第五讲 理想气体热力学能、焓、熵的计算.
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熵和焓的计算公式
熵和焓的计算公式
1. 熵的计算公式：
熵（Entropy）定义为系统内信息量，计算公式如下：
熵(S)＝-K*Σni=1Pn^i*LogPn^i
其中K为常量，取值一般为1；Pn^i为某给定系统（如化学体系）中状态i出现的概率，称为状态概率，通常取值0或1；LogPn^i为以
2为底的对数值，或者以其他基数的对数值。
2. 焓的计算公式：
焓（Enthalpy）定义为系统发生物理化学反应后可能释放的热量，计算公式如下：
焓（H）=Σni=1n∆Hf^i-RT*Σni=1np_i*LogPn^i
其中n为反应物的个数，ΔHf^i为反应物i在反应前和反应后的
改变焓（ΔHf^i=Hf^i-Hi^i）；R为气体温室常数（R=8.314J/mol•K）；T为热力学系统的绝对温度；Pn^i为某给定系统（如化学体系）中状
态i出现的概率，称为状态概率，通常取值0或1，LogPn^i为以2为底的对数值，或者以其他基数的对数值。
3-2 理想气体的热容,热力学能,焓和殇
t2
)](t2
t1 )
平均比热容：
c
|
t2 t1
a
b 2
(
t1
t
2
)
c
c a0 a1t a2t 2 a3t 3
c a bt
δq
c
|
t2 t1
0
t1 dt t2 t
4. 定值比热容 不考虑温度对比热容的影响，而将比热容看作定值。
原则： 气体分子运动论和能量按自由度均分
（Kinetic theory of gases and principle of equipartition of energy）
同温度下cp > cv ，why?
（2）比热容比
cp
cv
cp
1
Rg
cv
1
1
Rg
思考 题
cp，cv，cp-cv，cp/cv 与物质的种类是否有关，与状态是否有关。
利用比热容，如何求解热量
c q q
dT dt
q cdT cdt
q T2 cdT t2 cdt
T1
t1
3-2-3 利用理想气体的比热容计算热量
kJ /(m3 K)
C mc nCm V0CV
3. 影响热容的因素： （1）气体的性质； （2）气体的加热过程； （3）气体的温度。
3-2-2 比定容热容和比定压热容
（The specific heat capacities at constant volume and at constant pressure）
t2 t1
热量：
几何意 义
c
c a0 a1T a2T 2 a3T 3
q
c
理想气体的内能、焓、比热容、熵介绍
一般用组成气体的含量与混合物总量的比值
来表示混合物的组成。
w 质量分数（mass fraction）： i
mi m
y nn pp 摩尔分数（mole fraction）： i
i
i
piV ni RT pV nRT
VV 容积分数（volume fraction）： i
i
显然
w1 w2 wn 1
得
wi
yi
Mi M
由
wi
mi m
Vi i V
得
wi
i
i
3.4.3 混合物的密度、摩尔质量及折合气体常数
由密度的定义，混合物的密度为：
m m1 m2 mi 1V1 2V2 iVi
V
V
V
n
即得： 11 22 ii ii
单位摩尔数的物质温度升高1K所需要的热
量，称为摩尔比热容Cm (kJ/kmol.K)
C Mc c dqT 定容比热(specific
m
heat
at
constant
volume)
：
v
v
c 定压比热(specific heat at constant pressure) ： p
qp dT
pV nRT pV mRgT
混合物的质量等于各组成气体质量之和：
n
m mi i 1
m m1 m2 mi mn
混合物物质的量等于各组成气体物质的量之和：
n
n ni n n1 n2 ni nn
i 1
工程热力学-03理想气体热力学能、焓、比热容和熵的计算
2020年8月4日
第三章 理想气体热力学能、焓、比热容和熵的计算
2
2.理想气体的比焓
理想气体
h u pv u RgT h(T )
理想气体的比焓仅是温度的单值函数，与p、v无关。
则 对于同一种理想气体，只要具有相同的初态温度 和终态温度， 任何过程中其比焓的变化都相同。
则任意过程 h h2(T2) h1(T1)
可逆定压过程 (dh)p (δq)p cpdT
则任意过程
dh cp0dT
h h2 h1 12 cp0dT
通常规定： T 0K 时理想气体 u0 0 kJ kg
则 h0 u0 p0v0 u0 RgT0 0 kJ kg
2020年8月4日
第三章 理想气体热力学能、焓、比热容和熵的计算
cV ,m
t 0C
1 t
0t C
cV
0dt
则
c p,m
t2 t1
tt12 c p0dt t2 t1
t2
1
t1
(t2
c p,m
t2
0℃
t1
c p,m
t01℃)
cV ,m
t2 t1
tt12 cV 0dt t2 t1
t2
1
t1
(t2
cV
,m
t2
0℃
t1
cV
,m
t01℃)
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第三章 理想气体热力学能、焓、比热容和熵的计算
u u(T )
对于同一种理想气体，只要具有相同的初态温度和终态温度， 任何过程中其比热力学能的变化都相同。
故对温度变化相同的不同过程的热力学能的变化，可采用相同的计算手段。
则任意过程 u u2(T2) u1(T1)
《热力学》理想气体热力学能、焓、比热容和熵的计算
• 混合物的热力学能、总焓等于组成气体热力学能、焓之和。
U U1 U2 Un
H H1 H2 Hn
• 混合物的u、h按组成气体参数的质量分数加权平均
u w1u1 w2u2 wnun iui h w1h1 w2h2 wnhn ihi
2020年10月25日
第三章 理想气体热力学能、焓、比热容和熵的计算
可逆定压过程 (dh)p (δq)p cpdT
则任意过程
dh cp0dT
h h2 h1 12 cp0dT
通常规定： T 0K 时理想气体 u0 0 kJ kg
则 h0 u0 p0v0 u0 RgT0 0 kJ kg
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第三章 理想气体热力学能、焓、比热容和熵的计算
cp0
dh dT
d dT
u
pv
du d dT dT
RgT
cV 0 Rg
即
c p0 cV 0 Rg 梅耶公式
C p0,m CV 0,m R
令 比热容比 cp0
cV 0
则
cV 0
1
1
Rg
cp0
1
Rg
1 Rg
cV 0
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第三章 理想气体热力学能、焓、比热容和熵的计算
1 mi 1 m Mi
1
i
Mi
第三章 理想气体热力学能、焓、比热容和熵的计算
24
3. 混合物的折合气体常数
Rg
R M
R i
Mi
i
R Mi
i Rgi
R yiM i
1
1 R
yi
M
i
1
yi
Mi R
1 yi
U U1 U2 Un
H H1 H2 Hn
• 混合物的u、h按组成气体参数的质量分数加权平均
u w1u1 w2u2 wnun iui h w1h1 w2h2 wnhn ihi
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第三章 理想气体热力学能、焓、比热容和熵的计算
可逆定压过程 (dh)p (δq)p cpdT
则任意过程
dh cp0dT
h h2 h1 12 cp0dT
通常规定： T 0K 时理想气体 u0 0 kJ kg
则 h0 u0 p0v0 u0 RgT0 0 kJ kg
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第三章 理想气体热力学能、焓、比热容和熵的计算
cp0
dh dT
d dT
u
pv
du d dT dT
RgT
cV 0 Rg
即
c p0 cV 0 Rg 梅耶公式
C p0,m CV 0,m R
令 比热容比 cp0
cV 0
则
cV 0
1
1
Rg
cp0
1
Rg
1 Rg
cV 0
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第三章 理想气体热力学能、焓、比热容和熵的计算
1 mi 1 m Mi
1
i
Mi
第三章 理想气体热力学能、焓、比热容和熵的计算
24
3. 混合物的折合气体常数
Rg
R M
R i
Mi
i
R Mi
i Rgi
R yiM i
1
1 R
yi
M
i
1
yi
Mi R
1 yi
5.3.14.3理想气体的热力学能焓和熵的变化
理想气体的热力学能、
焓和熵的变化
理想气体的比热力学能变化
=
微分式：
真实比热容：
=
t2
u cV dT
t1
平均比热容： u cV |tt 2 (t 2 - t1 )
1
平均比热容（表）： ∆ = |0 t22 − |011
定值比热： ∆ = （热力学能和比焓的微分表达式：
=
ℎ =
将表达式（1）和表达式（2）分别转化为
=
s2 s1
2
1
+
dT
v2
cv
R ln
T
v1
T2
v2
s2 s1 cv ln Rln
T1
v1
表达式1
适用于任何热力过程
理想气体的比焓变化
=
微分式：
ℎ =
2
真实比热容：
∆ℎ = න
平均比热容：
2
1
1
∆ℎ = | （2-t1）
平均比热容（表）： ∆ℎ = |0 t22 − |011
定值比热容： ∆ℎ = （2 − 1）
适用于任何热力过程
)
cp=cv+R
=
+
v2
p2
s2 s1 c p ln cv ln
v1
p1
表达式3
理想气体的比熵变化
T2
v2
s2 s1 cv ln Rln
T1
v1
T2
p2
s2 s1 c p ln Rln
焓和熵的变化
理想气体的比热力学能变化
=
微分式：
真实比热容：
=
t2
u cV dT
t1
平均比热容： u cV |tt 2 (t 2 - t1 )
1
平均比热容（表）： ∆ = |0 t22 − |011
定值比热： ∆ = （热力学能和比焓的微分表达式：
=
ℎ =
将表达式（1）和表达式（2）分别转化为
=
s2 s1
2
1
+
dT
v2
cv
R ln
T
v1
T2
v2
s2 s1 cv ln Rln
T1
v1
表达式1
适用于任何热力过程
理想气体的比焓变化
=
微分式：
ℎ =
2
真实比热容：
∆ℎ = න
平均比热容：
2
1
1
∆ℎ = | （2-t1）
平均比热容（表）： ∆ℎ = |0 t22 − |011
定值比热容： ∆ℎ = （2 − 1）
适用于任何热力过程
)
cp=cv+R
=
+
v2
p2
s2 s1 c p ln cv ln
v1
p1
表达式3
理想气体的比熵变化
T2
v2
s2 s1 cv ln Rln
T1
v1
T2
p2
s2 s1 c p ln Rln
热力学中的焓计算
热力学中的焓计算焓（enthalpy）是热力学中的一个重要物理量，表示单位质量物质所具有的内能加上其对外做功的能量。
计算焓的方法可以根据情况有所不同，下面列举几种常见的计算焓的方法。
1. 理想气体的焓计算：对于理想气体，其内能只与温度有关，可以使用理想气体的状态方程来计算。
例如，对于单原子理想气体，它的内能和温度之间有简单的线性关系：$u = \frac{3}{2} R T$，其中$u$表示单位质量气体的内能，$R$为气体常数，$T$为绝对温度。
则焓可以表示为：$h = u + p v$，其中$p$为气体的压力，$v$为单位质量气体的体积。
代入状态方程：$p v = R T$，可以得到$h = \frac{5}{2} R T$。
2. 理想气体的焓变计算：当气体从一个状态变为另一个状态时，其焓也会发生变化，这个变化可以用焓变（ΔH）表示。
对于理想气体，焓变可以根据焓的定义计算，即焓变等于内能变化加上对外做功的能量变化。
焓变可以表示为：$ΔH = ΔU + Δ(pv)$，其中$U$表示单位质量气体的内能，$p$和$v$分别表示气体的压力和体积。
根据理想气体的状态方程：$pv = RT$，可以进一步计算焓变。
3. 化学反应的焓变计算：在化学反应中，可以根据反应热进行焓变的计算。
反应热是指化学反应过程中释放或吸收的热量，可以通过实验测量得到。
对于一个化学反应，焓变等于产物的焓减去反应物的焓，可以写为：$ΔH = ∑ΔH_{\text{产物}} - ∑ΔH_{\text{反应物}}$。
其中，$ΔH_{\text{产物}}$和$ΔH_{\text{反应物}}$分别表示产物和反应物的焓变。
以上提到的是一些常见的焓计算方法，当然还有其他更复杂的情况需要针对具体问题进行计算。
第五讲 理想气体热力学能、焓、熵的计算
h c p (T2 T1 )
c a1 a2t a3t 2
有4种方法进行计算确定热力 学能和焓的变化量 •真实比热容法：见右图，根据定义
u cv dT 图中曲线下的面积
h c p dT 图中曲线下的面积
1
2
1 2
0 1
2
u (a1 a2T a3T 2 a4T 3 ...)dT
t1
2
2
1
t 2 t1
t0
t0
t 2 t1
c m 0 t 2 c m 0 t1 t 2 t1
2
1
注意：这里温标不用热力学温标 •定值比热容 适用于气体温度较低且温度变化范围不大、或计算精度要 求不高时 例题 3.3 ： 1kg 空气，初始状态为 p1=0.1MPa ， t1=100℃， 分别按定容过程和定压过程加热到相同的温度t2=400℃。 试求加热过程所需的热量。 （1）按定值比热计算；（2）按平均比热计算。
0 0
不同方法计算数据是稍有差别的
3.7 理想气体混合物
特征：理想气体混合物是由各种单一的气体混合而成，此 处无论是单一气体还是混合后的气体均符合理想气体模型。 讨论目标：各组元成分、气体常数、比热容、热力学能、 焓和熵。 组元成分定义
1）质量分数 2）摩尔分数
mi wi m
ni xi n
•各组元分压力关系：
p
i
i
p
混合物 T, V, n, p
组元1 T, V, n1, p1
组元2 T, V, n2, p2
组元3 T, V, n3, p3
•分体积
分体积含义：设钢性容器内有理想气体混合物，现让其
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cVm 0 t 2 cVm 0 t1 t 2 t1
2
2 1
1.028 400 1.005 100 1.035 kJ/kg 400 100
0.741 400 0.719 100 0.748 kJ/kg 400 100
定容过程 定压过程
q cV m 1 (t 2 t1 ) 0.748 (400 100) 224.4 kJ/kg
u cv dT
1
2
•含义：图中曲线下面积 •计算技术方法： 引出平均比热容概念 按温度范围定义
t2
cm t
1
t2
cdt
t1
t2 t1
（便于列表）
•比热容表使用方法 将t0定为0℃ ，利用列表计算温度范围在t0到t之间的平均 t t t 比热容
cm
t2 t1
cdt cdt cdt
对理想气体，可以利用关系： •平均比热容直线关系h u pv Nhomakorabea Rg T
2 2 1 1
c p cV
Rg
cV a bt
法： 将比热容按直线变化近似替代真实比热容
t2 t1
b 2 b 2 u a (t2 t1 ) (t2 t1 ) [a (t1 t2 )]( t 2 t1 ) 2 2
t0
t1
t 2 t1
将t0到t2和t0到t1范围分别作两 个计算区域计算平均值
u2 (t 2 t0 ) cV dt
t0 t2
u1 (t1 t0 ) cV dt
t0
t1
取t0=0℃后 为右图表示 的面积
0 1 2
cV
t2 t1
u2 u1 cV 0 t 2 cV 0 t1 t 2 t1 t 2 t1
q c pm (t 2 t1 ) 1.035 (400 100) 310.5 kJ/kg
1
2
3.5.2 Enthalpy
h c p (T2 T1 )
c a1 a2t a3t 2
有4种方法进行计算确定热力 学能和焓的变化量 •真实比热容法：见右图，根据定义
u cv dT 图中曲线下的面积
h c p dT 图中曲线下的面积
1
2
1 2
0 1
2
u (a1 a2T a3T 2 a4T 3 ...)dT
cV
b [a (t1 t2 )] 2
为温度t1到t2之间的平均比热容
•平均比热容表
法： 根据实际的热力学能变化积分数据和平均比热容概念，可 以采用如下平均比热容：
t2 t2 t1
cV
u2 u1 t1 t 2 t1 t 2 t1
c
t2
V
dt
t0
c
V
dt cV dt
1
2
h (a1 ' a2 ' T a3 ' T 2 a4 ' T 3 ...)dT
1
2
这里两式中的 系数不同
a3 a2 a4 2 2 3 3 4 4 u a1 (T2 T1 ) (T2 T1 ) (T2 T1 ) (T2 T1 ) ... 2 3 4
通常： c p f p (v, T )
在比热容定义基础上热力学能和焓的计算
du cV dT
dh c p dT
理想气体的热力学能、焓是温度的单值函数
计算过程应注意点： •1）比热容值为定值时： 过程中前后热力学能变化量： u cV (T2 T1 ) 过程中前后焓变化量： •2）比热容值为变值时：
c pm
c pm
100 0
400 0
1.005 kJ/(kg· K)
1.028 kJ/(kg· K)
cVm
cVm
100 0
400 0
0.719 kJ/(kg· K)
K) 0.741 kJ/(kg·
c pm
cVm
t2 t1
t2 t1
c pm t 2 c pm t1
0 0
2
1
t 2 t1
t1
2
2
1
t 2 t1
t0
t0
t 2 t1
c m 0 t 2 c m 0 t1 t 2 t1
2
1
注意：这里温标不用热力学温标 •定值比热容 适用于气体温度较低且温度变化范围不大、或计算精度要 求不高时 例题 3.3 ： 1kg 空气，初始状态为 p1=0.1MPa ， t1=100℃， 分别按定容过程和定压过程加热到相同的温度t2=400℃。 试求加热过程所需的热量。 （1）按定值比热计算；（2）按平均比热计算。
u u (T , v)
u u du ( )v dT ( )T dv T v
由定容比热容定义： Specific Heat 理想气体 Ideal Gas
du cV dT
u cV ( )V T
热力学能是温度的单值函数
比热容定值 比热容变值
u cV (T2 T1 )
解：（1）查表：cV = 0.716 kJ/(kg· K) cp=1.004 kJ/(kg· K) 定容过程：q cV (t 2 t1 ) 0.716 (400 100) 214.8 kJ/kg 定压过程： q c p (t 2 t1 ) 1.004 (400 100) 301.2 kJ/kg （2）查附表4和附表5
复习：定容比热容和定压比热容
•1）定容过程的比热容称定容比热容 q u q )V 由定义： cV ( 得： cV ( )V ( )V
通常：
cV f V (v, T )
dT
dT
T
•2）定压过程的比热容称定压比热容
q 由定义：c p ( ) p dT
q h 得： c p ( ) p ( ) p dT T
t2
t1
cV
t2 0
cV
t1 0
值查表可得
•热力性质表法： 空气、一氧化碳、二氧化碳、氢、氧、一氧化氮、等气 体的焓、熵值可查附表7、8
通常热工计算中需要确定的是热力学能、焓、熵的变化值， 故选0K下的这些值为0
3.5 热力学能、焓的计算 Identification of Internal Energy and Enthalpy for Ideal Gas 3.5.1 Internal Energy
2
2 1
1.028 400 1.005 100 1.035 kJ/kg 400 100
0.741 400 0.719 100 0.748 kJ/kg 400 100
定容过程 定压过程
q cV m 1 (t 2 t1 ) 0.748 (400 100) 224.4 kJ/kg
u cv dT
1
2
•含义：图中曲线下面积 •计算技术方法： 引出平均比热容概念 按温度范围定义
t2
cm t
1
t2
cdt
t1
t2 t1
（便于列表）
•比热容表使用方法 将t0定为0℃ ，利用列表计算温度范围在t0到t之间的平均 t t t 比热容
cm
t2 t1
cdt cdt cdt
对理想气体，可以利用关系： •平均比热容直线关系h u pv Nhomakorabea Rg T
2 2 1 1
c p cV
Rg
cV a bt
法： 将比热容按直线变化近似替代真实比热容
t2 t1
b 2 b 2 u a (t2 t1 ) (t2 t1 ) [a (t1 t2 )]( t 2 t1 ) 2 2
t0
t1
t 2 t1
将t0到t2和t0到t1范围分别作两 个计算区域计算平均值
u2 (t 2 t0 ) cV dt
t0 t2
u1 (t1 t0 ) cV dt
t0
t1
取t0=0℃后 为右图表示 的面积
0 1 2
cV
t2 t1
u2 u1 cV 0 t 2 cV 0 t1 t 2 t1 t 2 t1
q c pm (t 2 t1 ) 1.035 (400 100) 310.5 kJ/kg
1
2
3.5.2 Enthalpy
h c p (T2 T1 )
c a1 a2t a3t 2
有4种方法进行计算确定热力 学能和焓的变化量 •真实比热容法：见右图，根据定义
u cv dT 图中曲线下的面积
h c p dT 图中曲线下的面积
1
2
1 2
0 1
2
u (a1 a2T a3T 2 a4T 3 ...)dT
cV
b [a (t1 t2 )] 2
为温度t1到t2之间的平均比热容
•平均比热容表
法： 根据实际的热力学能变化积分数据和平均比热容概念，可 以采用如下平均比热容：
t2 t2 t1
cV
u2 u1 t1 t 2 t1 t 2 t1
c
t2
V
dt
t0
c
V
dt cV dt
1
2
h (a1 ' a2 ' T a3 ' T 2 a4 ' T 3 ...)dT
1
2
这里两式中的 系数不同
a3 a2 a4 2 2 3 3 4 4 u a1 (T2 T1 ) (T2 T1 ) (T2 T1 ) (T2 T1 ) ... 2 3 4
通常： c p f p (v, T )
在比热容定义基础上热力学能和焓的计算
du cV dT
dh c p dT
理想气体的热力学能、焓是温度的单值函数
计算过程应注意点： •1）比热容值为定值时： 过程中前后热力学能变化量： u cV (T2 T1 ) 过程中前后焓变化量： •2）比热容值为变值时：
c pm
c pm
100 0
400 0
1.005 kJ/(kg· K)
1.028 kJ/(kg· K)
cVm
cVm
100 0
400 0
0.719 kJ/(kg· K)
K) 0.741 kJ/(kg·
c pm
cVm
t2 t1
t2 t1
c pm t 2 c pm t1
0 0
2
1
t 2 t1
t1
2
2
1
t 2 t1
t0
t0
t 2 t1
c m 0 t 2 c m 0 t1 t 2 t1
2
1
注意：这里温标不用热力学温标 •定值比热容 适用于气体温度较低且温度变化范围不大、或计算精度要 求不高时 例题 3.3 ： 1kg 空气，初始状态为 p1=0.1MPa ， t1=100℃， 分别按定容过程和定压过程加热到相同的温度t2=400℃。 试求加热过程所需的热量。 （1）按定值比热计算；（2）按平均比热计算。
u u (T , v)
u u du ( )v dT ( )T dv T v
由定容比热容定义： Specific Heat 理想气体 Ideal Gas
du cV dT
u cV ( )V T
热力学能是温度的单值函数
比热容定值 比热容变值
u cV (T2 T1 )
解：（1）查表：cV = 0.716 kJ/(kg· K) cp=1.004 kJ/(kg· K) 定容过程：q cV (t 2 t1 ) 0.716 (400 100) 214.8 kJ/kg 定压过程： q c p (t 2 t1 ) 1.004 (400 100) 301.2 kJ/kg （2）查附表4和附表5
复习：定容比热容和定压比热容
•1）定容过程的比热容称定容比热容 q u q )V 由定义： cV ( 得： cV ( )V ( )V
通常：
cV f V (v, T )
dT
dT
T
•2）定压过程的比热容称定压比热容
q 由定义：c p ( ) p dT
q h 得： c p ( ) p ( ) p dT T
t2
t1
cV
t2 0
cV
t1 0
值查表可得
•热力性质表法： 空气、一氧化碳、二氧化碳、氢、氧、一氧化氮、等气 体的焓、熵值可查附表7、8
通常热工计算中需要确定的是热力学能、焓、熵的变化值， 故选0K下的这些值为0
3.5 热力学能、焓的计算 Identification of Internal Energy and Enthalpy for Ideal Gas 3.5.1 Internal Energy