(完整word版)古巴比伦人的数学智慧
古巴比伦的数学
古巴比伦数的写法
美索不达米亚人创造了一套以 进制为主的楔形文记数系统 一套以60进制为主的楔形文记数系统。 一套以 进制为主的楔形文记数系统 这种记数制对60以内的整数 以内的整数采用简单十进累记法。 以内的整数 在泥版上，巴比伦人用“▼”表示1，用“<”表示10，其他 数通过▼和<的组合实现。比如35，就用： <<< ▼▼ ▼▼▼ 来表示。 对于大于59（ 对于大于 ）的数，则采用六十进制的位制记法。 。 同一个记号，根据它在数字表示中的相对位置 相对位置而赋予不同 不同的 相对位置 不同 值，这种位值原理是美索不达米亚数学的一项突出成就。 位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空。 位置的区分
关于除法，巴比伦人进行的是整数除以整数的运算，这 关于除法
种运算可以采用与倒数相乘的办法来进行，于是经常要使用 分数。
除了乘除法之外， 除了乘除法之外，巴比伦人还能借助于泥板上各种各
样的数表 数表来进行计算 计算，有乘法表、倒数表、平方表和立方表， 数表 计算 甚至还有指数表 指数表可能是和插值法一起用来解决复利问题 复利问题但是 指数表 复利问题 还没有根据证明他们已认识了无理数。
源自河谷的古老文明
数学的萌芽 古巴比伦的数学 主讲： 主讲：徐虹
1.2古巴比伦数学 古巴比伦数学
1.2.01古巴比伦文明 1.2.02古巴比伦的文字 1.2.1古巴比伦的记数制与算数 1.2.2古巴比伦的代数 1.2.3古巴比伦的几何 1.2.4古巴比伦的天文 总结：古巴比伦对数学发展的贡献
巴比伦文明
巴比伦人从远古时代开始，已经积累了一定的数学知识，并能应用于解决 实际问题。从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有 综合结论和证明，但也要充分估计他们对数学所做出的贡献。 ①巴比伦人能够解一元一次方程和一元二、三次方程，在实际问 解一元一次方程和一元二、 题中，也能通过算术的方法解二元一次方程组。 ②在几何方面，巴比伦人认识到了关于平行线间的比例关系和毕达歌 拉斯定理。会求简单几何图形的面积和体积,并建立了在特定情况下的底 面是正方形的棱台体积公式。 ③在记数法上，有了位值制的观念，但似乎没有表示零的方法。 ④在天文学方面，他们已有一系列长期观察记录，并且已经发现许多 准确性很高的天文学周期。但这种工作还缺乏一定的科学性。
古埃及巴比伦数学
奇迹之三：罗德港巨人雕像 The Colossus of Rhodes 建造时间：公元前4世纪晚期或2世纪早期 建造地点：爱琴海，希腊罗德港 公元前，罗德岛是重要的商务中心，它位于爱琴海和地中 海的交界处，罗德港于公元前408年建成。 雕像10英尺高，和大家熟知的纽约自由神像的高度差不多。 雕像是中空的，里面用复杂的石头和铁的支柱加固。但这个伟 大的雕像建成仅仅56年后就被强烈地震毁坏了。 传说中雕像两腿分开站在港口上，船只是从腿中间过去。 想象一下那是多么壮观而有趣的 场景啊。
奇迹之四：摩索拉斯陵墓 建造时间：大约公元前353年 建造地点：现在的土耳其西南地区 这座伟大的白色大理石陵墓是为摩索拉斯和他的妻子修建的。 整座建筑高达135英尺，由两名希腊人设计，15世纪初毁于大地 震。现在伦敦大英博物馆还收藏有一点剩余的雕刻。
奇迹之五：阿耳忒弥斯神庙 The Temple of Artemis (Diana) at Ephesus 建造时间：大约公元前550年 建造地点：希腊城邦埃斐索斯，现在的土耳其西海岸 神庙建筑以大理石为基础，上面覆盖着木制屋顶。它最 大的特色是内部有两排至少106根立柱，每根大约40至60英尺 高。神庙的底座大约有200乘400英尺。 原庙毁于公元前356年的大火，在原址后建起的庙于公元 262年再罹火难。
埃及最大的金字塔——法老胡夫的陵墓（胡夫金字塔） 大约建于公元前2500年左右，呈正四棱锥形，底面正 方形面向东西南北四个正方向，边长230.5米，塔高146.6 米（现高约137米）。近年来，科学家们通过使用精密的仪 器对它进行测量，惊奇地发现： 1、其底基正方形边长的相对误差不超过1：14000，即不超 过2厘米；四底角的相对误差不超过1：27000，即不超过12 秒，四个方向的误差也仅在2－5分之间，这些都说明当时 的测量水平已相当高。 2、用石头达230万块，重量从2.5吨－50吨，石块间接缝处 密的连铅笔刀都难以插入。 3、底边与高度之比的两倍约为3.14159，这是公元前3世 纪的人才得到的圆周率的近似值，塔高的10亿倍恰好等于 地球到太阳的距离。
古巴比伦、古埃及、古印度文明中的数学起源与发展
古巴比伦、古埃及、古印度文明中的数学起源与发展公元前600年到前300年之间古典希腊学者的登场标志数学作为一门独立、理性的科学的开端。
事实上，原始人早在公元前一万多年前就开始定居在一个地方发展农业或者畜牧业，但是直到公元前三四千年左右，古中国、巴比伦、埃及才逐渐产生了数学的萌芽。
如今，古代非洲的尼罗河（埃及数学）、西亚的底格里斯河和幼发拉底河（巴比伦数学）、中南亚的印度河和恒河（印度数学）以及东亚的黄河和长江（中国数学）都位于大河流域,被默认为是数学的发源地，其他古文明甚至没有产生过数学的痕迹。
下面就古巴比伦、古埃及、古印度文明中数学的起源与发展来看在数学成为独立的科学之前在各文明中已经存在哪些萌芽。
一、巴比伦数学在古巴比伦、古埃及、古印度三个古代文明社会当中，巴比伦人先对数学主流做出了贡献。
古巴比伦位于底格里斯河和幼发拉底河之间及其流域这区域在古代叫美索不达米亚，是今天伊拉克的一部分，公元前4000年左右，苏美尔人来这里定居建立起苏美尔文明，后来由于战争等因素被阿卡得文化淹没。
公元前2000年左右，阿卡得人在泥版上留下的楔形文字记录了巴比伦人采用六十进位制表示整数。
最开始与古中国十进制计法一样，他们用空位表示0，公元前330年至公元前64年引入了特别的符号表示0，但是最右端仍然用空位表示，还是不能准确读出符号表示的数。
他们常用分数，分数也采用60进位制。
除了1/2、2/3、1/3用特别的符号表示外，他们的分数与整数符号混用，人们必须依靠文件内容才能准确读数，而且他们的分数是等同于整数一样的整体，并没有分数分整数的份数这样的概念。
实际上巴比伦人并不是只用60进制，也有十进制、十二进制、各进制混合使用。
不过在数学和天文上，他们这一贯用60进制。
在古巴比伦计数制中，代表一和十的记号是基本记号，从1~59这些数都是用几个甚至更多一些基本记号结合而成。
所以数的加减法就是加上或者去掉这个记号。
他们也做整数的乘法，如果要计算36乘以5，他们的做法是30×5＋6×5。
古代巴比伦数学---记数 代数 几何
2 古巴比伦的代数
洛佛尔博物馆的一块泥板 两个级数问题
2 古巴比伦的代数
非完全平方数的平方根
√2≈17/12、1/√2≈17/24。 耶鲁第7289号泥板 √2：
1+24/60+51/602+10/603≈1.4142155 程序化算法 开方根
设x=√a是所求平方根，并设a1是这根的首次近似； 由方程b1=a/a1求出第二次近似b1，若a1偏小，则 b1偏大，反之亦然。取算术平均值a2=1/2(a1+b1) 为下一次近似，因为a2总是偏大，再下一步近似 b2=a/a2必偏小，取算术平均a3=1/2(a2+b2)将得 到更好的结果。这一程序实际上可以无限继续下去。
2 古巴比伦的代数
英国大不列颠博物馆13901号泥板 “我把我的正方形的面积加上正方形边长的三
分之二得35/60，求该正方形的边长。” 这个问题相当于求解方程x2+2/3x=35/60。 泥板上的解法 这一解法相当于将方程x2+px=q的系数代入
公式x=√(p/2)2+q-p/2求解，只不过在计 算时用的是60进制。
5 小结
M.克莱因《古今数学思想》 “按这个标准说，埃及人和巴比伦人好比
粗陋的木匠，而希腊人则是建筑大师。”
真正科学意义下的理性数学，是由希腊 人为我们提供的。
大约公元前6世纪在地中海沿岸，那里一 个崭新的、更加开放的文明——历史学 家常称“海洋文明”，带来了初等数学 的第一个黄金时代——以论证几何为主 的希腊数学时代。
他们还掌握了长方体以及特殊梯形为底的直棱 柱体体积计算的一般规则，他们知道取直径的 三倍为圆周的长，取圆周平方的1/12为圆的 面积，还用底和高相乘求得直圆柱的体积。
数学的历史演变从古代巴比伦开始的数学计算
数学的历史演变从古代巴比伦开始的数学计算数学作为一门古老而广泛应用的学科，其历史可以追溯至古代巴比伦。
巴比伦人在公元前18世纪至公元前6世纪期间，发展了一套完整的数学计算系统，为后来数学的发展奠定了基础。
巴比伦的数学最初源于对实际应用的需求，他们的经济与贸易活动需要计算。
为了管理土地、纳税和贸易等事务，巴比伦人发展了一套计算方法，包括计算长度、面积和体积的技巧。
他们使用了一种被称为“六十进制”的计数系统，这种进制方式在现代数学中仍然有所应用。
巴比伦人的数学计算中最著名的成就之一是他们对勾股定理的发现。
尽管勾股定理在古希腊时期被普遍认为是由毕达哥拉斯提出的，但巴比伦人在公元前18世纪就已经掌握了三角形的边与角之间的关系。
通过解决房屋建筑中的实际问题，他们有可能在不知道具体数值的情况下确定三角形的比例关系。
与巴比伦的数学相比，古埃及的数学则更偏向于应用性质。
古埃及人经常需要使用数学来处理土地的测量与分配，以及建筑物和水坝的施工。
他们开发了一套计算长度、面积和体积的方法，并在建筑设计中使用几何原理。
在埃及的金字塔建设中，数学发挥了至关重要的作用。
在古希腊时期，数学被认为是一门纯粹的学科，并具备了更加抽象与理论化的属性。
古希腊数学家如毕达哥拉斯、欧几里得和阿基米德，开创了许多数学分支，包括几何学、代数学和算术学。
他们提出了许多重要的数学原理和定理，其中包括毕达哥拉斯定理、欧几里得算法和阿基米德原理。
数学的发展在文艺复兴时期迎来了一个重要的突破。
随着阿拉伯世界与西方的交流，阿拉伯人为数学的发展做出了重要贡献。
通过从古希腊和印度的数学传统中汲取灵感，阿拉伯数学家创造了一套新的代数学和算术学方法。
其中最重要的成就之一是他们的十进制数系统，这一数制在世界范围内得到了广泛应用。
从18世纪开始，数学经历了一系列重大的变革与发展。
欧洲的数学家如牛顿、莱布尼茨、费马和欧拉，奠定了现代数学的基础。
他们提出了微积分、概率论、数论和数学分析等重要概念和原理。
古巴比伦泥版上的数学成就
古巴比伦泥版上的数学成就古巴比伦泥版上的数学成就考古学家在十九世纪上半叶于美索不达米亚挖掘出大约 50万块刻有楔形文字、跨跃巴比伦历史许多时期的泥书板。
其中有近400块被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学书板，现在关于巴比伦的数学知识就源于分析这些原始文献。
算术古代巴比伦人是具有高度计算技巧的计算家，其计算程序是借助乘法表、倒数表、平方表、立方表等数表来实现的。
巴比伦人书写数字的方法，更值得我们注意。
他们引入了以60为基底的位值制〔60进制〕，希腊人、欧洲人直到16世纪亦将这系统运用于数学计算和天文学计算中，直至现在60进制仍被应用于角度、时间等记录上。
代数巴比伦人有丰富的代数知识，许多泥书板中载有一次和二次方程的问题，他们解二次方程的过程与今天的配方法、公式法一致。
此外，他们还讨论了某些三次方程和含多个未知量的线性方程组问题。
在1900B.C.～1600B.C.年间的一块泥板上〔普林顿 322号〕，记录了一个数表，经研究发现其中有两组数分别是边长为整数的直角三角形斜边边长和一个直角边边长，由此推出另一个直角边边长，亦即得出不定方程X2+Y2=Z2的整数解。
几何巴比伦的几何学与实际测量是有密切的联系。
他们已有相似三角形之对应边成比例的知识，会计算简单平面图形的面积和简单立体体积。
我们现在把圆周分为360等分，也应归功于古代巴比伦人。
巴比伦几何学的主要特征更在于它的代数性质。
例如，涉及平行于直角三角形一条边的横截线问题引出了二次方程；讨论棱椎的平头截体的体积时出现了三次方程。
古巴比伦的数学成就在早期文明中到达了极高的水平，但积累的知识仅仅是观察和经验的结果，还缺乏理论上的依据。
古代巴比伦人的数学成就和圆周率 数学和数学家的故事
古代巴比伦人的数学成就灿烂的古巴比伦文化发源于现在土耳其境内的底格里斯河（Tigris）和幼发拉底河（Euphrates），向东南方流入波斯湾。
河流经过现在的叙利亚和伊拉克。
5000多年前这两河流域称为“米索不达米亚”（Mesopotamia）的地方，就有具有高文化水平的巴比伦民族在这里生活。
巴比伦人建立的巴比伦国在古代曾经非常强盛，它的国王曾建立令后人惊异的著名古代七大奇迹之一——空中花园。
现在我们生活的“星期制度”是源于古代巴比伦。
巴比伦人把1年分为12个月，7天组成一个星期，一个星期的最后一天减少工作，用来举行宗教礼拜，称为安息日——这就是我们现在的礼拜日。
我们现在1天有24小时，1小时有60分，1分有60秒这种时间分法就是巴比伦人创立的。
在数学上把圆分成360度，1度有60分这类60进位制的角度衡量也是巴比伦人的贡献。
古代巴比伦人的书写工具是很奇特的，他们利用到处可见的粘泥，制成一块块长方薄饼，这就是他们的“纸”。
然后用一端磨尖的金属棒当“笔”写成了“楔形文字”（cuneiform），形成泥板书。
希腊的旅行家曾记载巴比伦人为农业的需要而兴建的运河，工程的宏大令人惊叹。
而城市建筑的豪美，商业贸易的频繁，有许多人从事法律、宗教、科学、艺术、建筑、教育及机械工程的研究，这是当时其他国家少有的。
可是巴比伦盛极一时，以后就衰亡了，许多城市埋葬在黄土沙里，巴比伦成为传说神话般的国土，人们在地面上找不到这国家的痕迹，曾是闻名各地的“空中花园”埋在几十米的黄土下，上面只有野羊奔跑的荒原。
到了19世纪40年代，法国和英国考古学家发掘了古城及获得很多文物，世人才能重新目睹这个在地面上失踪的古国，了解其文化兴盛的情况。
特别是英国人拉雅（Loyard）在尼尼微（Nineveh）挖掘到皇家图书馆，两间房藏有二万六千多件泥板书，包含历史、文学、外交、商业，科学、医药的记录。
巴比伦人知道500种药，懂得医治像耳痛及眼炎，而生物学家记载几百种植物的名字，及其性质。
古巴比伦的数学与天文学巴比伦人的科学智慧
古巴比伦的数学与天文学巴比伦人的科学智慧古巴比伦的数学与天文学：巴比伦人的科学智慧在人类历史的长河中，古巴比伦是一个备受瞩目的文明。
作为世界上最早的城市之一，巴比伦为我们留下了许多宝贵的文化遗产。
其中，数学和天文学是巴比伦人的瑰宝，展现了他们在科学领域中的卓越智慧。
一、数学的发展1. 基数与计算在古巴比伦，数学的发展可以追溯到公元前3千年。
巴比伦人使用的记数系统基于六十进制，这是一种为我们所不常见的基数。
他们将数字表示为符号，并且可以进行加法、减法和乘法运算。
2. 错位号法巴比伦人还发明了一种称为"错位号法"的记数系统，用于解决实际问题中的计算难题。
这种方法类似于我们今天使用的十进制计算法，但在计算过程中需要注意数位的错位。
3. 平方根和立方根巴比伦人研究了平方根和立方根的计算方法，并且发展出了一种近似计算的技巧。
这些技巧在他们的建筑和土木工程中得到广泛应用。
二、天文学的研究1. 日月星辰观测巴比伦人对日月星辰的观测非常精确，他们记录了许多恒星的位置和行星的运动。
这些观测数据成为今天研究天文学的重要参考资料。
2. 月食和日食巴比伦人研究了月食和日食的出现规律，并发现了一些周期性的现象。
他们的观测结果不仅对于了解宇宙的运行规律有重要意义，而且对于预测天象也具有实用价值。
3. 星座巴比伦人将星星组成了各种星座，这些星座的名称和形状在今天的天文学中仍然存在。
他们利用星座来指导农业和航海等活动，这展示了他们深厚的天文学知识和实际运用能力。
三、科学智慧的意义古巴比伦的数学和天文学成就不仅代表了巴比伦人的科学智慧，也对于后世的科学发展产生了巨大影响。
首先，巴比伦人的记数系统为后来的数学研究提供了基础。
他们所使用的六十进制系统不仅方便计算，而且成为了后来使用的六十进制时钟和地理坐标系统的基础。
其次，巴比伦人的观测数据为天体物理学的发展提供了宝贵资料。
他们记录下的星星、行星和恒星位置的数据成为了后来天文学家研究行星运动和宇宙结构的重要依据。
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古巴比伦人的数学智慧
古巴比伦人的数学智慧
■ 林革
古巴比伦王国是世界四大文明古国之一，它建于公元前19世纪。
古巴比伦位于西亚底格里斯河和幼发拉底河的中下游地区，也就是现在的伊拉克境内。
人类历史上最古老的两河流域文明孕育了璀璨夺目、享誉世界的古巴比伦文化。
尤其值得称道的是，古巴比伦人在3000多年前就掌握了大量的数学知识和一些独特巧妙的解题策略，令人惊讶之余，不由得击节叹服。
泥板书上的数学成就
考古学研究表明，古巴比伦人当时使用的是特殊的楔形文字，并把文字刻在泥板上晒干，晒干后的泥板变得和石头一样坚硬，可以长期保存；但岁月的侵蚀还是使得大部分泥板书消蚀破损，保存下来的泥板书数量远不及埃及的纸草书。
不过，这并不影响后人对古巴比伦灿烂文化的全面了解。
古巴比伦人对于数学的发现和记载，也是采用这种独特的泥板书，在已经挖掘出的50万块古巴比伦泥板中，纯数学泥板有300块左右。
从这些存世发掘的数学泥板书中人们发现，古巴比伦人不仅早就形成“逢十进一”的概念，而且掌握了每隔六十进一的计数法。
在泥板上，古巴比伦人用“▼”表示1，用“
古巴比伦人还掌握了许多计算方法，并且编制有各种数表辅助计算。
从数学泥板书上，人们发现古巴比伦人使用乘法表、倒数表、平方和立方表、平方根和立方根表。
他们在代数领域达到了相当高的水平，能卓有成效地处理一般的三项二次方程和某些三次方程，特别是开方根的算法非常成熟。
美国耶鲁大学收藏的一块编号7289的古巴比伦泥板书上，载有的近似值，用现代阿拉伯数字表示就是
1.414213，这已是相当的精确。
古巴比伦人还掌握了等差数列的概念，对级数问题有一些研究。
他们还具备初步的几何知识，能把不规则形状的田地分割为长方形、三角形和梯形来计算面积，也能计算简单的体积。
他们非常熟悉等分圆周的方法，求得圆周与直径的比π＝3，甚至还使用了勾股定理。
诸如此类，林林总总，足以证实古巴比伦人杰出的数学成就。
兄弟分银与等差数列
在德国柏林博物馆收藏的一块古巴比伦数学泥板书上记载了这样一道题目：兄弟10人分3/5米那的银子（米那和后面的赛克尔都是古巴比伦的重量单位，其中1米那＝60赛克尔），相邻的兄弟俩，比如老大和老二、老二和老三……所分银子的差相等，而且已知老八分到的银子是6赛克尔，求每人所得的银子数量？通俗转化的意思是：“10个兄弟分100两银子，一个比一个多，只知道每一级相差的数量都一样，但究竟相差多少不知道，现在第八个兄弟分到6两银子，问每级间相差多少？”这是一则涉及到等差数列的问题，古巴比伦人给出的解题方法是如此巧妙简便，甚至连小学生也能理解。
他们的具体解答是：首先要判断出10个兄弟分得的银子数，从老大到老十要么越来越多，要么越来越少。
如果10个兄弟平均分这100两银子，则每人应该分到10 两。
而现在第八个兄弟分到了6两，说明只能是第二种情况，即老大分得多，往下是一个比一个少。
其次，要找到各兄弟所得银子数间的关系。
根据题意条件，假设老十的银子数为A，一
级相差d，那么老九的银子数为A+d，老八的银子数为A+2d，老七的银子数为A+3d……老三的的银子数为A+7d，老二的银子数为A+8d，老大的银子数为
A+9d。
这样不难得出，老大与老十的银子数之和＝老二与老九的银子数之和＝老三与老八的银子数之和＝老四与老七的银子数之和＝老五与老六的银子数之和，这样100两银子就分成了相等的5组，每组为20两。
最后，就从老三与老八的银子数之和为20两入手。
由老八的银子数6 两，可求出老三的银子数为20－6=14 （两），这就说明，老三比老八多得14-6=8 （两）。
而老三与老八相差（A +7d）- （A+2d）＝5d，因此可求得一级相差
d=8÷5=1.6（两）。
古巴比伦人的原始算术解答，都是采用楔形文字叙述。
这里为了直观说明才加进了字母，解答的数学本质没有改变。
“普林顿322号”与勾股数
在古巴比伦数学泥板书中，最引人瞩目的当数“普林顿322号”。
这是美国哥伦比亚大学普林顿收集馆的第322号收藏品。
此泥板书完成于公元前1900年~前1600年，现存的半部长12.7厘米，宽8.8厘米，用古巴比伦文字记录书写。
尽管该泥板书有些残缺，但大体完整，只是左边掉下一块，靠右边中间部分有一个很深的缺口，左上角也剥落了一片，仍可以清楚地看到，有3列15行非常明显的六十进制数字，可用大家熟知的阿拉伯数字改写直观表示如下图。
显然，最右侧这一列数字表示的是顺序号，剩下的两列数就让人颇为费解。
不过，有关学者经过修补考证研究，还是揭示出其中蕴含的数学意义：两列中的对应数（除了4个例外，有学者认为是笔误所致）恰好是，边长为整数的直角三角形的斜边和一条直角边。
比如:169²=119²＋120²，6649²＝4601²﹢4800²，18541²＝12709²﹢13500² 等等。
图中的4个例外情形，原泥板上的不正确数字均标注在括号里。
简单地说，“普林顿322号”与“勾股数”有关。
大家都知道，像3、4、5这样一组能作为直角三角形三条边的正整数叫作勾股数”，或称“毕氏三数”。
这是由于毕达哥拉斯学派独立发现了“勾股定理”，所以西方习惯把“勾股数”称为“毕氏三数”。
如果一组勾股数中，除了1之外没有其他的公因子，就把这种特殊的勾股数叫作“素勾股数”或“素毕氏三数”。
数学研究表明，所有的“素勾股数”a 、b、c 都能用a =2uv，b2=u2-v2，c2= u2+v2来表示，其中u、v 互质，奇偶互异，且u>v。
3、4、5这组最为常见的“素勾股数”就是取u=2、v=1 时所得。
据此进行验证，人们惊讶地发现，专业人士根据“普林顿322号” 给出的斜边c 和直角边b来确定另一条直角边a的“勾股数”中（如下表），除第11 行的60、45、75 和第15 行的90、56、106之外，竟然都是“素勾股数”。
为直观理解，表中也给出了毕氏参数u、v的值。
通过“普林顿322号”不难看出，古巴比伦人早在3000多年前就知道“素勾股数”的一般参数表达式，否则，单靠巧合根本无法凑出这样的数据。
考虑到当时的文化和数学背景，这绝对是个令人惊叹的研究成果。
令人称绝的巴比伦开方
不过，在名著《数学——人造的宇宙》中介绍的一种源自上古时代巴比伦的“开方”妙法，其奇妙构思和独特手法更令人拍案叫绝。
下面就以为例，向大家介绍别具一格的“巴比伦开方”法。
首先，我们可以通过计算器或查表得≈ 4.358898944。
这样的近似值把19的平方根写到小数点后第9位，精确度已经够高，无需继续拓展延伸，就放在一边作为参照。
其次，用“迭代”（顾名思义就是指不停代换，也指循环执行、反复执行）来具体解释“巴比伦开方”逐渐接近准确结果的操作步骤：
第一次，设4 为的起始近似值，虽然这极为粗略，但请不要放在心上。
然后进行如下计算：19÷4＝4.75，接着求起始近似值4与商4.75的算术平均数，即（4.75+4）÷2＝4.375，可以判断的是，4.375的平方更接近于19，所以接下来就用相对准确的4.375替代不准确的4。
第二次，仍采用与上述一致的两次计算，只是其中的4由4.375代换。
如法炮制的计算就是：19÷4.375≈4.343，再求4.375与4.343的算术平均数，即
（4.343+4.375）÷2＝4.359，可以判断的是，4.359的平方更接近于19，所以接下来就用更为准确的4.359替代相对准确的4.375。
其中道理，仍是为了求出更接近于准确结果的近似数。
第三次，设的近似值为4.359，则19÷4.359≈4.358798，（4.358798 + 4.359）÷ 2≈4.358899；第四次，设的近似值为4.358899，则
19÷4.358899≈4.3588989，（4.3588989+4.358899）÷2≈4.35889895；
第五次，设的近似值为4.35889895，则19÷4.358898959≈4.358898937，（4.358898937+4.35889895）÷2≈4.358898944。
至此，经过5次迭代后，所得的近似值已经与参照数值完全吻合，说明这种递推结果非常精确。
尽管这种“巴比伦开方”的计算过程比较繁琐，但其科学合理和实用精妙毋庸置疑。
更令人惊奇的是，如果在假设的起始近似值时随意离谱，比如设为7 居然也不碍事。
只要按照上述步骤持续操作，就会发现逐次接近的近似值变换为：
7→4.857→4.3845→4.38895→4.358899→4.35889895→4.358898944。
计算结果竟然在迭代过程中自我修复，悄悄回到正确轨道上，这真是匪夷所思。
要知道，在欧洲被称为“黑暗时代”的中世纪，大部分有文化的读书人都不会开方运算，遇到此等问题唯恐避之不及。
尽管古巴比伦的数学主要用于解决各类具体实际问题，但在早期文明中即达到极高水平。
其精妙奇特的计算方法打开了人类对数学的探索之门，科学合理的计数规则对后世产生了重大影响。
时至今日，我们回顾古巴比伦数学，仍能感受到奇特的魅力，惊叹于古巴比伦人非同凡响的数学智慧。