公式进行计算，以保证结构的安全性和稳定性。
断裂阶段。
当材料受到超过其承受能力的外力作用时，它会发生断裂破坏。
在这种情况下，应力计算公式的适用阶段会更加复杂。
断裂破坏是材料受力情况下最严重的情况，需要使用断裂力学和应力分析等高级技术来进行计算。
在断裂阶段，工程师需要考虑裂纹扩展、应力集中和断裂韧性等因素，以选择合适的应力计算公式进行计算，以避免结构的破坏和事故的发生。
总结。
应力计算公式是工程领域中非常重要的工具，它可以帮助工程师分析材料的受力情况，选择合适的结构和材料。
在不同的应力阶段，应力计算公式的适用性也会有所不同。
在弹性阶段，可以使用简单的线性公式进行计算；在屈服阶段，需要考虑塑性变形和应力集中的情况；在断裂阶段，则需要使用高级的断裂力学和应力分析技术进行计算。
材料力学应力计算公式
材料力学应力计算公式材料力学是研究物质内部受力和变形的学科，而应力是描述物体内部受力情况的重要参数。
在工程实践中，我们经常需要计算材料的应力，以评估材料的强度和稳定性。
本文将介绍材料力学中常用的应力计算公式，帮助大家更好地理解和应用这些公式。
1. 正应力计算公式。
在材料力学中，正应力是指垂直于截面的受力情况。
对于拉伸或压缩的情况，正应力可以通过以下公式计算：σ = F/A。
其中，σ表示正应力，F表示受力的大小，A表示受力截面的面积。
这个公式简单直观，适用于许多工程实际问题的计算。
2. 剪应力计算公式。
剪应力是指平行于截面的受力情况。
对于剪切力的情况，剪应力可以通过以下公式计算：τ = F/A。
其中，τ表示剪应力，F表示受力的大小，A表示受力截面的面积。
这个公式也是比较直观的，适用于许多工程实际问题的计算。
3. 组合应力计算公式。
在实际工程中，材料往往同时承受正应力和剪应力。
此时，我们需要考虑组合应力的情况。
对于同时存在正应力和剪应力的情况，组合应力可以通过以下公式计算：σ' = (σ1 + σ2)/2 + √((σ1 σ2)/2)^2 + τ^2。
其中，σ'表示组合应力，σ1和σ2分别表示两个正应力的大小，τ表示剪应力的大小。
这个公式较为复杂，需要仔细计算和理解。
4. 应力的单位。
在计算应力时，我们通常使用国际单位制中的帕斯卡（Pa）作为单位。
1帕斯卡等于1牛顿/米^2。
在工程实践中，我们也经常使用兆帕（MPa）作为应力的单位，1兆帕等于10^6帕斯卡。
5. 应力的方向。
除了计算应力的大小，我们在工程实践中还需要考虑应力的方向。
应力的方向对于材料的强度和稳定性都有重要影响，需要在设计和分析中进行充分考虑。
总结。
材料力学中应力的计算是工程实践中的重要内容，通过本文介绍的应力计算公式，我们可以更好地理解和应用这些公式。
在实际工程中，我们需要根据具体情况选择合适的应力计算公式，并结合应力的方向进行全面分析。
材料力学教案拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算
基础篇之二第2章拉伸与压缩杆件的应力变形分析与强度计算工程结构中的桅杆、旗杆、活塞杆，悬索桥、斜拉桥、网架式结构中的杆件或缆索，以及桥梁结构桁架中的杆件大都承受沿着杆件轴线方向载荷，这种载荷简称我轴向载荷。
承受轴向载荷的杆件将产生拉伸或压缩变形。
承受轴向载荷杆件的材料力学问题包括：杆件横截面上的内力、应力与变形分析与计算；材料的力学行为的实验结果；强度计算以及应变能计算。
这些问题虽然比较简单，但其中的基本概念与基本分析方法则具有普遍意义。
2－1 轴力与轴力图当所有外力均沿杆的轴线方向作用时，杆的横截面上只有轴力F N一种内力分量。
表示轴力沿杆轴线方向变化的图形，称为轴力图（diagram of normal forces）。
为了绘制轴力图，杆件上同一处两侧横截面上的轴力必须具有相同的正负号。
因此约定使杆件受拉的轴力为正；受压的轴力为负。
绘制轴力图的方法与步骤如下：首先，确定作用在杆件上的外载荷与约束力；其次，根据杆件上作用的载荷以及约束力，轴力图的分段点：在有集中力作用处即为轴力图的分段点；第三，应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与正负：产生拉伸变形的轴力为正，产生压缩变形的轴力为负；最后，建立F N－x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。
【例题2－1】 已知:阶梯形直杆受力如图2－1所示。
试画出其轴力图。
图2－1 例题2－1解：因为在A、B、C、D四处都有集中力作用，所以AB、BC和CD三段杆的轴力各不相同。
应用截面法，在AB、BC和CD三段中容易截面处，分别将杆件截开，并且假设截开的横截面上的轴力均为正方向，即为拉力，如图2－2a所示。
然后分别对截开的三部分应用平衡方程0xF=∑即可确定AB 、BC 和CD 段杆横截面上的轴力，分别为：F N (CD )＝200 kN ；F N (BC )＝－（300－200）＝100 kN ；F N (BC )＝500＋200－300＝400 kN 。
材料力学第6章弯曲应力分析与强度计算ppt课件
n
Ai zCi
i 1
yC
Sz A
Ai yCi
i 1
n
Ai
i 1
n
zC
Sy A
Ai zCi
i 1
n
Ai
i 1
C2
Ⅰ
C1
Ⅱ
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
A
S y AzC
S z AyC
yC
Sz A
ydA
A
A
zC
Sy A
zdA
A
A
已知静矩，可以确定图形的形心坐标
已知图形的形心坐标，可以确定静矩
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y
静矩、形心及其相互关系
zC
C
yC
Sz A
ydA
A
A
yC
O
z
A
zC
Sy A
zdA
A
A
如果轴通过图形形心，则图形对这一轴的静矩等于零。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩与惯性积的移轴定理 惯性矩与惯性积的转轴的概念 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩 组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩
的计算方法
第6章 梁的应力分析与强度计算
将组合图形分解为若干简单图形，并确定组合图形 的形心位置。
以形心为坐标原点，设Oyz坐标系，y、z 轴 一般与