函数模型及其应用习题课
一次函数应用习题课教案人教版
-鼓励学生利用课后时间进行自主学习和拓展，加深对一次函数应用的理解。
-学生可以选择阅读材料进行深入阅读，理解一次函数在实际生活中的应用。
-学生可以选择观看视频资源，通过视频了解一次函数的图像解析和实际应用。
-学生可以尝试解决一些实际问题，运用一次函数的知识进行建模和求解。
-学生可以与同学进行讨论和交流，分享自己的理解和解决问题的方法。
2.4实物教具：使用实物教具，如直尺、三角板等，让学生直观地了解一次函数的图像特点，增强学生的空间想象力。
2.5练习软件：运用练习软件，如在线习题库，让学生在课堂上实时检测自己的学习效果，及时巩固知识点。
2.6教学反馈：通过教学反馈，了解学生在学习过程中的需求和困惑，及时调整教学策略，提高教学效果。
2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：八年级的学生对数学应用题通常比较感兴趣，特别是那些与实际生活相关的问题。他们在解决数学问题时，通常更倾向于直观和形象化的方法。在学习风格上，他们可能更习惯于通过实践和互动来学习，而不是仅仅通过理论知识的讲解。
3.学生可能遇到的困难和挑战：在应用一次函数解决实际问题时，学生可能会遇到以下困难：
2.7评价机制：建立合理的评价机制，如学生互评、教师评价等，鼓励学生积极参与课堂活动，提高学生的自主学习能力。
通过以上教学方法与手段的运用，旨在提高本节课的教学质量，激发学生的学习兴趣，培养学生的数学建模能力和实际问题解决能力。
教学流程
（一）课前准备（预计用时：5分钟）
学生预习：
发放预习材料，引导学生提前了解一次函数的应用学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。
（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）
2019A新高中数学必修第一册：3.1.1 方程的根与函数的零点
本章内容
3.1 函数与方程 3.2 函数模型及其应用
第三章 小结
3.1.1 方程的根与函数的零点 3.1.2 用二分法求方程的近似解 复习与提高
返回目录
1. 方程 f(x)=0 的根与函数 y=f(x) 的图象上 的点有什么关系?
2. 什么是函数的零点? 函数的零点与函数 的图象、对应方程的解有什么关系?
(C) (2, 3)
(D) (3, +∞)
解: 设 f(x)=lgx+x-3,
f(x) 在(0, +∞)上是增函数,
f(1)= -2, <0,
f(2)=lg2-1<0,
f(3)=lg3 >0,
f(2)·f(3)<0,
∴方程的解在2与3之间.
2. 已知方程 x2+bx=1. 若方程有一根在1与2之间, 求 b 的取值范围;
【课时小结】
2. 求函数的零点所在区间 (1) 如果函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上的图象
连续不断, 且 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有零点.
(2) 如果函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上是连续 的单调函数, 且 f(a)·f(b)<0, 那么, 函数 y=f(x) 在区间 (a, b) 内有且只有一个零点.
函数模型及其应用的教学教案
函数模型及其应用的教学教案教学教案：函数模型及其应用一、教学目标1.了解函数模型的基本概念和特性；2.掌握函数模型在实际问题中的应用；3.培养学生的数学建模能力和问题解决能力。
二、教学重点和难点1.函数模型的基本概念和特性；2.函数模型在实际问题中的应用。
三、教学方法1.讲授与示范相结合；2.小组合作学习；3.课堂实践。
四、教学过程步骤一：导入新知识（10分钟）1.复习函数的基本概念和性质；2.提出问题：“函数模型是什么？它有什么特点？”；3.学生回答问题并进行讨论。
步骤二：讲解函数模型的基本概念（20分钟）1.介绍函数模型的定义和表示方法；2.引导学生理解函数模型的含义：根据已知条件，建立函数模型来描述一个实际问题；3.示范几个常见的函数模型。
步骤三：探究函数模型的特性（20分钟）1.引入函数模型的性质：单调性、奇偶性、周期性等；2.以实例为例，让学生观察并总结函数模型的特性；3.学生合作完成几个练习题。
步骤四：应用函数模型解决实际问题（30分钟）1.通过实例介绍函数模型在实际问题中的应用，如物体自由落体、物种数量增长等；2.让学生进行小组合作，选择一个实际问题，建立相应的函数模型并解决问题；3.学生展示他们的解决方案，进行评价和讨论。
步骤五：巩固与拓展（20分钟）1.让学生复习巩固所学的内容，完成一篇小结；2.引导学生思考：函数模型在其他学科中的应用；3.教师进行点评和总结。
五、教学评估1.课堂表现评价：学生是否积极参与讨论、是否能熟练运用函数模型解决实际问题等；2.书面作业评价：布置相关练习题，检查学生的掌握程度。
六、教学资源1.教材：《数学教材》；2.多媒体教学工具；3.实际问题的资料。
七、教学反思通过本节课的教学，学生能够理解函数模型的基本概念和特性，能够应用函数模型解决实际问题。
在教学过程中，我注重将知识与实际问题相结合，让学生能够在解决问题的过程中感受到函数模型的重要性和应用价值。
5.7.1三角函数的应用教学设计(第1课时)(高硕)-高中数学新教材必修第一册小单元教学专家指导(视
5.7 三角函数的应用第一课时教学设计一、内容和及其解析 （一）教学内容本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A 版（2019）第五章《三角函数》的第七节《三角函数的应用》。
（二）教学内容解析本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，通过例题,循序渐进地介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.发展学生数学建模、数据分析、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养，从而培养学生的创新精神和实践能力. 二、教学目标及解析 （一）教学目标1．会通过建立三角模型，解决实际问题。
2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．掌握对函数sin()y A x ωϕ=+图像的应用，培养直观想象和逻辑推理核心素养能力。
3．通过学习三角函数模型的实际应用，能使学生学会把实际问题抽象为数学问题，培养数学建模素养。
（二）教学目标解析①要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，根据相等关系或不等关系列式. ②在建立三角函数模型这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想来打开思路，解决问题. ③在应用研究数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题.④实际问题通常涉及复杂的数据，因此可能需要用到计算机或计算器. 三、教学问题诊断分析问题1 如何理解函数sin 00[0y x x A ωϕA ω=+>>∈+∞()(，)(，))中，A ω ϕ，，的物理意义． 突破：通过对弹簧振子振动、及交变电流两个物理问题来说明三角函数模型的简单应用．包括函数模型的拟合、作散点图、确定参数A ω ϕ，，从而确定出相应的函数解析式．了解简谐运动可以用函数sin 00[0y x x A ωϕA ω=+>>∈+∞()(，)(，))表示，理解描述简谐运动的物理量，如振幅、周期、频率等与这个解析式中常数有关，理解A ω ，，的物理意义． 问题2 三角函数模型的作用突破：三角函数作为描述现实世界中（周期现象）的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用． 三角函数模型的应用体现在两个方面： ①已知函数模型求解数学问题；②把实际问题转化成数学问题，抽象出有关的数学模型，再利用三 角函数的有关知识解决问题． 问题3 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤 突破：教学难点：重点：了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题； 难点：实际问题抽象为三角函数模型.四、教学支持条件PPT 课件，视频五、教学过程设计（主体内容） （一）情景导入现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.问题1：你能举出生活中具有周期性现象的实例吗？【学生经过思考和讨论之后，举出一些生活中的实例，教师进行补充】 【预设的答案】：预想学生所举周期性现象的例子可能包括以下几方面： （1）匀速圆周运动。
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册 3.4 函数的应用(一) 教案
3.4 函数的应用（一）本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修一（A版）》的第三章的 3.4 函数的应用（一）。
函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。
通过经历由实际问题建立函数模型，再利用模型分析、解决问题的过程，学生体验了数学在解决实际问题中的价值和作用，体验了数学与日常生活的联系，有助于增强学生的应用意识，激发他们学习数学的兴趣，发展他们的实践能力。
课程目标学科素养A.能够利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题；B.经历建立函数模型解决实际问题的过程，提高综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力。
1.数学抽象：将实际问题转化为数学问题；2.逻辑推理：由数学式子解决实际问题；3.数学运算：由函数解析式求值和有关函数解析式的计算；4.数学模型：由实际问题构造合理的函数模型。
1.教学重点：建立函数模型解决实际问题；2.教学难点：选择适当的方案和函数模型解决实际问题。
多媒体解析步骤见教材。
结论：根据个人收入情况，利用上面获得的个税和月工资关系的函数解析式，就可以直接求得应缴纳的个税．例2 一辆汽车在某段路程中的行驶速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图1所示，（1）求图1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象.解:（1）阴影部分的面积为360165175190180150=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯所以阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的为360 km. （2）根据图1,有函数图象如图，通过例题让学生进一步理解应用题的解法及读图能力，进一步熟悉分段函数，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
1-2-2-3 函数的表示方法 习题课
知识整合
第一章
1.2
1.2.2
第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
第一章
1.2
1.2.2
第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
2．规律小结 对于函数的概念及其表示要注意： 1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系． 2．定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．
第一章
1.2
第一章
1.2
1.2.2
第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
4．求函数解析式的常用方法： (1)凑配法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)构造法． 5．求函数值域的方法： (1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法． 随着学习的深入，我们会有更多的求值域的方法．
第一章
1.2
1.2.2
第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
题型讲解
第一章
1.2
1.2.2
第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
命题方向 1 映射与函数的概念
一种对应，是一种特殊的函数概念是高中数学非常重要 的一个概念，它是映射，要求非空数解 A 中的任何一个元素 在 B 中都有唯一确定的元素与它对应．
已知函数 y＝f(x)对一切实数都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求 f(0)． (2)求 f(－x)＋f(x)的值． (3)若 f(－3)＝a，试用 a 表示 f(12)．
1.2.2
第3课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
3．求抽象函数定义域的方法： (1)已知 f(x)的定义域为[a，b]，求 f[g(x)]的定义域，就是 求不等式 a≤g(x)≤b 的解集． (2)已知 f[g(x)]的定义域为[a，b]，求 f(x)的定义域，就是 求当 x∈[a，b]时，g(x)的值域．
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表⽰》教案完美版《函数的概念及其表⽰》教案第⼀课时： 1.2.1 函数的概念（⼀）教学要求：通过丰富实例，进⼀步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习⽤集合与对应的语⾔来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作⽤；了解构成函数的要素；能够正确使⽤“区间”的符号表⽰某些集合。
教学重点、难点：理解函数的模型化思想，⽤集合与对应的语⾔来刻画函数。
教学过程：⼀、复习准备：1. 讨论：放学后骑⾃⾏车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2 .回顾初中函数的定义：在⼀个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每⼀个确定的值，y 都有唯⼀的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是⾃变量，y 是因变量. 表⽰⽅法有：解析法、列表法、图象法.⼆、讲授新课：1.教学函数模型思想及函数概念：①给出三个实例：A .⼀枚炮弹发射，经26秒后落地击中⽬标，射⾼为845⽶，且炮弹距地⾯⾼度h （⽶）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-.B .近⼏⼗年，⼤⽓层中臭氧迅速减少，因⽽出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞⾯积的变化情况.（见书P16页图）C .国际上常⽤恩格尔系数（⾷物⽀出⾦额÷总⽀出⾦额）反映⼀个国家⼈民⽣活质量的⾼低。
“⼋五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表）②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每⼀个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯⼀确定的y 和它对应，记作：:f A B →③定义：设A 、B 是⾮空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意⼀个数x ，在集合B 中都有唯⼀确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的⼀个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈.其中，x 叫⾃变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？⼀次函数(0)y ax b a =+≠、⼆次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
数学建模习题及答案课后习题
数学建模习题及答案课后习题第⼀部分课后习题1.学校共1000名学⽣，235⼈住在A宿舍，333⼈住在B宿舍，432⼈住在C宿舍。
学⽣们要组织⼀个10⼈的委员会，试⽤下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按⽐例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给⼩数部分较⼤者。
（2）节中的Q值⽅法。
（3）d’Hondt⽅法：将A，B，C各宿舍的⼈数⽤正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：将所得商数从⼤到⼩取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C⾏有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种⽅法的道理吗。
如果委员会从10⼈增⾄15⼈，⽤以上3种⽅法再分配名额。
将3种⽅法两次分配的结果列表⽐较。
（4）你能提出其他的⽅法吗。
⽤你的⽅法分配上⾯的名额。
2.在超市购物时你注意到⼤包装商品⽐⼩包装商品便宜这种现象了吗。
⽐如洁银⽛膏50g装的每⽀元，120g装的元，⼆者单位重量的价格⽐是：1。
试⽤⽐例⽅法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由⽣产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正⽐，有的与表⾯积成正⽐，还有与w⽆关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越⼤c越⼩，但是随着w的增加c减少的程度变⼩。
解释实际意义是什么。
3.⼀垂钓俱乐部⿎励垂钓者将调上的鱼放⽣，打算按照放⽣的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了⼀把软尺⽤于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的⽅法。
假定鱼池中只有⼀种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼⾝的最⼤周长）：⾝长（cm）重量76548211627374821389652454（g）胸围（cm）先⽤机理分析建⽴模型，再⽤数据确定参数4.⽤宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹⾓应多⼤（如图）。
若知道管道长度，需⽤多长布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其他形状呢。
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函数模型及其应用习题课
教学目标：1 掌握根据已知条件建立函数关系式。
2培养学生分析问题、解决问题的能力。
3 培养学生应用数学的意识。
教学过程：
一．基础练习：
1． 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现
有2个这样的细胞，分裂x 次后得到的细胞个数y 为（ ）
A ．y=21+x
B 。
y=21-x
C 。
y=2x
D 。
y=2x 2． 一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，它的解析式为（ ）
A ． y=20-2x （x ≤10）
B y=20-2x （x <10）
C y=20-2x （5 ≤x ≤10）
D y=20-2x （5<x <10）
3． x 克a%盐水中，加入y 克b%的盐水，浓度变为c%，则x 与y 的函数关系式为（ ）
A ．y=b c a c --x
B 。
y=c b a c --x
C 。
y=c b c a --x
D 。
y=a
c c b --x 4． 一水池有2相进水口，1个出水口，每个进水口或出水口的进出水速度如图甲、乙
所示。
某天0点到家点，该水池的蓄水量如图所示。
（到少打开一个水口）
进水量
时间 给出以下3相论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水。
则以上3个论断中一定正确的是 。
二．例题：
例1． 某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：
服药后每亳升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲
线。
（1） 写出服药后y 与t 之间的函数关系式；
（2） 据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效。
假
若某病人一天中第一次服药为7：00，问一天中怎样安排服药的
时间、次数，效果最佳。
Y （微克）
x
6
（小时）
例2．某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新价标在价目卡上，并注明按该价20%销售。
这样，仍可获得25%的纯利。
求此个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系。
例3．医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t之间近似满足如图所
示的曲线。
（OA为线段，AB为某二次函数图象的一部分，O为原点）
a)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f（t）；
4
b)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于
9
微克，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间。
x
例4．在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b（a>b）在AB、AD、CB、CD上分别截取AE、AH、CF、CG都等于x，当x取何值时，四边形EFGH面积最大并求出最大值。
D G C
F
H
A E B
三．课堂小结：
函数的应用时：要反复审清实际问题的含义，恰当选择自变量（距离、角、时间、速度等）建立目标函数及定义域，再根据函数类型选用恰当的方法获得问题的解答。
四．课外作业：
1．已知镭经过100年剩留原来质量的95.%，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则x、y间的函数关系为（）：
A ．y=0.9576100x
B 。
y=0.9576x 100
C 。
y=（1009576.0）x
D 。
y=1-0.042100x
2．某细菌培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂两个）这种细菌由一个繁殖成 4096个需经过（ ）
A ．12小时
B 。
4小时
C 。
3小时
D 。
2小时
3． 种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用。
浴用时，已知每分钟
放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水龙2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止。
现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供（ ）
A ．3人洗澡
B 。
4人洗澡
C 。
5人洗澡
D 。
6人洗澡
4．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f （m ）=1.06（0.5×[m]+1）元给出，其中m >0，[m]是大于或等于m 的最小整数（职[3]=3，[3.7]=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为 元。
5．某厂在甲、乙两地的分厂各生产仪器12台和6台，现售给A 地10台，B 地8台。
已知从甲调运1台至A 、B 地的运费分别为400元、800元，从乙调运1台至A 、B 的运费分别为300元、500元。
（1） 要总运费不超过9000元共有几种方案？
（2） 求总运费最低时的调运方案与调运费。
6．有甲、乙两种产品，生产这两种产品所能获得的最大效益依次为P 和Q （万元），.它们与投资x （万元）的关系是P=4x ，Q=43x ，今投资3万元资金生产甲、乙两种产品，为获取最大收益，对甲、乙两种产品的资金投入分别就为多少？
7．汽车从刹车到停车所通过的距离称刹车距离，用L 表示，已经知道L 是时速V 及汽车重量M 的函数：L=kV 2M （k 为常数）。
汽车满载时货物的重量是汽车自重的4倍。
现有一辆空车以60千米/小时行驶，从刹车到停车共走了20米。
当汽车满载行驶时发现前方35米处有障碍而能在30米内把车刹住。
已知司机从发现障碍物到作出刹车反应需要0.6秒。
问汽车满载时允许的最大时速是多少？。