高中数学 2.2.2.2 椭圆方程及性质的应用 苏教版选修1-1
高中数学选修2-1课时作业16：2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)一、选择题1.已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( ) A.点(－3，－2)不在椭圆上B.点(3，－2)不在椭圆上C.点(－3,2)在椭圆上D.无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上[答案] C[解析] 由椭圆的对称性知(－3,2)必在椭圆上.2.椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23[答案] A[解析] 将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，即a ＝1，c ＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝32. 3.椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|的值为( ) A.32 B. 3 C.72D.4 [答案] C[解析] 由x 24＋y 2＝1知，F 1，F 2的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，即点P 的横坐标为x P ＝－3，代入椭圆方程得|y P |＝12，∴|PF 1|＝12. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72. 4.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C.x 2＋4y 2＝1D.x 2＋4y 2＝4或4x 2＋y 2＝16[答案] D[解析] 若焦点在x 轴上，则a ＝2.又e ＝32，∴c ＝ 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴方程为x 24＋y 2＝1， 即x 2＋4y 2＝4.若焦点在y 轴上，则b ＝2.又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14， ∴a 2＝4b 2＝16，∴方程为x 24＋y 216＝1，即4x 2＋y 2＝16. 5.椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点P 的纵坐标是( ) A.±34B.±32C.±22D.±34[答案] B[解析] 设椭圆的右焦点为F 2，由题意知PF 2⊥x 轴，因为a 2＝12，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3.所以点P 和点F 2的横坐标都为3.故将x ＝3代入椭圆方程，可得y ＝±32.故选B. 6.若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为( )A.5－12B.3－12C.32 D.5＋12 [答案] A[解析] 依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝c a，即1－e 2＝e . ∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值). 7.椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系为( ) A.有相等的长、短轴长 B .有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相同的顶点[答案] B[解析] ∵(25－k )－(9－k )＝25－9＝16，∴焦距相等.二、填空题8.若点O 和点F 分别为椭圆x 22＋y 2＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP |2＋|PF |2的最小值为________.[答案] 2[解析] 设P (x 0，y 0)，而F (－1,0)，∴|OP |2＋|PF |2＝x 20＋y 20＋(x 0＋1)2＋y 20.又y 20＝1－x 202， ∴|OP |2＋|PF |2＝x 20＋2x 0＋3＝(x 0＋1)2＋2≥2.∴|OP |2＋|PF |2的最小值为2.9.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________.[答案] x 25＋y 24＝1 [解析] ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线.∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1.设P (1，12)，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2).∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. 10.若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝________. [答案] 14或4 [解析] 方程化为x 2＋y 21m＝1，则有m >0且m ≠1. 当1m<1，即m >1时，依题意有1－1m 1＝32， 解得m ＝4，满足m >1；当1m>1，即0<m <1时，依题意有1m －11m ＝32， 解得m ＝14，满足0<m <1. 综上，m ＝14或4. 三、解答题 11.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0). 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0).如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1. 12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过点E (a 2c ，0)的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，求椭圆的离心率.解 由F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，得|EF 2||EF 1|＝|F 2B ||F 1A |＝12， 从而a 2c －c a 2c＋c ＝12，整理得a 2＝3c 2. 故离心率e ＝c a ＝33. 13.已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0).(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围. 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)， 由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0， 即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.② 由①②消去y 0，整理得 t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32.∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1).。
高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》教案
⾼中数学选修1-1《椭圆的简单⼏何性质》教案课题：椭圆的简单⼏何性质（第⼀课时）⼀、教学⽬标：1、知识与技能（1）探究椭圆的简单⼏何性质，初步学习利⽤⽅程研究曲线性质的⽅法；（2）掌握椭圆的简单⼏何性质，理解椭圆⽅程与椭圆曲线间互逆推导的逻辑关系及利⽤数形结合思想⽅法解决实际问题。
2、过程与⽅法（1）通过椭圆的⽅程研究椭圆的简单⼏何性质，使学⽣经历知识产⽣与形成的过程，培养学⽣观察、分析、逻辑推理，理性思维的能⼒。
（2）通过掌握椭圆的简单⼏何性质及应⽤过程，培养学⽣对研究⽅法的思想渗透及运⽤数形结合思想解决问题的能⼒。
3、情感、态度与价值观通过数与形的辩证统⼀，对学⽣进⾏辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学⽣对美好事物的追求。
⼆、教学重难点：1、教学重点：椭圆的简单⼏何性质及其探究过程2、教学难点：利⽤曲线⽅程研究曲线⼏何性质的基本⽅法和离⼼率定义的给出过程。
三、教学⽅法：本节课以启发式教学为主，综合运⽤演⽰法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学⽅法。
先通过多媒体动画演⽰，创设问题情境；在椭圆简单⼏何性质的教学过程中，通过多媒体演⽰，有指导的发现问题，然后进⾏讨论、探究、总结、运⽤，最后通过练习加以巩固提⾼。
四、教学过程：（⼀）创设情景,揭⽰课题多媒体展⽰：模拟“嫦娥⼀号”升空,进⼊轨道运⾏的动画. 解说：2007年10⽉24⽇，随着中国⾃主研制的第⼀个⽉球探测器——嫦娥⼀号卫星飞向太空，⾃强不息的中国航天⼈，⼜将把中华民族的崭新⾼度镌刻在太空中。
绕⽉探测，中国航天的第三个⾥程碑。
它标志着，在实现⼈造地球卫星飞⾏和载⼈航天之后，中国航天⼜向深空探测迈出了第⼀步。
“嫦娥⼀号”卫星发射后⾸先将被送⼊⼀个椭圆形地球同步轨道，这⼀轨道离地⾯最近距离为200公⾥，最远为5.1万公⾥，,⽽我们地球的半径R=6371km.根据这些条件,我们能否求出其轨迹⽅程呢?要想解决这个问题,我们就⼀起来学习“椭圆的简单⼏何性质”。
高中数学教师竞赛作品《椭圆的几何性质》教学设计 苏教版选修1-1
评价方法或工具（说明在教学过程中将用到哪些评价工具，如何评价以及目的是什么）：
1.学生的自我评价。（主要用于一些情感、态度和价值观方面的内容，因为这部分内容没 有一个标准答案，学生自己真实的感受，才能反映出情感教育的真正的价值，而不要虚伪 的情感） 2.小组同学自己的互评。（主要用于对场景教育的判断了，判断是基于史实，因而判断的 正确反映出对史实的掌握程度，而史实又是学生能够自己掌握的内容，因而小组之间的互 评，能反映出互帮互助的学习要求。） 3.教师评价。（对于一些理解实质类方面的内容，需要较强的抽象思维能力，而高二学生 还很难达到这个高度，因而需要教师进行引导。）
大胆交流、虚心学习的良好品质。 学习者特征分析（结合实际情况，从学生的学习习惯、心理特征、知识结构等方面进行描 述）：
课前先让学生复习椭圆概念以及标准方程，从而能为本节课的学习奠定基础。学生的 基础相对较好，大多数学生的动手能力较好，因此可以让学生亲自动手画图像，教师在学 生动手操作的过程中加以指导。然后让学生观察图像的特征，得出椭圆的几何性质
实践活动教学设计方案
教学目标பைடு நூலகம்析（结合课程标准说明本节课学习完成后所要达到的具体目标）： 知识目标：
通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形， 并了解椭圆的一些实际应用．
能力目标：
通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．
情感目标： 在活动过程中培养学生的数学应用意识，感受获得成功后的喜悦心情，养成积极合作、
创设情景—感知性质
辨析讨论—深化性质 思考问题—猜想结果
选修2-1教案2.2.1椭圆及其标准方程、几何性质
2.2.1圆及其标准方程教学要求：从具体情境中抽象出椭圆的模型，掌握椭圆的定义，标准方程 教学重点：椭圆的定义和标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导 教学过程：一、新课导入：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？（学生动手，观察结果）思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数. 二、讲授新课：1. 定义椭圆：把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.2.椭圆标准方程的推导：以经过椭圆两焦点12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy .设(,)M x y 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为()20c c >，那么焦点12,F F 的坐标分别为(),0c -，(),0c ，又设M 与12,F F 的距离之和等于2a ，根据椭圆的定义，则有122MF MF a +=，用两点间的距离公式代入，画简后的222221x y a a c+=-，此时引入222b ac =-要讲清楚. 即椭圆的标准方程是()222210x y a b a b+=>>. 根据对称性，若焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程是()222210x y a b b a+=>>.两个焦点坐标()()12,0,,0F c F c -.通过椭圆的定义及推导，给学生强调两个基本的等式：122MF MF a +=和222b c a +=3. 例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c ==y 轴上；⑶10,a b c +==（教师引导——学生回答） 例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程.（教师分析——学生演板——教师点评） 三、巩固练习：1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -；⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=. 2. 作业：40P 第2题.2.2椭圆及其标准方程教学要求：掌握点的轨迹的求法，坐标法的基本思想和应用. 教学重点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用. 教学难点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用. 教学过程： 一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.关于椭圆的两个基本等式. 二、讲授新课：1. 例1 设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程. 求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式. （教师引导——示范书写）2. 练习：1.点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？ （教师分析——学生演板——教师点评）2.求到定点()2,0A 与到定直线8x =的距离之比为2的动点的轨迹方程. （教师分析——学生演板——教师点评）3. 例2 在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程.（教师引导——示范书写） 4. 练习： 1.47P 第7题.2.已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程. 5.知识小结：①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式.②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程. 三、作业： 40P 第4题 精讲精练第8练.2.2椭圆的简单几何性质教学要求：根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图. 教学重点：通过几何性质求椭圆方程并画图. 教学难点：通过几何性质求椭圆方程并画图. 教学过程： 一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程. 二、讲授新课：1.范围——变量,x y 的取值范围，亦即曲线的取值范围：横坐标a x a -<<；纵坐标b x b -<<.方法：①观察图像法； ②代数方法.2.对称性——既是轴对称图形，关于x 轴对称，也关于y 轴对称；又是中心对称图形. 方法：①观察图像法； ②定义法.3.顶点：椭圆的长轴122A A a =，椭圆的短轴122B B b =，椭圆与四个对称轴的交点叫做椭圆的顶点，()()()()1212,0,,0,,0,,0A a A aB b B b --.4.离心率：刻画椭圆的扁平程度.把椭圆的焦点与长轴长的比c a 称为离心率.记ce a=. 可以理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度.5.例题例4 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长，离心率，焦点和定点坐标. 提示：将一般方程化为标准方程. （学生回答——老师书写）练习：求椭圆22416x y +=和椭圆22981x y +=的长轴和短轴长，离心率，焦点坐标，定点坐标.（学生演板——教师点评）例5 点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4l x =的距离之比是常数45，求点M 的轨迹.（教师分析——示范书写）三、课堂练习：①比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ⑵22936x y +=与221610x y +=（学生口答，并说明原因）②求适合下列条件的椭圆的标准方程.⑴经过点()(,P Q -⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点()3,0P ⑶焦距是8，离心率等于0.8 （学生演板，教师点评） ③作业：47P 第4题.。
数学选修2-1~2.2(2)椭圆的标准方程
2 2
y M
F1
0
F2
x
y b
2 2
1(a b 0)
所以：b2=1.52-1.22=0.81 因此，这个椭圆的方程为：
x
2
根据题意:2a=3, 2c=2.4,
2.25
y
2
0.81
1
示例5、将圆 x 2 y 2 4 上的点的横坐标保 持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得 的曲线的方程，并说明它是什么曲线。
x
2
依定义知,点A 的轨迹为双曲线(除去顶点)方程为：
4
y
2
12
1 （ y≠0）
请同学们思考：
1.椭圆的两个焦点分别是F1(-8，0)和F2(8，0)，且 椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此椭圆 方程是_____________。 2.△ABC中，三边a、c、b成等差数列，且a>c>b， 若A（-1，0），B（1，0），则动点C的轨迹方程 为____________。 3. 椭圆 A.5
堂小结(1) 满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
(1)平面上----这是大前提; (2)动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是 常数 2a; (3)常数 2a 要大于焦距 2c;
MF1 MF2 2 a 2 c
4
椭圆的标准方程(1)
x a
2 2
y b
2 2
2 2
×
2
y b
2 2
1( a , b 0)的焦点坐标为
2
( a b , 0)
×
9
Ex3写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
人教A版高中数学选修2-1《2.2椭圆》复习教案
1. 一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何几何性质 椭圆椭圆 双曲线双曲线 抛物线抛物线定义定义 1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹轨迹 1．到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1） 2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹. 图形图形方程 标准方程方程 12222=+b y a x (b a >>0) 12222=-by a x (a>0,b>0) y 2=2px 参数方程 为离心角）参数q q q (sin cos îíì==b y a x 为离心角）参数q q q (tan sec îíì==b y a x îíì=y pt x 22(t 为参数) 范围范围 ─a £x £a ，─b £y £b |x| ³ a，y ÎR x ³0 中心中心 原点O （0，0） 原点O （0，0） 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (a,0), (─a,0) (0,0) 对称轴x 轴，y 轴；轴； 长轴长2a,短轴长2b x 轴，y 轴; 实轴长2a, 虚轴长2b. x 轴 焦点焦点 F 1(c,0), F 2(─c,0) F 1(c,0), F 2(─c,0) )0,2(p F 焦距 2c （c=22b a -） 2c （c=22b a +）离心率 )10(<<=e a c e )1(>=e a c ee=1 准线准线x=c a 2± x=ca 2±2p x -=渐近线y=±abx 焦半径 ex a r ±= )(a ex r ±±=2px r += 通径通径a b 22 a b 22 2p 焦参数焦参数ca 2ca 2P (1))0(12222>>=+b a b y a x ,焦点:F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c=22b a -. (2))0(12222>>=+b a a y b x ,焦点:F 1(0,-c),F 2(0,c),其中以标准方程)0(12222>>=+b a by a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b;②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);③顶点A(a,0),A′(A(a,0),A′(--a,0),B(0,b),B′(0,a,0),B(0,b),B′(0,-b);-b);长轴|AA′|=2a,短轴|BB′|=2b;④离心率:e=ac,0<e<1;⑤准线x=±ca 2;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点. 二、基本训练1．设一动点P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为3，则动点P的轨迹方程是的轨迹方程是 （ ）()A 22132x y += ()B 22132x y -=()C 22(1)132x y ++=()D 22123x y +=2．与曲线)9(192522<=-+-k ky k x 之间具有的等量关系之间具有的等量关系（ ）()A 有相等的长、短轴有相等的长、短轴 ()B 有相等的焦距有相等的焦距()C 有相等的离心率有相等的离心率()D 有相同的准线有相同的准线3．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，长、短轴都坐标上，且过点(3,0)A ，则椭圆的方程是圆的方程是 ，1.椭圆的定义: 第一种定义:平面内与两个定点F 1、F 2的距离之和等于的距离之和等于常数常数(大于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线. 2.椭圆的标准椭圆的标准方程方程: c=22b a -. 3.椭圆的参数方程:îíì==q qsin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的是椭圆上任意一点的离心率离心率). 4.椭圆的几何性质:曲线192522=+y x ．4．底面．底面直径直径为12cm 的圆柱被与底面成30的平面所截，的平面所截，截口是一个椭圆，这个椭圆的长截口是一个椭圆，这个椭圆的长y xOF 1F 2P αβyO x1lF 2 F 1 A 2 A 1 PMl短轴长短轴长 221(0)x y a b a b +,+=>>，P 为椭圆上除长轴端点外的任一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，（1）若a =Ð21F PF ，21PF F b Ð=，求证：离心率2cos2cosb a ba -+=e ；（2）若q 221=ÐPF F ，求证：21PF F D 的面积为2t a n b q ×．例4设椭圆2211x y m +=+的两个焦点是12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，且椭圆上存在点P ，使得直线1PF 与直线2PF 垂直．（1）求实数m 的取值范围；（2）设l 是相应于焦点2F 的准线，直线2PF 与l 相交于点Q ，若22||23||QF PF =-，求直线2PF 的方程．程．，离心率 ．5．已知．已知椭圆椭圆22=>>的离心率为35，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向逆时针方向旋转旋转2p后，所得新椭圆的一条准线后，所得新椭圆的一条准线方程方程是163y =，则原来的椭，则原来的椭圆方程圆方程是 ；新椭圆方程是；新椭圆方程是 ． 三、例题分析 例1(05浙江) ．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的轴的交点交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭求椭圆的方程圆的方程；(Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 1上的动点，使∠F 1PF 2最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．例2设A B 是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．例3．已知椭圆22221(0)x y a b a bïîïíì³<<+)4(2)40(442b bbb ；(B) ïîïíì³<<+)2(2)20(442b bbb ；(C) 442+b ；(D) 2b2. P A 3316 ()B )32(4- ()C )32(16+ ()D 163．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为的左焦点为 F ，(,0),(0,)A a B b -为椭圆的两个顶点，若F 到AB A 777- ()B 777+ ()C 12()D 454．（05天津卷）从集合{1,2,3…，11}例5（05上海）点A 、B 分别是分别是椭圆椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ^。
高中数学选修一第2章-2.2椭圆-知识点
1高中数学选修一第2章-2.2椭圆-知识点1、椭圆：平面内到两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数2a (2a ﹥F 1F 2)的点的轨迹。
定点F 1,F 2是椭圆的焦点，F 1F 2=2c 叫做焦距。
★注意：①当a ﹥c 时，轨迹是椭圆，②当a = c 时；轨迹是线段F 1F 2；③当a ﹤c 时，轨迹不存在。
2、椭圆的标准方程及性质： 标准方程12222=+b y a x (a>b>0)12222=+b x a y (a>b>0)图形焦点在x 轴上焦点在 y 轴上性 质对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点焦点 F 1(-c,0),F 2(c,0) F 1(0,-c),F 2(0,c) 顶点 A 1(-a ，0)，A 2(a ，0)， B 1(0，-b )，B 2(0，b )。
A 1(0，-a )，A 2(0，a )，B 1(-b ，0)，B 2(b ，0)。
轴 长轴A 1A 2的长为 2a ，短轴B 1B 2的长为 2b 。
范围 x ϵ[-a,a]，y ϵ[-b,b]。
x ϵ[-b,b],y ϵ[-a,a]。
离心率 e= c/a ，（ 0<e<1 )a,b,c 的关系 a 2=c 2+b 23、求椭圆方程，一般用待定系数法，先确定焦点位置，然后再建立关于a ，b 的方程组，如果焦点位置不确定，可设为mx 2+ny 2=1,m>0, n>0,m ≠n 。
4、焦点三角形：椭圆上点P 与椭圆两焦点构成的三角形。
若∠F 1PF 2=θ，△F 1PF 2的面积S=b 2·tan(θ/2)。
5、点P(x 0,y 0)与椭圆12222=+b y a x 位置关系:①PF 1+PF 2﹤2a ⇔点在椭圆内⇔2222b y a x +﹤1；②PF 1+PF 2 = 2a ⇔点在椭圆上⇔2222b y a x + =1；③PF 1+PF 2﹥2a ⇔点在椭圆外⇔2222b y a x +﹥1。
高中数学第二章 2.2.2第2课时椭圆标准方程及性质的应用学案含解析新人教A版选修2_1
第2课时 椭圆标准方程及性质的应用内 容 标准学 科 素 养 1.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合思想． 2.了解椭圆的简单应用．3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.利用直观想象 发展逻辑推理 提高数学运算授课提示：对应学生用书第29页[基础认识]知识点一 点与椭圆的位置关系 思考并完成以下问题点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示：三种．已知点P (x 0，y 0)，圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． 点P 在圆上⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2， 点P 在圆内⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2， 点P 在圆外⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. 判断下列各点与椭圆x 24＋y 23＝1的位置关系①P 1⎝⎛⎭⎫1，32；②P 2⎝⎛⎭⎫1，34；③P 3(1,2)； ④P 4⎝⎛⎭⎫1，－23. 提示：直线x ＝1与椭圆的交点为⎝⎛⎭⎫1，±32∵－32<34<32，－32<－23<32，2>32，∴点P 1在椭圆上，P 2、P 4在椭圆内，P 3在椭圆外，如图所示． 知识梳理 点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1.知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考并完成以下问题直线与圆的位置关系是怎样判断的？ 提示：几何方法：设圆心到直线的距离为d ， 圆的半径为r .则d <r ⇔直线与圆相交． d ＝r ⇔直线与圆相切． d >r ⇔直线与圆相离．代数方法：直线方程与圆的方程联立方程组： Δ>0⇔相交， Δ＝0⇔相切， Δ<0⇔相离．我们可以比较圆心到直线的距离与圆半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系，能否比较椭圆中心到直线的距离与长轴长或短轴长的大小关系来判断直线与椭圆的位置关系？提示：不能，只能用直线方程与椭圆方程联立方程组判断其解的个数来判定． 知识梳理 (1)直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消y 得一个关于x 的一元二次方程(2)直线与椭圆相·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中x 1，x 2(y 1，y 2)是上述一元二次方程的两根．(3)弦的中点P 0(x 0，y 0)与弦所在直线的斜率k 的关系．(点差法)设弦AB 的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y22b 2＝1⇒x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b2＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即2x 0(x 1－x 2)a 2＋2y 0k (x 1－x 2)b 2＝0， 即x 0a 2＋y 0k b2＝0. [自我检测]1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上 答案：C2．直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定答案：C3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73 C.⎝⎛⎭⎫－23，13 D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 答案：C授课提示：对应学生用书第30页 探究一 直线与椭圆的位置关系的判断[教材P 49习题2.2A 组8题]已知椭圆x 24＋y 29＝1，一组平行直线的斜率是32.(1)这组直线何时与椭圆相交？(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．解析：设这组平行直线的方程为y ＝32x ＋m ，把y ＝32x ＋m 代入椭圆方程x 24＋y 29＝1，得9x 2＋6mx ＋2m 2－18＝0.这个方程根的判别式Δ＝36m 2－36(2m 2－18)．(1)由Δ>0，得－32<m <3 2.当这组直线在y 轴上的截距的取值范围是(－32，32)时，直线与椭圆相交．(2)设直线与椭圆相交得到线段AB ，并设线段AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝－m 3.因为点M 在直线y ＝32x ＋m 上，与x ＝－m3联立消去m ，得3x ＋2y ＝0.这说明点M 的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦(不包括端点)，因此这些弦的中点在一条直线上．[例1] (1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( )A ．1B ．1或2C ．2D ．0[解析] 因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)236<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点．[答案] C(2)已知椭圆C 的两焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，P 为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6.①求椭圆C 的标准方程．②若已知直线y ＝x ＋m ，当m 为何值时，直线与椭圆C 有公共点？ ③若∠F 1PF 2＝90°，求△PF 1F 2的面积．[解析] ①因为椭圆的焦点是F 1(－2，0)和F 2(2，0)，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6，所以设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，所以依题意有c ＝2，a ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝32－(2)2＝7，所以所求的椭圆方程为x 29＋y 27＝1.②由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 27＝1，y ＝x ＋m得16x 2＋18mx ＋9m 2－63＝0，由Δ＝(18m )2－4×16(9m 2－63)≥0得m 2≤16，则－4≤m ≤4， 所以当m ∈[－4,4]时，直线与椭圆C 有公共点． ③因为点P 是椭圆x 29＋y 27＝1上一点．所以|PF 1|＋|PF 2|＝6.① 又因为∠F 1PF 2＝90°， 所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝8，② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝14，所以△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1||PF 2|＝7.方法技巧 代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．跟踪探究 1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( )A.22B ．±22C.12D ．±12解析：由题意得直线y ＝kx 与椭圆的一个交点坐标为(b ，kb )，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22a 2＝b 2＋c2b 2a 2＋k 2b 2b2＝1解得k ＝±22，故选B.答案：B2．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围．解析：由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2>0， 解得k <－22或k >22， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.探究二 弦长与弦的中点问题[教材P 48练习7题]经过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB 的长．解析：由椭圆的方程知F 1(－1,0)，∴直线l 的方程y ＝tan 60°(x ＋1)＝3(x ＋1)． 与椭圆的方程联立，并消去y 得7x 2＋12x ＋4＝0. 由根与系数关系，知x A ＋x B ＝－127， x A x B ＝47，∴|AB |＝(1＋3)[(x A ＋x B )2－4x A x B ]＝4×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－1272－167＝827.[例2] 椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一条直线l 经过点F 1与椭圆交于A ，B 两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若l 的倾斜角为π4，求弦长|AB |及AB 的中点坐标．[解析] (1)因为椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，所以a ＝2，b ＝3，c ＝1.由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |， 所以△ABF 2的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝8. (2)由(1)可知，F 1(－1,0)，因为AB 的倾斜角为π4，所以AB 的斜率为1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故直线AB 的方程为y ＝x ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，整理得7y 2－6y －9＝0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝67，y 1·y 2＝－97.x 1＋x 2＝y 1＋y 2－2＝－87.由弦长公式，得|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2×⎝⎛⎭⎫672－4×⎝⎛⎭⎫－97＝247. AB 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即⎝⎛⎭⎫－47，37. 方法技巧 1.直线被椭圆截得的弦长的求解思路 (1)求两交点坐标，转化为两点间距离．(2)用公式来求．设直线斜率为k ，直线与椭圆两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k 2·|y 1－y 2|.注意：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判别式大于0的讨论．2．椭圆中点弦问题的两种解法(1)一元二次方程根与系数的关系法：利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式来构造．(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率，基本步骤如下：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，则有2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2，又k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2.因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆上，所以x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得b 2(x 21－x 22)＋a 2(y 21－y 22)＝0，即y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a 2，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0.跟踪探究 3.已知椭圆C 的焦点分别为F 1(－22，0)，F 2(22，0)，长轴长为6，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A ，B 两点．(1)求线段AB 的中点坐标； (2)求△OAB 的面积．解析：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，由题意a ＝3，c ＝22，于是b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 29＋y 2＝1，得10x 2＋36x ＋27＝0.因为该一元二次方程的Δ>0， 所以点A ，B 不同， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－185，y 1＋y 2＝(x 1＋2)＋(x 2＋2)＝25， 故线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－95，15.(2)设点O 到直线y ＝x ＋2的距离为d ， 则d ＝|0－0＋2|2＝ 2.又由(1)知x 1x 2＝2710，所以|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2⎝⎛⎭⎫－1852－4×2710＝635， 故S △AOB ＝12×2×635＝365.探究三 与椭圆有关的最值问题[阅读教材P 47例7]已知椭圆x 225＋y 29＝1，直线l ：4x －5y ＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？题型：椭圆上的点到直线距离的最值问题． 方法步骤：(1)设与l 平行的直线l ′的方程．(2)当l ′与椭圆相切时，切点就是椭圆上到直线l 最小值的点．此时距离的最小值等于l 与l ′间的距离．(3)由l ′的方程与椭圆方程联立方程组，消去y 得到关于x 的一个一元二次方程． 由Δ＝0得出l ′的方程，从而求出l 与l ′间的距离即为所求． [例3] 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m . (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x . 方法技巧 椭圆中的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解题．(2)代数法：若题目条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而确定参数的取值范围； ④利用基本不等式求出函数的取值范围； ⑤利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．跟踪探究 4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，离心率e ＝22，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4 2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A ，B 是直线l ：x ＝22上的不同两点，若AF 1→·BF 2→＝0，求|AB |的最小值．解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，S＝12·2a ·2b ＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1. (2)由(1)知，F 1，F 2的坐标分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，设直线l ：x ＝22上的不同两点A ，B 的坐标分别为A (22，y 1)，B (22，y 2)， 则AF 1→＝(－32，－y 1)，BF 2→＝(－2，－y 2)．由AF 1→·BF 2→＝0，得y 1y 2＋6＝0，即y 2＝－6y 1. 不妨设y 1>0，则|AB |＝|y 1－y 2|＝y 1＋6y 1≥26， 当y 1＝6，y 2＝－6时取等号，所以|AB |的最小值是2 6.授课提示：对应学生用书第32页[课后小结](1)直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程，利用“Δ”进行判定．求弦长时可利用根与系数的关系，中点弦问题考虑，使用“点差法”．(2)最值问题转化为函数最值或利用数形结合思想．[素养培优]1．建立目标函数求椭圆中的最值与范围问题如图，点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解析：(1)由已知可得A (－6,0)，F (4,0)，设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0.消去y 得 2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6. 由于y >0，只能x ＝32， 于是y ＝523. 故点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，523.(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0.设点M 的坐标是(m,0)，则点M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2， 于是|m ＋6|2＝|m －6|. 又－6≤m ≤6，解得m ＝2.设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎫x －922＋15. 由于－6≤x ≤6， 因此当x ＝92时，d 取最小值15. 即椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值为15.2．运用“设而不求”法研究直线和椭圆的位置关系已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.(2)设EF ：x ＝my －1(m >0)，代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，由y 1＋y 2＝－y 2＝2m m 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m m 2＋32＝1m 2＋3，∴m ＝1或m ＝－1(舍去)， 直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0.(3)记P (x ′1，y ′1)，Q (x ′2，y ′2)．将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0(*)，x ′1，x ′2是此方程的两个相异实根．设PQ 的中点为M ，则x M ＝x ′1＋x ′22＝－6k 3k 2＋1， y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1. 由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y M x M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k ， ∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.但k ＝1，k ＝13均使方程(*)没有两相异实根． ∴满足条件的k 不存在．。
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3.(2010·珠海模拟)要使直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴 上的椭圆 x 2 + y 2 = 1 总有公共点，实数a的取值范围是____.
7a
【解析】∵直线过定点（0,1），又椭圆焦点在x轴上,
∴
7>a
即1 a<7.
a 1
答案:1≤a<7
4.已知某飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭 圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200千米和 350千米，设地球半径为R千米，则此飞船轨道的离心率为 ____(结果用含R的式子表示).
一、填空题（每题4分，共24分） 1.（2010·厦门高二检测）直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦 点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为____.
【解析】直线x-2y+2=0与x轴、y轴的交点坐标分别为(-
2,0),(0,1),则c=2,b=1，
则 PF1 P=F(2- -x,3-y)·( -x,-y)=3 x2+y2-3
=x2+(1-x 2 )-3= 3 x-22,∵x∈［-2,2］,
4
4
∴当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，PF1 P有F2最小值-2;
当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时，PF1 PF有2 最大值1.
8.已知椭圆 x 2 + y 2 = 1 右焦点为F.直线l经过点F，与椭圆
2
交于点A，B，且AB=
4
2 . 求直线l的方程和△OAB的面积.
3
【解题提示】设出l的方程（考虑斜率是否存在），利用
弦长公式求参数的值.
【解析】
所以直线方程为x+y-1=0或x-y-1=0,
原点到直线的距离 d = 1 = 2 ,
22
所以S△OAB=12
AB·d=14
23
2 2 =2. 23
9.（10分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心 率为 3 , 过点M(-1,0)的直线l与椭圆交于P、Q两点.
∴a2=b2+c2=5,∴a= 5 , ∴ e= c = 2 = 2 5 .
a55
答案：2 5
5
2.设椭圆
x2 12
+
y2 9
=1
的短轴为B1B2，F1为椭圆的一个焦
点，则∠B1F1B2=____.
【解析】如图所示，
由题意B1(0,-3),B2(0,3), F1(- 03 ,),在△B2F1O中， ∴ta∠nB2B F2F 11OO==B 6F12 0O O °=,由33椭=圆3.的对称性知，∠B1F1B2=120°. 答案：120°
16 4
中点的弦所在直线方程为____.
【解析】
∴所求直线方程的斜率为 1 .
方程为y-1=
1
2
(x-2)，即x+2y-4=0.
2
答案：x+2y-4=0
二、解答题（每题8分，共16分）
7.已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a>b>0)的离心率为
3 , 短轴一个端
2
点到右焦点的距离为2.
2
（1）若直线l的斜率为1,且 PM=- 3 QM,求椭圆的标准方程；
5
（2）若（1）中椭圆的右顶点为A,直线l的倾斜角为α， 问α为何值时，AP AQ取得最大值，并求出这个最大值.
【解题提示】解答本题中的（1），（2）均可通过联立 方程组，消元得一元二次方程，利用根与系数的关系求解.
【解析】
为____.
【解析】如图所示
∵∠F1PF2=60°,
∴∠PF2F1=30°.
∵PF1= b 2 ∴, PF2=
a
2b2 .
a
∴PF1+PF2=3 b 2 2 a .
a
∴ b2 2.
a2 3
Байду номын сангаас
∴
e=c = a
1-
b2 a2
3. 3
答案： 3
3
6.椭圆E: x 2 + y 2 = 1内有一点P(2,1)，则经过P并且以P为
【解析】设飞船轨道的长半轴长，半焦距长分别为a、c，
则
a+c=R+350 a -c = R + 2 0 0
,
∴2a=2R+550,2c=150,e∴=
c
=
75
.
a R+275
答案： 7 5
R +275
5.过椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭
圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的 左、右焦点，求 PF1 PF2的最大值与最小值.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c,由题意 c = 且3 a, =2,
a2
得c= 3 ,b=1. ∴所求椭圆的标准方程为 x 2 + y 2 = 1 .
4
（2）设P（x,y),由（1）知F1（- 30, ），F2（ 03 ）, ，