根轨迹的概念和系统分析
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
根轨迹的概念和系统分析
ih1(Tis 1)
K2r
l
(s
j1
Z
j
)
h
(s
i 1
Pi
)
（6-3）
式中 K1 为前向通路增益，K1r 为前向通路根轨 迹增益；K2 为反馈通路增益，K2r为反馈通路根轨迹 增益。
9
系统的开环传递函数为
G(s)H(s)
K
m
j1
(
js
1)
s
n
i 1
(Tis
1)
Kr
m
(s
j1
Z
j
)
(6-4)
s
n
i 1
本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的 基本规则和用根轨迹法分析自动控制系统的方法。
2
§6–1 根轨迹的概念
一﹑根轨迹图
根轨迹图是开环系统某一参数由零变化到无 穷时，闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在 S平面上的变化轨迹。
例6-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s) H(s) K r s(s 2)
(s
Pi
)
K K1 K2 为系统的开环增益，
Kr K1r K2r 为开环系统的根轨迹增益；
m=f+L
为开环系统的零点数，
n q h 为开环系统的极点数。
将式（6-2）和（6-4）代入（6-1）可得
(s)
s
K1r
f
(s
i 1
Zi
n
i 1
(s
Pi
)
)
h
j1
(s
Pj
)
K
r
m
(s
j1
Zi
)
（6-5）10
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
第4章 控制系统的根轨迹分析
绘制根轨迹如图4-13所示。
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-13 例4-5系统的根轨迹
第4章 控制系统的根轨迹分析
图中根轨迹与虚轴的交点可从系统临界稳定的条件
得到τ=1。τ=1时系统的特征方程为
得与虚轴交点的坐标为jω=±j。从根轨迹得到系统稳定时τ
的取值范围为0<τ<1。
第4章 控制系统的根轨迹分析
θj(j=1,2,3,4)。选取实轴上一点s0,若s0为根轨迹上的点,必满足
相角条件,有
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-5 实轴上根轨迹相角示意
第4章 控制系统的根轨迹分析
下面分别分析开环零、极点对相角条件的影响,进而分
析对实轴上根轨迹的影响。
(1)共轭复数极点p4和p5到点s0的向量的相角和为
φ4+φ5=2π,共轭复数零点到s0点的向量的相角和也为2π。
(2)实轴上,s0点左侧的开环极点p3和开环零点z2到点s0所
构成的向量的夹角φ3和θ2均为零度。
(3)实轴上,s0点右侧的开环极点p1、p2和开环零点z1到点
s0 所构成的向量的夹角φ1、φ2和θ1均为π。
第4章 控制系统的根轨迹分析
第4章 控制系统的根轨迹分析
若系统稳定,由劳斯表的第一列系数,有以下不等式成立:
得0<K* <78.47。
由此可知,当 Kc* =78.47时,系统临界稳定,此时根轨迹穿
过虚轴。K* =78.4ω 值由以下辅助方程确定:
将 K* =78.47代入辅助方程,得
解得s=±j2.16。
第4章 控制系统的根轨迹分析
对于例4-1,其在实轴上的根轨迹一条始于开环极点,止于
开环零点(根轨迹位于-2到-5之间),另两条始于开环极点,止于
第四章 控制系统根轨迹分析法
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
《根轨迹分析法》课件
《根轨迹分析法》课件1. 课件简介根轨迹分析法是一种用于分析和设计反馈控制系统的方法，通过绘制系统的根轨迹来了解系统在不同参数下的稳定性和动态性能。
本课件将介绍根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
2. 课件内容2.1 根轨迹分析法的基本概念2.1.1 根轨迹的定义根轨迹是指在系统参数变化范围内，使闭环系统稳定的闭环极点轨迹。
2.1.2 根轨迹的性质（1）根轨迹是闭环极点在复平面上的轨迹，反映了闭环系统的稳定性。
（2）根轨迹的形状由系统开环传递函数的极点和零点决定。
（3）根轨迹的分布与系统参数有关，通过改变参数可以改变系统的稳定性和动态性能。
2.2 根轨迹分析法的方法2.2.1 绘制根轨迹的基本步骤（1）确定系统开环传递函数。
（2）画出开环传递函数的极点和零点。
（3）根据系统参数的变化，绘制出根轨迹。
（4）分析根轨迹的形状，判断闭环系统的稳定性。
2.2.2 根轨迹的绘制技巧（1）利用软件工具，如MATLAB，自动绘制根轨迹。
（2）手动绘制根轨迹时，注意利用对称性和周期性简化绘制过程。
2.3 根轨迹分析法的应用2.3.1 设计控制器通过分析根轨迹，可以确定控制器参数，使闭环系统具有所需的稳定性和动态性能。
2.3.2 系统优化根轨迹分析法可以帮助我们找到系统参数的最佳组合，从而优化系统的性能。
2.3.3 故障诊断分析根轨迹可以帮助我们发现系统中的故障，为故障诊断提供依据。
3. 课件总结本课件介绍了根轨迹分析法的基本概念、方法和应用。
通过学习本课件，您可以了解根轨迹分析法在控制系统设计和分析中的重要性，并掌握绘制根轨迹的基本方法。
希望这有助于您在实际工作中更好地应用根轨迹分析法。
科学性：1. 内容准确：课件内容基于控制理论的基本原理，准确地介绍了根轨迹分析法的概念、方法和应用。
2. 逻辑清晰：课件从基本概念入手，逐步深入到方法介绍和应用实例，逻辑结构清晰，易于理解。
3. 实例典型：课件中提供了控制系统的实例，帮助学习者更好地理解根轨迹分析法的应用场景。
第4章 线性系统的根轨迹分析
３．暂态性能 （１） 当０<Ｋ< ０.25时， 闭环特征根为实根，系统是过 阻尼状态，阶跃响应为非周期 过程。
∞ K K=0 × -1 K
jω
K=0.25 K=0 ×
σ
（２） 当Ｋ＝０.25时，两 特征根重合，均为－0.5，系 统处于临界阻尼状态。
∞
（３） 当Ｋ＞０.25时，两特征根变为共轭 复根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰 减振荡过程。
§４－２绘制根轨迹的基本规则 续例４－２，将 s j 代入特征方程。
j ( j 1)( j 2) K 1 0 j ( 2 j 3 2) K 1 0 j 3 3 2 j 2 K 1 0
jω
j 2
K1=6
实部 虚部
K 13 2 0 2 3 0
i 1
n
q 0,1,2,
…
（＊＊）
三．根据相角条件确定根轨迹上的点
设某一系统的开环零极点如图， 在Ｓ平面中的任意一点 s 0 ，用 相角条件可以判断 s 0 是不是根 轨迹的点。 １．从 s 0 到各零极点连直线 ２．用量角器量(s0 p1 ) ,…等 各个角． ３．将量好的值代入（＊＊） 式，若等式成立，则 s 0 就是根 轨迹上的点．
§４－１根轨迹的基本概念
G H
绘制根轨迹是求解特征方程的根，特征方程可改 写为 G ( S ) H ( S ) 1
G( S ) H ( S ) 是复变量Ｓ的函数，根据上式两边的
幅值和相角分别相等的条件，可以得到
§４－１根轨迹的基本概念
G( S ) H ( S ) 1
G( S ) H ( S ) 180(2q 1),
z1
《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验
《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验模块化自控原理中的线性系统的根轨迹分析实验是探究线性系统的稳定性和动态特性的一种常用方法，通过实验观测和分析系统的根轨迹，可以得到系统的传递函数以及系统的稳定性等重要信息。
下面是对该实验的详细说明和分析。
1.实验目的1.1理解线性系统的根轨迹概念及其重要性；1.2学习使用根轨迹法进行系统的稳定性和动态特性分析；1.3掌握根轨迹分析实验的具体步骤；1.4提高实验操作和数据处理的能力。
2.实验原理2.1根轨迹的概念根轨迹是以参数变化为基础的线性系统稳定性和动态特性的分析方法之一、根轨迹是指在参数变化的范围内，系统传递函数极点的轨迹，可以用来判断系统的稳定性、响应特性和动态响应快慢等重要指标。
2.2根轨迹的画法根轨迹的画法需要先确定系统的开环传递函数，然后通过对传递函数进行拆项和配平，求解极点的位置。
根轨迹的位置可以通过极点的实部和虚部来表示，根据虚轴对称性和极点与零点的关系，可以画出根轨迹的大致形状和方向。
2.3根轨迹分析的应用根据根轨迹的形状、分布和方向可以判断系统的稳定性和动态特性：-根轨迹在左半平面则系统稳定；-根轨迹与虚轴交点奇数个则系统不稳定；-根轨迹的分布越往左上角或右上角，系统的动态特性越好。
3.实验装置和器材3.1实验装置数字控制系统实验台、计算机、示波器、信号发生器、数模转换器等。
3.2实验器材电脑、电源线、连接线、示波器探头等。
4.实验步骤4.1连接实验装置将数字控制系统实验台与计算机、示波器、信号发生器和数模转换器等设备进行连接。
4.2系统参数调整设置合适的实验参数，包括采样频率、控制周期、信号幅值等。
4.3系统根轨迹绘制在计算机上运行相应的根轨迹绘制软件，根据实验所给的开环传递函数和稳定域范围，绘制系统的根轨迹。
4.4根轨迹分析根据根轨迹的形状、位置和分布等信息，分析系统的稳定性和动态特性，并给出相应的结论和解释。
4.5记录实验数据记录实验中所绘制的根轨迹和分析结果，包括根轨迹的形状、交点、分布等重要特征。
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由此可进一步分析系统的性能。 值的Kr变化对闭 环系统特征方程的影响可在根轨迹上直观地看到，
因此系统参数对系统性能的影响也一目了然。所
以用根轨迹图来分析自动控制系统是十分方便的。
上例中，根轨迹图是用解析法作出的，这对于二
阶系统并非难事，但对于高阶系统，求解特征方
程的根就比较困难了。
如果要研究系统参数的变化对闭环系统特征 方程根的影响，需要大量反复的计算。
K limsG(s)H(s) s0
（6-6）
式中 是开环传递函数中含积分环节的个数，
由它来确定该系统是零型系统（ 0）,Ⅰ型系统
（ 1）或Ⅱ型系统（ 2）等。
将（6-4）代入（6-6）可得
m
m
(s Z j)
( Zj)
K
limsν
s0
G(s) H(s)
limK
s0
r
j1
n ν
(s
Pi )
第六章 根轨迹法
• §6–1 根轨迹的概念 • §6–2 绘制根轨迹的规则 • §6–3 广义根轨迹 • §6–4 系统性能分析
1
根轨迹法是一种图解方法，它是古典控制理 论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。由 于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根（即 系统的闭环极点）在S平面上的分布，因此，用根 轨迹法分析控制系统十分方便，特别是对于高阶 系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法 更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。
11
根轨迹法的基本任务：由已知的开环零、 极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法 找出闭环极点, 一旦闭环极点被确定，闭环 传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点 可由式（6-5）直接得到。在已知闭环传递 函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用 拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接 求解。
12
三、根轨迹增益 Kr与开环系统增益K的关系 系统的开环增益（或开环放大倍数）为
Pi )
K K1 K2 为系统的开环增益，
Kr K1r K2r 为开环系统的根轨迹增益；
m=f+L
为开环系统的零点数，
n q h 为开环系统的极点数。
将式（6-2）和（6-4）代入（6-1）可得
(s)
s
K1r
f
(s
i 1
Zi
n
i 1
(s
Pi
)
)
h
(s
j1
Pj
)
Kr
m
(s
j1
Zi
)
（6-5）10
当 Kr 0时, s1 0,s2 2 ; 当0 Kr 1时，s1 与 s2为不相等的两个负实根； 当 Kr 1时，s1 s2 1 为等实根；
4
当1 Kr 时，s1,2 1 j Kr 1 为一对共 轭复根，其实部都等于-1，虚部随 Kr 值的增加 而增加；
当 Kr→∞时， s1、s2的实部都等于-1，是常
本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的 基本规则和用根轨迹法分析自动控制系统的方法。
2
§6–1 根轨迹的概念
一﹑根轨迹图
根轨迹图是开环系统某一参数由零变化到无 穷时，闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在 S平面上的变化轨迹。
例6-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s) H(s) K r s(s 2)
ih1(Tis 1)
K2r
l
(s
j1
Z
j
)
h(si 1Pi)（6-3）
式中 K1 为前向通路增益，K1r 为前向通路根轨 迹增益；K2 为反馈通路增益，K2r为反馈通路根轨迹 增益。
9
系统的开环传递函数为
G(s)H(s)
K
m
j1
(
js
1)
s
n
i 1
(Tis
1)
Kr
m
(s
j1
s
n
(s
i 1
Zj)
(6-4)
1948年伊万斯（W·R·EVANS）提出了根轨迹 法。该方法不需要求解闭环系统的特征方程，只 需依据开环传递函数便可会绘制系统的根轨迹图。
7
二、开环零、极点与闭环零、极点之间的关系
通常系统的开环零、极点是已知的，因此建立
开环零、极点与闭环零、极点之间的关系，有助于闭 环系统根轨迹的绘制，并由此引导出根轨迹方程。设 控制系统如图6-2所示，闭环传递函数为
试分析该系统的特征方程的根随系统参数K r 的变 化在S平面上的分布情况。
3
解 系统的闭环传递函数
(s)
C(s) R(s)
1
G(s) G(s) H(s)
s2
Kr 2s
Kr
系统的特征方程为 s2 2s Kr 0
特征方程的根是
s1 1 1 Kr ,s2 1 1 Kr 设 Kr 〔0, ∞﹚，
数，虚部趋向无穷远处 。 该系统特征方程的根随开环系统参数从零变到
无穷时在S平面上变化的轨迹如图6-1所示。
5
Kr
j
[s]
P1Kr 0
-2
Kr 1 P2 Kr 0
-1
0
Kr
图6-1 例6-1的根轨迹
6
当系统参数
K
为某一确定的值时，闭环系
r
统特征方程的根在S平面上变化的位置便可确定，
G(s) H(s) Kr
其开环增益为
s(s 2)
K limsG(s)H(s) Kr
s0
2
对于该系统，根轨迹增益K r 与开环增益K之 间的是 Kr 2K ，它们之间仅相差一个比例常 数2。
14
四、根轨迹与系统性能
以图6-1为例进行说明
稳定性 如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部，系 统是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半S 平面，根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益 Kc。
比较式（6-4）和式（6-5），可得以下结论： ⑴闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通 路根轨迹增益 K1r ；对于单位反馈系统，闭环系统 根迹增益就等于开环系统根轨迹增益。 ⑵闭环零点由开环前向通路传递函数零点和反 馈通路传递函数极点所组成；对于单位反馈系统， 闭环零点就是开环零点。 ⑶闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹 增益Kr 均有关。
Kr
j1
n ν
( Pi )
i1
i1 13
开环系统的根轨迹增益 与K开r 环系统的增益K 之间仅相差一个比例常数，这个比例常数只与 开环传递函数中的零点和极点有关。
由式（6-4）可知，根轨迹增益（或根轨迹
放大系数）是系统的开环传递函数的分子﹑分
母的最高阶次项的系数为1的比例因子。在例6-
1中系统的开环传递函数为
(s) G(s) 1 G(s)H(s)
(6-1)
R(s)
-
G(s)
C(s)
H(s)
图6-2 控制系统
8
前向通路传递函数G(s)和反馈通路传递函数H(s) 可分别表示
G(s)
K1
f
(
j1
js
1)
s
q
i1(Tis
1)
K1r
sjf 1iq(1s(sZPji)（) 6-2）
H(s)
K2
l
(
j1
js
1)