海南省海南中学2020届高三年级摸底考试数学试题
2020年海南省海口市高考数学模拟试卷(二)(4月份)(有答案解析)
2020年海南省海口市高考数学模拟试卷（二）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. D.2.设集合A={x|0＜x2≤4}，B={x|x＞-1}，则A∩B=（）A. （-1，2]B. （-1，0）∪（0，2]C. [-2，+∞）D. （-1，0）∪（0，2）3.某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人．计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（） .A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 系统抽样D. 按地区分层抽样4.已知点M为双曲线C：x2=1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|-|MF2|=（）A. 1B. 4C. 6D. 85.设x，x+10，x-5是等比数列{a n}的前三项，则a n=（）A. -4×（-）n-1B. -4×（-）nC. ×（-）n-1D. -4×（）n-16.下列不等式正确的是（）A. B.C. D.7.已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A. 6B. 7C. 8D. 98.（+x）5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（）A. 1B. 20C. 21D. 319.若直线y=kx-2与曲线y=1+3ln x相切，则k=（）A. 3B.C. 2D.10.等差数列{a n}的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和为( )A. B. C. D.11.某高为4的三棱柱被一个平面截去一部分后得到一个几何体，它的三视图如图所示，则该几何体的体积与原三棱柱的体积之比是（）A. B. C. D.12.已知直线y=2x+m与椭圆C：=1相交于A，B两点，O为坐标原点．当△AOB的面积取得最大值时，|AB|=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，的夹角为60°，且满足•=24，||=6，则||=______．14.将函数f（x）=sin（4x-）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）的最小正周期是______．15.若函数f（x）=2x+1+log2a有零点，则a的取值范围为______．16.在空间直角坐标系O-xyz中，A（0，0，1），B（m2，0，0），C（0，1，0），D（1，2，1），若四面体OABC的外接球的表面积为6π，则异面直线OD与AB所成角的余弦值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，3sin A=2sin B，．（1）求cos2C;（2）若AC-BC=1，求△ABC的周长．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，点E，F分别为CA1与AB的中点．（1）证明：EF∥平面BCC1B1．（2）求B1F与平面AEF所成角的正弦值．19.根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如下．将河流水位在[20，22），[22，24），[24，26），[26，28），[28，30），[30，32），[32，34]各段内的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位变化互不影响．（1）求未来4年中，至少有2年该河流水位x∈[26，30）的概率（结果用分数表示）．（2）已知该河流对沿河A工厂的影响如下：当X∈[20，26）时，不会造成影响；当X∈[26，30）时，损失50000元；当X∈[30，34]时，损失300000元．为减少损失，A工厂制定了三种应对方案．方案一：不采取措施；方案二：防御不超过30米的水位，需要工程费用8000元；方案三：防御34米的最高水位，需要工程费用20000元．试问哪种方案更好，请说明理由．20.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=6y与直线l：y=kx+3交于M，N两点．（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1和d2的乘积为定值；（2）y轴上是否存在点p，当k变化时，总有∠OPM=∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=e x（ln x+1）．（1）证明：函数f（x）在其定义域上是单调递增函数．（2）设m＞0，当x∈[1，+∞）时，不等式≤0恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l：y=kx（x≥0）与曲线C交于A，B两点．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求的最大值．23.已知函数f（x）=|x+2|+2|x-1|．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）+x-a＜0的解集为（m，n），且n-m=6，求a的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：=．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：B解析：解：A={x|-2≤x≤2，且x≠0}；∴A∩B=（-1，0）∪（0，2]．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．3.答案：D解析：【分析】本题主要考查抽样方法，熟记每种抽样方法的特征即可，属于基础题型．根据抽样方法的特征，即可得出结论．【解答】解：由于该地区东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，故按地区分层抽样．故选：D．4.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力,属于中档题．利用双曲线方程，通过双曲线的定义，转化求解即可．【解答】解：双曲线C：x2=1，可得a=1，b=2，c=3，则点M为双曲线C：x2=1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|-|MF2|=-2a+2c=4．故选B．5.答案：A解析：解：x，x+10，x-5是等比数列{a n}的前三项，∴x（x-5）=（x+10）2，解得x=-4，x+10=6，∴公比q=-，因此a n=-4×．故选：A．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.答案：D解析：【分析】本题考查三角函数值以及对数比较大小的问题，熟记三角函数与对数函数的性质即可，属于基础题．根据，，，用排除法即可得出结果．【解答】解：∵，，，∴排除A，B，C，＞log52，故选：D．7.答案：C解析：解：由变量x，y满足约束条件，作出可行区域如图，因为z=x+2y可化为，直线过点A时，截距最小，即z最小；由，解得A（2，3），所以z min=2+6=8．故选：C．本题主要考查简单的线性规划问题，属于基础题．由约束条件作出可行域，再由z=x+2y化为，平移该直线，可得z的最小值．8.答案：C解析：解：由二项式展开式通项得：T r+1=2x r，又0≤r≤5，r∈N，由∈Z，得r=2或r=5，即（+x）5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为2+=21，故选：C．由二项式定理及有理数的定义得：T r+1=2x r，又0≤r≤5，r∈N，由∈Z，得r=2或r=5，即（+x）5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为2+=21，得解．本题考查了二项式定理，属中档题．9.答案：A解析：【分析】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．设出切点坐标，欲求k的值，只需求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切线处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=1+3ln x，∴y′==，设切点为（m，1+3ln m），得切线的斜率为k==，即曲线在点（m，1+3ln m）处的切线方程为：y-（1+3ln m）=（x-m），即y=x+3ln m-2，∵直线y=kx-2与曲线y=1+3ln x相切，∴3ln m-2=-2，即m=1，即=k，则k=3．故选A．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型．先设等差数列{an}的公差为d，根据题中条件求出公差，得到an=n+1再由裂项相消法即可求出结果．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1=2，a32=a1a7，可得（2+2d）2=2（2+6d），所以d=1，因此a n=n+1，所以=，所以数列{}的前2019项和为：==．11.答案：B解析：【分析】本题主要考查几何体的三视图以及几何体的体积，熟记公式即可，属于常考题型．先由三视图确定该几何体是四棱锥，结合题中熟记，求出体积，再求出原三棱柱的体积，即可得出结果．【解答】解：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2且底面积为=5的四棱锥，其体积为．又三棱柱的体积为×2×2×4=8，故体积比为：．故选：B．12.答案：A解析：解：由，得21x2+20mx+5m2-5=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，==．又O到直线AB的距离，则△AOB的面积=≤=，当且仅当m2=21-m2，即时，△AOB的面积取得最大值．此时，．故选：A．先联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得到，，结合弦长公式表示出弦长|AB|，进而表示出三角形的面积，根据面积最大值，可求出m2，代入弦长的表达式，即可得出结果．本题主要考查椭圆中的弦长问题，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、以及弦长公式等求解，属于常考题型．解析：解：向量，的夹角为60°，且满足•=24，||=6，则6||cos60°=24，解得||=8．故答案为：8．直接利用向量的数量积，结合向量的夹角，转化求解即可．本题考查向量的数量积公式的应用，考查计算能力．14.答案：π解析：【分析】本题主要考查三角函数的图象变换问题以及函数的周期，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型．先由图象的变化得到g（x）的解析式，再由正弦函数的周期性即可求出函数的最小正周期．【解答】解：将函数f（x）=sin（4x-）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（2x-）的图象，则g（x）的最小正周期是=π，故答案为π．15.答案：（0，）解析：【分析】本题考查了函数的零点与方程的解的相互转化及方程有解问题，属中档题．由函数的零点与方程的解的相互转化及方程有解问题得：函数f（x）=2x+1+log2a有零点，即-（1+log2a）=2x有解，又2x∈（0，+∞），所以-（1+log2a）＞0，log2a＜-1，即0＜a，得解．【解答】解：由函数f（x）=2x+1+log2a有零点，即-（1+log2a）=2x有解，又2x∈（0，+∞），所以-（1+log2a）＞0，log2a＜-1，即0＜a，故答案为（0，）．16.答案：解析：【分析】本题主要考查几何体中外接球的计算、以及异面直线所成角的计算，熟记公式即可，属于基础题．先由题意得到四面体OABC的外接球即是四面体所在长方体的外接球，再由外接球的表面积求出m2，从而可得到向量坐标，根据cos＜＞=，即可求出结果．解：由题意易知OA，OB，OC两两垂直，∴四面体OABC的外接球即是四面体所在长方体的外接球，且外接球直接等于体对角线的长，因此，解得m2=2，从而，则cos＜＞=．∴异面直线OD与AB所成角的余弦值为．故答案为：．17.答案：解：（1）∵，∴cos2C==，∴cos2C=2cos2C-1=2×-1=-．（2）∵3sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：3a=2b，又∵AC-BC=1，即：b-a=1，∴解得：a=2，b=3，∵由（1）可得：cos C=，∴由余弦定理可得：c===，∴△ABC的周长a+b+c=5+．解析：（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2C=的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可得：3a=2b，结合b-a=1，即可解得a，b的值，由（1）可得cos C=，利用余弦定理可求c的值，即可得解△ABC的周长．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：（1）证明：∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，∴可以以A1为顶点建立空间坐标系如图，∵AC=AB=4，AA1=6，点E，F分别为CA1与AB的中点，取B1C1中点D，∴A1（0，0，0），D（2，2，0），E（2，0，3），F（0，2，6），在Rt△A1B1C1中，A1D⊥B1C1，∴A1D⊥平面BCC1B1，∴为平面BCC1D1的一个法向量，而，，∴=-4+4=0，∴，又EF⊄平面BCC1B1，∴EF∥平面BCC1B1；（2）易知A（0，0，6），B1（0，4，0）∴，，设是平面AEF的一个法向量，则，，取x=1，则y=0，z=，即，设B1F与平面AEF所成角为θ，则sinθ=|cos|=||==，故B1F与平面AEF所成角的正弦值为．解析：（1）建立空间坐标系，利用与平面BCC1B1的法向量垂直可证；（2）找到和平面AEF的法向量，代入公式计算即可．此题考查了线面平行，斜线与平面所成角等，难度适中．19.答案：解：（1）由频率分布直方图可知河流水位X∈[26，30）的概率为P（A）=（0.075+0.025）×2=，记“在未来4年中，至少有2年河流水位X∈[26，30）”为事件A，则P（A）=1-=1-[+]=，（2）记A工厂的工程费与损失费之和为Y，（单位：元）①若采用方案一，则Y的分布列为：Y050000300000P0.780.20.02YY8000300000P0.980.02E（Y）=8000+300000×0.02=14000．③若采用方案三：E（Y）=20000（元）．因为14000＜16000＜20000，所以A工厂应采用方案二．解析：本题主要考查频率分布直方图、以及离散型随机变量的期望与分布列，熟记概念和公式即可，属于常考题型，为中档题．（1）根据频率分布直方图，先得到河流水位X∈[26，30）的概率，再记“在未来4年中，至少有2年河流水位X∈[26，30）为事件A，即可由P（A）=1-求出结果；（2）记A工厂的工程费与损失费之和为Y，根据题意分别求出三种方案中Y的期望，比较大小，取期望最小的即可．20.答案：解（1）证明：将y=kx+3代入x2=6y，得x2-6kx-18=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2=-18，从而d1d2=|x1|•|x2|=|x1x2|=18为定值．（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，．从而k1+k2=+==．当b=-3时，有k1+k2=0对任意k恒成立，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以点P（0，-3）符合题意．解析：（1）先将y=kx+3代入x2=6y，设M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，即可证明结论成立；（2）先设设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，由∠OPM=∠OPN，得当k变化时，k1+k2=0恒成立，进而可求出结果本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理等求解，属于中档题．21.答案：证明：（1）因为x∈（0，+∞），f（x）=e x（ln x+1），所以f′（x）=e x（ln x++1），（x＞0），令g（x）=ln x++1，（x＞0），则=，（x＞0）．当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，则g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．故g（x）min=g（1）=2＞0，从而f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上单调递增．解：（2）当x∈[1，+∞）时，不等式-≤0恒成立等价于当x∈[1，+∞）时，不等式-≤0恒成立，即当x∈[1，+∞）时，-恒成立．记h（x）=，φ（x）=-，则，φ′（x）=．因为当x≥1时，，所以h′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即h（x）在[1，+∞）上单调递减．因为当x≥1时，1-x≤0，所以φ′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即φ（x）在[1，+∞）上单调递减．记P（x）=mh（x）+φ（x），因为m＞0，所以P（x）在[1，+∞）上单调递减，所以P（x）max=P（1）=．因为-≤0在[1，+∞）上恒成立，所以-e≤0，即m≤e2．又m＞0，故m的取值范围为（0，e2]．解析：（1）先对函数求导，得到f′（x）=e x（ln x++1），（x＞0），令g（x）=ln x++1，（x＞0），再由导数方法研究g（x）单调性，求出最小值即可；（2）先将当x∈[1，+∞）时，不等式-≤0恒成立，化为-≤0恒成立，令h （x）=，φ（x）=-，用导数方法研究其单调性，再记P（x）=mh（x）+φ（x），得到P（x）单调性，进而可得出结果．本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，通过研究函数的单调性、最值等求解，属于常考题型，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.答案：解：（1）由（θ为参数），得（x-3）2+y2=4，即x2+y2-6x+5=0．故C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+5=0．（2）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），直线l：y=kx（k≥0）的极坐标方程为θ=α（ρ∈R），代入ρ2-6ρcosθ+5=0，得ρ2-6ρcosα+5=0，所以ρ1+ρ2=6cosα，ρ1ρ2=5．因为k≥0，所以cosα＞0，则ρ1＞0，ρ2＞0，则+=+==．当cosα=1时，+取得最大值，且最大值为．解析：本题主要考查参数方程与普通方程的互化、以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属中档题．（1）先由参数方程得到普通方程，再由普通方程即可得到极坐标方程；（2）先设A（ρ1，α），B（ρ2，α），以及直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R），代入（1）中的结果，得到ρ2-6ρcosα+5=0，由韦达定理，以及+=+，即可求出结果.23.答案：解：（1）f（x）=|x+2|+2|x-1|=，则f（x）在（-∞，1]上单调递减，在（1，∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）=3．（2）因为g（x）=f（x）+x-a=，令-2x-a＜0，则x；令4x-a＜0，则x＜,所以不等式f（x）+x-a＜0的解集为（-，），又不等式f（x）+x-a＜0的解集为（m，n），且n-m=6，所以-（-）=6，故a=8．解析：本题主要考查含绝对值不等式，熟记不等式的解法即可，属中档题.（1）先将函数f（x）写出分段函数的形式，再根据每一段的单调性，确定函数f（x）的单调性，即可得出结果；（2）先将函数g（x）写出分段函数的形式，根据函数g（x）单调性，分别由-2x-a＜0和4x-a＜0，求出不等式f（x）+x-a＜0的解集，在由题中条件即可得出结果．。
海南中学2020届高三年级摸底考试数学答案222222222222
数学试题 参考答案
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分．
1．A 7．A
2．C 8．D
3．A 9．A
4．D 10．C
5．B 11．A
6．D 12．B
二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，共 20 分。
13． π 4
250.05 350.1 450.2 550.3 650.25 750.1 54 .
设中位数为 x ，则 0.00510 0.01010 0.02010 0.030 x 50 0.5
解得 x 55 ，即 40 名读书者年龄的中位数为 55.
，显然
；
数学试题 第 3 页（共 4 页）
②当 时，
，所以
，
令
因为
，所以
，所以 在
上单调递减，）
又 又因为 所以 即 而
，所以 <0，即
，在
，所以
，
.
，命题得证.
， 单调递增，
，
所以
，即
数学试题 第 4 页（共 4 页）
4 3
，
x2 y2 所以此椭圆的方程为 4 4 1.
3
(2)由(1)可得 C(1,1) ， B(1, 1) ，
由 P(x, y) 在椭圆上，可得 x2 3y2 1， 44
所以
kPB
kPC
y 1 x 1
y 1 x 1
y2 x2
1 1
4 3
1
x2
x2
1
1 1 ， ··························································10 分
2020届天一大联考海南省高三第三次模拟考试数学试题(解析版)
1. C 【详解】{}|23A x x =-<<，{|2B x x =-或}2x ，[)2,3A B =.2. B 【详解】由()121i z i -=+，得()()()()121121311122i i i z i i i i ---===--++-，所以z ==. 3. D 【详解】令()262x k k Z πππ-=+∈，得23k x ππ=+，取1k =，得56x π=. 4. D 【详解】若()f x 单调递增，则0k >且()0022k k ++，解得01k <因为“1k <”与“01k <”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立. 5. A 【详解】设第n 天织布的尺数为n a ，则{}n a 是公比为2的等比数列，所以()5112512512a a a a -++⋯+==-，解得1531a =，所以23120231a a =⨯=. 6. A 【详解】()211sin sin 11x xxe f x x x ee ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x →> 故选：A. 7. A 【详解】设2t x =，则()11491625115t =++++=，()12173693142585y =++++= 586118a =-⨯=-，所以2ˆ68yx =-.令4x =，得2444936485ˆe y y =-=-⨯+=.故选：A 8. B 【详解】根据题意知122F F c =，直线1PF 的斜率为34，则212123tan 4PF PF F F F ∠== 则有232PF c =，则152PF c ，则122a PF PF c =-=，又因为12PF F ∆的面积为132622S c c =⨯⨯=，解得2c =，即1a =.故选：B二、多选题9. BD 【详解】对于A ，若0a b >>，则11a b<，所以A 错误；对于B ，因为0a b ->，所以20201a b ->，故B 正确；对于C ，函数ln y x =的定义域为()0,+∞，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误；对于D ，因为210c +>，所以()()2211a c b c +>+，所以D 正确.故选：BD10. AC 【详解】对于A ，2cos 1b α==，A 正确；对于B ，若//a b cos 0αα-=，tan α∴=，B 错误； 对于C ，3cos sin 2sin 3a b πααα⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭，最大值为2，C 正确；对于D ，||(3a b -=-因为0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以5,336πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin ,132πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即max ||5a b -=-，D 错误.故选：AC 11. ABD 【详解】如图，连接MN ，易知//MN PB ，由线面平行的判定定理得//PB 面AMC ，A 正确.在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，BAD ∴为等边三角形.设AD 的中点为O ，连接OB ，OP ，则OP AD ⊥，OB AD ⊥，由线面垂直的判定定理得出AD ⊥平面POB ，AD PB ∴⊥，B 正确. 平面PAD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的性质可得POB 为直角三角形设4AD =，则OP OB ==，PB ∴=，12MN PB ==在MAN △中，AM AN ==MN =cos AMN ∠=,故异面直线PB 与AM ,在MAN △中222AM AN MN ≠+，则ANM ∠不是直角，则AMC ∆不是等腰三角形，即AM 与CM 长度不等，故C 错误，D 正确故选：ABD12. BD 【详解】由题知2()3f x x a '=+.对于A ，由()f x 是奇函数，知0b =，因为0a <，所以()f x 存在两个极值点，由(0)0f =知，()f x 有三个零点，A 错误；对于B ，因为211b +，所以0a ，()0f x '，所以()f x 单调递增，则()f x 仅有一个零点，B 正确；对于C ，若取2b =，2()33f x x '=-，则()f x 的极大值为()14f -=，极小值为(1)0f =，此时()f x 有两个零点，C 错误；对于D ，3()1f x x x =-+，2()31x f x '=-易得()f x 的极大值为10f ⎛= ⎭>⎝，极小值为10f =⎝>⎭.可知()f x 仅有一个零点，D 正确.故选：BD 三、填空题13. 16 【详解】设从学校A 和C 分别抽取的教师人数为x 和y ，由题意可知872144216x y ==，所以4x =，12y =，16x y +=.故答案为：16 14. 240【详解】636621661(2)()(1)2rrrr r r rr T C x C x x---+=-=-，令，得常数项为240，故答案为240. 15.323【详解】圆22280x x y -+-=即()2219x y -+=，圆心坐标为()1,0，则12p =抛物线方程为24y x =，所以2DF =.如图，3FA FB =-，所以:3:1AF FB = 又::DF BC AF AB =，所以2:3:4BC =，得83BC BF ==所以3243AB BF ==.故答案为：323四、双空题如图，设M 为AC 的中点，因为PA PC =，所以PM AC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面ABC ，所以由面面垂直的性质定理得PM ⊥平面ABC ，所以PM MB ⊥=PM MB =从而可得PMAC =设1O ，2O 分别为对应面的内心，分别过1O ，2O 作MP ，MB 的平行线，交于点O 即O 为所求的球心，易知12OO MO 是正方形设Rt PAC △内切圆的半径为r ，球O 的半径为R，由图可知OM R ==，而22r -=，所以1R =.1五、解答题17.（1）给出的通项公式为24n a n =+.因为对任意*n N ∈()1214242n n a a n n +-=++--=， 所以{}n a 是公差为2的等差数列.对任意*,m n ∈N ，且m n ≠，()22424224m n m n a a m n m n a +++=+++=+++=，所以{}n a 是“Q 数列”.（2）因为{}n a 是等差数列，所以()()2*62452n n n S n n n N ++==+∈.因为n S 单调递增，且2775784100S =+⨯=<，28858104100S =+⨯=>，所以n 的最小值为8. 注：以下答案也正确，解答步骤参考上面内容：①33n a n =+，23922n S n n =+，n 的最小值为7；②6n a n =，233n S n n =+，n 的最小值为6.18. （1）43（2）(【详解】（1）因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=. 所以2sin 4sin2sin cos 222B B B B ==，因为0B π<<，所以022B π<<，所以sin 02B≠， 所以1tan 22B =.于是2212tan2422tan 311tan122B B B ⨯===⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知4tan 3B =，又()0,B π∈，根据同角三角函数关系可得4sin 5B =，3cos 5B =.根据余弦定理得()222261655b ac ac a c ac =+-=+-又()()()()22221641555a c ac a c a c a c +-+-+=+所以()2255a c b +=，即5a c+，当且仅当a c ==时取等号.又因为1a c b +>=，所以a c +的取值范围是(. 19. （1）1.2（2）9.3（3）0.1808【详解】（1）由题意得2100.4 2.2 2.2 5.2a b c ++=---=， 又2b a c =+，2c a =，解得0.8a =， 1.2b =， 1.6c =. 因为前四组的频率之和为()0.40.8 1.6 2.20.10.5+++⨯=， 所以估计样本中闪存芯片的数据传输速度的中位数为1.2 （2）估计样本中闪存芯片的使用寿命的平均数为 7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）样本中数据传输速度为优的产品有0.510050⨯=件 使用寿命为优的产品有()0.20.0510025+⨯=件至少有一项为优的产品有1004555-=件，所以S 级产品有50255520+-=件. 故任意一件产品为S 级产品的概率为15.则从这一批产品中任意抽取4件，其中S 级产品的数量服从二项分布14,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故所求的概率为43014441411310.1808555625P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20. 【答案】（1）见解析（2）【详解】（1）连接1AC 1AA AC =，∴平行四边形11AA C C 为菱形，11AC AC ∴⊥. 平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，BC AC ⊥BC ∴⊥平面11AA C C .11//BC B C ，11B C ∴⊥平面11AA C C ，111B C AC ∴⊥.又1111AC B C C =，111,AC B C ⊂平面11AB C 1AC ∴⊥平面11AB C . 1AB ⊂平面11AB C ，11AC AB ∴⊥.（2）取11A C 的中点为M ，连接CM .由160A AC ︒∠=，可知11CM AC ⊥，CM AC ⊥.又BC ⊥平面11AA C C ，故可知C 为坐标原点，CA ，CB ，CM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图.则()0,0,0C，(1A ，()2,0,0A ，()0,1,0B，(1B -. 由（1）知，平面11AB C的一个法向量为(1CA =. 设平面1ABB 的法向量为(),,n x y z =，则10n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩. ()2,1,0AB =-，(13,1AB =-，2030x y x y -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩.令1x =，得2y =，z =，即31,2,n ⎛= ⎝⎭.111cos ,162CA n CA n CA n ⋅∴===⋅⨯结合图可知，二面角11C AB B --为钝角，则二面角11C AB B --的余弦值为21. 【答案】（1）22143x y +=（2）存在，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c 因为离心率12e =，所以2a c =，222243b c c c =-= 由222214320x y c c x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得x =.不妨设,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎭，则AB =所以1c =，从而2a =，23b =.所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）假设存在点(),P x y ，设()11,A x y ，()22,B x y . 由2214320x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-=.因为44m -<<，所以()22416120m m ∆=-->，且122m x x +=-，212124m x x -=.由APB ∠的平分线平行于y 轴，得0AP BP k k +=所以12120y y y y x x x x --+=--，即1212220x m x my y x x x x ++--+=--， 可得()()()()12121222220x x x x x m y x m y x x +-+---+=， 所以()()2212220222m m y mx m m y x ---+-+-=，整理得()321280x y m xy -+-=. 当m 变化时，上式恒成立，所以3201280x y xy -=⎧⎨-=⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩.故满足条件的P 点的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.22. 【答案】（1）见解析（2）13a =-.【详解】 （1）当0a =时，()()21ln 12f x x x x =+-+，定义域为()1,-+∞.()21111x f x x x x =-+=++'.当1x >-时，()0f x '>，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增.又因为()00f =，所以当10x -<<时()0f x <，当0x >时，()0f x >. （2）若0a ，由（1）知，当0x >时，()()()21ln 1002f x x x x f +-+>=.这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.若0a <，()()32223311331131113ax a x ax a f x x ax x x x x a +++⎛⎫=-++==+ ⎪+++⎝⎭'，1x >-. 令()0f x '=，可得0x =或313a x a+=-. ①若13a <-，则3103a a+-<. 当3113a x a +-<<-时，()0f x '>，当313a x a+>-时，()0f x '. 所以()f x 在31,3a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，与0x =是()f x 的极大值点矛盾. ②若103a -<<，则3103a a+->. 当3113a x a +-<<-时，()0f x '，当313a x a+>-时，()0f x '<. 所以()f x 在311,3a a +⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，与0x =是()f x 的极大值点矛盾. ③若13a =-，则3103a a+-=. 当10x -<<时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<. 所以()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减. 此时0x =是()f x 的极大值点.综上所述，若0x =是()f x 的极大值点，则13a =-.。
2020届天一大联考海南省高三第三次模拟考试数学试题(解析版)
【解析】设第 天织布的尺数为 ，根据等比数列的定义判断 为等比数列，再由求和公式求解即可.
【详解】
设第 天织布的尺数为 ，则 是公比为2的等比数列，所以 ，解得 ，所以 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了等比数列的概念以及性质，属于中档题.
6．函数 的图象的大致形状是（）
A． B．
C． D．
【解析】连接 ，利用线面平行的判定定理判断A；设 的中点为 ，连接 ， ，利用线面垂直的判定定理以及性质判断B；根据面面垂直的性质得出 为直角三角形，求出 的长度，利用余弦定理得出 与 所成角的余弦值，证明 不是直角，从而得出 不是等腰三角形，从而判断CD.
【详解】
如图，连接 ，易知 ，由线面平行的判定定理得 面 ， 正确.
【点睛】
本题考查回归分析的应用，属于中档题.
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线上，且 垂直于 轴.若直线 的方程为 ， 的面积为6，则 （）
A． B．1C． D．
【答案】B
【解析】根据直线 的斜率以及勾股定理得出 ， ，由双曲线的定义得出 ，再由三角形面积公式得出 ，即可得出 的值.
4．已知函数， ，则“ ”是“ 单调递增”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由分段函数的单调性结合充分条件，必要条件的定义，即可得出答案.
【详解】
若 单调递增，则 且 ，解得
因为“ ”与“ ”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立.
【解析】由复数的运算化简 ，再由模长公式即可得出答案.
【详解】
由 ，得 ，所以 .
故选：B
海南中学2020届高三年级摸底考试数学试题
海南中学2020届高三年级摸底考试数学试题命题人：余书胜 审核人：文德良（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）注息事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{}2|430P x x x =-+≤，{|Q y y ==，则P Q =（ ）. A ．[1,3] B ．[2,3] C ．[0,)+∞ D ．∅2．i 是虚数单位，则复数2i iz -=在复平面上对应的点位于（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知点 在幂函数 图像上，设， ， ， 则 、 、c 的大小关系为（ ）.A. B. C. D. 4．某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人．计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）.A. 简单随机抽样B. 按性别分层抽样C. 系统抽样D. 按地区分层抽样5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S =，1040S =，则=15S （ ）.A. 80B. 90C. 100D. 110 6．函数()2ln x f x x=的图象大致是( ).A B C D7．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -+-=，则△ABC 的形状为（ ）.A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形 8．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A. 48B. 72C. 90D. 969．已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积V =( ) .A ． 1B ． 1C ．62 D ．221+ 10．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则1F AB ∆的面积为（ ）.A B C D 11．()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<），满足2π()()3f x f x -=-，且对任意∈x R,都有π()()4f x f ≥．当ω取最小值时，函数)(x f 的单调递减区间为 （ ）.A ．ππππ[,]12343k k ++，k ∈ZB ．ππ[2π,2π]124k k ++，k ∈Z C ．ππππ[,]123123k k -++，k ∈Z D ．ππ[2π,2π]1212k k -++，k ∈Z 12.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 对任意x R ∈,都有()()4f x f x =+,且当[]2,0x ∈-时,1)21()(-=x x f , 若在区间(2,6]-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=> 恰有三个不同的实数根, 则a 的取值范围是（ ）.A ．)3,0(B ．)2,4(3C ．)2,4[3D ．]2,4[3第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届海南省海南中学高三下学期第一次月考数学试卷及解析
2020届海南省海南中学高三下学期第一次月考数学试卷★祝考试顺利★ (解析版)一.选择题(共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将答案填到答题卡,答在本试卷上无效.)1.已知集合{|1}P x R x =∈≥,{2,3}Q =,则下列关系中正确的是（ ） A. P Q = B. PQ C. Q P D. P Q R =【答案】C 【解析】由2,3均大于等于1,即可判断集合P 与Q 的关系. 【详解】因为21≥,3≥1,所以Q P ,故选:C2.已知角α为第三象限角,若tan()4πα+＝3,则sin α=（ ）A. 25B. 55 25【答案】B 【解析】由tan()34πα+=计算出tan α,再由同角三角函数的基本关系求解sin α即可【详解】由tan 11tan()33tan 41tan 2παααα++=⇒=⇒=-,又α为第三象限角,故sin α为负数, 15tan sin 2αα=⇒= 故选：B3.抽奖一次中奖的概率是90%,5个人各抽奖一次恰有3人中奖的概率为（ ） A. 0.93B. 33250.90.1C ⨯⨯ C. 1﹣（1﹣0.9）3D. 32350.90.1C ⨯⨯【答案】B【解析】根据独立重复试验的概率公式即可得解.【详解】根据独立重复试验概率公式可得：抽奖一次中奖的概率是90%,5个人各抽奖一次恰有3人中奖的概率为33250.90.1C⨯⨯故选：B4.某公司为了解用户对其产品的满意度,从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为m1,m2；平均数分别为s1,s2,则下面正确的是（）A. m1＞m2,s1＞s2B. m1＞m2,s1＜s2C. m1＜m2,s1＜s2D. m1＜m2,s1＞s2【答案】C【解析】利用频率分布直方图分别求出甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数和平均数,由此能求出结果．【详解】由频率分布直方图得：甲地区[40,60）的频率为：（0.015+0.020）×10＝0.35,[60,70）的频率为0.025×10＝0.25, ∴甲地区用户满意度评分的中位数m1＝600.50.35100.25-+⨯=66,甲地区的平均数s1＝45×0.015×10+55×0.020×10+65×0.025×10+75×0.020×10+85×0.010×10+95×0.010×10＝67．。
海南省海口市2020届高三高考模拟演练数学试题(解析版)
海南省海口市2020届高三高考模拟演练数学试题一、选择题1．设集合{|10}A x x =+>，{|210}B x x =+>，则()RAB =（ ）A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[)1,-+∞C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意，集合(){|10}{|1}1,A x x x x =-=+>=>-+∞，集合1{|210}{|}21(,)2B x x x x =+=->>-+=∞，所以1,2B ∞-⎛⎤=- ⎥⎝⎦R ，所以()11,2AB ⎛⎤=--⎥⎝⎦R ．故选：D. 2．已知复数()()311z i i=+-，则其共轭复数z =（ ）A ．2iB ．2i -C ．2i +D ．2i -【答案】B【解析】因为()()()()311112z i ii i i =+-=++=，所以2z i =-．故选：B3．已知向量()1,2a =-，(),21b m m =--，8a b ⋅=，则m =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】A【解析】由题意，向量()1,2a =-，(),21b m m =--，可得()22152a b m m m ⋅=-+--=--， 由8a b ⋅=，可得528m --=，解得2m =-．故选：A .4．《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然．已知将1000个不同汉字任意排列，大约有25674.0210⨯种方法，设这个数为N ，则lg N 的整数部分为（ ） A ．2566 B ．2567C ．2568D ．2569【答案】B【解析】由题可知，()2567lg lg 4.02102567lg 4.02N =⨯=+．因为1 4.0210<<，所以0lg 4.021<<，所以lg N 的整数部分为2567．故选：B.5．一个底面边长为3的正三棱锥的体积与表面积为24的正方体的体积相等，则该正三棱锥的高为（ ）A ．B ．3C D ．12【答案】C【解析】因为正方体的表面积为24，所以棱长为2，其体积为328=，因为正三棱锥的体积与正方体的体积相等，设正三棱锥的高为h ，所以1133832⨯⨯⨯=，解得h =．故选：C 6．已知直线:210l x y a -+-=与圆()()22129x y -++=相交所得弦长为4，则a =（ ）A ．-9B ．1C ．1或-2D ．1或-9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为()1,2-，因为直线:210l x y a -+-=与圆()()22129x y -++=相交所得弦长为4，所以22492⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2890a a +-=， 解得1a =或9a =-．故选：D.7．设:p “函数()225f x x mx m =-+在(],2-∞-上单调递减”，:q “0x ∀>，33823x m x+≥-”，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为函数()225f x x mx m =-+在(],2-∞-上单调递减，所以24m-≥--，即8m ≥-．因为0x ∀>时，33828x x +≥=，所以“0x ∀>，33823x m x +≥-”等价于38m -≤，即5m ≥-，因为集合[)[)5,8,-+∞-+∞，所以p 是q 的必要不充分条件．故选：B .8．若对任意x ∈R ，都有()()5πcos 2sin ,π6x x ωϕωϕ⎛⎫-=+∈< ⎪⎝⎭R ，则满足条件的有序实数对(),ωϕ的对数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】5ππππcos 2cos 2sin 26323x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由条件知2ω=±．若2ω=，由()π2π3k k ϕ=-+∈Z 且πϕ<，得π3ϕ=-；若2ω=-，()()sin 2sin 2πx x ϕϕ-+=+-，则()ππ2π3k k ϕ-=-+∈Z ，所以()4π2π3k k ϕ=-+∈Z ，又πϕ<，则2π3ϕ=-．故选：C . 二、多选题9．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<【答案】ABD【解析】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q（负值舍去），选项A 正确；1222n nn a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n nS +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率2e =，C 上的点到其焦点的最短距离为1，则（ ）A ．C 的焦点坐标为()0,2±B ．C的渐近线方程为y = C ．点()2,3在C 上D ．直线()0mx y m m --=∈R 与C 恒有两个交点 【答案】BC【解析】由双曲线2222:1x y C a b-=的离心率2e =，C 上的点到其焦点的最短距离为1，可得12c a c e a -=⎧⎪⎨==⎪⎩，解得12a c =⎧⎨=⎩，所以23b =，所以双曲线C 的方程为2213y x -=，所以C 的焦点为()2,0±，A 错误；双曲线C的渐近线方程为b y x a =±=，所以B 正确；因为223213-=，所以点()2,3在C 上，选项C 正确；直线0mx y m --=，即()1y m x =-，恒过点()1,0，当m =C 的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点．故选：BC.11．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：则下列说法正确的是（ ）A ．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件B ．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C ．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D ．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 【答案】BD【解析】对于选项A ，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A 错误；对于选项B ，线路一所需的平均时间为300.5400.2500.2690.139⨯+⨯+⨯+⨯=分钟， 线路二所需的平均时间为300.3400.5500.1600.140⨯+⨯+⨯+⨯=分钟， 所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B 正确；对于选项C ，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C 错误；对于选项D ，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为()50,60，()60,50和()60,60三种情况，概率为0.20.10.10.10.10.10.04⨯+⨯+⨯=，所以选项D 正确．故选：BD.12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1223AA AC AB ===，AB AC ⊥，点D ，E 分别是线段BC ，1B C 上的动点（不含端点），且1EC DCB C BC=．则下列说法正确的是（ ）A ．//ED 平面1ACCB ．该三棱柱的外接球的表面积为68πC ．异面直线1B C 与1AA 所成角的正切值为32D ．二面角A EC D --的余弦值为413【答案】AD【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是矩形，因为1EC DCB C BC=，所以11////ED BB AA ，ED 不在平面1ACC 内，1AA ⊂平面1ACC ， 所以//ED 平面1ACC ，A 项正确； 因为1223AA AC AB ===，所以3AB =， 因为AB AC ⊥，所以222313BC =+113417BC =+= 易知1B C 是三棱柱外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为2174π=⎝⎭2π1717π⨯=，所以B 项错误；因为11//AA BB ，所以异面直线1B C 与1AA 所成角为1BB C ∠． 在1Rt B BC 中，12BB =，13BC =， 所以1113tan 2BC BB C BB ∠==，所以C 项错误； 二面角A EC D --即二面角1A B C B --，以A 为坐标原点，以AB →，AC →，1AA →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图则1(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0),(3,0,2)A B C B ，1(3,0,2)AB →∴=,(3,2,0)BC →=-,1(3,2,2)B C →=--,设平面1AB C 的法向量n (x,y,z)→=，则1100n AB n B C ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即3203220x z x y z +=⎧⎨-+-=⎩，令2x =可得()2,0,3n →=-，设平面1BB C 的一个法向量为(,,)m x y z →=，则100m BC m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3203220x y x y z -+=⎧⎨-+-=⎩，令2x =可得(2,3,0)m →=故二面角A EC D --的余弦值为4131313=⨯，所以D 项正确．故选：AD三、填空题13．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举行，本届冬奥会比赛共设15个项目，其中包含5个冰上项目和10个雪上项目．李华计划从中选1个冰上项目和2个雪上项目去现场观看，则共有_____种不同的选法． 【答案】225【解析】先从5个冰上项目选1个项目有15C 种不同选法，再从10个雪上项目选2个项目有210C 种不同选法，根据分步乘法计数原理，则共有12510545225C C ⋅=⨯=种不同的选法.14．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边上有一点()1,2P ，则2sin 13sin cos ααα=-____．【答案】-4【解析】因为角α的终边上有一点()1,2P ，所以tan 2α=．所以2222sin sin 13sin cos sin cos 3sin cos αααααααα=-+-2222tan 24tan 13tan 2132ααα===-+-+-⨯． 15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，点9,02Q p ⎛⎫⎪⎝⎭．若2QF PF =，且PQF △的面积为p =______．【答案】2【解析】由条件知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以4QF p =，所以122PF QF p ==，由抛物线的准线为2p x =-，及抛物线的定义可知，P 点的横坐标为3222p p p -=，不妨设点P 在x 轴上方，则P ，所以142PQFSp =⨯=，解得2p =． 16．已知函数()33f x ax x b =-+的图象关于点()0,1对称，则b =______，若对于[]0,1x ∈总有()0f x ≥成立，则a 的取值范围是________． 【答案】1 [)4,+∞【解析】由条件知()y f x =的图象可由奇函数33y ax x =-的图象上下平移得到，所以()y f x =的图象关于点()0,b 对称，所以1b =．所以()331f x ax x =-+．当0x =时，()10f x =≥恒成立．当01x <≤时，()3310f x ax x =-+≥等价于2331a x x ≥-．设()2331(01)g x x x x=-<≤，则max ()a g x ≥，因为()()4312x g x x -'=，所以当102x <<时，()0g x '>，当112x <≤时，()0g x '<，所以()g x 在1(0,)2上单调递增，在1(,1]2上单调递减，所以12x =时，()g x 取得最大值1()42g =，所以4a ≥．四、解答题17．在①cos B =3c =，②1cos 3A =，()sin 3sin A B B +=，③ab =1cos 3A =三组条件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ，_____，求b ．【解析】若选①：cos B =，3c =．因为cos 3B =，0πB <<，所以1sin 3B =．由111sin 3223ABCSac B a ==⨯⨯⨯=，解得a =．由余弦定理得2222cos 892313b ac ac B =+-=+-⨯⨯=，所以1b =． 若选②：1cos 3A =，()sin 3sin AB B +=．因为1cos 3A =，0πA <<，所以sin A =． 因为πA B C ++=，所以()sin sin A B C +=． 所以sin 3sin C B =，由正弦定理可得3c b =．所以11sin 322ABCSbc A b b ==⨯⨯=1b =．若选③：ab =1cos 3A =．因为11sin sin 22ABCSab C C ==⨯=sin 1C =． 又因为0πC <<，所以π2C =．因为1cos 3A =，0πA <<，所以sin A =，且π1sin sin cos 23B A A ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．根据正弦定理sin sin a bA B=，可得a =．所以2ab ==，解得1b =．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足412S a =，25216a a -=-．（Ⅰ）求n a ； （Ⅱ）若()()1162020n n n b a a+=++，求数列{}n b 的前n项和n T ．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由题意得()1111462,2416.a d a a d a d +=⎧⎨+-+=-⎩解得1124a d =-⎧⎨=⎩，所以416n a n =-．（Ⅱ）由题意得()()()()1161620204162041220n n n b a a n n +==++-+-+()()1111212n n n n ==-++++， 111111112334122224n n T n n n n =-+-++-=-=++++． 19．如图，三棱锥D ABC -中，AB AC ⊥，ABD △是正三角形，且平面ABD ⊥平面ABC ，4AB AC ==，E ，G 分别为AB ，BC 的中点．（Ⅰ）证明：EG ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若F 是线段DE 的中点，求AC 与平面FGC 所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）因为E ，G 分别为AB ，BC 的中点，所以//EG AC ． 因为AB AC ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ， 平面ABD ⋂平面ABC AB =， 所以AC ⊥平面ABD ， 所以EG ⊥平面ABD ；（Ⅱ）因为ABD △是正三角形，所以DE AB ⊥．又由（Ⅰ）知EG ⊥平面ABD ，即EG ，AB ，DE 两两垂直， 则以E 为坐标原点，分别以EB ，EG ，ED 的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．因为4AB AC ==，ABD △是正三角形， 所以()0,0,0E ，()2,0,0A -，()2,0,0B ，()0,2,0G ，(3D ，()2,4,0C -．因为F 是DE 的中点，所以(3F ．()0,4,0AC =，(0,2,3FG =-，()2,2,0GC =-．设平面FGC 的一个法向量为(),,m x y z =，所以()(()(),,0,2,3230,,,2,2,0220.m FG x y z y z m GC x y z x y ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩令1x =，则1y =，23z =，所以23m ⎛= ⎝⎭． 设AC 与平面FGC 所成的角为θ，则30sin cos 1044113m AC m AC m ACθ⋅=⋅===⨯++．20．某病毒研究所为了研究温度对某种病毒的影响，在温度t （℃）逐渐升高时，连续测20次病毒的活性指标值y ，实验数据处理后得到下面的散点图，将第1～14组数据定为A 组，第15～20组数据定为B 组．（Ⅰ）某研究员准备直接根据全部20组数据用线性回归模型拟合y 与t 的关系，你认为是否合理？请从统计学的角度简要说明理由．（Ⅱ）若根据A 组数据得到回归模型 2.10.8y t =+，根据B 组数据得到回归模型90.6 1.3y t =-，以活性指标值大于5为标准，估计这种病毒适宜生存的温度范围（结果精确到0.1）．（Ⅲ）根据实验数据计算可得：A 组中活性指标值的平均数14111814i i y y ===∑，方差1421114A i s ==∑()1422211148514i i A A i y y y y =⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭∑；B 组中活性指标值的平均数20151236i B i y y ===∑，方差()2020222215151164566B i i B B i i s y y y y ==⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∑∑．请根据以上数据计算全部20组活性指标值的平均数y 和方差2s ．【解析】（Ⅰ）不合理．从散点图上看：①A 组数据呈正相关，B 组数据呈负相关，两部分数据的变化趋势明显不同，不适合用同一个线性模型来拟合．②20个样本点的分布比较分散，没有明显的沿直线分布的趋势，故不适合用线性回归模型来拟合．（Ⅱ）令2.10.85t +=，得 3.6t ≈；令90.6 1.35t -=，得65.8t ≈．由散点图可知，这种病毒的活性指标值先随温度升高而升高，到达一定温度后，开始随温度升高而降低，所以这种病毒适宜生存的温度范围是()3.6,65.8．（Ⅲ）全部20组活性指标值的平均数为()20111141862319.52020i i y y ===⨯⨯+⨯=∑． 因为14221851414185726i i y==⨯+⨯=∑，2022154566233444i i y ==⨯+⨯=∑，所以全部20组活性指标值的方差为()202222111205726344419.578.252020i i s y y =⎛⎫=-=+-= ⎪⎝⎭∑． 21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，O为坐标原点，OA C的离心率为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知不经过点A 的直线():0,l y kx m k m =+≠∈R 交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的中点为B ，若2MN AB =，求证：直线l 过定点．【解析】（Ⅰ）由已知OA=a =设椭圆C 的半焦距为c，因为c e a ==，所以c =2321b =-=， 所以椭圆C 的方程为2213x y +=．（Ⅱ）由题意知()A ， 联立2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222316330k x kmx m +++-=， 由题意知()()()222226431331236120km k m k m ∆=-+-=+->．（*） 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122631km x x k -+=+，21223331m x x k -=+， 因为2MN AB =，B 为线段MN 的中点，所以AM AN ⊥，所以(12120AM AN x x y y ⋅=++=， 又11y kx m =+，22y kx m =+，()22121212y y k x x m km x x =+++，所以()(()221212130k x x km x x m +++++=， 所以()()(222226331303131km km m k m k k -+-++=++，整理得22320k m -+=，得k =或k =，当k =时，l 的方程为(y x =，过定点()A ，不符合题意；当3k m =时，l 的方程为32y m x ⎛=+ ⎝⎭，过定点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，符合（*）式，综上所述，直线l 过定点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．22．已知函数()()1e x k x f x -=，其中0k ≠．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，讨论关于x 的方程()ln x f x =在区间()0,2上实根的个数．【解析】（Ⅰ）由条件，得()()()2e e 12e e x x x xk k x k x f x ---'== 令()0f x '=，得2x =．当0k >时，由()0f x '>，得2x <，由()0f x '<，得2x >．所以()f x 的单调增区间是(),2-∞，单调减区间是()2,+∞．当k 0<时，由()0f x '>，得2x >，由()0f x '<，得2x <．所以()f x 的单调增区间是()2,+∞，单调减区间是(),2-∞． （Ⅱ）因为()ln110f ==，所以1x =是方程()ln x f x =的实根．当01x <<时，由（Ⅰ）知()f x 单调递增，所以()()10f x f <=．而ln ln 0x x =->， 所以方程()ln x f x =在区间()0,1上无实根．当12x <<时，ln ln x x =．设()()1ln e xk x F x x -=-，则()2e 2e 1e2x x x kx k k kx F x x x x -'=-=+-． 设()2e 2x k u x x kx +=-， 当12x <<时，()e 222(2)0x xu x kx ke e k x '=+-=+->，所以()u x 在()1,2上单调递增． ①当()1e 0u k =-≥，即e k ≤时，在区间()1,2上，总有()()10u x u >≥，从而()0F x '>，所以()F x 在()1,2上单调递增，()()10F x F >=，即原方程在()1,2上无实根．②当()1e 0u k =-<，即e k >时，因为()22e 0u =>，所以存在()01,2x ∈，满足()00u x =． 所以在()01,x 上，()0u x <，()F x 单调递减，在()02x ,上，()0u x >，()F x 单调递增． 又因为()10F =，()22ln 2e k F =-， 所以当()20F >，即2e e ln 2k <<时，原方程在()1,2上有唯一实根，当()20F ≤，即2e ln 2k ≥时，原方程在()1,2上无实根；综上所述，当0k e <≤或2e ln 2k ≥时，原方程在()0,2上仅有一个实根；当2e e ln 2k <<时，原方程在()0,2上有两个实根．。
2020届天一大联考海南省高三年级第三次模拟考试数学试题(含答案解析)
17．对于由正整数构成的数列 ，若对任意 ， “且 ， 也是 中的项，则称 为 数列”.设数列 |满足 ， ..
（1）请给出一个 的通项公式，使得 既是等差数列也是“ 数列”，并说明理由；
（2）根据你给出的通项公式，设 的前 项和为 ，求满足 的正整数 的最小值.
18． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的取值范围.
19．手机等数码产品中的存储器核心部件是闪存芯片，闪存芯片有两个独立的性能指标：数据传输速度和使用寿命，数据传输速度的单位是 ，使用寿命指的是完全擦写的次数（单位：万次）.某闪存芯片制造厂为了解产品情况，从一批闪存芯片中随机抽取了100件作为样本进行性能测试，测试数据经过整理得到如下的频率分布直方图（每个分组区间均为左闭右开），其中 ， ， 成等差数列且 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查复数的模以及基本运算，属于基础题.
3．D
【分析】
利用正弦函数的性质求解即可.
【详解】
令 ，得 ，取 ，得 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了求正弦型函数的对称轴，属于基础题.
4．D
【分析】
由分段函数的单调性结合充分条件，必要条件的定义，即可得出答案.
【详解】
若 单调递增，则 且 ，解得
故选：A
【点睛】
本题主要考查了等比数列的概念以及性质，属于中档题.
6．A
【分析】
根据已知中函数的解析式，可得函数f（x）为偶函数，可排除C,D，由 得到答案．
【详解】
故 则 是偶函数，排除C、D，又当
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
海南中学2020届高三年级摸底考试数学试题命题人：余书胜 审核人：文德良 （考试用时为120分钟，满分分值为150分.）注意事项：1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2|430P x x x =-+≤，{|Q y y ==，则P Q ⋂=（ ）A.[1,3]B.[2,3]C.[0,)+∞D.∅2.i 是虚数单位，则复数2iz i-=在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知点(2,8)在幂函数()nf x x =图像上，设0.30.212455,,log 544a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A.b a c >>B.a b c >>C.c b a >>D.b c a >>4.某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有2400人，中部丘陵地区的学生有1600人，西部山区的学生有1000人.计划从中选取100人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.系统抽样D.按地区分层抽样5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15010,40S S ==，则15S =（ ） A.80B.90C.100D.1106.函数()2ln ||xf x x =的图象大致是（ ）A. B. C. D.7.若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆的形状为（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形8.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ） A.48B.72C.90D.969.已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积V =（ ）A.216+B.1C.26D.212+10.已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则1F AB ∆的面积为（ ）62431228311.()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，满足2()3f x f x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，且对任意x R ∈，都有()4f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭..当ω取最小值时，函数()f x 的单调递减区间为（ ）.A.,,12343k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B.2,2,124k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. ,,123123k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D. 2,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦12.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()(4)f x f x =+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）.A.B.C.D.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知(1,3)a =-r ，(1,)b t =r ，若(2)a b a -⊥r r r，则a r 与b r 的夹角为________.14.当(1,2)x ∈时，不等式220x mx ++>恒成立，则m 的取值范围是_______.15.已知()29211012111(2)(1)(1)(1)x x a a x a x a x +-=+-+-++-L ，则1211a a a +++L 的值为________.16.若直线y kx b =+是曲线xy e =的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k =_______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）已知()22sin ,cos ,,2),()a x x b x f x a b ===⋅r r r r .（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18.（12分）已知正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22S =，416S =，{}1n a +是等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()2log 33n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.19.（12分）“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家，”这个论断被各种媒体反复引用.出现这祥的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数； （2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40)的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30,40)的人数X 的分布列及数学期望.20.（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60,2ABC PA PB AB ︒∠====，点N 为AB 的中点.（1）证明：AB PC ⊥；（2）若点M 为线段PD 的中点，平面PAB ⊥平面ABCD ，求二面角M NC P --的余弦值.21.（12分）已知椭圆22221(0),(2,0)x y a b A a b +=>>为椭圆与x 轴的一个交点，过原点O 的直线交椭圆于,B C 两点，且0,||2||AC BC BC AC ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r.（1）求此椭圆的方程；（2）若(,)P x y 为椭圆上的点且P 的横坐标1x ≠±，试判断PB PC k k ⋅是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.22.（12分）己知()1()1f x n x a ax =+-+； （1）讨论函数的单调性； （2）当2a ⎛∈ ⎝⎭时，函数有两个零点12,x x ，证明：120x x +>. 海南中学2020届高三年级摸底考试数学试题 参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分60分. 1.A 2.C 3.A 4.D 5.B 6.D 7.A 8.D 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本木运算.每小题5分，共20分. 13.4π14.(2,)-+∞ 15.2 16.1或1e三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（1）()22sin ,cos a x x =r ，3,2)b x =r ，由2()23cos 2cos 32cos212sin 216f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭r r ，∴()f x 的最小正周期22T ππ==， 由3222,262k x k k Z πππππ+++∈剟， 得：263k x k ππππ+≤≤+，∴()f x 的单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上时， 可得：72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当7266x ππ+=时，函数()f x 取得最小值为72sin 106π+=， 当262x ππ+=时，函数()f x 取得最大值为2sin132π+=，故得函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0. 18.解：（1）设{}1n a +的公比为q ，由题知0q >，且有：()()2312421111a q a a q a ⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩，所以：()2341222a a q a a ++=++，即：()242222S S q S -+=+，代入242,16S S ==，得2164q =，所以2q =或者2q =-（舍去）所以：()21121a a +=+，所以：2121a a =+ 由21211221S a a a a ==+=++得：113a =，所以：1413a += 所以：()11141123n n n a a q--+=+⋅=⋅所以：1213n n a +=- （2）因为1213n n a +=-，所以()2log 331n n b a n =+=+， 11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++， 所以数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11111111233412222(2)n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 19.船：（1）由频率分布直方图知年龄在[40,70)的频率为(0.0200.0300.025)100.75++⨯=，所以40名读书者中年龄分布在[40,70)的人数为400.7530⨯=.（2）40名读书者年龄的平均数为：250.05350.1450.2550.3650.25750.154⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 设中位数为x ，则0.005100.010100.020100.030(50)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-= 解得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55.（3）年在[20,30)的读书者有2人，年龄在[30,40)的读书者有4人，设年龄在[30,40)的读书者人数为X，X的所有可能取值是0，1，2，2024261(0)15C CP xC⋅===，1124268(1)15C CP xC⋅===，0224262(2)5C CP xC⋅===，X的分布列如下：X0 1 2P11581525数学期望1824(0)012151553EX P x===⋅+⋅+⋅=.20.解：（1）连接AC，因为,60AB BC ABC︒=∠=，所以ABC∆为正三角形，又点N为AB的中点，所以AB NC⊥.又因为PA PB=，N为AB的中点，所以AB PN⊥.又NC PN N⋂=，所以AB∠⊥平面PNC，又PC⊂平面PNC，所以AB PC⊥.（2）由（1）知PN AB⊥.又平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，所以PN⊥平面ABCD，以N为坐标原点，分别以,,NB NC NP所在直线为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则(1,0,0),(0,3,0),(0,0,0),(0,0,3)B C N P，33(2,3,0),1,,22D M⎛⎫--⎪⎝⎭，设平面MNC的一个法向量为(,,)n x y z=r，可得n NCn NM⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u rru u u u rr得3,0,12n⎛⎫= ⎪⎝⎭r，由（1）知AB⊥平面PNC，则取平面PNC的一个法向量(1,0,0)m=r，21cos,||||m nm nm n⋅<>==r rr rr r，故二面角M NC P--的余弦值为217.21.解：（1）因为(2,0)A为椭圆与x轴的一个交点，所以2a=.由0,||2||AC BC BC AC⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r，可得||||,90AC OC OCA︒=∠=，由等腰直角三角形的性质可得(1,1)C ，代入椭圆方程可得2221114b +=，解得243b =，所以此椭圆的方程为221443x y +=. （2）由（1）可得(1,1),(1,1)C B --，由(,)P x y 在椭圆上，可得223144x y +=， 所以222222411134111133111113PB PCx xy y y k k x x x x x ⎛⎫-- ⎪-+--⎝⎭⋅=⋅====-+----， 即PB PC k k ⋅是定值，定值为13-.22.解：（1）()211()ax a f x a x a x a+-'=-=-++ ①若0,()ln 1,()a f x x f x ==+在(0,)+∞上单调递增；②若2110,()0,a a f x x a a a-'≠=⇔==- 当0a >时，1a a a ->-，所以()f x 在1,a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减；当0a <时，1a a a-<-，所以()f x 在(,)a -+∞单调递增； （2）由（1）的讨论可知当0,2a ⎛∈ ⎝⎭时，()f x 在1,a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减，且10a a->，2211ln ln 0f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以两个零点121x a x a <-<，①当1a e <时，(0)ln 10f a =+<，所以1210x a x a <<-<，显然120x x +>； ②当1a e >时，(0)ln 10f a =+>，所以1210x a x a<<-<，令()(ln(1g a f a ==-+()g a '=22121()a g a a --'=++=因为0,2a ⎛∈ ⎝⎭221210a --<，所以()g a在12e ⎛ ⎝⎭上单调速减，又11ln 10g e e ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0g a <，即(0f <，又因为0a -<<，()f x 在1,a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，所以0a -<，所以10x <<， 即22121a x e->，()221ln 2a x ->-. 而()()111ln 10f x x a ax =+-+=，()()()()221111ln ln 2ln 20f x x a x a a x -=-++++=-+>，所以21x x >-，即120x x +>，命题得证.。