2018年全国中考数学分类汇编：圆的有关性质
圆的有关性质一.选择题1. （2018·湖北襄阳·3分）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2 C．D．2【分析】根据垂径定理得到CH=BH，=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．【解答】解：∵OA⊥BC，∴CH=BH，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB•sin∠AOB=，∴BC=2BH=2，故选：D．【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．2.（2018•江苏淮安•3分）如图，点A.B.C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）A．70° B．80° C．110°D．140°【分析】作对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．【解答】解：作对的圆周角∠APC，如图，∵∠P=∠AOC=×140°=70°∵∠P+∠B=180°，∴∠B=180°﹣70°=110°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.（2018•江苏无锡•3分）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A.D.G三点的圆O与边AB.CD分别交于点E.点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE 的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG=OG可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OG，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了矩形的性质．4.（2018•江苏苏州•3分）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠BOC=40°，∴∠AOC=180°﹣40°=140°，∴∠D=，故选：B．【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC的度数．5.（2018•山东聊城市•3分）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25° B．27.5°C．30° D．35°【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°﹣60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°故选：D．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．6.（2018•山东烟台市•3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56° B．62° C．68° D．78°【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC.∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【解答】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC=2∠IAC.∠ACB=2∠ICA，∵∠AIC=124°，∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）=180°﹣2（180°﹣∠AIC）=68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE=∠B=68°，故选：C．【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．7.（2018•山东济宁市•3分）如图，点B，C，D 在⊙O 上，若∠BCD=130°，则∠BOD 的度数是（）A．50° B．60° C．80° D．100°【解答】解：圆上取一点A，连接A B，AD，∵点A.B，C，D 在⊙O 上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，故选：D．8. （2018•遂宁•4分）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=AB=，在Rt△AOD中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即OA2=（OA﹣1）2+（）2，解得，OA=4∴OD=OC﹣CD=3，∵AO=OE，AD=DB，∴BE=2OD=6，故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．9．（2018•临安•3分如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B.C点，则BC=（）A．B．C．D．【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．【解答】解：设OA与BC相交于D点．∵AB=OA=OB=6∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD==3所以BC=6．故选：A．【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．10. （2018•贵州安顺•3分）已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】试题解析：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm.当C点位置如答1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴cm.∴CM=OC+OM=5+3=8cm.∴在Rt△AMC中，cm.当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm.∴在Rt△AMC中，cm．综上所述，AC的长为cm或cm.故选C．11. （2018·黑龙江哈尔滨·3分）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（）A．3 B．3 C．6 D．9【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．【解答】解：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∵∠P=30°，OB=3，∴AO=3，则OP=6，故BP=6﹣3=3．故选：A．【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．12.（2018•广西贵港•3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（）A．24° B．28° C．33° D．48°【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数，再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，进而可得答案．【解答】解：∵∠A=66°，∴∠COB=132°，∵CO=BO，∴∠OCB=∠OBC=（180°﹣132°）=24°，故选：A．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13. （2018•广西贵港•3分）如图，抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D 相切．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A.B坐标，由抛物线的对称性即可判定；②求得⊙D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定．【解答】解：∵在y=（x+2）（x﹣8）中，当y=0时，x=﹣2或x=8，∴点A（﹣2，0）、B（8，0），∴抛物线的对称轴为x==3，故①正确；∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）=10，即半径为5，∴⊙D的面积为25π，故②错误；在y=（x+2）（x﹣8）=x2﹣x﹣4中，当x=0时y=﹣4，∴点C（0，﹣4），当y=﹣4时，x2﹣x﹣4=﹣4，解得：x1=0、x2=6，所以点E（6，﹣4），则CE=6，∵AD=3﹣（﹣2）=5，∴AD≠CE，∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，∴点M（3，﹣），设直线CM解析式为y=kx+b，将点C（0，﹣4）、M（3，﹣）代入，得：，解得：，所以直线CM解析式为y=﹣x﹣4；设直线CD解析式为y=mx+n，将点C（0，﹣4）、D（3，0）代入，得：，解得：，所以直线CD解析式为y=x﹣4，由﹣×=﹣1知CM⊥CD于点C，∴直线CM与⊙D相切，故④正确；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，平行四边形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线的判定等．14.（2018•贵州铜仁•4分）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）A．55° B．110°C．120°D．125°【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【解答】解：根据圆周角定理，得∠ACB=（360°﹣∠AOB）=×250°=125°．故选：D．15．(2018湖南省邵阳市)（3分）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（）A．80° B．120°C．100°D．90°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．16. （2018湖南湘西州4.00分）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选：B．【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．17. （2018•遂宁•4分）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=AB=，在Rt△AOD中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即OA2=（OA﹣1）2+（）2，解得，OA=4∴OD=OC﹣CD=3，∵AO=OE，AD=DB，∴BE=2OD=6，故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．二.填空题1. （2018·湖北随州·3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B= 60 度．【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：如图，连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=20°，∴∠OAB=60°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=60°，故答案为：60．【点评】本题考查的是圆周角定理的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．2.（2018•江苏无锡•2分）如图，点A.B.C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC= 15°．【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可．【解答】解：∵OA=OB，OA=AB，∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵OC⊥OB，∴∠COB=90°，∴∠COA=90°﹣60°=30°，∴∠ABC=15°，故答案为：15°【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3.（2018•山东烟台市•3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2）．【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD═DB=DA=，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2），【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．4. （2018•杭州•4分）如图，AB是⊙的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交O于点D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DEA=________。
2018年全国中考数学试卷解析分类汇编专题30 圆的有关性质
考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质.
4．（2015•四川资阳,第8题3分）如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是
考点：动点问题的函数图象．.
分析：根据图示，分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→D运动时；（3）当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．
S△ABC= •r•（AB+BC+AC）= =21r，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2，
设CD=x，
由勾股定理得：在Rt△ABD中，
AD2=AB2﹣BD2=400﹣（7+x）2，
在Rt△ACD中，AD2=AC2﹣x2=225﹣x2，
∴400﹣（7+x）2=225﹣x2，
解得：x=9，
∴AD=12，
解答：解：（1）当点P沿O→C运动时，
当点P在点O的位置时，y=90°，
当点P在点C的位置时，
∵OA=OC，
∴y=45°，
∴y由90°逐渐减小到45°；
（2）当点P沿C→D运动时，
根据圆周角定理，可得
y≡90°÷2=45°；
（3）当点P沿D→O运动时，
当点P在点D的位置时，y=45°，
当点P在点0的位置时，y=90°，
A. B. C. D. —1
【答案】B
【解析】
试题分析：如图，等腰直角三角形ABC中，⊙D为外接圆，可知D为AB的中点，因此AD=2，AB=2AD=4，根据勾股定理可求得AC= ，根据内切圆可知四边形EFCG是正方形，AF=AD,因此EF=FC=AC－AF= －2.
2018年全国各地中考数学真题分类解析汇编：31圆的有关性质
圆的有关性质一、选择题1. （2014?珠海，第5题3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°考点：圆周角定理；垂径定理．分析：利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．解答：解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：C．点评：此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．2. （2014?广西贺州，第11题3分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（）A．B．C．D．考点：垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算．分析：连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC 的长，再根据弧长公式即可得出结论．解答：解：连接OC，∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，∴AE2+CE2=AC2，∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，∵sinA==，∴∠A=30°，∴∠COE=60°，∴=sin∠COE，即=，解得OC=，∵AE⊥CD，∴=，∴===．故选B．点评：本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．3．（2014?温州，第8题4分）如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（）。
2018年人教版中考6.1圆的有关性质-复习课件+检测试卷含真题分类汇编解析 共58页
A．点 P，M 均在圆 A 内 B．点 P，M 均在圆 A 外 C．点 P 在圆 A 内，点 M 在圆 A 外 D．点 P 在圆 A 外，点 M 在圆 A 内
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第27课时┃圆的有关性质 解析
∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
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第27课时┃圆的有关性质
考点5 圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的_弧_____ 定理
相等，所对的__弦____也相等 在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或 推论 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其 余各组量也分别相等
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3
图 26－1
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第27课时┃圆的有关性质
解 析 ∵M 是⊙O 中弦 CD 的中点，根据垂径定理的推
论，得 EM⊥CD.又 CD＝4，∴CM＝12CD＝2. 设圆的半径为 x 米，连接 OC，在 Rt△COM 中，由勾
股定理，得 OC2＝CM2＋OM2，即 x2＝22＋(6－x)2，解得 x ＝130.
数学
新课标（RJ）新课标 （RJ）
第六单元 圆 第27课时 圆的有关性质
第27课时┃圆的有关性质
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1．[九上 P89 习题 24.1 第 8 题改编] 如图 26－1 是一个隧道的 横截面，它的形状是以点 O 为圆心的圆的一部分．如果 M 是⊙O 中 弦 CD 的中点，EM 经过圆心 O 交圆 O 于点 E，并且 CD＝4 m，EM ＝6 m，则⊙O 的半径为_1_0______m.
2018年全国中考数学真题汇编：圆的有关性质
圆的有关性质一、选择题1．（2018•山东枣庄•3分）如图，AB是⊙O的直径，弦 CD交 AB于点 P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则 CD的长为（）A．B．2 C．2 D．8【分析】作 OH⊥CD于 H，连结 OC，如图，根据垂径定理由 OH⊥CD得到 HC=HD，再利用 AP=2，BP=6可计算出半径 OA=4，则 OP=OA﹣AP=2，接着在 Rt△OPH中根据含 30度的直角三角形的性质计算出 OH= OP=1，然后在 Rt△OHC中利用勾股定理计算出 CH= ，所以 CD=2CH=2 ．【解答】解：作 OH⊥CD于 H，连结 OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在 Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=60°，∴OH= OP=1，在 Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴CH= = ，∴CD=2CH=2 ．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含 30度的直角三角形的性质．2．（2018•四川凉州•3分）如图，⊙O 是△ABC的外接圆，已知∠ABO=50°，则∠ACB 的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠AOB 的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出∠ACB 的度数．【解答】解：△AOB 中，OA=OB，∠ABO=50°，∴∠AOB=180°﹣2∠ABO=80°，∴∠ACB= ∠AOB=40°，故选：A．【点评】本题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．3. （2018•山东菏泽•3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64° B．58°C．32°D．26°【考点】M5：圆周角定理；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】根据垂径定理，可得= ，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．【解答】解：如图，由 OC⊥AB，得= ，∠OEB=90°．∴∠2=∠3．∵∠2=2∠1=2×32°=64°．∴∠3=64°，在 Rt△OBE中，∠OEB=90°，∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出= ，∠OEB=90°是解题关键，又利用了圆周角定理．4. （2018•江苏盐城•3分）如图，为的直径，是的弦，，则的度数为（）A. B. C. D.7.【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：∵，∠ADC与∠B所对的弧相同，∴∠B=∠ADC=35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=55°，故答案为：C【分析】由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，则由∠CAB=90°-∠B即可求得。
2018年中考数学复习专题22 圆的有关性质
专题22 圆的有关性质☞解读考点☞2年中考【2018年题组】1．（2018梧州）如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°【答案】A．考点：圆周角定理．2．（2018河池）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD=48°，则∠BAC的大小是（ ）A ．60°B ．48°C ．30°D ．24° 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵直径AB ⊥CD ，∴BC BD ，∴∠BAC=12∠BOD=12×48°=24°．故选D ．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理． 3．（2018淮安）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠A=70°，则∠C 的度数是（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130° 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠C+∠A=180°，∴∠A=180°﹣70°=110°．故选B ．考点：圆内接四边形的性质． 4．（2018巴中）如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC=50°，则∠OAB 的度数为（ ）A ．25°B ．50°C ．60°D ．30° 【答案】A ．考点：1．圆周角定理；2．平行线的性质．5．（2018凉山州）如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（）A．80°B．100°C．110°D．130°【答案】D．【解析】试题分析：连接OC，如图所示，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=100°，∵∠1+∠BOC=360°，∴∠1=260°，∵∠A=12∠1，∴∠A=130°．故选D．考点：圆周角定理．6．（2018遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】B．【解析】试题分析：连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=12AB=12×6=3cm，∵⊙O的半径为5cm，∴=4cm，故选B．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．7．（2018襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°【答案】C．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．圆周角定理；3．分类讨论．8．（2018白银）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°【答案】D．【解析】试题分析：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=12∠AOC=12×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．考点：圆周角定理．9．（2018兰州）如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定【答案】B．考点：1．圆周角定理；2．坐标与图形性质．10．（2018甘南州）⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）A B．C D．【答案】C．【解析】试题分析：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB，∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3，∴OD=AD﹣OA=2，Rt△OBD中，根据勾股定理，得：．故选C．考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．等腰直角三角形．=，∠AOB=50°，则∠ADC的度数是（）11．（2018莆田）如图，在⊙O中，AB ACA．50°B．40°C．30°D．25°【答案】D．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．12．（2018龙东）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C．考点：1．圆周角定理；2．含30度角的直角三角形；3．垂径定理；4．分类讨论．13．（2018南通）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC 于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为（）A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2【答案】B．【解析】试题分析：如图1，连接BD、CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴，∵弦AD平分∠BAC，∴，∴∠CBD=∠DAB，在△ABD和△BED中，∵∠BAD=∠EBD，∠ADB=∠BDE，∴△ABD∽△BED，∴DE DBDB AD==DE=115，∴AE=AB﹣DE=5﹣115=2.8．故选B．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．综合题．14．（2018扬州）如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（）A．①②B．②③C．①②③D．①③【答案】D．考点：1．锐角三角函数的增减性；2．圆周角定理．15．（2018南宁）如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．圆周角定理；3．综合题． 16．（2018雅安）如图所示，MN 是⊙O 的直径，作AB ⊥MN ，垂足为点D ，连接AM ，AN ，点C 为AN 上一点，且AC AM =，连接CM ，交AB 于点E ，交AN 于点F ，现给出以下结论：①AD=BD ；②∠MAN=90°；③AM BM =；④∠ACM+∠ANM=∠MOB ；⑤AE=12MF ．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵MN 是⊙O 的直径，AB ⊥MN ，∴AD=BD ，AM BM =，∠MAN=90°，故①②③正确；∵AC AM =，∴AC AM BM ==，∴∠ACM+∠ANM=∠MOB ，故④正确；∵∠MAE=∠AME ，∴AE=ME ，∠EAF=∠AFM ，∴AE=EF ，∴AE=12MF ，故⑤正确．正确的结论共5个．故选D ．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理；3．压轴题．17．（2018南通）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD= cm．【答案】8．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．18．（2018甘孜州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为度．【答案】30．【解析】试题分析：连接OC，∵弦CD垂直平分半径OA，∴OE=12OC，∴∠OCD=30°，∠AOC=60°，∴∠ABC=30°．故答案为：30．考点：1．垂径定理；2．含30度角的直角三角形；3．圆周角定理．19．（2018兰州）已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是．【答案】30°或150°．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．等边三角形的判定与性质；3．圆周角定理；4．分类讨论．20．（2018天水）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为．【答案】1 2．【解析】试题分析：由图可得，∠AED=∠ABC，∵⊙O在边长为1的网格格点上，∴AB=2，AC=1，则tan∠ABC=ACAB=12，∴tan∠AED=12．故答案为：12．考点：1．圆周角定理；2．锐角三角函数的定义；3．网格型．21．（2018漳州）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为．【答案】61°．考点：圆周角定理．22．（2018长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC于点D，则OD的长为．【答案】4．【解析】试题分析：∵OD⊥BC，∴BD=CD=12BC=3，∵OB=12AB=5，∴．故答案为：4．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．23．（2018曲靖）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD= ．【答案】1 3．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．24．（2018包头）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=14，则线段AC的长为．【答案】2．【解析】试题分析：连结CD，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B，∴sinD=sinB=1 4，在Rt△ACD中，∵sinD=ACAD=14，∴AC=14AD=14×8=2．故答案为：2．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．25．（2018山西省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为BD的中点．若∠A=40°，则∠B= 度．【答案】70°．考点：1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系．26．（2018陕西省）如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是．【答案】．【解析】试题分析：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=12AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，∴AD=，∴MN=12AD=考点：1．三角形中位线定理；2．等腰直角三角形；3．圆周角定理；4．最值问题．27．（2018青海省）如图，点O为BC所在圆的圆心，∠BOC=112°，点D在BA的延长线上，AD=AC，则∠D= ．【答案】28°．考点：1．圆周角定理；2．等腰三角形的性质．28．（2018常州）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C 为弧BD的中点，则AC的长是．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．圆心角、弧、弦的关系；4．圆周角定理；5．综合题；6．压轴题．29．（2018百色）已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC 于F．①求证：OD⊥BC；②求EF的长．【答案】（1）作图见试题解析；（2（2）①如图2，∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC=∠BAD ，∴CD BD =， ∵OD 过圆心，∴OD ⊥CB ；②∵AB 为直径，∴∠C=90°，∵OD ⊥CB ，∴∠OFB=90°，∴AC ∥OD ，∴OF OBAC AB =，，即5410OF =，∴OF=2，∵FD=5﹣2=3，在RT △OFB 中，，∵OD ⊥BC ，∴CF=BF=，∵AC ∥OD ，∴△EFD ∽△ECA ，∴34EF FD CE AC ==，∴37EF CF =，∴EF=37CF=37考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周角定理；5．作图—复杂作图；6．压轴题． 30．（2018南京）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ，且DC=DE ． （1）求证：∠A=∠AEB ；（2）连接OE ，交CD 于点F ，OE ⊥CD ，求证：△ABE 是等边三角形．【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．考点：1．圆内接四边形的性质；2．等边三角形的判定与性质；3．圆周角定理；4．综合题．31．（2018凉山州）如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC 交⊙O于D、C两点．（1）求证：PA•PB=PD•PC；（2）若PA=454，AB=194，PD=DC+2，求点O到PC的距离．【答案】（1）证明见试题解析；（2）3．【解析】试题分析：（1）先连接AD，BC，由圆内接四边形的性质可知∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，故可得出△PAD∽△PCB，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（2）由PA•PB=PD•PC，求出CD，根据垂径定理可得点O到PC的距离．试题解析：（1）连接AD，BC，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，∴△PAD∽△PCB，∴PA PDPC PB，∴PA•PB=PC•PD；（2）连接OD，作OE⊥DC，垂足为E，∵PA=454，AB=194，PD=DC+2，∴PB=16，PC=2DC+2，∵PA•PB=PD•PC，∴454×16=（DC+2，第1题，2DC+2），解得：DC=8或DC=﹣11（舍去），∴DE=4，∵OD=5，∴OE=3，即点O到PC的距离为3．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．圆周角定理；3．综合题．32．（2018安徽省）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q 在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．【答案】（1；（2．（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP=12OB=32，∴PQ．考点：1．圆周角定理；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．最值问题；5．压轴题．33．（2018镇江）【发现】如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）【思考】如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？请证明点D也不在⊙O内．【应用】利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图④），求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；（2）如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=25，AD=1，求DG的长．【答案】【思考】证明见试题解析；【应用】（1）证明见试题解析；（2．【应用】（1）如图2，取CD的中点O，则点O是RT△ACD的外心，∵∠CAD=∠DEC=90°，∴点E在⊙O上，∴∠ACD=∠AED，∵∠FDA=∠AED，∴∠ACD=∠FDA，∵∠DAC=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°，∴∠FDA+∠ADC=90°，∴OD⊥DF，∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线；（2）∵∠BGE=∠BAC，∴点G在过C、A、E三点的圆上，如图3，又∵过C、A、E三点的圆是RT△ACD的外接圆，即⊙O，∴点G在⊙O上，∵CD是直径，∴∠DGC=90°，∵AD∥BC，∴∠ADG=90°，∵∠DAC=90°，∴四边形ACGD是矩形，∴DG=AC，∵sin∠AED=25，∠ACD=∠AED，∴sin∠ACD=25，在RT△ACD中，AD=1，∴ADCD=25，∴CD=52，∴，∴．考点：1．切线的判定；2．圆周角定理；3．圆的综合题；4．压轴题．【2018年题组】1．（2018·四川省乐山市）在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径OA的值（）A． 3或5 B． 5 C．4或5 D． 4【答案】A．考点：1．垂径定理；2．等腰三角形的性质；3．勾股定理；4．解直角三角形．2．（2018·嘉兴）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C．考点：1．勾股定理；2．垂径定理．3．（2018·凉山）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．B．C．或 D.5或【答案】C．【解析】试题分析：根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=12AB=12×8=4cm，OD=OC=5cm．当C点位置如答图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM3==cm．∴CM=OC+OM=5+3=8cm．∴在Rt△AMC中，AC==．当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm．∴在Rt△AMC中，AC===cm．综上所述，AC的长为或．故选C．考点：1．垂径定理；2．勾股定理；3．分类思想的应用．4．（2018·呼和浩特）已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A． B．D【答案】C．5．（2018·张家界）如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN 于E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，，则PA+PC的最小值为．【答案】考点：1．轴对称的应用（最短路线问题）；2．勾股定理；3．垂径定理．6．（2018·黑龙江省大庆市）在半径为2的圆中，弦AC长为1，M为AC中点，过M点最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为．【答案】2．【解析】试题分析：如图．∵M为AC中点，过M点最长的弦为BD，∴BD是直径，BD=4，且AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积=12AC•BD=12×1×4=2．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．7．（2018·湖南省湘西州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=6cm，则OE=cm．【答案】4．【解析】试题分析：∵CD⊥AB，∴CE=12CD=12×6=3cm，∵在Rt△OCE中，4==cm．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．8．（2018·湖南常德市）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，则圆心O 到弦CD的距离为．【答案】3．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．9．（2018·湖南长沙市）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB=度．【答案】50．【解析】试题分析：∠ACB=12∠AOB=12×100°=50°．考点：圆周角定理．10．（2018·牡丹江）⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．【答案】1或3．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．☞考点归纳归纳1：垂径定理及其推论基础知识归纳：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．基本方法归纳：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．注意问题归纳：这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【例1】如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．归纳2：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理基础知识归纳：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．基本方法归纳：正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．注意问题归纳：这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．【例2】如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）A． 30°B． 40°C． 50°D． 80°【答案】B．考点：圆心角、弧、弦的关系．归纳3：圆周角定理基础知识归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．基本方法归纳：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．注意问题归纳：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．【例3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠BOC=（）A．25°B．50° C.130° D.155°【答案】C．【解析】试题分析：∵CD⊥AB，∠DAB=65°，∴∠ADC=90°-∠DAB=25°．∴∠AOC=2∠ADC=50°．∴∠BOC=180°-∠AOC=130°．故选C．考点：圆周角定理．☞1年模拟1．（2019届湖北省宜昌市调研考试）如图，用直角三角板经过两次画图找到圆形工件的圆心，这种方法应用的道理是（）A．垂径定理B．勾股定理C．直径所对的圆周角是直角D．900的圆周角所对的弦是直径【答案】D．考点：圆周角定理． 2．（2019届浙江省宁波市联考）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，已知∠ABC=130°，则∠AOC=（ ）OCABA ．100°B ．110°C ．120°D ．130° 【答案】A ． 【解析】试题分析：在优弧AC 上取点D ，连接AD ，CD ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∠ABC=130°，∴∠D=180°-10°=50°．∵∠D 与∠AOC 是同弧所对的圆周角与圆心角，∴∠AOC=2∠D=100°．故选A ．考点：圆周角定理． 3．（2019届江苏省盐城东台一模）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为（ ） A ．22 B ．24 C ．510 D ．312 【答案】B ．考点：1．垂径定理；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．勾股定理．4．（2019届湖北省武汉市联考）如图，AB 是⊙O 的直径且AB=，点C 是OA 的中点，过点C[，作CD ⊥AB 交⊙O 于D 点，点E 是⊙O 上一点，连接DE ，AE 交DC 的延长线于点F ，则AE·AF 的值为（ ）．AA ．B ．12C ．D ．【答案】B ．考点：相似三角形的判定和性质；圆周角定理． 5．（2019届陕西省西安市一模）如图，已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，连结OC 、AD ，∠OCD=32°，则∠A=（ ）A ．32 B ．29 C ．58 D ．45【答案】B ． 【解析】试题分析：连接OD ，由题意，∠COB=90°-32°=58°，由垂径定理知∠COB=∠DOB ，所以∠A=29°．故选B ．考点：1．圆周角定理；2．垂径定理．6．（2019届山西农业大学附属中校级模拟）如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连结AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为（）A、35°B、45°C、55°D、65°【答案】C．考点：圆周角的性质，直角三角形．7．（2019届山西农业大学附属中校级模拟）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）A、8B、4C、10D、5【答案】D．【解析】试题分析：连接OA，即可证得△OAM是直角三角形，根据垂径定理即可求得AM=4，根OA==5．据勾股定理即可求得OA的长考点：垂径定理，勾股定理．8．（2019届广东省黄冈中学校级模拟）如图PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，若∠P=40°，∠ABP=____________°．【答案】70°．考点：切线的性质．9．（2019届江西省南昌市校级模拟）在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值是cm．【答案】8．【解析】试题分析：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，，∴，∵，AB为直径，∴C′D为直径，∴CM+DM的最小值是8cm．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．勾股定理；3．垂径定理．。
5.9圆的有关性质(第4部分)-2018年中考数学试题分类汇编(word解析版)
第五部分图形的性质5.9 圆的有关性质【一】知识点清单圆的有关性质圆的认识；垂径定理及其推论；垂径定理的应用；圆的对称性；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理及其推论；圆内接四边形的性质【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年湖南省张家界市-第6题-3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm【知识考点】勾股定理；垂径定理．【思路分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．【解答过程】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，∴CE=CD=4cm．在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，∴OE==3cm，∴AE=AO+OE=5+3=8cm．故选：A．【总结归纳】本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键．2．（2018年江苏省盐城市-第7题-3分）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【知识考点】圆周角定理．【思路分析】根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC=35°，∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答过程】解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°，故选：C．【总结归纳】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半和半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．二、填空题1．（2018年湖北省随州市-第12题-3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=度．【知识考点】圆周角定理．【思路分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的性质解答即可．【解答过程】解：如图，连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=20°，∴∠OAB=60°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=60°，故答案为：60．【总结归纳】本题考查的是圆周角定理的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．2．（2018年湖北省孝感市-第14题-3分）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．【知识考点】垂径定理；勾股定理．【思路分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答过程】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF﹣OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．【总结归纳】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．3．（2018年江苏省南通市-第15题-3分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为．【知识考点】圆周角定理；三角形中位线定理；垂径定理．【思路分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．【解答过程】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．故答案为2．【总结归纳】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．请回答：该尺规作图的依据是．【知识考点】作图—复杂作图．【思路分析】连接OD、CD．只要证明△ODC是等边三角形即可解决问题；【解答过程】解：连接OD、CD．由作图可知：OD=OC=CD，∴△ODC是等边三角形，∴∠DCO=60°，∵AC是⊙O直径，∴∠ADC=90°，∴∠DAB=90°﹣60°=30°．∴作图的依据是：直径所对的圆周角的直角，等边三角形的时故内角为60°，直角三角形两锐角互余等，故答案为直径所对的圆周角的直角，等边三角形的时故内角为60°，直角三角形两锐角互余等．【总结归纳】本题考查作图﹣复杂作图，圆的有关性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题。
【2018中考数学真题+分类汇编】二期30圆的有关性质试题含解析3115【2018数学中考真题分项汇编系列】
圆的有关性质一.选择题1. （2018·湖北襄阳·3分）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2 C．D．2【分析】根据垂径定理得到CH=BH，=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．【解答】解：∵OA⊥BC，∴CH=BH，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB•sin∠AOB=，∴BC=2BH=2，故选：D．【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．2.（2018•江苏淮安•3分）如图，点A.B.C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）A．70° B．80° C．110°D．140°【分析】作对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．【解答】解：作对的圆周角∠APC，如图，∵∠P=∠AOC=×140°=70°∵∠P+∠B=180°，∴∠B=180°﹣70°=110°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.（2018•江苏无锡•3分）如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A.D.G三点的圆O与边AB.CD分别交于点E.点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE 的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG=DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG=OG可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心．【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG=DG，∴GH垂直平分AD，∴点O在HG上，∵AD∥BC，∴HG⊥BC，∴BC与圆O相切；∵OG=OG，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∴（1）错误，（2）（3）正确．故选：C．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了矩形的性质．4.（2018•江苏苏州•3分）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠BOC=40°，∴∠AOC=180°﹣40°=140°，∴∠D=，故选：B．【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC的度数．5.（2018•山东聊城市•3分）如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25° B．27.5°C．30° D．35°【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°﹣60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°故选：D．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．6.（2018•山东烟台市•3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56° B．62° C．68° D．78°【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC.∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【解答】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC=2∠IAC.∠ACB=2∠ICA，∵∠AIC=124°，∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）=180°﹣2（180°﹣∠AIC）=68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE=∠B=68°，故选：C．【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．7.（2018•山东济宁市•3分）如图，点B，C，D 在⊙O 上，若∠BCD=130°，则∠BOD 的度数是（）A．50° B．60° C．80° D．100°【解答】解：圆上取一点A，连接A B，AD，∵点A.B，C，D 在⊙O 上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，故选：D．8. （2018•遂宁•4分）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=AB=，在Rt△AOD中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即OA2=（OA﹣1）2+（）2，解得，OA=4∴OD=OC﹣CD=3，∵AO=OE，AD=DB，∴BE=2OD=6，故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．9．（2018•临安•3分如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B.C点，则BC=（）A．B．C．D．【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．【解答】解：设OA与BC相交于D点．∵AB=OA=OB=6∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD==3所以BC=6．故选：A．【点评】本题的关键是利用垂径定理和勾股定理．10. （2018•贵州安顺•3分）已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】试题解析：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm.当C点位置如答1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴cm.∴CM=OC+OM=5+3=8cm.∴在Rt△AMC中，cm.当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm.∴在Rt△AMC中，cm．综上所述，AC的长为cm或cm.故选C．11. （2018·黑龙江哈尔滨·3分）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（）A．3 B．3 C．6 D．9【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．【解答】解：连接OA，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∵∠P=30°，OB=3，∴AO=3，则OP=6，故BP=6﹣3=3．故选：A．【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．12.（2018•广西贵港•3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（）A．24° B．28° C．33° D．48°【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数，再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，进而可得答案．【解答】解：∵∠A=66°，∴∠COB=132°，∵CO=BO，∴∠OCB=∠OBC=（180°﹣132°）=24°，故选：A．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13. （2018•广西贵港•3分）如图，抛物线y=（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，以AB为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；②⊙D的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED为平行四边形；④直线CM与⊙D 相切．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x轴的交点A.B坐标，由抛物线的对称性即可判定；②求得⊙D的直径AB的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，③过点C作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定；④求得直线CM、直线CD的解析式通过它们的斜率进行判定．【解答】解：∵在y=（x+2）（x﹣8）中，当y=0时，x=﹣2或x=8，∴点A（﹣2，0）、B（8，0），∴抛物线的对称轴为x==3，故①正确；∵⊙D的直径为8﹣（﹣2）=10，即半径为5，∴⊙D的面积为25π，故②错误；在y=（x+2）（x﹣8）=x2﹣x﹣4中，当x=0时y=﹣4，∴点C（0，﹣4），当y=﹣4时，x2﹣x﹣4=﹣4，解得：x1=0、x2=6，所以点E（6，﹣4），则CE=6，∵AD=3﹣（﹣2）=5，∴AD≠CE，∴四边形ACED不是平行四边形，故③错误；∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，∴点M（3，﹣），设直线CM解析式为y=kx+b，将点C（0，﹣4）、M（3，﹣）代入，得：，解得：，所以直线CM解析式为y=﹣x﹣4；设直线CD解析式为y=mx+n，将点C（0，﹣4）、D（3，0）代入，得：，解得：，所以直线CD解析式为y=x﹣4，由﹣×=﹣1知CM⊥CD于点C，∴直线CM与⊙D相切，故④正确；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是掌握抛物线的顶点坐标的求法和对称轴，平行四边形的判定，点是在圆上还是在圆外的判定，切线的判定等．14.（2018•贵州铜仁•4分）如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）A．55° B．110°C．120°D．125°【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【解答】解：根据圆周角定理，得∠ACB=（360°﹣∠AOB）=×250°=125°．故选：D．15．(2018湖南省邵阳市)（3分）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（）A．80° B．120°C．100°D．90°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．16. （2018湖南湘西州4.00分）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，∴直线和圆相切．故选：B．【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．17. （2018•遂宁•4分）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=AB=，在Rt△AOD中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即OA2=（OA﹣1）2+（）2，解得，OA=4∴OD=OC﹣CD=3，∵AO=OE，AD=DB，∴BE=2OD=6，故选：B．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．二.填空题1. （2018·湖北随州·3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B= 60 度．【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：如图，连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=20°，∴∠OAB=60°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=60°，故答案为：60．【点评】本题考查的是圆周角定理的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．2.（2018•江苏无锡•2分）如图，点A.B.C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC= 15°．【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可．【解答】解：∵OA=OB，OA=AB，∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵OC⊥OB，∴∠COB=90°，∴∠COA=90°﹣60°=30°，∴∠A BC=15°，故答案为：15°【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．3.（2018•山东烟台市•3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2）．【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD═DB=DA=，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2），【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．4. （2018•杭州•4分）如图，AB是⊙的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交O于点D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DEA=________。
【中考数学】2018最新人教版数学复习第6章圆第21讲圆的有关性质课件
拓展►等弧只存在于同圆或者等圆中，是指能够完全重合的弧， 而不是弧长相等或者所对圆心角相等的弧．
典型例题运用 类型1 垂径定理
【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6 分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8 分米，圆柱形油槽直径MN为( C ) A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧⑦ 相等
过圆心、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的劣弧、 推论3 平分弦所对的优弧，若一条直线具备这五项中任意 两项，则必具备另外三项
考点2 圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的① 弧 相 等，所对的② 弦 相等 在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条 推论 弦中有③ 一组量 相等，那么它们所对应的其余 各组量也分别相等 定理
6．[2014·潍坊，6,3分]如图，▱ABCD的顶点A，B，D在⊙O 上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E＝36°，则 ∠ADC的度数是( B ) A．44° B．54° C．72° D．53°
B ∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°.∴∠ABC＝90°－ ∠AEB＝54°.∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠ADC＝ ∠ABC＝54°.
(2)如图，过点D作DK⊥AO于点K. ∵由(1)知，AO⊥BC，OB＝OC，BC＝6，
六年真题全练 命题点1 垂径定理 通过近几年潍坊市中考试题可以看出，垂径定理的考查不是命 题的重点，一般情况下不单独命题，试题难度不大，经常与勾 股定理结合命题． 1．[2017·潍坊，10,3分]链接第21讲六年真题全练第4题． 2．[2016·潍坊，9,3分]链接第22讲六年真题全练第1题．
类型2 圆周角定理及其推论 【例2】[2017·台州中考]如图，已知等腰Rt△ABC，点P是斜边BC 上一点(不与B，C重合)，PE是△ABP的外接圆⊙O的直径． (1)求证：△APE是等腰直角三角形； (2)若⊙O的直径为2，求PC2＋PB2的值． 【思路分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得出 ∠C＝∠ABC＝∠PEA＝45°，再由PE是⊙O的直径， 得出∠PAE＝90°，∠PEA＝∠APE＝45°，从而证 得△APE是等腰直角三角形；(2)根据题意可知， AC＝AB，AP＝AE，再证△CPA≌△BEA，得出CP＝ BE，依勾股定理即可得PC2＋PB2的值．
全国2018年中考数学真题分类汇编 第22讲 圆的基本性质
（分类）第22讲 圆的基本性质知识点1 圆的有关概念及性质 知识点2 垂径定理及其推论 知识点3 圆心角、弧、弦之间的关系知识点4 圆周角定理及推论 知识点5 圆内接四边形的性质知识点1 圆的有关概念及性质 知识点2 垂径定理及其推论（2018襄阳）如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上，若OA ⊥BC ， ∠CDA =30°，则弦BC 的长为( D )A ．4B ．．（2018枣庄）8．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，6,2==BP AP ，030=∠APC ，则CD 的长为（ C ）A ．15B ．52C ．152D ．8（2018衢州）如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，若BD=8cm ，AE=2cm ，则OF 的长度是（ D ）A ．3cmB cmC ．2.5cm D（2018广州）7.如图4，AB 是圆O 的弦，OC ⊥AB,交圆O 于点C ，连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°，则∠AOB 的度数是（ D ）A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°（2018威海）10.如图，O ☉的半径为5，AB 为弦，点C 为AB 的中点，若30ABC =∠°，则弦AB 的长为( D )A.12B.5 D.（2018•自贡）如图，若△ABC 内接于半径为R 的⊙O ，且∠A=60°，连接OB 、OC ，则边BC 的长为（ D ）A ．B ．C ．D ．（2018武汉）10．如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ⌒ 上，将弧BC ⌒ 沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是（ D ） A ．32B ．23C ．235 D ．265（2018安顺）9.已知O 的直径10CD cm =，AB 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，且8AB cm =，则AC的长为（ C ）A ．B ．C ．或D ．或（2018遂宁）如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径OC 垂直于弦AB 于D ，连接BE ，若，则BE 的长是（B ）A 、5B 、6C 、7D 、8（2018张家界）6.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,cm CD cm OC 8,5==,则=AE ( A ) A cm 8 B cm 5 C cm 3 D cm 2（2018毕节）19.如图,AB 是⊙O 的直径,C 、D 为半圆的三等分点,CE ⊥AB 于点E,∠ACE 的度数为__30°____.（2018龙东地区）答案5（2018玉林）（2018嘉兴）14.如图,量角器的O 度刻度线为AB .将一矩形直尺与量角器部分重叠、使直尺一边与量角器相切于点C ,直尺另一边交量角器于点D A ,，量得cm AD 10=,点D 在量角器上的读数为︒60.则该直尺的宽度为（2018绍兴、义乌）13.如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A ，B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB =∠°，从A 到B 只有路AB ，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB .通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了_______15_____步(假设1步为0.5米，结果保留整数).(1.732，π取3.142)（2018宜宾）15.如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E 且DE 交AC 于点F ,DB 交AC 于点G ，若EF AE =34, 则CGGB =5（2018孝感）答案：2或14（2018·金华/丽水）.如图1是小明制作的一副弓箭, 点A ，D 分别是弓臂BAC 与弓弦BC 的中点，弓弦BC =60cm.E O沿AD 方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长.如图2，当弓箭从自然状态的点D 拉到点D 1时，有AD 1=30cm, ∠B 1D 1C 1=120°.（1）图2中，弓臂两端B 1，C 1（2）如图3，将弓箭继续拉到点D 2，使弓臂B 2AC 2为半圆，则D 1D 2的长为 10-510 cm.【解答】（1）如图2，连结B 1C 1 ， B 1C 1与AD 1相交于点E ，∵D 1是弓弦B 1C 1的中点， ∴AD 1=B 1D 1=C 1D 1=30cm ，由三点确定一个圆可知，D 1是弓臂B 1AC 1的圆心， ∵点A 是弓臂B 1AC 1的中点， ∴∠B 1D 1D=，B 1E=C 1E ，AD 1⊥B 1C 1 ，在Rt△B 1D 1E 中，B 1E= cm ，则 B 1C 1=2B 1E=30 cm 。
5.9圆的有关性质(第1部分)-2018年中考数学试题分类汇编(word解析版)
第五部分图形的性质5.9 圆的有关性质【一】知识点清单1、圆的有关性质圆的认识；垂径定理及其推论；垂径定理的应用；圆的对称性；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理及其推论；圆内接四边形的性质【二】分类试题及参考答案与解析一、选择题1．（2018年陕西-第9题-3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）A．15°B．35°C．25°D．45°【知识考点】圆周角定理．【思路分析】根据等腰三角形性质知∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°，由平行线的性质及圆周角定理得∠ABD=∠ACD=∠A=50°，从而得出答案．【解答过程】解：∵AB=AC、∠BCA=65°，∴∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°，∵CD∥AB，∴∠ACD=∠A=50°，又∵∠ABD=∠ACD=50°，∴∠DBC=∠CBA﹣∠ABD=15°，故选：A．【总结归纳】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质．2．（2018年陕西-第9题-3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）A．15°B．35°C．25°D．45°【知识考点】圆周角定理．【思路分析】根据等腰三角形性质知∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°，由平行线的性质及圆周角定理得∠ABD=∠ACD=∠A=50°，从而得出答案．【解答过程】解：∵AB=AC、∠BCA=65°，∴∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°，∵CD∥AB，∴∠ACD=∠A=50°，又∵∠ABD=∠ACD=50°，∴∠DBC=∠CBA﹣∠ABD=15°，故选：A．【总结归纳】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质．二、填空题，∠CAD=30°，∠ACD=50°，1．（2018年北京-第12题-2分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB CD则∠ADB=．【知识考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质．【思路分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答过程】解：∵=，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．故答案为：70°．【总结归纳】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出∠ABD度数是解题关键．2．（2018年海南省-第18题-4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C 的坐标为．。