高中数学人教版必修1函数模型及其应用教学设计

教学重点
了解函数模型的广泛应用。
教学难点
了解函数模型的广泛应用。
【教学建议】
本课内容是函数的应用，它的本质就是我们学习过的函数做为模型在现实问题刻画过程中的基本操作过程和常见函数图象与性质在应用中的升华.本课内容是课本必修1中第三章的重点内容之一，课本中还渗透了函数拟合的基本思想，这也为后面高中的学习做了铺垫。通过本节的学习，要使学生从中体会函数模型刻画现实问题的基本过程并体会函数在数学及其它地方的应用的广泛性，能初步运用函数的思想解决现实生活中的一些简单问题，函数模型本身就来源于现实，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成.
类型二已知函数模型的实际问题
候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为 (其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a、b的值；
(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据 )( )
A．1.5% B．1.6% C．1.7% D．1.8%
(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
即h（t）＝
当0≤t≤200时，配方整理得h（t）＝－ （t－50）2＋100，所以，当t＝50时，h（t）取得区间［0，200］上的最大值100；
当200＜t≤300时，配方整理得h（t）＝－ （t－350）2＋100，所以，当t＝300时，h（t）取得区间（200，300］上的最大值87.5.
综上，由100＞87．5可知，h（t）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.
生：通过尝试练习进一步体会三种不同增长的函数模型的增长差异及其实际应用．
师：培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用美．
（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；
（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；
(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B.
【总结与反思】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本全的完整解答，然后全班进行交流．
例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 （单位：万元）随销售利润 （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
．
问：其中哪个模型能符合公司的要求？
探究：
1）本例涉及了哪几类函数模型？
本例的实质是什么？
2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？
师：引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况．
生：进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异．
【知识导图】
【教学建议】
导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。
导入的方法很多，仅举两种方法：
1情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；
2温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。
提供一个教学设计供讲师参考：
（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。
类型一用函数图象刻画变化过程
(1)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
师：创设问题情境，以问题引入能激起学生的热情，使课堂里的有效思维增强．
生：阅读题目，理解题意，思考探究问题．
师：引导学生分析本例中的数量关系，并思考应当选择怎样的函数模型来描述．
生：观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流．
师：引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等．
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
答案与解析
(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有 ＝0，
即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故 ＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组 得
(2)由(1)知，v＝－1＋log3 .所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，即－1＋log3 ≥2，即log3 ≥3，解得Q≥270.
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大?
（注：市场售价和种植成本的单位：元／102，kg，时间单位：天）
答案与解析
解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为f（t）＝
由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为g（t）＝ （t－150）2＋100，0≤t≤300．
（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）＝f（t）－g（t），
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
探究：
1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？
2）分析解答（略）
3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
生：仿照例题的探究方法，选用具体函数进行研究、论证，并进行交流总结，形成结论性报告．
师：对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示．
巩
固
与
反
思ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
尝试练习：
1）教材P116练习1、2；
2）教材P119练习．
小结与反思：
通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美．
(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
答案与解析
解析 (1)y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.
环节
教学内容设计
师生双边互动
组
织
探
究
4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？
5）根据以上分析，你认为就作出如何选择？
师：引导学生利用函数图象分析三种方案的不同变化趋势．
生：对三种方案的不同变化趋势作出描述，并为方案选择提供依据．
师：引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益．
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中（2）的抛物线表示.
图2—10
（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t）；
写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；
（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.
这些步骤用框图表示：
（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；
（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；
生：进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出具体解答．
探
究
与
发
现
幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：
你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数 、指数函数 、对数函数 在区间 上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、详尽的结论性报告．
师：引导学生仿照前面例题的探究方法，选用具体函数进行比较分析．
师：指出：一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的
组
织
探
究
例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
适用学科
适用年级
高一
适用区域
通用
课时时长（分钟）
2课时
知识点
1.几类不同增长的函数模型的特点
2.用已知函数模型解决实际问题
3.建立函数模型解决实际问题
教学目标
1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；
2．了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例。
环节
教学内容设计
师生双边互动
创
设
情
境
材料：澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
师：引导学生分析问题使学生得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择．
环节
呈现教学材料
师生互动设计
组
织
探
究
3）通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答．
生：分析数据特点与作用判定每一个奖励模型是否符合要求．
师：引导学生利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程．
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位．
【总结与反思】求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
类型三构造函数模型的实际问题
某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5万元B．11万元
C．43万元D．43.025万元
答案与解析
解析 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－ )2＋0.1× ＋32.
因为x∈[0,16]，且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．