§2 三角形中的几何计算
三角形中的几何计算
三角形中的几何计算【知识与技能】1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题.3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力.【重点】应用正、余弦定理解三角形.【难点】灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算. 【三角形常用面积公式】（对应教材P25页B 组第2小题） （1）S =21； （2）S =21ab sin C =21 =21； （3）S =21·r · (r 为三角形内切圆半径)；（4）2a b c S p ++⎫==⎪⎭其中(海伦公式)；（5）22sin sin sin sin sin sin b A C c A BS B C=== ; （6）4abcS R=(其中R 为三角形外接圆半径)。
类型1 三角形中的面积计算问题【例1】△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积．解：由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，∴sin B ＝AC sin C AB ＝2sin 120°23＝12.因为AB >AC ，所以C >B ，∴B ＝30°，∴A ＝30°.所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝12·23·2·sin 30°＝ 3.小结：由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算．【练习】(2013·蒙阴高二检测)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为________． 解：由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝32，即12×2AC ×32＝32，∴AC ＝1.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC ＝ 3.类型2 三角形中的长度、角度计算问题【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°, ∠BCD =135°,求BC 的长.解：在△ABD 中，由余弦定理，得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD ·cos ∠ADB ,设BD ＝x ,则有142=102+x 2-2×10x cos60°,∴x 2-10x -96=0,∴x 1=16,x 2=-6(舍去)，∴BD =16。
数学：2.2-2.3《三角形中的几何计算》与《解三角形的实际应用举例》(理)知识精讲(北师大版必修5)
高二数学第二章 第2-3节 三角形中的几何计算；解三角形的实际应用举例（理）【本讲教育信息】一、教学内容：三角形中的几何计算及实际应用举例二、教学目标（1）体会用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题。
（2）能灵活的运用正弦定理、余弦定理解决测量、航海、台风预报等有关的实际问题，体会建立三角函数模型的思想。
（3）结合正弦定理、余弦定理等体会用方程的数学思想、分论讨论的数学思想等解决实际问题。
三、知识要点分析：1. 三角形中的几何计算的有关知识点（三角形中的边和角的关系：） （i ）大角对大边：,,,A B a b B C b c C A c a >⇒>>⇒>>⇒> （ii ）正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，（R 是三角形外接圆的半径） （iii ）余弦定理：2222222222cos ,2cos ,2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-（iv ）三角形的面积S △ABC 111sin sin sin 222ABCS bc A ac B ab C pr ====4abc R = 2. 解决实际问题的有关知识点（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。
（2）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角叫方位角。
（3）解决实际问题的步骤。
（i ）理解题意分清已知与未知。
（ii ）画图建模利用正、余弦定理等知识点求解。
（iii ）作答。
3. 掌握三角形内角诱导公式及相关的结论，（i ）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（ii ）sin()sin ,cos()cos ,sincos ,cos sin 2222A B C A B CA B C A B C +++=+=-== （iii ）tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C A C++=【典型例题】考点一：三角形中的几何计算例1. 设D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，AB=AD ，βα=∠=∠ABC ,CAD 。
2三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例.
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第三章 三角函数
栏目导引
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第三章 三角函数
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1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角叫仰角，在 水平线 下方 的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为
α(如图②)．
某单位在抗雪救灾中，需要在 A、B 两地之间架设高压电线，测 量人员在相距 6 000 m 的 C、D 两地(A、B、C、D 在同一平面上)，测得 ∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)，假如考 虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是 A、B 距离的 1.2 倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：
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3．点 B 在点 A 的东偏北 60°方向距 A 为 1 km 的地方，点 C 在点 A 的北偏西 30°方向且距 A 为 2 km 的地方，则 B、C 间的距离为( )
A. 3 km
B. 5 km
C. 7 km
D. 2 km
解析： 由题意知∠BAC＝60°，AB＝1，AC＝2 ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝1＋4－2×2×1×cos 60°＝3. ∴BC＝ 3.
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第三章 三角函数
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5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标 记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽 度为________m.
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第三章 三角函数
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解析： 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求 宽度，在△ABC中，
北师大版必修5高中数学2.2三角形中的几何计算(1)导学案
高中数学 2.2三角形中的几何计算（1）导学案北师大版必修5【学习目标】 1、能够运用正弦定理、余弦定理解斜三角形。
2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
【学习重点】 1、正弦定理与余弦定理及其综合应用 2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
[A] 2 请同学们写出余弦定理及其变形形式。
（一） 学习探究 探究一 [A] 在ABC ∆中，已知14b =，30A =，120B =，求a 及ABC ∆的面积S 。
（温馨提示：先由正弦定理求出a ，再结合三角形内角和定理及三角形面积定理求出ABC ∆的面积S ） 个性笔记探究三[C] 在ABC ∆中，三边长为连续整数，最大角是最小角的两倍，求ABC ∆的三边a 、b 、c 。
（其中a b c <<）（温馨提示：,1,2,,a n b n c n n N +==+=+∈再由已知条件结合正余弦定理求出三边。
）（二） 当堂检测[ A ]1.边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）（A ）90 （B ）120 （C ）135 （D ）150[ B ]2．在△ABC 中，AB=4，AC=8，BC 边上的中线AD=3，则BC 的长是（ ）（A ）213 （B ）231 （C ）231+ （D ）213+[ B ]3.设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且1cos 3A =,,5,sin C=4B b π==则 ，ABC ∆的面积S = 。
[ B ]4.在△ABC 中，2545,10,cosC=.5B AC ==（1） 求边BC 的长.（2） 记AB 的中点为D ,求中线CD 长.教与学的反思。
§2 三角形中的几何计算
(10 分) (12 分)
栏目，c 间的关系，再利用余弦定理，是本题关键．
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第二章 解三角形
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( √ ) (2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( × ) (3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．( × )
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第二章 解三角形
在△ABC 中，若 a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC 的面积等于
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第二章 解三角形
(2)由 S△ABC＝12acsin B＝ 3，得 ac＝4. 又 b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16. 所以 a＋c＝2 5，所以△ABC 的周长为 4＋2 5.
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第二章 解三角形
解三角形综合问题的策略 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角 形面积公式、三角恒等变形等知识联系在一起，要注意选择合 适的方法、知识进行求解． (2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变形等知识综合考 查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条 件，然后要根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
2.在△ABC 中，A，B，C 是三角形的三内角， a，b，c 是三内角对应的三边，已知 b2＋c2－a2＝bc.若 a＝ 13， 且△ABC 的面积为 3 3，求 b＋c 的值． 解：cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12， 又 A 为三角形内角， 所以 A＝π3.
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第二章 解三角形
＝
1－2
5
52＝
55，sin
A＝sin(B＋∠ACB)
＝sin Bcos ∠ACB＋cos Bsin ∠ACB
几何中的三角形周长与面积计算与应用
几何中的三角形周长与面积计算与应用三角形是几何学中最基本、最常见的图形之一。
它具有简单的形状和明确的特征，使得三角形的周长与面积计算成为了几何学的基础知识之一。
在本文中，我们将探讨三角形周长与面积的计算方法以及其在实际应用中的重要性。
一、三角形周长的计算计算三角形的周长需要知道三个边长，我们可以根据三个边长之和来计算周长。
设三角形的三边分别为a、b、c，则三角形的周长P等于a+b+c。
例如，已知一个三角形的边长分别为5cm、7cm和8cm，我们可以使用上述公式计算其周长。
根据公式，周长P=5+7+8=20cm。
因此，该三角形的周长为20cm。
二、三角形面积的计算三角形的面积计算是通过三角形的底和高来完成的。
设三角形的底为b，高为h，则三角形的面积S等于底乘以高的一半，即S=1/2 * b * h。
例如，已知三角形的底为4cm，高为6cm，我们可以根据上述公式计算该三角形的面积。
根据公式，面积S=1/2 * 4 * 6=12cm²。
因此，该三角形的面积为12cm²。
三、三角形周长和面积的应用三角形周长和面积的计算方法不仅仅是在几何学中的理论知识，它们在日常生活和实际应用中也有着广泛的应用。
1. 建筑设计在建筑设计中，计算三角形的周长和面积是非常重要的。
建筑师需要准确计算出房间、墙壁或其他建筑物中的三角形的周长和面积，以确保设计符合规格要求，同时也为施工提供准确的数据。
2. 土地测量土地测量是另一个应用三角形周长和面积计算的领域。
通过确定三角形的周长和面积，测量员可以准确测算出地块的边界长度和总面积。
这对于土地分割、规划和开发至关重要。
3. 制作家具家具制造也是应用三角形周长和面积计算的领域之一。
设计师需要根据三角形的周长和面积来制定家具的尺寸和样式，以确保家具的大小和比例适合所在的空间。
4. 工程施工在工程施工中，三角形周长和面积的计算对于确定建筑物的尺寸、材料的用量以及施工进度的安排都十分重要。
【创新设计】2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：2.2 三角形中的几何计算
§2 三角形中的几何计算[学习目标] 1.会用正弦、余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题.2.培育同学分析问题、独立解决问题的力量，并激发同学的探究精神．[学问链接]在下列各小题的空白处填上正确答案：(1)设等边三角形的边长为a ，则这个三角形的面积为 ． (2)梯形的四个内角中，两角和为180°的内角有 对． (3)圆内接四边形的一组对角的和为 ．(4)设△ABC 三边的长分别为a ，b ，c ，△ABC 内切圆的半径为r ，则S △ABC ＝ . 答案 (1)34a 2 (2)2 (3)180° (4)12(a ＋b ＋c )r [预习导引]1．三角形的面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边 (1)若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2；(2)若cos A ＝cos B ，则A ＝B ； (3)若a 2>b 2＋c 2，则△ABC为钝角三角形；(4)若a 2＝b 2＋c 2，则△ABC 为直角三角形；(5)若a 2<b 2＋c 2且b 2<a 2＋c 2且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形．要点一 求平面几何图形中线段的长度例1 如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°，∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，得AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－ 2.规律方法 在平面几何中，求线段的长度往往归结为求三角形的边长，求三角形边长一般会涉及正弦、余弦定理及勾股定理，恰当地选择或构造三角形是解这类问题的关键．跟踪演练1 如图，在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．解 在△ACD 中，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝72＋32－522×7×3＝1114.∵C 为三角形的内角， ∴C ∈(0，π)， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－(1114)2＝5314.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝7×5314sin 45°＝562.要点二 实际问题向几何问题的转化例2 要测量对岸两点A 、B 之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离． 解 如图所示，在△ACD 中， ∠ACD ＝120°， ∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22 (km)．在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)．答 故A 、B 之间的距离为 5 km.规律方法 解决实际生活问题就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把一个抽象、概括的问题建立数学模型．即把实际中的距离和角的大小问题转化为三角形中的几何元素，然后运用正弦、余弦定理加以解决． 跟踪演练2 如图所示，为了测量正在海面匀速行驶的某轮船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观看点C 、D ，在某天10∶00观看到该轮船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，2分钟后该轮船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则该轮船的速度为多少千米/分钟？解 在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝60°，∴∠BDC ＝90°. ∴△CDB 为等腰直角三角形， ∴BD ＝CD ＝1，在△ACD 中，由正弦定理得：AD sin (60°＋45°)＝1sin 45°.∴AD ＝3＋12，在△ABD 中，由余弦定理得，AB 2＝12＋(3＋12)2－2×3＋12×cos 60°＝32， ∴AB ＝62，则船速为64千米/分钟．要点三 计算平面图形的面积例3 如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝θ，△BCD 是正三角形．(1)将四边形ABCD 的面积S 表示为θ的函数； (2)求S 的最大值及此时θ角的值．解 (1)△ABD 的面积S 1＝12×1×1×sin θ＝12sin θ，由于△BCD 是正三角形，则△BCD 的面积S 2＝34BD 2. 在△ABD 中，由余弦定理可知：BD 2＝12＋12－2×1×1×cos θ＝2－2cos θ， 于是四边形ABCD 的面积S ＝12sin θ＋34(2－2cos θ)，∴S ＝32＋sin(θ－π3)，0＜θ＜π. (2)由S ＝32＋sin (θ－π3)及0＜θ＜π， 得－π3＜θ－π3＜2π3.当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，S 取得最大值1＋32.规律方法 最值问题是高考的重点之一，我们要能娴熟运用三角形基础学问，正弦、余弦定理，面积公式及三角函数公式协作，通过等价转化解答这类综合问题，并留意隐含条件的挖掘．跟踪演练3 已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求圆内接四边形ABCD 的面积． 解 连接BD ，则四边形的面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°， ∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A ＝16sin A .在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2·2·4cos A ＝20－16cos A ， 在△CDB 中，BD 2＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12.∴A ＝120°.∴S ＝16sin A ＝8 3.1．若平行四边形两邻边的长分别是3和6，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是( ) A.3和 5 B ．23和2 5 C.3和15 D.5和15答案 C解析 两条对角线的长分别为(3)2＋(6)2－2×3×6×cos 45°＝3和 (3)2＋(6)2－2×3×6×cos 135°＝15.2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假如2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b等于( ) A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 3答案 B解析 ∵2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32，∴ac ＝6.∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac cos B －2ac . ∴b 2＝4b 2－63－12， ∴b 2＝23＋4，b ＝1＋ 3.3．已知AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，AC ＝1，AB ＝2，∠BAC ＝120°，求BD 的长． 解 如图，连接BC ，BC ＝22＋12－2×2×1×cos 120°＝7，在△ABC ，由正弦定理知：2sin ∠ACB ＝7sin 120°，∴sin ∠ACB ＝217.又∵∠ACD ＝90°， ∴cos ∠BCD ＝217，sin ∠BCD ＝277， 由AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，∠BAC ＝120°得∠BDC ＝60°. 由正弦定理得，BD ＝BC ·sin ∠BCDsin 60°＝7×27732＝433.1.正弦定理、余弦定理主要用来解决三角形问题，有些平面几何问题通过转化变为解三角形问题，便需要用正弦定理、余弦定理解决．解决时抓住两点：①合理的运用题目中的三角形资源，②尽量将全部的条件集中到某个三角形之中，会使问题更简洁解决．2．我们常用正弦定理、余弦定理来解决三角形问题，但在实际解决问题过程中经常遇到四边形或多边形，这时需要通过适当的帮助线将多边形分割为多个三角形，从而将问题转化为三角形的问题来解决．一、基础达标1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 答案 B解析 设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．2．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.922B.924C.928D ．9 2答案 B解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.3．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.4．如图，若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60，则这个圆的直径长度为 ．答案 65解析 由余弦定理得BD 2＝392＋522－2×39×52cos C ， BD 2＝252＋602－2×25×60cos A ∵A ＋C ＝180°，∴cos C ＝－cos A ，∵(392－252)－(602－522)＋2×39×52cos A ＋2×25×60cos A ＝0，∴cos A ＝0.∵0°<A <180°，∴A ＝90°， ∵BD 2＝392＋522＝652，∴BD ＝65.5．平行四边形ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，则AD ＝ . 答案 4 3解析 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos 45° ＝(43)2＋(46)2－2×43×46·cos 45°＝48. 从而AD ＝BC ＝4 3.6．在△ABC 中，∠ABC 的角平分线BD 交AC 边于点D .求证：BA BC ＝AD DC .证明 如图所示，在△ABD 中，利用正弦定理，得AB AD ＝sin ∠ADBsin ∠ABD .①在△CBD 中，利用正弦定理，得BC CD ＝sin ∠BDCsin ∠DBC.②∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ， 又∵∠ADB ＋∠CDB ＝180°， ∴sin ∠ADB ＝sin ∠CDB ， 由①②，得AB AD ＝BC CD ，即BA BC ＝ADDC成立. 7．已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，求证：BC 边上的中线MA ＝122b 2＋2c 2－a 2.证明 如图所示，BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，由余弦定理得 c 2＝MA 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2MA ·a 2·cos ∠AMB .在△ACM 中，由余弦定理得 b 2＝MA 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2MA ·a2·cos ∠AMC ， ∵cos ∠AMB ＋cos ∠AMC ＝0，以上两式相加，得b 2＋c 2＝2MA 2＋a 22.即MA 2＝12b 2＋12c 2－14a 2，∴MA ＝122b 2＋2c 2－a 2.二、力量提升8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为( ) A ．50 m B ．45 m C. 507 m D ．47 m答案 C解析 依题意得OD ＝100 m ，CD ＝150 m ，连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°， 因此由余弦定理有：OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ·CD cos ∠ODC ， 即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC ＝507(m)．9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 是BC 上的一点，且BD →＝3－12BC →，则AD 的长为( )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3) 答案 C解析 ∵BD →＝3－12BC →，BC ＝8，∴BD ＝4(3－1)．又∵AB sin C ＝BC sin A ，∴AB sin 45°＝BC sin 75°，∴AB ＝sin 45°sin 75°×BC ＝226＋24×8＝8(3－1)．在△ABD 中，由余弦定理得 AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B＝[8(3－1)]2＋[4(3－1)]2－2×8(3－1)×4(3－1)×cos 60°＝48(3－1)2， ∴AD ＝4(3－3)．10．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为 ． 答案27π5解析 不妨设三角形三边为a ，b ，c 且a ＝6，b ＝c ＝12， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158. 由12(a ＋b ＋c )·r ＝12bc sin A 得r ＝3155. ∴S 内切圆＝πr 2＝27π5. 11．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝7，AD ＝6，S △ACD ＝1532，求AB 的长．解 在△ACD 中，S △ACD ＝12AC ·AD sin ∠CAD ，∴sin ∠CAD ＝2S △ACD AC ·AD ＝2×15327×6＝5314，∴sin ∠CAB ＝5314.在△ABC 中，BC ＝AC sin ∠BACsin 60°＝5.且cos ∠BAC ＝1－sin 2∠BAC ＝1114， ∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB ＝25， 即25＝AB 2＋49－11AB ，(AB －8)(AB －3)＝0， ∴AB ＝8或AB ＝3. 在△ABC 中，∵sin ∠BAC ＝5314<32＝sin 60°， ∴∠BAC <60°，∴∠ACB 最大，即AB 为最大边，故AB ＝3应舍去，∴AB ＝8.12．一条直线上有三点A ，B ，C ，点C 在点A 与点B 之间，P 是此直线外一点，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β.求证：sin (α＋β)PC ＝sin αPB ＋sin βP A .证明 ∵S △ABP ＝S △APC ＋S △BPC ， ∴12P A ·PB sin(α＋β) ＝12P A ·PC sin α＋12PB ·PC sin β. 两边同除以12P A ·PB ·PC ，得sin (α＋β)PC ＝sin αPB ＋sin βP A .三、探究与创新13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b ＝27，B ＝60°，a ＋c ＝10.(1)求sin(A ＋π6)；(2)若D 为△ABC 外接圆中弦AC 所对劣弧上的一点且2AD ＝DC ，求四边形ABCD 的面积．解 (1)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝473，∵a ＋c ＝10，∴sin A ＋sin C ＝5327.∵B ＝60°，∴C ＝120°－A ，∴sin A ＋sin(120°－A )＝sin A ＋sin 120°cos A －cos 120°sin A ＝5327，于是得sin(A ＋π6)＝5714.(2)∵A ，B ，C ，D 共圆，B ＝60°，∴D ＝120°. 在△ADC 中，由余弦定理可得 cos D ＝AD 2＋DC 2－b 22AD ·DC ＝－12，解之得AD ＝2，∴S △ACD ＝12AD ·CD ·sin 120°＝23，在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－2ac －b 22ac ＝12.解之得：ac ＝24.∴S △ABC ＝12ac sin 60°＝63，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝8 3.。
三角形中的几何计算-高中数学知识点讲解
三角形中的几何计算1．三角形中的几何计算【知识点的知识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①S =12a•h a（h a 表示边a 上的高）；②S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A．③S =12r（a+b+c）（r 为内切圆半径）．（2）面积问题的解法：①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．3、几何计算最值问题：（1）常见的求函数值域的求法：1/ 2①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：①当角度在 0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且 0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且 0≤cosα≤1；正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．②当角度在 90°～180°间变化时，正弦值随着角度的增大而减小，且 0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．2/ 2。
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分析： 分析：四边形 OPDC 可以分成 ∆OPC 与 ∆PCD . S ∆OPC 可用
1 表示； OP ⋅ OC sin θ 表示； 而求 ∆PCD 的面积关键在于求出边长 2
PC， 中利用余弦定理即可求出； PC，在 ∆OPC 中利用余弦定理即可求出；至于面积最值 的获得，则可通过三角函数知识解决. 的获得，则可通过三角函数知识解决.
∴ sin(C + 30 ) = 1,∴ C + 30 = 90
,
∴ C = 60 ,故 A = 60
∴△ABC 为正三角形. ∴△ABC 为正三角形.
1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、 1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决 能够正确运用正弦定理 一些与测量以及几何计算有关的实际问题. 一些与测量以及几何计算有关的实际问题. 通过对全章知识的总结提高， 2. 通过对全章知识的总结提高，应系统深入地掌握本章 知识及典型问题的解决方法. 知识及典型问题的解决方法.
由正弦定理， 解： 由正弦定理， 2 sin B = sin A + sin C , 得
∵ B = 60 ,∴ A + C = 120 ,
代入上式， ∴ A = 120 − C 代入上式，得
2sin 60 = sin(120 − C ) + sin C
展开，整理得： 展开，整理得：
3 1 sin C + cos C = 1 2 2
余弦定理， 在 ∆ABC 中，由余弦定理，得
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB ⋅ AC cos A ,
即 x 2 = (4 2) 2 + (17 − 2 x ) 2 − 2 × 4 2 × (17 − 2 x ) cos 45 .
37 解得 x1 = 5(dm), x 2 = (dm) 3
ห้องสมุดไป่ตู้
9 同理， AB＝ 同理，在△ABD 中，AB＝5， sin ∠BAD = ， 10
∠ADB＝45° ADB＝45°
9 2 解得 BD = 2
9 2 答： BD 的长为 。 2
求解三角形中的几何计算问题时， 求解三角形中的几何计算问题时，要首先确定与未知量 之间相关联的量， 之间相关联的量，把所要求的问题转化为由已知条件可 直接求解的量上来. 直接求解的量上来.
2 2 2 解: ∵ b = a + c − 2 ac cos B
∴ 2 = 3 + c 2 − 2 3c cos 45
即 c − 6c + 1 = 0
2
解之， 解之，得 c =
6± 2 . 2
2. 在△ABC 中，若 B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC 的形状 的形状. ＝ ° ＝ ＋ ，试判断△
分析
机器人最快截住足球的地方正是机器人与足球同
时到达的地方， 时到达的地方，设为 C 点，利用速度建立 AC 与 BC 之间的 关系，再利用余弦定理便可建立方程解决问题. 关系，再利用余弦定理便可建立方程解决问题.
解
处截住足球， 设该机器人最快可在点 C 处截住足球，点 C 在线段
BC=xdm,由题意 由题意， AD 上，设 BC=xdm,由题意，CD=2xdm. AC=AD-CD=(17AC=AD-CD=(17-2x)(dm).
π 5 3 = 2sin(θ − ) + .(0 < θ < π) 3 4
π π 5π 5 3 (2)当 θ − = ，即 θ = 时, ymax = 2 + 3 2 6 4
答 四边形 OPDC 面积的最大值为 2 +
5 3 . 4
1.在△ABC 中，已知 a = 3, b = 2, B = 45 ，求边 c. 在
（ 由余弦定理， 解： 1）在 ∆OPC 中，由余弦定理，得
PC 2 = OP 2 + OC 2 − 2OP ⋅ OC cos θ = 5 − 4 cos θ , (0 < θ < π )
所以 y = S∆OPC + S∆PCD
1 3 = ×1× 2sin θ + (5 − 4 cos θ ) 2 4
AB AC = sin ∠BCA sin ∠ABC
AC sin ∠BCA 9sin 30 9 sin ∠ABC = = = . AB 5 10
BAD＝ ABC, ∵AD//BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC, AD//BC，∴∠BAD 180° 于是 sin ∠BAD = sin ∠ABC =
9 . 10
知 识 结 构 图
例1：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝5，AC＝9， 如图，在梯形ABCD中 AD//BC，AB＝ ABCD AC＝ ∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长. BCA＝30° ADB＝45° BD的长. 的长
AB＝ AC＝ BCA＝30° 解：在△ABC 中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°. 由正弦定理， 由正弦定理，得
一次机器人足球比赛中， 例 2 一次机器人足球比赛中，甲队 1 号机器人由点 A 开始作匀速 直线运动，到达点 B 时，发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速 直线运动， 作匀速直线滚动.如图所示， dm,AD=17dm， 度向点 A 作匀速直线滚动.如图所示，已知 AB=4 2 dm,AD=17dm， 则该机器人最快 ∠BAC=45°.若忽略机器人原地旋转所需的时间， BAC=45° 若忽略机器人原地旋转所需的时间， 可在何处截住足球？ 可在何处截住足球？
所以 AC = 17 − 2x = 7(dm), 或 AC = −
23 不合题意，舍去). (dm) (不合题意，舍去). 3 处截住足球. 答：该机器人最快可在线段 AD 上离点 A 7dm 的点 C 处截住足球.
如图所示， 已知⊙ 的延长线上， BC=1， 例 3 如图所示， 已知 ⊙O 的半径是 1， C 在直径 AB 的延长线上， 点 BC=1， 上半圆上的一个动点， PCD， 点 P 是⊙O 上半圆上的一个动点 ，以 PC 为边作等边三角形 PCD，且点 D 的两侧. 与圆心分别在 PC 的两侧. 的函数； (1) 若 ∠POB = θ ， 试将四边形 OPDC 的面积 y 表示成 θ 的函数； 面积的最大值. (2) 求四边形 OPDC 面积的最大值.
知足常足，终身不辱；知止常止，终身不 耻。 ——老聃
§2
三角形中的几何计算
1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解 1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、 能够正确运用正弦定理 决一些与测量以及几何计算有关的实际问题. 决一些与测量以及几何计算有关的实际问题. 通过对全章知识的总结提高， 2. 通过对全章知识的总结提高，系统深入地掌握本章 知识及典型问题的解决方法. 知识及典型问题的解决方法.