初一【有理数及其运算】完整版
初一上册第二章-有理数及其计算
有理数及其运算§2.1有理数【教学目标】1．有理数的概念和意义。
2．把给出的有理数按要求分类。
3．说出数0在有理数分类中的作用。
【教学重难点】重点：有理数包括哪些数。
难点：有理数的分类。
【教学过程】最近我遇到了一个麻烦事儿，有个同学问我有理数是啥子，我想了半天，不知道怎么回答，这就把我难到了的嘛，哎，你们知道吗？有理数的概念：整数可以看作分母为1的分数。
正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
那那些数是有理数呢？ 有理数的分类：1） 按正数、负数与0的关系分类：2） 按整数、分数的关系分类：例题：把下列各数分别填入下列括号里： 5，-21，-0.3,0.21,-3.14,28,-100,131,-87,0,-8,102.正整数集合{ }负分数集合{ } 正有理数集合{ } 负整数集合{ }找练习题做【探究提高】例：某大米加工厂加工了10批大米，没批质量统计如下（单位：吨）：198,201,199,204,196,197,200,201,198,203.请问：这10批大米总共多少吨？平均每批大米多少吨？观察这10个数据最接近的数是200，重新统计为-2，+1，-1，+4，-4，-3,0，+1，-2，+3.【课后练习】1整数和分数统称为_______________；整数包括___________________、_________________和零，分数包括________________和__________________。
2把下列各数填入相应集合的持号内：－3，4，－0.5，0，8.6，－7整数集合{}ΛΛ，分数集合{}ΛΛ正有理数集合{}ΛΛ，负分数集合{}ΛΛ3选择题：－100不是（）A．有理数；B．自然数；C．整数；D．负有理数。
4 如果正午记作0时，上午8时记作-4时，那么午后3时可用正数记作_________。
5 如果水位下降3m记作-3m，那么水位上升4m记作___________。
(完整版)有理数及其运算知识点汇总
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数⎪⎩⎪⎨⎧)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零⎪⎩⎪⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数有理数及其运算知识点汇总 1、2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。
3、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。
（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
（0的相反数是0）5、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。
数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。
正数在原点的右边，负数在原点的左边。
6、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作|a|。
7、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ⎩⎨⎧<-≥)0()0(||a a a a a 8、绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥09、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。
比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
10、绝对值的性质：①对任何有理数a ，都有|a|≥0②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然③若|a|=b ，则a=±b④对任何有理数a,都有|a|=|-a|11、有理数加法法则：①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。
②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并 用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。
③一个数同0相加，仍得这个数。
第二单元有理数及其运算(归纳总结)
2.3×108
天体名称 木星 土星
天王星 海王星
围绕太阳公转的轨道 半长径/km 780 000 000
1 500 000 000
2 900 000 000
4 500 000 000
科学记数法 7.8×108 1.5×109 2.9×109 4.5×109
9. 计算1-2+3-4+5-6+… + 99-100.
23 4
(18) ( -60 )×( 3 5 ).
46
-95
8Байду номын сангаас请用科学记数法表示下表中的数据：
天体名称 水星
围绕太阳公转的轨道 半长径/km
58 000 000
科学记数法 5.8×107
金星
110 000 000
1.1×108
地球
150 000 000
1.5×108
火星
230 000 000
（3）所有有理数都可以用数轴上的点表示.
4.相反数 如果两个数只有符号不同，那么称
其中一个数为另一个数的相反数.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
（1）数a的相反数是-a（a是任意一个有理数）； （2）0的相反数是0； （3）若a、b互为相反数，则 a+b = 0.
5.倒数 如果两个有理数的乘积为1，那么称
2
3
4
负数集合
0, 2， 7, 3
整数集合
4. 比较下列每组数的大小：
（1） 1 ， 0.009； （2） 8， 7；
100
78
（3）2 ，3 ； 35
（4） 2 1， 2.3. 3
6.在如图所示的圆圈内填上彼此都不相等的数，使 得每条线上的三个数之和为零。你有几种填法?
有理数及其运算
《有理数及其运算》一、有理数的基本概念1、负数：在正数前面加上“–”号的数叫做负数注：0既不是正数，也不是负数。
2、有理数的分类：3、有理数：整数和分数统称为有理数4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
注：①、数轴上，两个点表示的数，右边的总比左边的大。
②、正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。
③、任何有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
5、相反数：只有符号不同的两个数，称一个为另一个的相反数，注：①、a 的相反数是-a.②、0的相反数是0.（相反数等于本身的数）③、如果a 与b 互为相反数，那么a+b=0.6、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
注：①、a 的倒数是1a（其中0a ≠） ②、0没有倒数 ③、若a 与b 互为倒数，则ab=1 ④、倒数等于本身的数有：1和-17、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点之间的距离叫做该数的绝对值。
注：①、a 的绝对值是|a|②、正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 ③、对任何有理数a ，总有│a │≥0.④、绝对值等于本身的数有：正数和08、有理数的大小比较：总则：在数轴上，右边的数总是大于左边的数①、正数都大于零，负数都小于零， 正数大于一切负数；②、两个负数，绝对值大的反而小．即：0 , b 0a << ，且 ,a b > 则a b < 。
有理数 整数 0 分数 正整数 负整数正分数 负分数 有理数 正数 零 负数正整数： 正分数： 负整数 负分数二、有理数的运算1、加法运算法则：①、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②、异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用大的绝对值减去小的绝对值； ③、互为相反数两数相加等于0； ④、一个数同0相加仍得这个数。
2、减法运算法则：减去一个数等于加上它的相反数。
即：(b)a b a -=+-利用减法法则时要注意“两变”：即减号变为加号，同时减数变为它的相反数。
《有理数》有理数及其运算PPT课件
分数集合：{－0.314，25%，22，－4 1，0. 3，2 3，…}；
7
3
5
非正整数集合：{ －2， 0， …}.
知3－讲
导引：要严格按照各类数的概念进行填写，非负有 理数包含正有理数和0；非正整数包含负整 数和0.
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
(1)非负有理数一定是有理数，它包含正有理数和0， 不要误认为是除负有理数以外的任何数；
知2－讲
解：(1)沿顺时针方向转了 12圈记作－12圈； (2)－0.03 g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03 g; (3)每袋大米的标准质量应为10 kg,但实际每袋大米 可能有150 g的误差，即每袋大米的净含量最多 是10 kg＋150 g，最少是10 kg－150 g.
（来自教材）
知2－练
C．－6，0.5，0
D．0，6，9
（来自《典中点》）
知识点 2 具有相反意义的量
知2－导
议一议 生活中你见过其他用负数表示的量吗？与同 伴进行交流.
知2－导
“加分与扣分” “上涨量与下 跌量” “零上温度与零下温度”等 都是具有相 反意义的量.为了表 示具有相反意义的量,我们可把 其中一个量规定为正的,用正数 来表示,而把与这个量意义相反 的量规定为负的,用负数来表示. 例如,把上涨3.3%记为＋3.3%, 那么下跌0.6%就记为－0.6%.
如果答对题所得的分数用正数表示，那么你 能写出每个队答题得分的情况吗？试完成下表：
答对题的得分 答错题的得分 未回答题的得分
第一队
＋6
第二队
－2
知识点 1 正数和负数
知1－讲
1.定义：大于0的数叫做正数，在正数前面加上 符号“－”(负)的数叫做负数．
七年级数学有理数的运算含答案
有理数的运算中考要求重难点1. 理解并掌握加减法法则且能熟练运用法则计算2. 理解并掌握乘除法法则且能熟练运用法则计算3. 能利用有理数的运算法则简化运算4. 能借助数轴比较有理数的大小课前故事古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷了下棋。
为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这个大臣的一个要求。
大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧。
第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，然后是8粒、16粒、32粒、......一直到第64格。
”“你真傻！就要这么一点米粒？！”国王哈哈大笑。
大臣说：”就怕您的国库里没有这么多米！“后等于：+++210222……+632=642-1 =18446744073709551615粒 约2200多吨例题精讲模块一、有理数加法运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差. 有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a +=+(加法交换律) ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.()()a b c a b c++=++(加法结合律)有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.【例1】同号两数相加某人从原点0出发，如果第一次走了5米，第二次接着又走了3米，求两次行走后某人在什么地方？为区别向东还是向西走，这里规定向东走为正，向西走为负.这两数相加有以下三种情况：(1)某人向东走5米，再向东走3米，两次一共走了多少米？(2)某人向西走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？总结：__________________________________________________.异号两数相加（3）某人向东走5米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？(4)某人向东走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？(5)某人向东走3米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？总结：_______________________________________________________.【难度】1星【解析】利用实际情境来推导加法法则，强调和的符号及和与绝对值的关系，进而总结出加法法则【例2】计算下列各题：(1) (一11)+(一9)； (2) (一3.5)+(+7)；(3)(一1.08)+0； (4)(23+)+(23-)(5)[(-22)+(-27)]+(+27)； (6)(-22)+[(-27)+(+27)]．【难度】1星【解析】利用加法法则计算。
《有理数的减法》有理数及其运算
减去一个数等于加上这个数的相反数。即ab=a+(-b)。
运算法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。即把一 个数变为它的相反数。
运算顺序
与加法相同。
乘法
定义
把相同的数相加。
运算法则
交换律、结合律、分配律。
运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的 ，再进行下一步的运算。
结合律和交换律的应用
要点一
总结词
结合律和交换律的应用可以帮助我们在进行有理数减法运 算时，按照一定的顺序进行计算，避免出现错误的结果。
要点二
详细描述
结合律是指多个有理数相加时，可以任意改变加数的顺序 ，其和不变。交换律是指多个有理数相减时，可以任意改 变减数的顺序，其差不变。在进行有理数减法运算时，可 以利用结合律和交换律对被减数和减数进行组合和调整顺 序，以便更方便地进行计算。例如，在计算(-4)-(-6)+3时 ，可以先计算(-4)+3和(-6)+3，再利用结合律将它们组合 起来。
02
2. (-3) - (-7) = -3 + 7 = 4
练习题二
总结词
有理数减法与生活实际的结合
详细描述
本题结合生活实际，考察有理 数减法的应用能力。
题目内容
小华的妈妈买了10个苹果，小 华吃了2个，爸爸吃了3个，妈 妈吃了5个，问还剩下多少个苹 果？
答案及解析
10 - 2 - 3 - 5 = 0，所以还剩 下0个苹果。
05
有理数的减法例题解析
例题一：整数减法
总结词
整数减法规则简单，只需要从个位开始 逐位相减即可。
VS
详细描述
例如，计算123-45，首先从个位开始， 3-5不够减，需要从十位借1，然后2-4不 够减，再从百位借1，依次类推，直到借 无可借或相减结果为0为止。
北师大版七年级数学上册《有理数》有理数及其运算PPT课件
(3)－0.03克表示乒乓球的质量低于标
准质量0.03克.
(4)如果向东运动4m记作+4m，那么向西运动7m应
记作什么？若在原地不动又记作什么？
第十六页，共三十一页。
做一做
随堂练习
1、填空题
（1）如果零上5℃记作＋5 ℃，那么零下3 ℃记作 ______________.
2、小学里学过的数除0外都是正数；正数前面添上 “－”号的数是负数；0既不是正数，也不是负数，它
表示正、负数的界限。
3、有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和分数 分成两大类，也可以按正有理数、零、负有理数分成三 大类。
4、我学得怎样？
第二十八页，共三十一页。
作业：
1、下列各数中，哪些是正整数？哪些是负整数？哪些是 正分数？哪些是负分数？哪些是正数？哪些是负数？
用正数和负数可以表示具有相反意义的量
第十五页，共三十一页。
例１
知 (1)在知识竞赛中,如果+10分表示加10分,那么 扣 识 20分怎样表示? 运 (2)某人转动转盘,如果用+5表示沿逆时针方向转 了 用 5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示?
(3)在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标
准质量0.02克记作+0.02,那么－0.03克表示什么?
沈阳 小雨 19 7 天津 小雨 12 8 西宁 小雪 5 -4 银川 小雪 0 -3 兰州 小雪 3 -3 西安 小雨 16 7
第十二页，共三十一页。
财富全球500强中的主要零售企业
排名 2 46 66
111 120 153 184
公司 沃尔玛 麦德龙 家乐福 特斯科 洋华堂
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个性化备课笔记
教学主题：有理数及其运算
教学重难点：重点·1.有理数的概念理解及分类；2.有理数与数轴对应关系；3.绝对值相关问题；4.有理数运算法则；5.有理数乘方
难点·1.数的分类；2.对数轴的理解；3.绝对值意义理解以及相关计算；4.有理数的四则运算规律
授课内容
一、有理数及其运算：
知识框架:
知识点一：有理数概念及分类
1.有理数分类：①
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
负分数
负整数
负有理数
零
正分数
正整数
正有理数
有理数②
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
负分数
正分数
分数
负整数
零
正整数
整数
有理数
2.有理数判断:所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，属于有理数;而无限不
循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数.
3.有理数易错点：（1）0既不是正数也不是负数；
（2）当a表示正数时，-a表示负数；当a表示负数时，-a表示正数；
经典例题七：
（1）、2211130.845324⎡⎤⎛⎫⎛⎫
-⨯--⨯÷-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
（2）、8
18)2
1
(88)2(34÷+⨯-⨯-
(3）、()2213310.2335⎡⎤⎛⎫-----÷⨯- ⎪⎢⎥⎝
⎭
⎣⎦
附：易错常考题目
1、在下列各组中，哪个选项表示互为相反意义的量（ ）
A ．足球比赛胜5场与负5场
B ．向东走3千米，再向南走3千米
C ．增产10吨粮食与减产﹣10吨粮食
D ．下降的反义词是上升
2、下列说法错误的是（ ） A ．负整数和负分数统称负有理数
B ．正整数，0，负整数统称为整数
C ．正有理数与负有理数组成全体有理数
D ．3.14是小数，也是分数
3、把下面的有理数填在相应的大括号里：（★友情提示：将各数用逗号分开）15，
，0，﹣30，0.15，﹣128，，+20，﹣2.6
（1）正数集合﹛ …﹜ （2）负数集合﹛
…﹜
（3）整数集合﹛ …﹜
（4）分数集合﹛…﹜
4、将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的﹣3.6和x，则（）
A．9＜x＜10 B．10＜x＜11 C．11＜x＜12 D．12＜x＜13 5、在数轴上，与表示数﹣1的点的距离是2的点表示的数是（）
A．1 B．3 C．±2D．1或﹣3
6、如图，数轴上的点A，B分别表示数﹣2和1，点C是线段AB的中点，则点C表示的数是（）
A．﹣0.5 B．﹣1.5 C．0 D．0.5
7、如图，数轴上的点A、O、B、C、D分别表示﹣3，0，2.5，5，﹣6，回答下列问题．
（1）O、B两点间的距离是．
（2）A、D两点间的距离是．
（3）C、B两点间的距离是．
（4）请观察思考，若点A表示数m，且m＜0，点B表示数n，且n＞0，那么用含m，n的代数式表示A、B两点间的距离是．
8、若x的相反数是3，|y|=5，则x+y的值为（）
A．﹣8 B．2 C．8或﹣2 D．﹣8或2
9、若=﹣1，则a为（）
A ．a ＞0
B ．a ＜0
C ．0＜a ＜1
D ．﹣1＜a ＜0 10、若ab ＞0，则+
+
的值为（ ）
A ．3
B ．﹣1
C ．±1或±3
D ．3或﹣1
11、已知a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，那么a+b+|c|等于（ ）
A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．2
12、已知|a|=3，|b|=5，且ab ＜0，那么a+b 的值等于（ ）
A ．8
B ．﹣2
C ．8或﹣8
D ．2或﹣2
13、已知a ，b ，c 的位置如图，化简：|a ﹣b|+|b+c|+|c ﹣a|= ．
14、用科学记数法表示9 349 000（保留2个有效数字）为 ． 15、据国家统计局发布的《2008年国民经济和社会发展统计公报》显示，
2008年我国国内生产总值约为256700亿元，这个国内生产总值用科学记数法可表示为 ( )
A ．2.567×105亿元
B ．0.2567×106亿元
C ．25.67×104亿元
D ．2567×102亿元
16、在有理数－3，0，20，－1．25，314
，12--，－(－5)中，正数有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4
17、计算
(1) ()313()24468--⨯- (2) 112115(3)4(8)3737
-+----
(3) ()()261110.5[532]3---⨯⨯--+- (4) ()285150.813
-÷-⨯+-。