导数在函数中的应用
题目： 导数及其应用考试时间:_120_ 分值: 150一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数xxx x f 2ln )(-=的图象在点)2,1(-处的切线方程为( ) A ．2x －y －4＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．x －y －3＝0 D ．x ＋y ＋1＝02．已知,2015)(),ln 2014()(0/=+=x f x x x f 则=0x ( )A ．2e B ．1 C ．2ln D ．e3. 下列求导运算正确的是( )．A. 2/31)3(xx x +=+B ．2ln 1)(log /2x x =C ．e xx 3/log 3)3(=D ．x x x x sin 2)cos (/2-=4．若a>2，则方程13x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根 5．函数x x x f ln )(-=的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 6.20sin x dx π⎰等于( )．A ．0B ．1C ．2D ．47．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 ( )A 、0B 、4-C 、2-D 、28. 某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+-=,390,90090,3900,400900)(3x x x x x R 则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．3009、对于R 上可导的任意函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x '（）>0，则必有（ ）A 、f （0）＋f （2）<2f （1）B 、f （0）＋f （2）≥2f （1）C 、f （0）＋f （2）>2f （1）D 、f （0）＋f （2）≥2f （1） 10、已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=π，且当)2,2(ππ-∈x 时，x e x f xsin )(+=，则( )A ．f(1)＜f(2)＜f(3)B ．f(2)＜f(3)＜f(1)C ．f(3)＜f(2)＜f(1)D ．f(3)＜f(1)＜f(2)11、设曲线)(*1N n x y n ∈=+在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则201420152201512015log log log x x x +++ 的值为( )．A ．2014log 2015- B ．－1 C ．1)2014(log 2015- D ．112、f(x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下 列关于函数g （x ）的叙述正确的是（ ） A ．若a<0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a=－1，－2<b<0,则方程g （x ）=0有大于2的实根. C.若a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有两个实根. D ．若a ≥1,b<2,则方程g （x ）=0有三个实根.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．函数122++-=x x y 与1=y 相交形成一个封闭图形，则该封闭图形的面积是__________．14.已知函数).0(ln 23)(2>+-=a x x axx f 若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．15、已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 .16. 已知直线x+2y －4=0与抛物线y2=4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，P 是抛物线的弧上求一点P ，当△PAB 面积最大时，P 点坐标为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3. （1）求)(x f 的单调区间和极值；（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. 18..已知函数()()x a x x f -+=1ln ． (1)讨论()x f 的单调性；(2)当()x f 有最大值，且最大值大于22-a 时，求a 的取值范围．19.设函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d （a ，b ，c ，d ∈R ，a ＞0）其中，f （0）=3，f ′（x ）是f （x ）的导函数．（Ⅰ）若f ′（-1）=f ′（3）=-36，f ′（5）=0，求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若c=-6，函数f （x ）的两个极值点为x 1，x 2满足-1＜x 1＜1＜x 2＜2．设λ=a 2+b 2-6a+2b+10，试求实数λ的取值范围．20. 已知函数2()ln .f x x ax bx =--（I ）当1a =-时，若函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（II ）若()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，且AB 的中点为0(,0)C x ，求证：0'()0.f x <21. 已知函数2(),()2ln (x f x g x a x e e==为自然对数的底数）（1）求()()()F x f x g x =-的单调区间，若()F x 有最值，请求出最值；（2）是否存在正常数a ，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。
22.已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （Ⅰ）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+;（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.答案1..C2.B3.B4.B5.A6. D7.B8.D9.C 10.D 11.B 12.B 13.43 14.);,1[]52,0(+∞ 15. 2 16. (4,－4) 17. 解:（1）2,2,0)(),2(3)(212=-=='-='x x x f x x f 得令 ∴当22()0;22,()0x x f x x f x ''<->>-<<<或时,当时∴)(x f 的单调递增区间是(,2)(2,)-∞-+∞和，单调递减区间是)2,2(- 当245)(,2+-=有极大值x f x ；当245)(,2-=有极小值x f x . （2）由（1）可知)(x f y =图象的大致形状及走向（图略）∴当)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交点， 即当542542a -<<+时方程α=)(x f 有三解. 18.、解：已知()()ln 1f x x a x =+-..),1()1,0)(00)(0.1)(')1(上是减函数上是增函数，在在（时，函数当）上是增函数；，在（时，函数当+∞>∞+≤-=aa x f a x f a a xx f （II ）由（1）知，当.ln 1)1(1)(0a a a f a x x f a --==>时取得最大值在时，函数.01ln ,22ln 1<-+->--a a a a a 整理得由.1,0(,10),1()(,0)1(0)(,0)(',00,11',1ln )(）即上述不等式即函数。
又）是增，在（）（则设∈<<∴<=∞+>∴>∴>+=-+=a a g a g g x g x g x a xx g x x x g 19.解：（Ⅰ）由于f （0）=3，则d=3， 而f'（x ）=3ax 2+2bx+c由f ′（-1）=f ′（3）=-36，f ′（5）=0知解得 故f （x ）=x 3-3x 2-45x+3即为所求．（Ⅱ） 据题意，函数f （x ）=ax 3+bx 2-6x+3，则f ′（x ）=3ax 2+2bx-6 又x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两根，且-1＜x 1＜1＜x 2＜2，a ＞0．则即则点（a ，b ）的可行区域如图由于λ=a 2+b 2-6a+2b+10=（a-3）2+（b+1）2，则λ的几何意义为点P （a ，b ）与点A （3，-1）的距离的平方． 观察图形知点，A 到直线3a+2b-6=0的距离的平方d 2为λ的最小值而故λ的取值范围是20.（1）由题意：bx x x x f -+=2ln )(，)(x f 在),0(+∞上递增，∴021)(≥-+='b x xx f 对),0(+∞∈x 恒成立，即x x b 21+≤对),0(+∞∈x 恒成立，∴只需min )21(x xb +≤， 0>x ，∴2221≥+x x，当且仅当22=x 时取“=”，∴22≤b ， ∴b 的取值范围为)22,(-∞（2）由已知得，⎩⎨⎧=--==--=0ln )(0ln )(2222212111bx ax x x f bx ax x x f ⇒⎩⎨⎧-=-=22221211ln ln bx ax x bx ax x ，两式相减，得：)())((ln21212121x x b x x x x a x x -+-+=⇒])()[(ln 212121b x x a x x x x++-=， 由b ax xx f -+='21)(及2102x x x +=，得：])([221)(2211000b x x a x x b ax x x f ++-+=--='2111ln 1222x x x x x x +-+=]ln )(2[121111222x x x x x x x x -+--=]ln )1()1(2[121212112x x x x x x x x -+--=，令)1,0(21∈=x x t ， 且t t t t ln 122)(-+-=ϕ)10(<<t ， 0)1()1()(22<+--='t t t t ϕ，∴)(t ϕ在)1,0(上为减函数， ∴0)1()(=>ϕϕt ，又21x x <，∴0)(0<'x f21. 解：（1）3222()()()()(0)x a x ea F x f x g x x e x ex-'''=-=-=> ①当0,()0a F x '≤>时恒成立()(0,)F x +∞在上是增函数，()F x F 只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值……3分②当0a >时，2(()()(0)x ea x ea F x x ex--=>，若0x ea <<，则()0,()(0,)F x F x ea '<在上单调递减； 若x ea >，则()0,()(,)F x F x ea '>+∞在上单调递增，x ea ∴=当时，()F x 有极小值，也是最小值，即min ()()2ln ln F x F ea a a ea a a ==-=-…………6分所以当0a >时，()F x 的单调递减区间为(0,)ea单调递增区间为(,)ea +∞，最小值为ln a a -，无最大值（2）方法一，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点， 则方程()()0f x g x -=有且只有一解，所以函数()F x 有且只有一个零点 由（1）的结论可知min ()ln 01F x a a a =-==得此时，2()()()2ln 0x F x f x g x x e =-=-≥ min ()()0F x F e == ))1,()()f e g e f x g x ∴==∴与的图象的唯一公共点坐标为(,1)e又()(f e g e e''==()()f x g x ∴与的图象在点(,1)e 处有共同的切线，其方程为1)y x e e-=-，即1y x e=-综上所述，存在a 1=，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点(,1)e ，且在该点处的公切线方程为 1.y x e =-方法二：设()f x 与g(x)图象的公共点坐标为00(,)x y ，根据题意得⎩⎨⎧==)()()()(0'0'00x f x f x g x f 即20002ln 22x a x ex a ex ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由②得20x a e =，代入①得021ln ,2x x e =∴=从而1a =…………10分此时由（1）可知min ()()0F x F e == 0x x e ∴>≠当且()0,()()F x f x g x >>即22.解：（Ⅰ） x x x f ln )(-=，xx x x f 111)(-=-=' ∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增 ∴()f x 的极小值为1)1(=f （Ⅱ） ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， ∴ 0)(>x f ，min ()1f x = 令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，xxx h ln 1)(-='，当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（1）的条件下，1()()2f xg x >+（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-xax 1-=① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件.③ 当e a ≥1时，)(xf 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值。
导数的七种应用
导数的七种应用导数是微积分里面非常重要的概念之一，它是求解函数的变化率的重要工具。
在现实世界中，各种科学领域和工程学都有着广泛的应用。
本文将介绍导数的七种应用，包括微积分学，物理学，经济学，机械工程，数学，生物学和计算机科学。
一、微积分学导数在微积分学中有各种广泛的应用，例如求解定积分以及求解复合函数的极值问题。
比如，我们可以使用梯度（即导数）来求解函数的最小值或最大值，这在实际工程中也经常用到。
二、物理学导数在物理学中也有广泛的应用，其中最重要的是用导数来求解动量。
根据动量定理，物体的动量是受速度函数的变化来决定的，而速度函数的变化正是由导数来求解的。
三、经济学导数在经济学中又有广泛的应用，例如用来求解经济的最优状态。
在经济学中，基本的决策问题都可以用导数来求解，从而找到满足所有参与者条件的最佳解决方案。
四、机械工程导数在机械工程中也有广泛的应用，最常用的就是热力学运用。
它可以用来表示流体在特定温度和压强条件下的特性，从而确定机械系统的传热量、流量及其他物理参数。
五、数学导数在数学中也有广泛的应用，例如用来求解方程组的最优解，以及线性规划问题、最小二乘问题和其他优化问题。
六、生物学导数在生物学中也有广泛的应用，主要用于研究植物的生长状况，以及植物体内及周围环境中生物活动的影响。
七、计算机科学导数在计算机科学中也发挥了重要作用，比如使用导数解决数值优化问题，以及机器学习中的梯度下降法，这都是实现机器智能的重要技术。
综上所述，导数在各种科学和工程领域有着广泛的应用。
它是一种重要的数学工具，在现实世界中有着各种各样的应用，从而改变了我们对函数变化和流体传热的认识，为探索现实世界科学规律，提供了重要依据。
导数在函数中的应用
第十一讲导数在函数中的应用教学目标：1、了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.2、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).一、知识回顾课前热身知识点1、函数的单调性与导数设函数y＝f(x)在某区间(a，b)内可导，若x∈(a，b)，f′(x)＞0，则f(x)在区间(a，b)内为增函数；若x ∈(a，b)，f′(x)＜0，则f(x)在区间(a，b)内为减函数；若x∈(a，b)，f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内为常数函数知识点2、函数的极值与导数(1)函数的极小值：若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值：若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．[探究]导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不一定．可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件．知识点3、函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[探究]函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数在极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．二、例题辨析 推陈出新例1、已知函数f (x )＝ax ＋x ln x ，且图象在点⎝⎛⎭⎫1e ，f ⎝⎛⎭⎫1e 处的切线斜率为1(e 为自然对数的底数)．(1)求实数a 的值； (2)设g (x )＝f (x )－x x －1，求g (x )的单调区间； (3)当m >n >1(m ，n ∈Z )时，证明：mn n m>nm .[解答] (1)f (x )＝ax ＋x ln x ，f ′(x )＝a ＋1＋ln x ，依题意f ′⎝⎛⎭⎫1e ＝a ＝1，所以a ＝1.(2)因为g (x )＝f (x )－x x －1＝x ln x x －1，所以g ′(x )＝x －1－ln x (x －1)2. 设φ(x )＝x －1－ln x ，则φ′(x )＝1－1x .当x >1时，φ′(x )＝1－1x >0，φ(x )是增函数，对∀x >1，φ(x )>φ(1)＝0，即当x >1时，g ′(x )>0，故g (x )在(1，＋∞)上为增函数；当0<x <1时，φ′(x )＝1－1x <0，φ(x )是减函数，对∀x ∈(0,1)，φ(x )>φ(1)＝0，即当0<x <1时，g ′(x )>0，故g (x )在(0,1)上为增函数．所以g (x )的单调递增区间为(0,1)，(1，＋∞)．(3)要证mn n m>n m ，即证ln n m －ln m n >ln n －ln m ，即n －1n ln m >m －1m ln n ，m ln m m －1>n ln nn －1.(*) 因为m >n >1，由(2)知，g (m )>g (n )，故(*)式成立，所以mn nm>nm.变式练习1．已知函数f (x )＝3xa－2x 2＋ln x ，其中a 为常数．(1)若a ＝1，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围．解：(1)若a ＝1时，f (x )＝3x －2x 2＋ln x ，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x ＝－(4x ＋1)(x －1)x (x >0)．当f ′(x )>0，x ∈(0,1)时，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递增． 当f ′(x )<0，x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递减． 故函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0，即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立．即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x.令h (x )＝4x －1x ，因为函数h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a≤3，解得a <0或0<a ≤25或a ≥1.例2、 (2012·重庆高考)设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴． (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．[解答] (1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32. 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.变式练习2． 已知函数f (x )＝e－kx·⎝⎛⎭⎫x 2＋x －1k (k <0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数k ，使得函数f (x )的极大值等于3e －2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)f (x )的定义域为R .f ′(x )＝－k e －kx⎝⎛⎭⎫x 2＋x －1k ＋e －kx (2x ＋1)＝e －kx [－kx 2＋(2－k )x ＋2]，即f ′(x )＝－e－kx(kx －2)(x ＋1)(k <0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2k.当k ＝－2时，f ′(x )＝2e 2x (x ＋1)2≥0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)． 当－2<k <0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下：x ⎝⎛⎭⎫－∞，2k2k ⎝⎛⎭⎫2k ，－1 －1 (－1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )增极大值减极小值增所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，2k 和(－1，＋∞)，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k ，－1. 当k <－2时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下：x (－∞，－1)－1 ⎝⎛⎭⎫－1，2k2k ⎝⎛⎭⎫2k ，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )增极大值减极小值增所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)和⎝⎛⎭⎫2k ，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－1，2k . (2)当k ＝－1时，f (x )的极大值等于3e －2.理由如下：当k ＝－2时，f (x )无极大值．当－2<k <0时，f (x )的极大值为f ⎝⎛⎭⎫2k ＝e －2⎝⎛⎭⎫4k 2＋1k ，令e －2⎝⎛⎭⎫4k 2＋1k ＝3e －2，即4k 2＋1k ＝3，解得k ＝－1或k ＝43(舍去)．当k <－2时，f (x )的极大值为f (－1)＝－e k k .因为e k<e －2,0<－1k <12，所以－e k k <12e －2.因为12e －2<3e －2，所以f (x )的极大值不可能等于3e －2. 综上所述，当k ＝－1时，f (x )的极大值等于3e －2.三、归纳总结 方法在握归纳1、导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间． 2．导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数．归纳2、求可导函数f (x )的极值的步骤(1)求导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的附近两侧的符号： 具体如下表：x x <x 0 x 0 x >x 0 f ′(x ) f ′(x )>0 f ′(x )＝0 f ′(x )<0 f (x ) 增 极大值f (x 0)减x x <x 0 x 0 x >x 0 f ′(x ) f ′(x )<0 f ′(x )＝0 f ′(x )>0 f (x )减极小值f (x 0)增四、拓展延伸 能力升华例3、已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解答] (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )的情况如下：x (－∞，k －1)(k －1) (k －1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )减－e k －1增所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.保持本例条件不变，求f (x )在[0,1]上的最大值．解：由本例(2)可知．①当k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在区间[0,1]上的最大值为f (1)＝(1－k )e. ②当1<k <2时，由于f (0)＝－k ，f (1)＝(1－k )e.令f (1)－f (0)＝(1－k )e ＋k ＝0，得k ＝e e －1.∴当1＜k <e e －1时，f (1)>f (0)．此时f (x )在[0,1]上的最大值为f (1)＝(1－k )e.当ee －1<k <2时，f (1)<f (0)．此时f (x )在[0,1]上的最大值是f (0)＝－k .③当k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最大值为f (0)＝－k .综上所述，当k <e e －1时，f (x )在[0,1]上的最大值为(1－k )e ；当k >ee －1时，f (x )在[0,1]上的最大值为－k .变式练习3．(2012·江西高考)已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足f (0)＝1，f (1)＝0. (1)求a 的取值范围； (2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值． 解：(1)由f (0)＝1，f (1)＝0得c ＝1，a ＋b ＝－1，则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ， f ′(x )＝[ax 2＋(a －1)x －a ]e x . 依题意须对于任意x ∈(0,1)，有f ′(x )<0.当a >0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图象开口向上，而f ′(0)＝－a <0，所以须f ′(1)＝(a －1)e<0，即0<a <1；当a ＝1时，对任意x ∈(0,1)有f ′(x )＝(x 2－1)e x <0，f (x )符合条件； 当a ＝0时，对于任意x ∈(0,1)，f ′(x )＝－x e x <0，f (x )符合条件；当a <0时，因f ′(0)＝－a >0，f (x )不符合条件． 故a 的取值范围为0≤a ≤1. (2)因g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ，所以g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x .(ⅰ)当a ＝0时，g ′(x )＝e x >0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e. (ⅱ)当a ＝1时，对于任意x ∈(0,1) 有g ′(x )＝－2x e x <0，g (x )在x ＝0处取得最大值 g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.(ⅲ)当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a 2a >0. ①若1－a 2a ≥1，即0<a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e.②若1－a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g ⎝⎛⎭⎫1－a 2a ＝2a e12aa-，在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ，g (1)＝(1－a )e ， 则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值 g (0)＝1＋a ；当e －1e ＋1<a <1时，g (x )在x ＝1处取得最小值 g (1)＝(1－a )e.归纳1.利用导数求函数最值的方法求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得，也可利用函数的单调性求得． 2.用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答：第一步 求导 求函数f (x )的导数f ′(x )⇒ 第二步 判断单调性求函数f (x )在给定区间上的单调性⇒第三步 求极点求函数f (x )在给定区间上的极值⇒第四步 求端点值求函数f (x )在给定区间上的端点值⇒第五步 确定最值比较函数f (x )的各极值与端点值的大小，确定函数f (x )的最大值和最小值⇒第六步 反思回顾查看关键点，易错点和解题规范．如本题的关键点是确定函数单调区间；易错点是对参数的讨论五、课后作业 巩固提高1．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( ) A ．f (b )>f (c )>f (d ) B ．f (b )>f (a )>f (e ) C ．f (c )>f (b )>f (a ) D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：选C 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )．2．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：选B 令函数g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2>0，因此，g (x )在R 上是增函数，又g (－1)＝f (－1)＋2－4＝2＋2－4＝0.所以，原不等式可化为g (x )>g (－1)，由g (x )的单调性，可得x >－1. 3．(2012·陕西高考)设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点解析：选D 求导得f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，令f ′(x )＝e x (x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．4．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643解析：选A f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)，又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173.5．(2013·咸宁模拟)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1解析：选A ∵y ′＝3x 2－3，∴当y ′＝0时，x ＝±1. 则x ，y ′，y 的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)y ′ ＋ － ＋ y增c ＋2减c －2增因此，当函数图象与x 轴恰有两个公共点时，必有c ＋2＝0或c －2＝0，∴c ＝－2或c ＝2. 6．(2012·福建高考)已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0； ③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④解析：选C ∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由f ′(x )<0，得1<x <3，由f ′(x )>0，得x <1或x >3， ∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数． 又a <b <c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，∴y 极大值＝f (1)＝4－abc >0，y 极小值＝f (3)＝－abc <0. ∴0<abc <4. ∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图． ∴f (0)<0.∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0.∴正确结论的序号是②③. 7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0，解得－1<x <11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11) 8．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是______________．解析：由原函数有零点，可转化为方程e x －2x ＋a ＝0有解，即方程a ＝2x －e x 有解．令函数g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )>0，得x <ln 2，所以g (x )在(－∞，ln 2)上是增函数， 在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g (x )的最大值为g (ln 2)＝2ln 2－2.因此，a 的取值范围就是函数g (x )的值域，所以a 的取值范围为(－∞，2ln 2－2]．答案：(－∞，2ln 2－2]9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．解析：由题求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13. 答案：－1310．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在点x 0处取得极小值－5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(0,0)，(2,0)．(1)求a ，b 的值； (2)求x 0及函数f (x )的表达式．解：(1)由题设可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∵f ′(x )的图象过点(0,0)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，12＋4a ＋b ＝0，解得a ＝－3，b ＝0. (2)由f ′(x )＝3x 2－6x >0，得x >2或x <0， ∴在(－∞，0)上f ′(x )>0，在(0,2)上f ′(x )<0，在(2，＋∞)上f ′(x )>0.∴f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，因此f (x )在x ＝2处取得极小值．所以x 0＝2.由f (2)＝－5，得c ＝－1. ∴f (x )＝x 3－3x 2－1. 11．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有一个公共点，求实数a 的值；(3)若函数y ＝f (x )＋g (x )有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，且x 2－x 1>ln 2，求实数a 的取值范围． 解：(1)令f ′(x )＝ln x ＋1＝0得x ＝1e ， ①当0<t <1e时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫t ，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，t ＋2上单调递增， 此时函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e； ②当t ≥1e 时，函数f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增， 此时函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值为f (t )＝t ln t .(2)由题意得，f (x )－g (x )＝x ln x ＋x 2－ax ＋2＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个根，即a ＝ln x ＋x ＋2x在(0，＋∞)上有且仅有一个根，令h (x )＝ln x ＋x ＋2x ，则h ′(x )＝1x ＋1－2x 2＝x 2＋x －2x 2＝1x2(x ＋2)(x －1)，易知h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以a ＝h (x )min ＝h (1)＝3.(3)由题意得，y ＝f (x )＋g (x )＝x ln x －x 2＋ax －2，则其导函数为y ′＝ln x －2x ＋1＋a ，由题意知y ′＝ln x －2x ＋1＋a ＝0有两个不同的实根x 1，x 2，等价于a ＝－ln x ＋2x －1有两个不同的实根x 1，x 2，且x 1<x 2， 等价于直线y ＝a 与函数G (x )＝－ln x ＋2x －1的图象有两个不同的交点．由G ′(x )＝－1x＋2，得G (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增， 画出函数G (x )图象的大致形状(如图)．由图象易知，当a >G (x )min ＝G ⎝⎛⎭⎫12＝ln 2时，x 1，x 2存在， 且x 2－x 1的值随着a 的增大而增大． 而当x 2－x 1＝ln 2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1－2x 1＋1＋a ＝0，ln x 2－2x 2＋1＋a ＝0，两式相减可得ln x 2x 1＝2(x 2－x 1)＝2ln 2，得x 2＝4x 1，代入上述方程组解得x 1＝ln 23，x 2＝43ln 2，此时实数a ＝23ln 2－ln ⎝⎛⎭⎫ln 23－1，所以实数a 的取值范围为a >23ln 2－ln ⎝⎛⎭⎫ln 23－1. 12．已知函数f (x )＝x －12ax 2－ln(1＋x )，其中a ∈R .(1)若x ＝2是f (x )的极值点，求a 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )在[0，＋∞)上的最大值是0，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x (1－a －ax )x ＋1，x ∈(－1，＋∞)．依题意，得f ′(2)＝0，解得a ＝13. 经检验，a ＝13时，符合题意．故a ＝13.(2)①当a ＝0时，f ′(x )＝xx ＋1，由f ′(x )>0和f ′(x )<0，易得f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)．②当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝1a－1.当0<a <1时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：x (－1，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x )－＋－f (x )减f (x 1)增f (x 2)减所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a －1，单调递减区间是(－1,0)和⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞. 当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)．当a >1时，－1<x 2<0，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：x (－1，x 2) x 2 (x 2，x 1) x 1 (x 1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )减f (x 2)增f (x 1)减所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，0，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－1，1a －1和(0，＋∞)． ③当a <0时，f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)． 综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)；当0<a <1时，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a －1，单调递减区间是(－1,0)和⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞； 当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)；当a >1时，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，0，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－1，1a －1和(0，＋∞)． (3)由(2)知a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由f (0)＝0，知a ≤0时不合题意．当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)上的最大值是f ⎝⎛⎭⎫1a －1，由f ⎝⎛⎭⎫1a －1>f (0)＝0，知0<a <1时不合题意． 当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，可得f (x )在[0，＋∞)上的最大值是f (0)＝0，符合题意．所以f (x )在[0，＋∞)上的最大值是0时，a 的取值范围是[1，＋∞)． 13．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．解：(1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ；令29＋2a >0，得a >－19. 所以，当a >－19时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间． (2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2， x 2＝1＋1＋8a2. 所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)．又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，即f (4)<f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为 f (2)＝103.。
《导数在函数中的应用实例》
摘要：导数是高等数学中一个重要的概念，它在研究函数的性质、解决实际问题等方面具有广泛的应用。
本文将通过几个具体的实例，详细阐述导数在函数中的应用，包括求切线、研究函数的单调性、求极值和最值等。
一、引言导数是函数在某一点的瞬时变化率，它反映了函数在该点的局部性质。
导数在数学分析、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将通过实例，展示导数在函数中的应用，以帮助读者更好地理解导数的概念和意义。
二、导数在求切线中的应用1. 实例一：求函数f(x) = x²在点P(2,4)处的切线方程。
解：首先，求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据求导法则，f'(x) = 2x。
将x=2代入f'(x)，得到f'(2) = 4。
因此，点P(2,4)处的切线斜率为4。
接下来，利用点斜式方程求出切线方程。
点斜式方程为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m为切线斜率，(x₁, y₁)为切点坐标。
将切点坐标和斜率代入，得到切线方程为y- 4 = 4(x - 2)，即y = 4x - 4。
2. 实例二：求函数f(x) = ln(x)在点A(1,0)处的切线方程。
解：求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据求导法则，f'(x) = 1/x。
将x=1代入f'(x)，得到f'(1) = 1。
因此，点A(1,0)处的切线斜率为1。
利用点斜式方程求出切线方程。
将切点坐标和斜率代入，得到切线方程为y - 0 = 1(x - 1)，即y = x - 1。
三、导数在研究函数单调性中的应用1. 实例一：研究函数f(x) = x³在区间(-∞, +∞)上的单调性。
解：求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据求导法则，f'(x) = 3x²。
由于x²≥0，所以f'(x)≥0。
因此，函数f(x)在区间(-∞, +∞)上单调递增。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
导数的七种应用
导数的七种应用
导数是一个重要的数学概念，它表达了函数变化的方式。
由于它可以描述函数之间的关系，所以它在几乎所有的数学和科学领域中都有应用。
导数的七种应用是：
一、用于估算
导数可以用来估算函数的极值，从而使我们能够得出函数的极值点。
此外，还可以用导数来估算函数在任意点处的变化率。
二、用于求极值
使用导数，可以求出函数在某一点处的极值。
这使得可以确定某函数的最大值和最小值，以及求解它们所在的位置。
三、用于求解微分方程
导数也可以用来求解微分方程。
因为微分方程的形式是表示函数变化率的方程，所以它可以使用导数来求解。
四、用于图像的拟合
导数可以用来拟合任意函数的图像。
只需要知道函数的形式，就可以用导数来拟合图像。
五、用于求局部极大值或极小值
导数可以用来求局部极大值或极小值。
这是因为可以通过函数的导数来确定其极大值和极小值的位置。
六、用于解决线性递增/递减问题
通过导数，可以解决线性递增/递减问题。
这是由于递增/递减函数的导数表示其变化率，所以可以根据导数求解此类问题。
七、用于求微分
导数也可以用来求微分。
微分是求函数图像在某一点处的斜率，因此可以使用导数来求微分。
从上面我们可以看出，导数有着众多的应用，涵盖了数学和科学领域的众多研究领域。
运用它们，可以解决各种复杂问题，为科学和数学探索做出重要贡献。
函数的导数及其应用
函数的导数及其应用
函数的导数是指函数y=f(x)的斜率，表示函数在每个点上的变
化率。
导数表示了函数在某一点的瞬时变化率。
导数的符号和大小
可以告诉我们函数在该点的增长或减少程度，以及函数变化的速率。
导数在实际应用中有很多重要的作用，包括：
1. 切线和切平面的计算：导数可以用来计算曲线在某一点的切
线以及曲面在某一点的切平面。
2. 极值的计算：导数可以用来找出函数的最大值和最小值，以
及函数的拐点和凸凹性。
3. 增长率和加速度的计算：导数可以用来计算物体的速度和加
速度，而这些量在物理学中有重要的应用。
4. 构建数学模型：导数是数学建模中不可或缺的工具，可以用
来描述各种现象，从物理学到经济学、生态学等学科。
总之，导数是数学中非常重要的概念，可以应用于各个领域的
问题中，深受科学家和工程师的青睐。
第16讲 导数在函数中的应用
D.C.B.A.第16讲导数在函数中的应用【考纲解读】1.掌握利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和最值的方法。
2.掌握导数应用的题型，总结归纳解题方法【重点与难点】重点：导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.分析相关题型进行分类总结.难点：导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题. 熟悉掌握导数应用各类题型的出题方式，举一反三.掌握典型例题的典型方法.第一，二课时【考点盘清】见《导航》P47【课前演练】见《导航》P47【典例分析】题型一：原函数与导函数的图象【例1】函数()f x的导函数图象如下图所示，则函数()f x在图示区间上（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【例2】函数()f x的定义域为开区间()a b，，导函数()f x'在()a b，内的图象如图所示，则函数()f x在开区间()a b，内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个例1图例2图例3图【例3】若函数2()f x x bx c=++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x'的图象可能为（）【例4】汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）D.C.B.A.【例5】设()f x'是函数()f x的导函数，()y f x'=的图象如下图所示，则()y f x=的图象可能是（）D.C.B.A.【例6】 已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）【例7】 已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）【例8】 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）【例9】 如图所示是函数()y f x =的导函数()y f x '=图象，则下列哪一个判断可能是正确的（ ）A ．在区间(20)-，内()y f x =为增函数 B ．在区间(03)，内()y f x =为减函数 C ．在区间(4)+∞，内()y f x =为增函数 D ．当2x =时()y f x =有极小值【例10】 已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示， 则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集为（ ）A ．(,2)(1,)-∞-+∞B ．(,2)(1,2)-∞-C ．(,1)(1,0)(2,)-∞--+∞D ．(,1)(1,1)(3,)-∞--+∞题型二：函数的单调性【例11】 函数214y x x=+的单调增区间为__________;函数()l n (0)f x x x x =>的单调递增区间是 ;函数2()(1)f x x x =-的单调递减区间是________．函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为________________【例12】 下列函数中，在区间(1)+∞，上为增函数的是（ ） A ．21x y =-+ B ．1xy x =- C ．2(1)y x =-- D ．12log (1)y x =- 【例13】 三次函数3()1y f x ax ==-在()-∞+∞，内是减函数，则（ ） A ．1a = B ．2a = C ．0a ≤ D ．0a <【例14】 函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）A ．π3π22⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．(π2π)，C ．3π5π22⎛⎫⎪⎝⎭， D ．(2π3π)， 【例15】 若y ax =与by x=-在()0+∞，上都是减函数，对函数3y ax bx =+的单调性描述正确的是（ ）A ．在()-∞+∞，上是增函数B ．在()0+∞，上是增函数C ．在()-∞+∞，上是减函数D ．在()0-∞，上是增函数，在()0+∞，上是减函数【例16】 若21()ln(2)2f x x b x =-++在(1)-+∞，上是减函数，则b 的取值范围是_______ 【例17】 已知函数321()53f x x x ax =++-，若()f x 的单调递减区间是(31)-，，则a 的值是 ． 【例18】 已知函数321()53f x x x ax =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 ．【例19】 已知321(2)33y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ）A ．1b <-或2b >B ．1b -≤或2b ≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤【例20】 若函数32()1f x x ax =-+在(02)，内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≥ B ．3a = C ．3a ≤ D ．03a <<【例21】 若函数32()1f x x ax =-+的单调递区间为(02)，，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≥ B ．3a = C ．3a ≤ D ．03a <<【例22】 已知函数232()43f x x ax x =+-在区间[]11-，上是增函数，则实数a 的取值范围为______．【例23】 若函数232()43f x x ax x =+-在区间(2)-∞-，与(2)+∞，上都是减函数，则实数a 的取值范围为______．【例24】 对于R 上可导的函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ）A ．(0)(2)2(1)f f f +<B ．(0)(2)2(1)f f f +≤C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +>【例25】 已知函数()f x 是偶函数，在()0,+∞上导数()f x '0>恒成立，则下列不等式成立的是（ ）Ａ．()()()312f f f -<-< B ．()()()123f f f -<<-C ．()()()231f f f <-<-D ．()()()213f f f <-<-【例26】 )(x f 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()af a bf b ≤B ．()()bf b af a ≤C ．()()af b bf a ≤D ．()()bf a af b ≤ 【例27】 设()f x 、()g x 是R 上的可导函数，()f x '、()g x '分别是()f x 、()g x 的导函数，且()()()()0f x g x f x g x''+<，则当a x b <<时，有（ ） A ．()()()()f x g x f b g b > B ．()()()()f x g a f a g x > C ．()()()()f x g b f b g x > D ．()()()()f x g x f a g a >【例28】 已知函数x ax x x f ln 1)(2-++-=．⑴当3a =时，求函数()f x 的单调递增区间； ⑵若)(x f 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，求实数a 的取值范围． 【例29】 已知函数()ln xf x x=．⑴判断函数()f x 的单调性；⑵若()1y xf x x=+的图像总在直线y a =的上方，求实数a 的取值范围； ⑶若函数()f x 与()1263m g x x x =-+的图像有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m 的值．【例30】 已知函数2()ln(1)2k f x x x x =+-+（0k ≥）． ⑴当2k =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；⑵求()f x 的单调区间．【例31】 设函数32()91(0)f x x ax x a =+--<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行，求：⑴a 的值；⑵函数()f x 的单调区间．【例32】 设函数()()e 0kx f x x k =≠．⑴ 求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； ⑵ 求函数()f x 的单调区间；⑶ 若函数()f x 在区间()11-，内单调递增，求k 的取值范围．。
几个常用函数的导数应用
当一阶导数等于0的点，称 为函数的驻点，驻点可能是 极值点。
求最值
结合单调性和极值点，可以 求出函数的最大值和最小值。
02 二次函数
二次函数导数的定义
总结词
二次函数导数的定义是函数值关于自 变量的变化率。
详细描述
导数表示函数值随自变量变化的速率， 对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其 导数f'(x)=2ax+b。
通过求导数，可以判断函数的单调性。 例如，对于函数$f(x) = x^3$，其导数 $f'(x) = 3x^{2}$在实数范围内恒大于 等于0，因此该函数在整个定义域内单 调递增。
利用导数可以求出函数的极值点。例如， 对于函数$f(x) = x^3$，其导数$f'(x) = 3x^{2}$，令其为0解得$x=0$，在 这一点左侧导数小于0，右侧导数大于 0，因此该点为极小值点。
05 幂函数
幂函数导数的定义
幂函数导数定义
如果函数$f(x) = x^n$，那么它的导数$f'(x) = nx^{n-1}$。
导数定义解释
导数表示函数在某一点的变化率，对于幂函数，其导数 与原函数的关系是，当$x$变化时，$f'(x)$表示$f(x)$的 增减速度。
幂函数导数的计算
计算方法
根据幂函数导数的定义，对于任意实数$n$，有$f'(x) = nx^{n-1}$。
举例
在物理学中，振动和波动的研究中经常需要用到三角函数的导 数；在工程学中，信号处理和控制系统等领域也需要用到三角
函数的导数。
结论
掌握三角函数导数的计算和应用对于解决实际问题具有重 要的意义。
04 对数函数
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一座连接函数性质与实际应用的重要桥梁。
而在函数的研究中，极值问题又占据着关键地位。
通过导数来求解函数的极值，不仅能让我们更深入地理解函数的变化规律，还能为解决实际问题提供有力的工具。
接下来，我们将通过具体的例题和详细的知识点总结，来探讨导数在函数极值中的应用。
一、知识点回顾1、导数的定义函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）定义为：＼（f'（x_0) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）2、导数的几何意义导数＼（f'（x_0)＼）表示函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的切线斜率。
3、函数的单调性与导数的关系若＼（f'（x) ＞ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递增；若＼（f'（x) ＜ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递减。
4、函数的极值设函数＼（f(x)＼）在＼（x_0\）处可导，且在＼（x_0\）处附近左增右减，则＼（x_0\）为函数的极大值点，＼（f(x_0)＼）为极大值；若在＼（x_0\）处附近左减右增，则＼（x_0\）为函数的极小值点，＼（f(x_0)＼）为极小值。
5、求函数极值的步骤（1）求导数＼（f'（x)＼）；（2）解方程＼（f'（x) ＝ 0\），求出函数的驻点；（3）分析驻点左右两侧导数的符号，确定极值点；（4）将极值点代入函数，求出极值。
二、例题讲解例 1：求函数＼（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 1\）的极值。
解：首先，对函数求导：＼（f'（x) ＝ 3x^2 6x\）令＼（f'（x) ＝ 0\），即＼（3x^2 6x ＝ 0\），解得＼（x ＝ 0\）或＼（x ＝ 2\）当＼（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增；当＼（0 ＜ x ＜ 2\）时，＼（f'（x) ＜ 0\），函数单调递减；当＼（x ＞ 2\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增。