函数的模型及其应用_课件
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函数的概念与基本初等函数函数模型及其应用课件文ppt
函数的概念与基本初等函数函数 模型及其应用课件文ppt
xx年xx月xx日
目录
• 函数的概念与基本初等函数 • 函数模型的选择与建立 • 函数模型的应用领域 • 建立函数模型的实例分析 • 函数模型的进阶应用与挑战 • 总结与展望
01
函数的概念与基本初等函数
函数定义与性质
函数定义
设x和y是两个变量，D是一个数集，如果对于D中的每个x值，都有唯一确定的y值与之对应，那么称y 是x的函数，记作y=f(x)。
06
总结与展望
函数模型的重要性和应用前景
函数模型在各个领域 的应用广泛
无论是自然科学、社会科学还是工程 技术，函数模型都扮演着重要的角色 。
函数模型在数据处理 和分析中的重要性
通过函数模型可以对数据进行拟合、 预测和推断，进而为决策提供科学依 据。
函数模型在算法设计 和优化中的关键作用
函数模型可以描述算法的性能、复杂 度和精度，为算法优化提供基础。
在工程设计中，利用已知的设计 参数，建立函数模型，优化设计 方案。
03
函数模型的应用领域
函数模型在物理中的应用
力学
利用函数模型描述物体的运动轨迹、受力情况等。
电磁学
函数模型可以描述电路、电磁波的传播等。
光学
用函数模型研究光的传播、折射、反射等。
函数模型在化学中的应用
物质结构
函数模型可以描述分子、原子等微观粒子的结构和 运动。
图解法
通过绘制变量之间的关系图，建立函数模型。
最小二乘法
通过最小化预测值与实际值之间的平方误差 ，建立函数模型。
函数模型的应用实例
01
02
03
经济预测
科学计算
工程设计
xx年xx月xx日
目录
• 函数的概念与基本初等函数 • 函数模型的选择与建立 • 函数模型的应用领域 • 建立函数模型的实例分析 • 函数模型的进阶应用与挑战 • 总结与展望
01
函数的概念与基本初等函数
函数定义与性质
函数定义
设x和y是两个变量，D是一个数集，如果对于D中的每个x值，都有唯一确定的y值与之对应，那么称y 是x的函数，记作y=f(x)。
06
总结与展望
函数模型的重要性和应用前景
函数模型在各个领域 的应用广泛
无论是自然科学、社会科学还是工程 技术，函数模型都扮演着重要的角色 。
函数模型在数据处理 和分析中的重要性
通过函数模型可以对数据进行拟合、 预测和推断，进而为决策提供科学依 据。
函数模型在算法设计 和优化中的关键作用
函数模型可以描述算法的性能、复杂 度和精度，为算法优化提供基础。
在工程设计中，利用已知的设计 参数，建立函数模型，优化设计 方案。
03
函数模型的应用领域
函数模型在物理中的应用
力学
利用函数模型描述物体的运动轨迹、受力情况等。
电磁学
函数模型可以描述电路、电磁波的传播等。
光学
用函数模型研究光的传播、折射、反射等。
函数模型在化学中的应用
物质结构
函数模型可以描述分子、原子等微观粒子的结构和 运动。
图解法
通过绘制变量之间的关系图，建立函数模型。
最小二乘法
通过最小化预测值与实际值之间的平方误差 ，建立函数模型。
函数模型的应用实例
01
02
03
经济预测
科学计算
工程设计
高考文科数学《函数模型及其应用》课件
121n0≥1232，1n0≤32，解得 n≤15.
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
2023版高考数学一轮总复习第二章函数2.7函数的应用第2课时函数模型及其应用课件
70 ≈100r.
若 r＝3%，f(x)≥2a，则 x 的最小整数值为
()
A. 22
B. 25
C. 23
D. 24
解：依题意可得
a(1＋3%)x≥2a，即
ln2
0.693
x≥ln（1＋3%）≈ 3%
15≈1007×03%＝730≈23.
2. 三种函数模型性质比较
性质
在(0，＋∞) 上的单调性
增长速度
图象的 变化
y＝ax(a＞1)
增函数
越来越快 随 x 值增大，
图象与 y 轴 接近平行
函数 y＝logax(a＞1)
增函数
越来越慢 随 x 值增大，
图象与 x 轴 接近平行
y＝xn(n＞0) 增函数
相对平稳 随 n 值变 化而不同
3. 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 (1)分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”或其他)； (2)根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题； (3)通过运算、推理求解函数模型； (4)用得到的函数模型描述实际问题的变化规律、解决有关问题.
利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期利息. 假设最开始本金f(x).
若
f(x)≥2a，则
a(1＋r)x≥2a，解得
ln2 x≥ln（1＋r）.
银行业中经常
使用“70 原则”，因为 ln2≈0. 693 15，而且当 r 比较小时，ln(1＋r)≈r，所以ln（l1n＋2 r）≈0.69r3 15
≈3α3，则 r 的近似值为
()
A.
MM21R
B.
2MM21R
C. 3 3MM12R
函数模型及其应用_PPT课件
设在公路通车的后 5 年中，每年用 x 万元投资于本地的销售，
而用剩下的(60－x)万元投资于外地的销售，则其总利润为
W2＝
[－
1 160
(x－
40)2＋
100]×5＋
(－
159 160
x2＋
119 2
x)×5＝
－
5(x
－30)2＋4950.
当 x＝30 时，(W2)max＝4950(万元)．从而 10 年的总利润为27875
例 1 西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，
当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得 利润 P＝－1160(x－40)2＋100 万元．当地政府拟在新的十年发展
规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该 项目每年都投入 60 万元的销售投资，在未来 10 年的前 5 年中， 每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路，5 年修成， 通车前该特产只能在当地销售；
【解】 设温室的左侧边长为 xm，则后侧边长为80x0m.
∴蔬菜种植面积
y
＝
(x
－
4)(
800 x
－
2)
＝
808
－
2(x
＋
16x00)(4<x<400)，
∵x＋16x00≥2 x·16x00＝80，∴y≤808－2×80＝648(m2)．
当且仅当 x＝16x00，即 x＝40，此时80x0＝20(m)，y 最大＝648m2.
∴当矩形温室的左侧边长为 40m，后侧边长为 20m 时，蔬菜
的种植面积最大，为 648m2.
变式迁移 2 某工厂有一段旧墙长 14m，现准备利用这段旧 墙为一面建造平面图形为矩形，面积为 126m2 的厂房，工程条件 是：①建 1m 新墙的费用为 a 元；②修 1m 旧墙费用是a4元；③拆 去 1m 旧墙，用所得的材料建 1m 新墙的费用为a2元，经讨论有两 种方案：(1)利用旧墙的一段 xm(x<14)为矩形厂房一面的边长；
高三数学复习课件 2.9 函数模型及其应用
综上,当 t=12 时,S(t)取最大值2 5300;当 t=100 时,S(t)取最小值 8.
答案
专题突破
-13-
考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间是二次函 数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型, 利用二次函数的图象与单调性解决.
专题突破
品的生产.
①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?
②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得
最大利润?其最大利润约为多少万元?
专题突破
-15-
考点1
考点2
考点3
考点4
解: (1)设 A,B 两种产品都投资 x 万元(x≥0),所获利润分别 为 f(x)万元、g(x)万元,由题意可设 f(x)=k1x,g(x)=k2√������,
专题突破
-16-
考点1
考点2
考点3
考点4
令√������=t,t∈[0,3√2], 则 y=14(-t2+8t+18) =-14(t-4)2+127. 故当 t=4 时,ymax=127=8.5, 此时 x=16,18-x=2.
所以当 A,B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时,可使该企
业获得最大利润 8.5 万元.
根据图象可解得 f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2√������(x≥0).
(2)①由(1)得 f(9)=2.25,g(9)=2√9=6,
故总利润 y=8.25(万元).
②设 B 产品投入 x 万元,A 产品投入(18-x)万元,该企业可获
总利润为 y 万元, 则 y=14(18-x)+2√������,0≤x≤18.
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第三章第九节函数模型及其应用pptx课件北师大版
1 2
x -300x+80 000,假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200
2
元.
(1)该公司二氧化碳月处理量为多少吨时,每吨的平均月处理成本最低,最
低平均成本是多少?
(2)该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少?(月收益=月收
入-月处理成本)
解 (1)设每吨的平均处理成本为t元,
由已知得
所以
t=
=
1 80 000
x+
-300,x∈[300,600].
2
1 80 000
1
80 000
t=2x+ -300≥2 2 · -300=2
1 80 000
x=
,即
2
40 000-300=100,当且仅当
x=400 时,等号成立.
故当二氧化碳月处理量为400吨时,每吨的平均月处理成本取得最低值100
益为282万元.
时,△AMN 的面积为
1
f(t)= ×2×[t-(2t-2)]=2-t;当
2
1
f(t)=2×2×[(2t-4)-(t-2)]=t-2;当
1
f(t)=2·
2t·
t=t2;当
1<t≤2
2<t≤3 时,△AMN 的面积为
3<t≤4 时,△AMN 的面积为
2 ,0 ≤ ≤ 1,
2-,1 < ≤ 2,
C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
)
答案
B
解析 由函图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0<a<1,故
x -300x+80 000,假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200
2
元.
(1)该公司二氧化碳月处理量为多少吨时,每吨的平均月处理成本最低,最
低平均成本是多少?
(2)该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少?(月收益=月收
入-月处理成本)
解 (1)设每吨的平均处理成本为t元,
由已知得
所以
t=
=
1 80 000
x+
-300,x∈[300,600].
2
1 80 000
1
80 000
t=2x+ -300≥2 2 · -300=2
1 80 000
x=
,即
2
40 000-300=100,当且仅当
x=400 时,等号成立.
故当二氧化碳月处理量为400吨时,每吨的平均月处理成本取得最低值100
益为282万元.
时,△AMN 的面积为
1
f(t)= ×2×[t-(2t-2)]=2-t;当
2
1
f(t)=2×2×[(2t-4)-(t-2)]=t-2;当
1
f(t)=2·
2t·
t=t2;当
1<t≤2
2<t≤3 时,△AMN 的面积为
3<t≤4 时,△AMN 的面积为
2 ,0 ≤ ≤ 1,
2-,1 < ≤ 2,
C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
)
答案
B
解析 由函图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0<a<1,故
函数模型及其应用PPT教学课件
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价 恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元， 写出函数P＝f(x)的表达式．
分析 根据题意，每个零件的利润随订购量的多少而 变化，所以要按订购量的范围不同，分别确定总利润 的表达式，即分段表达，建立目标函数．依据函数解 析式，对各个问题分别求解．
2年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
100 (11.2%)2,
三年后该城市人口总数为 y 100 (11.2%)3, ... x年后该城市人口总数为 y 100 (11.2%)x , (2)十年后，人口数位 100 (11.2%)10 112.（7 万人）
解 (1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－ 115>0，解得x>2.3.∵x∈N*，∴x≥3， ∴3≤x≤6，x∈N*.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115. 令[50－3(x－6)]x－115>0，有
3x2 68x 115 0 ，上述不等式的整数解为
2≤x≤20(x∈N*)，
荤菜和二蔬、菜认搭识配平；衡即膳保食持宝营塔养的平 衡
1、食物的酸碱性分类
（1）酸性食物：
食物的组成成分在人体内代 谢后生成酸性物质，使体液呈弱 酸性。这类食物在生理上称为成 酸性食物，习惯上称为酸性食物。
（如含蛋白质丰富的食物，经过人体 内消化、吸收后，最后氧化成酸，所以多 属于酸性食物。）
（2）碱性食物：
∴6<x≤20(x∈N*)
故y
3x
50x 115(3 x 2 68x 115(6
6, x N ), x 20, x N
),
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元， 写出函数P＝f(x)的表达式．
分析 根据题意，每个零件的利润随订购量的多少而 变化，所以要按订购量的范围不同，分别确定总利润 的表达式，即分段表达，建立目标函数．依据函数解 析式，对各个问题分别求解．
2年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
100 (11.2%)2,
三年后该城市人口总数为 y 100 (11.2%)3, ... x年后该城市人口总数为 y 100 (11.2%)x , (2)十年后，人口数位 100 (11.2%)10 112.（7 万人）
解 (1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－ 115>0，解得x>2.3.∵x∈N*，∴x≥3， ∴3≤x≤6，x∈N*.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115. 令[50－3(x－6)]x－115>0，有
3x2 68x 115 0 ，上述不等式的整数解为
2≤x≤20(x∈N*)，
荤菜和二蔬、菜认搭识配平；衡即膳保食持宝营塔养的平 衡
1、食物的酸碱性分类
（1）酸性食物：
食物的组成成分在人体内代 谢后生成酸性物质，使体液呈弱 酸性。这类食物在生理上称为成 酸性食物，习惯上称为酸性食物。
（如含蛋白质丰富的食物，经过人体 内消化、吸收后，最后氧化成酸，所以多 属于酸性食物。）
（2）碱性食物：
∴6<x≤20(x∈N*)
故y
3x
50x 115(3 x 2 68x 115(6
6, x N ), x 20, x N
),
函数模型及其应用几种不同增长的函数模型课件
03
工程学
在工程学中，对数增长函数可以用来描述某些物理量的变化过程。例如，
材料的疲劳寿命与应力之间的关系往往呈现出对数增长的趋势。
05
幂次增长函数模型
幂次增长函数定义与性质
定义：幂次增长函数是指形如 y = ax^m (a > 0, m ≠ 0) 的函数，其中 a 是常数，m 是实数。
性质
当 m > 0 时，函数在整个定义域内单 调递增；
性质
线性增长函数具有比例性、可加 性和可减性。即当自变量x增加或 减少一个单位时，函数值y按一定 比例增加或减少。
线性增长函数图像及特点
图像
线性增长函数的图像是一条直线， 斜率为k，截距为b。
直线性
图像是一条直线，表示函数值 随自变量变化而均匀变化。
比例性
图像上任意两点的纵坐标之差 与横坐标之差的比值相等，即 斜率k。
函数性质
包括单调性、奇偶性、周期性、连续性等。这些性质反映了函数图像的变化规律 和函数值的分布特征。
常见函数类型及图像
一次函数
形如$y=kx+b(k neq 0)$的函数。图像是 一条直线，斜率为$k$，截距为$b$。
三角函数
如正弦函数、余弦函数、正切函数等。它 们的图像分别是正弦曲线、余弦曲线和正 切曲线，具有周期性和对称性。
统计学
在统计学中，线性增长函数可用于进 行数据拟合和预测分析，如回归分析 中的线性回归模型。
03
指数增长函数模型
指数增长函数定义与性质
01
定义：指数增长函数是一种形如 y = a * b^x （其中 a ≠ 0， b > 1）的函数，表示自变量 x 的指数增长。
02
性质
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变式训练
2．如图，在平面直角坐标系中，AC平行于x轴，四边形ABCD是 边长为1的正方形，记四边形位于直线x＝t(t>0)左侧图形的面积为f(t)， 则f(t)的大致图象是( )
解析：由题意得，
t20<t≤
2， 2
f(t)＝－t－
22＋1
2 2 <t<
2
，
1t≥ 2，
故其图象为C.
答案：C
指数函数模型
＝e15n，解得t＝15，故m＝15－5＝10.
[答案] 10
反思总结 指数函数型多涉及增长率、减少率、银行利率．细胞分裂等一系 列问题，通常可以表示为y＝a·(1＋p)x的形式，利用指数运算与对数函 数图象性质去求解．
变式训练 3．某电脑公司2012年的各项经营收入中经营电脑配件的收入为 400万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要 达到1 690万元，且计划从2012年到2014年每年经营总收入的年增长率 相同，则2013年预计经营总收入为________万元．
②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g(x)max＝g(7)＝3 040(万元)．
综上，2014年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．
反思总结 分段函数模型的应用技巧 (1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时 就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函数就是分段函 数． (2)构建分段函数时，要做到分段合理，不重不漏，并要注意实际 问题中各段自变量的取值范围，特别是端点值． (3)在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得 最大值、最小值．
(2)第x个月旅游消费总额为
g(x)＝－－33xx22＋＋4400xx·136x50－x2∈xNx*∈，N且*，7≤且x1≤≤1x2≤，6，
6x3－185x2＋1 400xx∈N*，且1≤x≤6， 即g(x)＝－480x＋6 400x∈N*，且7≤x≤12. ①当1≤x≤6，且x∈N*时， g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令g′(x)＝0， 解得x＝5或x＝1940(舍去)． 当1≤x<5时，g′(x)>0， 当5<x≤6时，g′(x)<0， ∴当x＝5时，g(x)max＝g(5)＝3 125(万元)．
g(x)>f(x)>h(x)．
答案：B
4．(2014年长春外国语学校模拟)物价上涨是当前的主要话题，特 别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方 案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方 案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
＝45.6，即能获得的最大利润为 45.6 万元． 答案：B
分段函数模型
【例2】 某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和
p(x)(单位；万人)与x的关系近似地满足p(x)＝
1 2
x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，
且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是
解析：设年增长率为x，则有4400%0 ×(1＋x)2＝1 690，1＋x＝1130，因 此2013年预计经营总收入为4400%0 ×1130＝1 300万元．
答案：1300
——函数的实际应用问题 函数模型的应用有两个方面：一方面是利用已知函数模型解决问 题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解决实际 问题． 建立函数模型解应用问题的步骤如下： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择 模型； (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应 的数学模型；
C．[10,30]
D．[20,30]
[解析] 如图，过 A 作 AH⊥BC 于 H，交 DE 于 F，易知DBCE＝4x0＝AADB ＝AAFH＝A40F，则有 AF＝x，FH＝40－x，由题意知阴影部分的面积 S＝x(40 －x)≥300，解得 10≤x≤30，即 x∈[10,30]．
[答案] C
1．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆 一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x 的函数关系是( )
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000) D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 解析：y＝0.2x＋(4 000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200. 答案：D
函数的模型及其应用
[最新考纲展示] 1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长 特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函 数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函 数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的 广泛应用．
几类常见函数模型
____________________[通关方略]____________________ 应用函数模型解应用题要注意 (1)正确理解题意，选择适当的函数模型． (2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定 义域． (3)在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理 性．
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最
大？最大利润是多少？
[教你快速规范审题] 1．审条件，挖解题信息
2．审结论，明解题方向
3．建联系，找解题突破口
[教你准确规范解答] (1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元．依
题意得，
当0<x<8时，
L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－31x2＋4x－3； 分 当x≥8时，
3．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函 数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
解析：画出函数的图象，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图象位于 二次函数图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故
此时，当且仅当x＝
100 x
元． 分
x·10x0＝35－20＝15(万元)． ，即x＝10时，L(x)取得最大值15万
∵9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所 获利润最大，最大利润为15万元． 分
易漏掉固定成本
[常见失分探因]
注意判断对称轴与定义区间关系
注意回答问题作出结论
___________________[教你一个万能模板]_________________
反思总结 解决二次函数型实际应用问题时，除利用条件建立目标函数外， 还要注意自变量的取值范围，如果涉及最值问题，要注意对称轴与定 义区间的关系．
变式训练
1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别 为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在 这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
q(x)＝3165x－ 0x2∈xxN∈*，N且*，7且≤1x≤≤x1≤2.6，
(1)写出2014年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系
式：
(2)试问2014年第几个月旅游消费解析] (1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37， 当2≤x≤12，且x∈N*时， f(x)＝p(x)－p(x－1) ＝12x(x＋1)(39－2x)－12(x－1)x(41－2x) ＝－3x2＋40x， 验证x＝1也满足此式， 所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)．
2．在某种新型材料和研制中，实验人员获得了下列一组实验数 据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其 中最接近的一个是( )
A.y＝2x C．y＝21(x2－1)
B．y＝log2x D．y＝2.61cos x
解析：通过检验可知，y＝log2x较为接近． 答案：B
三种增长型函数模型的图象与性质
解析：由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的 切线斜率应逐渐增大，故选B.
答案：B
二次函数模型
【例1】 (2013年高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单 位：m)的取值范围是( )
A．[15,20]
B．[12,25]
A．45.606万元 B．45.6万元
C．45.56万元
D．45.51万元
解析：设该公司在甲地销售 x 辆，则在乙地销售(15－x)辆，利润为
L(x)＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15x－115532 ＋0.15×1252352＋30，由于 x 为整数，所以当 x＝10 时，L(x)取最大值 L(10)
【例3】 (2014年惠州模拟)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t
分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aen t．假设过5分钟后甲
桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有
a 8
升，则m＝
________. [解析] 根据题意12＝e5n，令81a＝aen t，即18＝en t，因为12＝e5n，故18
W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝
1 3
x2＋x(万元)；在年产量不小
于8万件时，W(x)＝6x＋
100 x