高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算课件理
1个单位 单位向量 长度等于___________ 的向量
平行向量
相同 或______ 相反 的非零 方向______ 向量 平行 或 0与任一向量______
共线向量
______________的非零向量， 共线 方向相同或相反
又叫做共线向量
相等 且方向 相同 长度_____ _____的向 量 相等 且方向_____ 相反 的向 长度_____ 量 两向量只有相等或不等， 不能比较大小 0的相反向量为0
2．三个注意点： (1)向量共线与线段共线不同，前者可以不在同一直线上，而后者必 须在同一直线上。同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为 两个平行向量可以移到同一直线上。 (2)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点。 (3)在向量共线的充要条件中易忽视“a≠0”，否则 λ 可能不存在， 也可能有无数个。
→ ＝a＋2b，BC → ＝－ 2．(必修 4P92A 组 T11 改编)在四边形 ABCD 中，AB → ＝－5a－3b，其中 a，b 不共线，则四边形 ABCD 为( 4a－b，CD A．平行四边形 C．梯形 B．矩形 D．菱形 )
→ ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＝－8a－2b＝2BC →， → ∥BC →， 【解析】 因为AD 所以AD → |≠|BC → |，所以四边形 ABCD 为梯形。故选 C。 且|AD 【答案】 C
3.共线向量定理 向量 a(a≠0) 与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ ，使得
b＝λa 。 _________
微点提醒 1．三个常用的结论： (1)零向量与任何向量共线。 (2)平行向量与起点无关。 → ＝λAC → 或AB → ＝λBC → 或AC → ＝λBC → ，则 A， (3)若存在非零实数 λ，使得AB B，C 三点共线。
相等向量
相反向量
• 2．向量的线性运算
向量 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律
(1)交换律： 求两个向量和运 算 a＋b＝b＋a。
加法
三角形 法则 ________
(2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋
平行四边形 法则 _____________
(b＋c)。
求 a 与 b 的相反 减法 向量－b 的和的 运算叫做 a 与 b 的差 a－b＝a＋(－b)
二、双基查验 1．若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定( A．有不相等的模 B．不共线 C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量
【解析】 因为所有的零向量都是相等的向量，故选 C。 【答案】 C
)
2．若 m∥n，n∥k，则向量 m 与向量 k( A．共线 C．共线且同向 B．不共线
【解析】 由已知得 a＋λb＝－k(b－3a)，
λ＝－1， λ＝－k， 3 ∴ 解得 3k＝1， k＝1 3。
)
D．不定共线
【解析】 若 m∥0,0∥k，则 k 与 m 不一定共线，故选 D。 【答案】 D
3．若向量 a，b 满足|a|＝3，|b|＝8，则|a＋b|的最小值为( A．11 C．4 B．2 D．5
)
【解析】 当 a 与 b 共线且反向时，|a＋b|的最小值为 5。故选 D。 【答案】 D
4．已知 a，b 是非零向量，若|a＋b|＝|a－b|，则以 a，b 为邻边构成 的四边形的形状为________。
小|题|快|练 一 、走进教材 → 与AC → 表示 BC 边上 1．(必修 4P78A 组 T5 改编)已知三角形 ABC，用AB → ，则AD → ＝________。 的中线向量AD
→ ＝AB → ＋BD → ＝AB → ＋1BC → 【解析】 AD 2 → ＋1(AC → －AB → )＝1AB → ＋1AC →。 ＝AB 2 2 2 1→ 1→ 【答案】 2AB＋2AC
三角形 _______法则
(1)|λa|＝|λ||a|； λ(μa)＝(λμ)a；
数乘
求实数 λ 与向量 a 的积的运算
(2)当 λ>0 时， λa 的方向与 (λ＋μ)a＝
相同 ；当 λ<0 _________ λa＋μa ； a 的方向______
时，λa 的方向与 a 的方向 λ(a＋b)＝
相反 ；当 λ＝0 时，λa＝0 λa ＋λb _____ _________
【解析】 如图，在以 a 与 b 为邻边的四边形 中， |a＋b|与|a－b|分别为四边形的两条对角线， 故 由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，以 a， b 为邻边的四边形是矩形。 【答案】 矩形
5．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线， 则 λ＝________。
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算
微知识 小题练
微考点 大课堂 微考场 新提升
☆☆☆2017 考纲考题考情☆☆☆
考纲要求 1.了解向量的实际背景； 2.理解平面向量的概念，理 解两个向量相等的含义； 3.理解向量的几何表示； 4.掌握向量加法、减法的运 算，并理解其几何意义； 5.掌握向量数乘的运算及其 几何意义，理解两个向量共 线的含义； 6.了解向量线性运算的性质 及其几何意义。 真题举例 2015，全国卷Ⅰ， 7,5分(平面向量的线 性运算) 2015，全国卷Ⅱ， 13,5分(平面向量的 线性运算) 2014，北京卷，10,5 分(平面向量的线性 运算) 2014，浙江卷，8,5 分(平面向量的概念) 命题角度 高考对本讲内容的考 查以向量的线性运算 为主；以向量的概念 和线性运算知识为载 体，与三角函数等知 识综合考查的可能性 较大，复习时应予以 关注。试题多为客观 题，难度不大，分值 约为5分。
微知识
小题练
教材回扣 基础自测
• 自|主|排|查 • 1．向量的有关概念
名称 定义 大小 又有______ 方向 的量； 既有______ 向量 向量的大小叫做向量的 长度 或称模 ______( ____) 零向量 零 的向量，其方向是 长度为____ 任意的 0 记作____ 非零向量a的单位向量为 a ± |a| 平面向量是自由向量 备注
山东高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1讲平面向量的概念及其线性运算课件
1 6．(2015·新课标 2)设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝ __2____.
[解析] ∵a、b 不平行，∴a＋2b≠0，由题意可知存在唯一实数 m，使得 λa＋b
复习课件
山东高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1讲平面向量的概念及其线性运算课 件
2021/4/17
山东高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的
1
引入第1讲平面向量的概念及其线性运算课件
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一讲 平面向量的概念及 其线性运算
1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
考点二 向量的线性运算——师生共研
例 2 (1)(2020·武汉调研)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行 四边形 ABCD 所在平面内的任意一点，则O→A＋O→B＋O→C＋O→D等于( D )
A．O→M
B．2O→M
C．3O→M
D．4O→M
(2)(2020·福建高三质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象
＝m(a＋2b)，即(λ－m)a＝(2m－1)b，∴λ2－m－m＝1＝00 ，解得 λ＝12.
考点突破 • 互动探究
考点一 向量的基本概念——自主练透
例 1 (1)(多选题)给出下列命题不正确的是( ACD ) A．单位向量都相等 B．若 A，B，C，D 是不共线的四点，且A→B＝D→C，则 ABCD 为平行四边形
D．A→T＋B→Q＝
2020版《微点教程》高考人教A版文科数学一轮复习文档：第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算 含答案
1．(配合例2使用)已知P为△ABC所在平面内一点， ＋ ＋ ＝0，| |＝| |＝| |＝2，则△ABC的面积等于( )
A． B．2
C．3 D．4
解析由| |＝| |得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又 ＋ ＋ ＝0，所以 ＝－( ＋ )＝－2 ，所以PD＝ AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由| |＝2，PD＝1可得| |＝ ，则| |＝2 ，所以△ABC的面积为 ×2×2 ＝2 。故选B。
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量，其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
答案(1)A(2)D
考点三共线定理及应用微点小专题
方向1：共线定理
【例3】已知e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝( )
高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1讲平面向量的概念及线性运算知能训练轻松闯关理北
【2019最新】精选高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1讲平面向量的概念及线性运算知能训练轻松闯关理北师大版1．把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是( )A．一条线段B．一段圆弧D．一个圆C．两个孤立点解析：选D.由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离都等于1，所有的终点构成的图形是一个圆．2．(2014·高考福建卷)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于( )B．2OM→A.D．4OM→C．3 解析：选D.因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，故＋＋＋＝4.3．(2016·邯郸模拟)如图所示，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )B.BE→A．0D.CF→C.解析：选D.由题图知＋＋＝＋＋＝－＝.4．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝( )A．a－b B.a－bC．a＋b D.a＋b 解析：选D.连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.5．(2016·济南模拟)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为( )B．33A．2C．4D．53解析：选B．因为B，D，C三点共线，所以有＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则＝，＝，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3.6．若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选C.①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋，＝成立．7．(2016·陕西省质检)已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b ＝e1＋λe2共线，则λ＝________．解析：因为向量a 与向量b 共线，可得b ＝ma(m≠0)，整理得e1＋λe2＝2me1－me2，则所以λ＝－. 答案：－12 8．在▱ABCD 中，＝a ，＝b ，＝3 ，M 为BC 的中点，则＝________(用a ，b 表示)．解析：由＝3 ，得4＝3＝3(a ＋b)，AM →＝a ＋b ，所以＝(a ＋b)－＝－a ＋b.答案：－a ＋b9．(2016·九江监测)已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量，，，满足等式 ＋＝＋，则四边形ABCD 的形状为________．解析：因为＋＝＋，所以－＝－，所以＝，BA 綊CD ，所以四边形ABCD 为平行四边形．答案：平行四边形10．(2015·高考全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b平行，则实数λ＝________．解析：因为 λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t(a ＋2b)，即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：1211．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？解：因为d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，即得λ＝－2μ.故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．12.在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.解：＝(＋)＝a＋b.AG→＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋13AC→＝a＋b.。
高考数学一轮总复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算课件理
解析：因为C→D＝C→B＋B→D，C→B＝－B→C，B→D＝21B→A，所以C→D＝－B→C＋12B→A.故选 A.
答案：A
第十六页，共38页。
3．已知平面内四点，A，B，C，D，若A→D＝2D→B，C→D＝13C→A＋λC→B，则 λ 的值为 ________．
解析：依题意知点 A，B，D 三点共线，于是有31＋λ＝1，所以 λ＝32. 答案：32
第二十七页，共38页。
解法二：B→F＝B→A＋A→F＝B→A＋21A→E ＝－A→B＋12A→D＋12A→B＋C→E ＝－A→B＋12A→D＋12A→B＋13C→B ＝－A→B＋12A→D＋14A→B＋16(C→D＋D→A＋A→B) ＝－23A→B＋13A→D. 答案：C
第二十八页，共38页。
2．(2018 届武汉调研)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形
5年8考
运算 理解其几何意义．
第四页，共38页。
主要以三 角形或四 边形为载
2
基础自主梳理
第五页，共38页。
1．向量的有关概念
「基础知识填一填」
名称
定义
备注
向量
既有 大小(又dàx有iǎo方) 向(的fān量gx；iàn向g)量的大
小叫做向量的 长度(c(h或áng称dù)模 )
平面向量是自由向量
第三十五页，共38页。
[自 主 演 练] 设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)，求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 同向． 解：(1)证明：∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3a－3b， ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5A→B. ∴A→B，B→D共线， 又∵它们有公共点 B，∴A，B，D 三点共线．
2020版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算课件理人教
知识点三 共线向量定理
向量 a(a≠0)与 b 共线的 充要 得 b＝λa .
条件是存在唯一一个实数 λ，使
4．对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量， 故 A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共 线向量不一定在同一条直线上，故 B 不正确；显然 C 正确；当A→B ∥C→D时，A→B所在的直线与C→D所在的直线可能重合，故 D 不正 确．
(2)对于 A，当|a|＝|b|，即向量 a，b 的模相等时，方向不一 定相同，故 a＝b 不一定成立；对于 B，向量的模可以比较大小， 但向量不可以比较大小，故 B 不正确；C 显然正确；对于 D，若 |a|＝0，则 a＝0，故 D 不正确，故选 C.
第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算
知识梳理·自主学 习
课堂探究·深度剖析 课外拓展
知识梳理·自主学习
课前热身 稳固根基
知识点一 向量的有关概念
1．向量：既有大小又有 方向 的量叫做向量，向量的大小叫做 向量的 模 ．
2．零向量：长度为 0
3．单位向量：长度等于 4．平行向量：方向相同或
平行四边形的充要条件；
③a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b；
其中正确命题的序号是 ①② .
(2)若 a，b 都为非零向量，则使|aa|＋|bb|＝0 成立的条件是
a 与 b 反向共线
．
解析：(1)①正确．∵a＝b，∴a，b 的长度相等且方向相同， 又 b＝c，∴b，c 的长度相等且方向相同， ∴a，c 的长度相等且方向相同，故 a＝c. ②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C， 又 A，B，C，D 是不共线的四点， ∴四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，因此，A→B＝D→C.
届高考数学一轮总复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一节 平面向量的概念及其线性运算课
[谨记通法] 用几个基本向量表示某个向量问题的 4 个步骤 (1)观察各向量的位置； (2)寻找相应的三角形或多边形； (3)运用法则找关系； (4)化简结果．
考点三 共线向量定理的应用 重点保分型考点——师生共研 [典例引领]
设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1)若 AB＝a＋b， BC ＝2a＋8b，CD＝3(a－b)， 求证：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 同向．
考点二 向量的线性运算 基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
1．(2015·全国卷Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD，
则
()
A． AD＝－13 C
C． AD＝43 AB＋13 AC
D． AD＝43 AB－13 AC
解析： AD＝ AC ＋CD＝ AC ＋13 BC ＝ AC ＋13( AC － AB)＝43
AC －13 AB＝－13 AB＋43 AC ，故选 A．
答案：A
2．已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且OA＝a，OB＝ b，则 DC ＝________，BC ＝________(用 a，b 表示)．
解析：如图， DC ＝ AB＝OB－OA＝b －a，BC ＝OC －OB＝－OA－OB＝－ a－b. 答案：b－a －a－b
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
既有_大__小__又有_方__向__的量；向量的 平面向量是 向量
大小叫做向量的_长__度__(或称_模__) 自由向量
零向量 长度为_0_的向量；其方向是任意的 记作_0_
(5年高考真题备考题库)2014-2015高考数学一轮复习 第4章 第1节 平面向量的概念及其线性运算 文 湘教版
2009~2013年高考真题备选题库第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节 平面向量的概念及其线性运算考点 平面向量的概念与线性运算1．（2013广东，5分）设a 是已知的平面向量且a≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μ c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μ c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μ c.上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：本题主要考查平面向量知识，考查数形结合、分类与整合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、推理论证能力．显然①②正确；对于③，当μ＜，时，不存在符合题意的单位向量c 和实数λ，③错；对于④，当λ＝μ＝1，|a|＞2时，易知④错．答案：B2．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________.解析：本题考查平面向量的基本定理及基本运算，是基本题目，意在考查考生的运算求解能力．选向量的基底为AB ，AD ，则BD ＝AD －AB ，AE ＝AD ＋12AB ，那么AE ·BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD ＋12 AB ·(AD －AB )＝2. 答案：23（2013江苏，5分）．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：本题考查向量的基本定理、向量的运算，意在考查学生的转化与化归能力． DE ＝DB ＋BE ＝12AB ＋23BC ＝12AB ＋23(BA ＋AC )＝－16AB ＋23AC ，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. 答案：124．（2010安徽，5分）设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a|＝|b|B ．a ·b＝22 C ．a ∥b D ．a －b 与b 垂直解析：|a|＝12＋02＝1，|b|＝12＋12＝22； a·b＝1×12＋0×12＝12；(a －b)·b＝a·b－|b|2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直． 答案：D5.（2010山东，4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．解析：如图，作CQ ∥x 轴，PQ ⊥CQ ，Q 为垂足．根据题意得劣弧D P ＝2，故∠DCP ＝2弧度，则在△PCQ 中，∠PCQ ＝(2－π2)弧度，|CQ|＝cos(2－π2)＝sin 2，|PQ|＝sin(2－π2)＝－cos 2，所以P 点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin 2，P 点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos 2，所以P 点的坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，此即为向量OP 的坐标．答案：(2－sin 2,1－cos 2)6．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2AP 2＋2AP ·PO ＝2×32＋0＝18.答案：187．（2011浙江，4分）若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________． 解析：对于以向量α，β为邻边的平行四边形的面积S0＝12|α||β|·sin〈α，β〉×2＝|β|sin 〈α，β〉＝12，因此sin 〈α，β〉＝12|β|∈[12，1]，因此α与β的夹角θ的取值范围是[π6，5π6]． 答案：[π6，5π6] 8．（2010浙江，4分）已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－2β)，所以α·(α－2β)＝|α|2－2α·β＝0，故2α·β＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4α·β＋|β|2＝4＋2＋4＝10.答案：10。
高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数
A.AD BE CF 0 C.AD CE CF 0
B.BD CF DF 0 D.BD BE FC 0
【解析】选A.因为D,E,F分别是△ABC的边AB，BC，CA
的中点,所以 AD 1 AB,
2
BE 1 BC,CF 1 CA,
则2
2
AD BE CF 1 AB 1 BC 1 CA 1 (AB BC CA) 0. 222 2
(3)几个特殊向量:
名称
特点
零向量
单位向量
相等向量
相反向量
平行向量
长度(模)
0 __ 1 相等 _____ 相等
方向
_任__意__ 任意 _____ _相__同__ ____相__反_____
相同或相反
2.向量的加法、减法与数乘 定义 法则(或几何意义)
运算律
求两个向 加法 量和的运
算
(1)交换律:
第四章 平面向量、数系的扩充与复数 的引入
第一节 平面向量的概念及其线性运算
【知识梳理】
1.向量的有关概念
(1)向量的定义:既有_____,又有_____量叫向量,常
大小
方向
用a或 表示.
(2)向量AB的模:向量的大小,即表示向量的有向线段的
_____叫做向量的模,记作|a|或| |.
长度
AB
3
答6案： 3
2
1
2
考向一 平面向量的概念
【典例1】(1)(2016·成都模拟)设a,b都是非零向量,
下列四个条件中,使 a b 成立的充分条件是(
)
A.|a|=|b|且a∥b |aB|.a|b=|-b
2020高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算课件文
一、必记 3 个知识点
1．向量的有关概念
名称
定义
向量
既有①大小又有②方向的量；向量的 大小叫做向量的③模(或④长度)
零向量 长度为⑤零的向量；其方向是任意的
单位向量 长度等于⑦1 个单位长度的向量
平行向量
共线向量
相等向量 相反向量
方向⑧相同或⑨相反的非零向量 ○ 10方向相同或相反的向量又叫做共线
6．已知平面上不共线的四点 O，A，B，C.若O→A－3O→B＋2O→C＝ 0.则||BA→→CB||等于________．
解析：由已知得，O→A－O→B＝2(O→B－O→C)， ∴A→B＝2B→C，∴||BA→→CB||＝2. 答案：2
考向一 平面向量的有关概念
[自主练透型]
1．设 a0 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向③若 a 与 a0 平行 且|a|＝1，则 a＝a0.假命题的个数是( )
求实数 λ 与 向量 a 的积
的运算
(1)|λa|＝○22|λ||a|. (2)当 λ＞0 时，λa 与 a 的 方向○23相同；当 λ＜0 时， λa 与 a 的方向○24相反；当
λ＝0 时，λa＝○250
λ(μa)＝○26λμa； (λ＋μ)a＝○27λa＋
μa； λ(a＋b)＝○28λa＋λb.
向量 长度⑫相等且方向⑬相同的向量 长度⑭相等且方向⑮相反的向量
备注 平面向量是自由向量
记作⑥0 非零向量 a 的单位向
量为±|aa| 0 与任一向量⑪平行
或共线
0 的相反向量为 0
2.向量的表示方法 (1)字母表示法：如 a，A→B等． (2)几何表示法：用一条⑯有向线段表示向量．
3．向量的线性运算
高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算教师用书
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入[深研高考·备考导航] 为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情]从近五年浙江高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容．主要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以客观题的形式出现，难度以容易题为主．第一节 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算平行四边形法则向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )(3)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R )的充要条件．( )(4)△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →)．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →A [AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.]3．(2017·绍兴质检)设点P 是△ABC 所在平面内一点，且BC →＋BA →＝2BP →，则PC →＋PA →＝________.0 [因为BC →＋BA →＝2BP →，由平行四边形法则知，点P 为AC 的中点，故PC →＋PA →＝0.] 4．(教材改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．b －a －a －b [如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .]5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.【导学号：51062134】－13[由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，3k ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13，k ＝13.]①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ②若AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形；③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线； ⑤λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；⑥a ，b 为非零向量，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中假命题的序号为________．①②③④⑤⑥ [①不正确．|a |＝|b |.但a ，b 的方向不确定，故a ，b 不一定是相等或相反向量；②不正确．因为AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是平行四边形．③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．⑤不正确．当λ＝1，a ＝0时，λa ＝0.⑥不正确．对于非零向量a ，b ，a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．] [规律方法] 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法.2．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．3．若a 为非零向量，则a |a |是与a 同向的单位向量，－a|a |是与a 反向的单位向量．[变式训练1] 设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3D [向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.](1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC →＝( ) A.BC →B.12AD →C.AD →D.12BC →(2)(2017·杭州二中模拟)在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，已知AD ＝4，BC ＝6，若CD →＝mBA →＋nBC →(m ，n ∈R )，则mn＝( )A ．－3B ．－13C.13D ．3(1)C (2)A [(1)如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. (2)如图，过D 作DE ∥AB ，CD →＝mBA →＋nBC →＝CE →＋ED →＝－13BC →＋BA →，所以n ＝－13，m ＝1，所以mn ＝－3.故选A.][规律方法] 向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．[变式训练2] (1)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →(2)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．(1)D (2)－2 [(1)因为M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则，得OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OM →.故选D.(2)因为D 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →. 由PA →＋BP →＋CP →＝0，得BA →＝PC →. 又AP →＝λPD →，所以点P 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝AB →＋AC →＝2AD →＝－2PD →，所以λ＝－2.](1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线. 【导学号：51062135】 [解] (1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，2分 ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.6分 (2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .10分 ∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.14分 [规律方法] 共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[变式训练3] (1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线(2)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. (1)B (2)12 [(1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．故选B.(2)∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.][思想与方法]1．向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则应注意“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则应注意“起点重合”．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.[易错与防范]1．解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．3．在向量共线的条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．课时分层训练(二十二) 平面向量的概念及线性运算A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( ) A.12a －b B.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12bA [AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A.]2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，DD ．A ，C ，DB [因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ， 所以A ，B ，D 三点共线．]3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13D ．－23A [∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.]4．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )【导学号：51062136】A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |C [a |a |＝b |b |⇔a ＝|a |b |b |⇔a 与b 共线且同向⇔a ＝λb 且λ>0.B ，D 选项中a 和b 可能反向．A 选项中λ<0，不符合λ>0.]5．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直A [由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →， CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →－AB →)＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．] 二、填空题6．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB→＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________.【导学号：51062137】平行四边形 [由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →， 所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．]7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)52e 1＋32e 2 [在矩形ABCD 中，因为O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)．]8．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.12 －16 [∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →. ∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，∴MN ＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16.]三、解答题9．在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 【导学号：51062138】图411[解] AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .4分AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →) ＝13AB →＋13AC → ＝13a ＋13b .14分 10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， 求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．[解] (1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →， ∴AC →与CD →共线.4分又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线.7分(2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2.9分∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，12分即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝2λ，－2＝－λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝32，k ＝43.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为 ( )A.13B.12 C ．1 D ．2A [∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD (图略)，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →)．∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，∴|MD →||BM →|＝|MD →||－3MD →|＝13，故选A.] 2．(2017·浙江嘉兴高三双基测试)如图412，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________. 【导学号：51062139】图41223[因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1. 因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB →＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝23.] 3．已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．[解] 由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，3分整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .7分因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，13分解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上.15分。