八年级数学上册第十四章勾股定理14.1勾股定理14.1.3反证法课件(新版)华东师大版
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2022秋八年级数学上册 第14章 勾股定理14.1 勾股定理 3反证法课件华东师大版

7 如图,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC. 求证:PB≠PC. 证明:假设PB=PC,则∠PBC=∠PCB. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∴∠ABP=∠ACP,∴△ABP≌△ACP. ∴∠APB=∠APC, 这与∠APB≠∠APC相矛盾,因而PB=PC不成立, ∴PB≠PC.
3 用反证法证明命题:“如图,如果AB∥CD,AB∥EF, 那么CD∥EF”,证明的第一步是( C ) A.假设CD∥EF B.已知AB∥EF C.假设CD不平行于EF D.假设AB不平行于EF
4 用反证法证明命题:在一个三角形中,至少有一个内 角不大于60°,证明的第一步是( B ) A.假设三个内角都不大于60° B.假设三个内角都大于60° C.假设三个内角至多有一个大于60° D.假设三个内角至多有两个大于60°
2 用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角” 的过程可以归纳为以下三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与 三角形内角和为180°相矛盾,所以∠A=∠B=90° 不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假 设三角形的三个内角∠A,∠B,∠C中有两个直角, 不妨设∠A=∠B=90°.正确的顺序应为( D ) A.①②③ B.①③② C.②③① D.③①②
14.1. 3
第14章
勾股进入讲评
1
5
2D
6
3C
7
4B
答案呈现
1 反证法的一般步骤: (1)假设命题的___结__论___不成立; (2)从提出的假设出发,结合已知条件,根据已学过的 定义、定理、基本事实等推出与已知条件或已学过 的定义、定理、基本事实等相___矛__盾___的结果; (3)由__矛__盾____判定假设不成立,从而肯定原命题的结 论正确.
精选-八年级数学上册第十四章勾股定理14.1勾股定理14.1.3反证法课件新版华东师大版

即5月4号甲在新加坡, 这与“5月4号甲在苏州的观前街”矛盾, 所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确,
于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.
方法的迁移
若将上面的条件改为“在△ABC中,AB=c, BC=a, AC=b,∠C≠90°”,请问结论a2 +b2 ≠
A
c2 成立吗?请说明理由.
b
c
Ca B
证明:假设a2 +b2 =c2,由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形, 且∠C=90°,这与已知条件∠C≠90°矛盾.假设不成立,从而说明原 结论a2 +b2 ≠ c2 成立.
讲授新课 1.反证法的概念
反证法是一种间接证明命题的基本方法,通常在证明一个数学命题 时,如果运用直接语法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明.
从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明原命题成立,这样的 证明方法叫做反证法.
2.反证法证题的步骤
(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面 成立;
已知:如图,AB//EF,CD//EF, 求证:AB//CD
A
B
C
D
E
F
A
C 证明: E
B
D
O
F
假设AB∥ CD,即AB与CD相交于点O
∵AB//EF,CD//EF ∴过点O有两条直线AB、CD与直线EF平行 这与“过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行”矛盾, ∴假设不成立
∴AB//CD
考考你 “对角线相等的四边形是矩形” 是真命题吗?为什么?
1、体会了反证法源于生活又应用于生活,有时反证法 的威力很大.
2、反证法的一般步骤:(1)反设;(2)归谬; (3)结论.
3、反证法与举反例的区别与联系.
于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.
方法的迁移
若将上面的条件改为“在△ABC中,AB=c, BC=a, AC=b,∠C≠90°”,请问结论a2 +b2 ≠
A
c2 成立吗?请说明理由.
b
c
Ca B
证明:假设a2 +b2 =c2,由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形, 且∠C=90°,这与已知条件∠C≠90°矛盾.假设不成立,从而说明原 结论a2 +b2 ≠ c2 成立.
讲授新课 1.反证法的概念
反证法是一种间接证明命题的基本方法,通常在证明一个数学命题 时,如果运用直接语法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明.
从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明原命题成立,这样的 证明方法叫做反证法.
2.反证法证题的步骤
(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面 成立;
已知:如图,AB//EF,CD//EF, 求证:AB//CD
A
B
C
D
E
F
A
C 证明: E
B
D
O
F
假设AB∥ CD,即AB与CD相交于点O
∵AB//EF,CD//EF ∴过点O有两条直线AB、CD与直线EF平行 这与“过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行”矛盾, ∴假设不成立
∴AB//CD
考考你 “对角线相等的四边形是矩形” 是真命题吗?为什么?
1、体会了反证法源于生活又应用于生活,有时反证法 的威力很大.
2、反证法的一般步骤:(1)反设;(2)归谬; (3)结论.
3、反证法与举反例的区别与联系.
2022秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理3反证法课件新版华东师大版

2.【2021·泉州期末】用反证法证明“在同一平面内,若
a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,第一步应假设( D )
Байду номын сангаасA.a∥b
B.a与b垂直
C.a与b不一定平行
D.a与b相交
3.用反证法证明命题“如果x>y,那么x3>y3”时,假设 的内容应是( C ) A.x3=y3 B.x3<y3 C.x3<y3或x3=y3 D.x3<y3且x3=y3
命题,下列a,b的值不能作为反例的是( D )
A.a=1,b=-2
B.a=0,b=-1
C.a=-1,b=-2
D.a=2,b=-1
12.用反证法证明:若ab=0,则a,b至少有一个为0.应
该假设( A )
A.a,b没有一个为0 B.a,b只有一个为0 C.a,b至多有一个为0 D.a,b都为0
【点拨】“a,b至少有 一个为0”的反面是“a, b没有一个为0”.
2、科学的灵感,决不是坐等可以等来的。如果说,科学上的发现有什么偶然的机遇的话,那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人,给那些善于 独立思考的人,给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/122022/3/122022/3/123/12/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/122022/3/12March 12, 2022
4.【2021·洛阳期末】用反证法证明“四边形的四个内角 中至少有一个不小于90°”时,第一步应假设( C ) A.四个内角中最多有一个不小于90° B.四个内角中至少有一个不大于90° C.四个内角全都小于90° D.四个内角全都大于90°
5.【2021·临汾期末】用反证法证明:在△ABC中,∠A、 ∠B、∠C中不能有两个角是钝角时,假设∠A、∠B、 ∠C中有两个角是钝角,令∠A>90°,∠B>90°, 则所得结论与下列四个选项相矛盾的是( B ) A.已知 B.三角形内角和等于180° C.钝角三角形的定义 D.以上结论都不对
八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理3反证法课件新版华东师大版

这样过点A和点B就有两条直线l1与l2.这 与两点确定一条直线,即经过点A和点B的直 线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立,因此两条直线香蕉只
有一个交点.
例2 求证:在一个三角形中,至少有一个内角
小于或等于60°. 已知:△ABC.
求证: △ABC至少有一个内角小于或等于60°.
证明:假设结论不成立,即: ∠A>60°, ∠B > 60°,∠C > 60°, 则∠A+∠B+∠C>180 °. 这与三角形内角和为180°相矛盾. 所以假设不成立,所求证的结论成立.
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
新课导入
小故事:
路
边
苦
பைடு நூலகம்
李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李
树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王 戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘?
进入新课
如果你当时也在场,你会怎么办?五戎 是怎么判断李子是苦的?你认为他的判断正确 吗?
王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的 推理方法?
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙 伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.
先假设结论的反面是正确 的,然后通过逻辑推理,推出 与公理、已证的定理、定义或 已知条件相矛盾,说明假设不 成立,从而得到原结论正确.
这种证明方法叫做
若a2+b2≠c2(a≤b≤c),则△ABC不是直角三 角形,你能按照刚才王戎的方法推理吗?
若∠C是直角,则a2+b2=c2,而a2+b2≠c2,这 是不可能的,即△ABC不是直角三角形.
【归纳】 先假设结论的反面是正确的;然后经过演绎推
理,推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件 相矛盾;从而说明假设不成立,进而得出原命题正 确.即:一、反设;二、推理得矛盾;三、假设不 成立,原命题正确.
所以假设不成立,因此两条直线香蕉只
有一个交点.
例2 求证:在一个三角形中,至少有一个内角
小于或等于60°. 已知:△ABC.
求证: △ABC至少有一个内角小于或等于60°.
证明:假设结论不成立,即: ∠A>60°, ∠B > 60°,∠C > 60°, 则∠A+∠B+∠C>180 °. 这与三角形内角和为180°相矛盾. 所以假设不成立,所求证的结论成立.
第14章 勾股定理
14.1 勾股定理
新课导入
小故事:
路
边
苦
பைடு நூலகம்
李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李
树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王 戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘?
进入新课
如果你当时也在场,你会怎么办?五戎 是怎么判断李子是苦的?你认为他的判断正确 吗?
王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的 推理方法?
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙 伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.
先假设结论的反面是正确 的,然后通过逻辑推理,推出 与公理、已证的定理、定义或 已知条件相矛盾,说明假设不 成立,从而得到原结论正确.
这种证明方法叫做
若a2+b2≠c2(a≤b≤c),则△ABC不是直角三 角形,你能按照刚才王戎的方法推理吗?
若∠C是直角,则a2+b2=c2,而a2+b2≠c2,这 是不可能的,即△ABC不是直角三角形.
【归纳】 先假设结论的反面是正确的;然后经过演绎推
理,推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件 相矛盾;从而说明假设不成立,进而得出原命题正 确.即:一、反设;二、推理得矛盾;三、假设不 成立,原命题正确.
八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理3反证法作业ppt课件新版华东师大版

解:(2)证明:假设△ABC的三个内角中至多有一个锐角,其他两个是钝 角 或 直 角 , 不 妨 设 0° < ∠ A < 90° , 90°≤∠B < 180° , 90°≤∠C < 180°,∴∠B+∠C+∠A>90°+90°+0°=180°,这与三角形的内
角和为180°相矛盾,∴三角形中至少有两个锐角
练习1.已知命题“在△ABC中,若AC2+BC2≠AB2,则∠C≠90°”,
要证明这个命题是真命题可用反证法.其步骤为:假设_∠__C__=__9_0_°__,根
据_勾__股__定__理__,一定有_A__C_2_+__B_C_2_=__A_B_,2 但这与已知___A_C_2_+__B_C__2≠__A__B_2_相
11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC. 求证:PB≠PC.
解 : 假 设 PB = PC.∵AB = AC , PA = PA , ∴ △ PAB≌△PAC(S.S.S.) , ∴ ∠ APB = ∠ APC. 这 与 已 知 ∠ APB≠∠APC 相 矛 盾 , ∴ 假 设 不 成 立 , 故
10.用反证法证明: (1)一条直线与两条平行线中的一条相交,必定与另一条也相交; 解:
(1)已知:如图,直线a∥b,直线l与直线a相交.
求证:直线l与直线b也相交. 证明:假设直线l与直线b不相交,则l∥b.∵a∥b,∴a∥l,与直线l与a 相交相矛盾,∴假设不成立,∴直线l与直线b也相交
(2)已知△ABC,求证:在内角∠A,∠B,∠C这三个角中至少有两个锐 角.
3.用反证法证明命题“在一个三角形中,如果两条边不相等,那么它们所 对的角也不相等”的结论的反面是___两__条__边__所__对__的__角__相__等___.
角和为180°相矛盾,∴三角形中至少有两个锐角
练习1.已知命题“在△ABC中,若AC2+BC2≠AB2,则∠C≠90°”,
要证明这个命题是真命题可用反证法.其步骤为:假设_∠__C__=__9_0_°__,根
据_勾__股__定__理__,一定有_A__C_2_+__B_C_2_=__A_B_,2 但这与已知___A_C_2_+__B_C__2≠__A__B_2_相
11.如图,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC. 求证:PB≠PC.
解 : 假 设 PB = PC.∵AB = AC , PA = PA , ∴ △ PAB≌△PAC(S.S.S.) , ∴ ∠ APB = ∠ APC. 这 与 已 知 ∠ APB≠∠APC 相 矛 盾 , ∴ 假 设 不 成 立 , 故
10.用反证法证明: (1)一条直线与两条平行线中的一条相交,必定与另一条也相交; 解:
(1)已知:如图,直线a∥b,直线l与直线a相交.
求证:直线l与直线b也相交. 证明:假设直线l与直线b不相交,则l∥b.∵a∥b,∴a∥l,与直线l与a 相交相矛盾,∴假设不成立,∴直线l与直线b也相交
(2)已知△ABC,求证:在内角∠A,∠B,∠C这三个角中至少有两个锐 角.
3.用反证法证明命题“在一个三角形中,如果两条边不相等,那么它们所 对的角也不相等”的结论的反面是___两__条__边__所__对__的__角__相__等___.
初中数学华师版八年级数学上册优秀教学课件PPT 第14章 勾股定理14.1.3 反证法

(2) 由勾股定理,一定有 a2 + b2 = c2 ,与
已知条件 a2 + b2≠c2 矛盾;
bc
(3) 因此假设不成立,即它不是一个直角
三角形.
Ca B
探究发现 这种证明方法与前面的证明方法不同,其步骤为: (1) 先假设结论的反面是正确的; (2) 然后通过逻辑推理,推出与基本事实、已证的定 理、定义或已知条件相矛盾; (3) 从而说明假设不成立,进而得出原结论正确.
5.否定“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时,正 确的反设为( D ) A. a,b,c 都是奇数 B. a,b,c 都是偶数 C. a,b,c 中至少有两个偶数 D. a,b,c 中都是奇数或至少有两个偶数
6.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的,下面 是一些常见的关键词的否定形式.
原词语 等于 是
以外,还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾.
例4 求证:在一个三角形中,至少有一个内角小
于或等于 60°. 已知:△ABC.
点拨:至少的反面是没有!
求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于 60°.
证明:假设 △ABC 中没有一个内角小于或等于 60° ,
即 ∴
∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
理的逆定理可知∠C = 90°,这个三角
bc
形一定是直角三角形.
Ca B
讲授新课
反证法
问题探究 若将上面的条件改为“在△ABC 中,AB = c,
BC = a,AC = b (a≤b≤c),a2 + b2≠c2”,请问这个三
角形是否一定不是直角三角形呢?请说明理由. 探究: (1) 假设它是一个直角三角形; A
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八年级数学上册第14章勾股定理14.1.3反证法教学课件新版华东师大版

5.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为
( )D
A.a,b,c都是奇数 B. a,b,c都是偶数 C. a,b,c中至少有两个偶数 D. a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数
第十一页,共14页。
6.已知:a是整数,2能整除(zhěngchú)a2. 求证:2能整除(zhěngchú)a.
第五页,共14页。
典例精析
例1 写出下列各结论(jiélùn)的
反面: (1)a∥b;
a不平行 (píngxíng)于b
(2)a≥0; (3)b是正数; (4)a⊥b.
a<0
b是0或负数(fùshù)
a不垂直于b
第六页,共14页。
例2 在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B ≠ ∠ C.
证明(zhèngmí∠ngB):=假∠设C
当堂练习
1.试说出下列命题的反面:
(1)a是实数; a不是(bù shi)实
数
(2)a大于2; a小于或等于(děngyú)
2
(3)a小于2; a大于或等于(24)至少有2个;
没有两个
(5)最多有一个; 一个也没有 (6)两条直线平行(pín两gx直ín线g)相; 交
2.用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步假是设a=b .
证明:假设命题的结论不成立,即“2不能整除a”,因为a是整数, 故a是奇数.
不妨(bùfáng)设a=2n+1(n是整数), ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, ∴a2是奇数,则2不能整除a2 ,这与已知矛盾. ∴假设不成立,故2能整除a.
第十二页,共14页。
7.准确地作出反设(即否定结论(jiélùn))是非常重要的,下面是一 些常见的关键词的否定形式.
( )D
A.a,b,c都是奇数 B. a,b,c都是偶数 C. a,b,c中至少有两个偶数 D. a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数
第十一页,共14页。
6.已知:a是整数,2能整除(zhěngchú)a2. 求证:2能整除(zhěngchú)a.
第五页,共14页。
典例精析
例1 写出下列各结论(jiélùn)的
反面: (1)a∥b;
a不平行 (píngxíng)于b
(2)a≥0; (3)b是正数; (4)a⊥b.
a<0
b是0或负数(fùshù)
a不垂直于b
第六页,共14页。
例2 在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B ≠ ∠ C.
证明(zhèngmí∠ngB):=假∠设C
当堂练习
1.试说出下列命题的反面:
(1)a是实数; a不是(bù shi)实
数
(2)a大于2; a小于或等于(děngyú)
2
(3)a小于2; a大于或等于(24)至少有2个;
没有两个
(5)最多有一个; 一个也没有 (6)两条直线平行(pín两gx直ín线g)相; 交
2.用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步假是设a=b .
证明:假设命题的结论不成立,即“2不能整除a”,因为a是整数, 故a是奇数.
不妨(bùfáng)设a=2n+1(n是整数), ∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1, ∴a2是奇数,则2不能整除a2 ,这与已知矛盾. ∴假设不成立,故2能整除a.
第十二页,共14页。
7.准确地作出反设(即否定结论(jiélùn))是非常重要的,下面是一 些常见的关键词的否定形式.
八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理3反证法课堂反馈导学课件新版华东师大版

4.用反证法证明:“在一个三角形中,外角最多有一个锐角”.
证明:假设在一个三角形中,外角至少有两个锐角.根据三角形的外角 与相邻的内角互补,知与这两个角相邻的两个内角一定是钝角,即大于 90°,则这两个角的度数和一定大于180°,这与三角形的内角和定理相
矛盾.因而假设错误.故在一个三角形中,外角最多有一个锐角
课堂反馈
1.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假 设( C ) A.a不垂直于c C.a与b相交 B.a,b都不垂直于c D.a⊥b
2.要证明命题“若a>b,则a2>b2”是假命题,下列a,
b的值不能作为反例的是(
D
)
A.a=1,b=-2
B.a=0,b=-1C.a源自-1,b=-2 D.a=2,b=-1
3.用反证法证明:两条直线被第三条直线所截 ,如果同旁内 角不互补,那么这两条直线不平行.
图 40-1
已知:如图 40-1,直线 l1,l2 被 l3 所截,∠1+∠2≠180°. 求证:l1 与 l2 不平行.
∥ 证明:假设 l1________l 2,
= 则∠1+∠2________180 °(两直线平行,同旁内角互补), 假设 ∠1+∠2≠180° 这与____________ 相矛盾,故________ 不成立. l1与l2不平行 . 所以____________
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已知:如图两条相交直线a、b. 求证:a与b只有一个交点.
a b
●
●
A
A′
证明:假设a与b不止一个交点,不妨假设有两个交点A和A′ 因为两点确定一条直线,即经过点A和A′的直线有且只有一 条,这与与已知两条直线矛盾,假设不成立. 所以两条直线相交只有一个交点.
例2:求证:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°. 已知:△ABC 求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
讲授新课 1.反证法的概念 反证法是一种间接证明命题的基本方法,通常在证明一个数学命题 时,如果运用直接语法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明.
从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明原命题成立,这样的 证明方法叫做反证法.
2.反证法证题的步骤 (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面 成立;
14.1.3 反证法
甲:在五一长假里, 我和爸爸、妈妈去 新加坡玩了整整6天, 真是太高兴了.
丙:是啊,5月 4号我确实和 甲在长安街逛 街!
乙:这不可能,5月4号上午 还看见你和丙在长安街逛街 呢!
乙:甲没有去新加坡玩了6天.
假设甲去新加坡玩了6天, 那么甲从5月1号至6号或是2号至7号在新加坡, 即5月4号甲在新加坡, 这与“5月4号甲在苏州的观前街”矛盾, 所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确, 于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.
综合① 和②知假设不成立, 所以∠B一定是锐角.
训练2:证明:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两 条直线也互相平行. 已知:如图,AB//EF,CD//EF, 求证:AB//CD
A C E B D F
A C E
B D F
O
证明:
假设AB ∥ CD,即AB与CD相交于点O ∵AB//EF,CD//EF ∴过点O有两条直线AB、CD与直线EF平行 这与“过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行”矛盾,
(3)关于唯一性、存在性的问题.
(4)结论的反面比原结论更具体,更简单容易的命题.
常用的互为否定的表述方式: • • • • • • • 是——不是; 存在——不存在 平行——不平行;垂直——不垂直 等于——不等于;都是——不都是 大于——不大于;小于——不小于 至少有一个——一个也没有 至少有三个——至多有两个 至少有n个——至多有(n-1)个
∴假设不成立
∴AB//CD
考考你 “对角线相等的四边形是矩形”
是真命题吗?为什么? 你是用什么方法说明的?
B
A
D
C
A B D
C
你能说说举反例和反证法的联系和区别吗?
一般什么时候,适合用反证法? (1)结论本身是以否定形式出现的. 如:证明“不可能……”,“没有……”,“不存在……”等等. (2)有关结论是以“至多……”、“至少……”的形式出 现的命题.
这节课你有什么收获?
1、体会了反证法源于生活又应用于生活,有时反证法 的威力很大.
2、反证法的一般步骤:(1)反设;(2)归谬; (3)结论. 3、反证法与举反例的区别与联系.来自求证: ∠B一定是锐角.
A
B
C
证明:假设∠B不是锐角,即∠B是直角或钝角. ①当∠B是直角,即∠B= 90°时, ∠B+ ∠C=90° +90°=180°, 于是∠ A+∠B+ ∠C= ∠ A +180°>180°, 这与三角形的内角和等于180°相矛盾; ②当∠B是钝角,即∠B > 90°时, ∠B+ ∠C > 90° +90°=180°, 于是∠ A+∠B+ ∠C > ∠ A +180°>180°, 这与三角形的内角和等于180° 相矛盾;
证明:假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°
则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°
即 ∠A+∠B+∠C>180° 这与三角形的内角和为180度矛盾.假设不成立. ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
训练1:已知:在△ABC中,∠C=90°.
(2)从假设出发,经过推理,得出矛盾;
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结 论正确.
反证法的一般步骤: 假设命题结论反 面成立 假设 假设命题结论 不成立 推理得出的 结论
什么时候运用反证法呢? 所证命题 成立
假设不 成立
与已知条件 矛盾 与定理,定义, 公理矛盾
例题讲解 例1:求证:两条直线相交只有一个交点.
方法的迁移 若将上面的条件改为“在△ABC中,AB=c, BC=a, AC=b,∠C≠90°”,请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗?请说明理由. b C a A c B
证明:假设a2 +b2 =c2,由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形, 且∠C=90°,这与已知条件∠C≠90°矛盾.假设不成立,从而说明原 结论a2 +b2 ≠ c2 成立.