计算方法的课后答案
计算方法_课后习题答案
(4.5)(0.01172)
0.00879
（2）采用 Newton 插值多项式 y x N2(x) 根据题意作差商表：
i
xi
0
4
1
6.25
f (xi ) 2 2.5
一阶差商 2 9
2
9
3
2 11
二阶差商 4 495
N2 (7) 2 29 (7 4) ( 4 495) (7 4) (7 6.25) 2.6484848
1
e2
则根据二次Lagrange插值公式得：
L2 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
2(x 1)(x 0.5) 2x(x 0.5)e1 4x(x 1)e0.5
8. 求作 f x xn1 关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值多项式，并利用
插值余项定理证明
n
n
xin1li 0 1n xi
i0
i0
式中 li x 为关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值基函数。
2 02 12 4 23 4 04 14 2 3
1 x2 3x 2 x 4 3x x2 6x 8 23 x x2 5x 4 1 x x2 3x 2
8
4
8
计算方法-刘师少版第一章课后习题完整答案
分， 试给出此递推公式误差的传播规律， 计算 I 10 时误差被放大了多少倍？这个算法是数值稳定的 吗？ 解： I =
∫x
0 1 0
1
n
e x −1 dx ， n = 0,1,2,L,10 ，由分部积分法有
1 0
n −1 x −1 I n = ∫ x n e x −1 dx = x n e x −1 1 e dx 0 − n∫ x
er ( x n ) =
e( x n ) nx n −1 ( x − x * ) x − x* = = n = n ⋅ er ( x) = αn% x xn xn
x n 的相对误差为 an%
1.10 设 x＞0，x 的相对误差为 δ ，求 ln x 的误差。 解： e(ln x) ≈
1 ( x − x * ) = er ( x) = δ x
N +1
N
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N 1+ x2 1 = arctan 1 + N ( N + 1) 1 2 gt ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有±0.1s 的误差，证明当 t 增加时，s 的绝对误差 2
1.12 设 s =
增加，而相对误差减少。 解：由题意知， e( s ) = s − s = gt (t − t ) = gt ⋅ e(t ) = 0.1gt
5
计算方法
于是
* * * * e( I 10 ) = −10e( I 9 ) = 10 ⋅ 9e( I 8 ) = L = 10!e( I 0 )
计算 I 10 时的误差被扩大了 10 倍，显然算法是数值不稳定的 1.14 设 f ( x) = 8 x − 0.4 x + 4 x − 9 x + 1 ，用秦九韶算法求 f (3)
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法课后习题答案
习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得 （1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈===4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈ 解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ= =0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121x y x x -=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x -=；（4）（A）9y =（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
（2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。
故（A ）算得准确些。
（3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。
故（B ）算得准确些。
（4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
计算方法 课后习题答案
0
1
2
4
1
9
23
3
解：
（1）Lagrange插值多项式
=
=
=
=
（2）Newton插值多项式
一阶差商
二阶差商
三阶差商
0
0
1
1
1
9
8
2
2
23
14
3
3
4
3
-10
由求解结果可知：
说明插值问题的解存在且唯一。
6.已知由数据 构造出的 插值多项式 的最高次项系数是6，试确定 。
解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素
得到方程组
3。举例说明一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。
例如：设
与题设相矛盾，所以一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。
4。下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵）？若能分解，那么分解是否唯一？
解：
设 B可以进行LU分解，则B=
计算得
5。对下列给定的矩阵A作LU分解，并利用分解结果计算A-1。
解：
L= U=
由
6。用Doolittle分解法解方程组
解：A= =
其中L= U=
由Ly= 解得y=
由Ux=y，解得x=
7。用Crout分解法接方程组。
解：
由Ly=b= 得y=
由Ux=y= 得x=
8。用平方根法求解方程组
解：易知 是对称矩阵，可求得
注意到这里 是三重零点， 是单零点，故插值余项为
20．求作次数 的多项式 ，使满足条件
并列出插值余项。
数值计算方法第三版课后习题答案
习题一解答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)绪论（12）1、设x 0，x的相对误差为，求lnx的误差。
[解]设x* 0为x的近似值，则有相对误差为r*(x) ，绝对误差为*(x) x*，从而lnx的误差为*(lnx) (lnx*) (x*) 相对误差为(lnx)*r1*x ，x**(lnx)lnx*lnx*。
2、设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。
[解]设x*为x的近似值，则有相对误差为r*(x) 2%，绝对误差为*(x) 2%x*，从而x的误差为(lnx) (x) 相对误差为(lnx)*rn*nx x*(x) n(x)**n 12%x 2n% x**n，*(lnx)(x)*n2n%。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*****x1 1.1021，x2 0.031，x3 56.430，x5 385.6，x4 7 1.0。
***[解]x1 1.1021有5位有效数字；x2 0.0031有2位有效数字；x3 385.6有4**位有效数字；x4 56.430有5位有效数字；x5 7 1.0有2位有效数字。
****4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3题所给,x2,x3,x4的数。
***（1）x1；x2 x4f *******e*(x1 x2 x4) (x) (x) (x) (xk124) xk 1 k [解]；11110 4 10 3 10 3 1.05 10 3222n****（2）x1x2x3；f***e*(x1x2x3)k 1 xkn ********** (x) (xx) (x) (xx) (x) (xx) (x)k***-*****3*1[解] (0.031 385.6)1 10 4 (1.1021 385.6)1 10 3 (1.1021 0.031) 10 3；2220.***** 10 3 212.***** 10 3 0.***-***** 10 3213.***-***** 10 3 0.***-*****255**（3）x2。
计算方法课后习题集规范标准答案
习 题 一3.已知函数y =4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函解：0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x y y y =======由题意 （1） 采用Lagrange插值多项式220()()j j j y L x l x y ==≈=∑27020112012010*********()|()()()()()()()()()()()()(7 6.25)(79)(74)(79)(74)(7 6.25)2 2.532.255 2.25 2.75 2.7552.6484848x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈------=++------------=⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯= 其误差为(3)25(3)25(3)2[4,9]2()(7)(74)(7 6.25)(79)3!3()83max |()|40.0117281|(7)|(4.5)(0.01172)0.008796f R f x x f x R ξ--=---==<∴<=又则（2）采用Newton插值多项式2()y N x =≈ 根据题意作差商表：224(7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489495N =+⨯-+-⨯-⨯-≈4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==，试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的Lagrange 插值多项式。
注意到：若1n +个节点()0,1,...,i x i n =互异，则对任意次数n ≤的多项式()f x ，它关于节点()0,1,...,i x i n =满足条件(),0,1,...,i i P x y i n ==的插值多项式()P x 就是它本身。
可见，当k n ≤时幂函数()(0,1,...,)kf x x k n ==关于1n +个节点()0,1,...,i x i n =的插值多项式就是它本身，故依Lagrange 公式有()00(),0,1,...,nn n k kk i j j j j j i j ii jx x x l x x x k n x x ===≠-=≡=-∑∑∏特别地，当0k =时，有()0001nn n ij j j i j ii jx x l x x x ===≠-=≡-∑∑∏而当1k =时有()000nnn ij j j j j i j ii jx x x l x x x x x ===≠⎛⎫- ⎪=≡ ⎪- ⎪⎝⎭∑∑∏ 5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
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《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。
这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
答：设*x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*为近似值x 的绝对误差（简称误差）。
若存在一个正数ε使ε≤-=x x e *，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。
把绝对误差e 与精确值*x 之比***x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称*x εη=为近似值x 的相对误差限η≤r e ，由于真值*x 是未知的，所以常常用xe x x x e r =-=*来表示相对误差，于是相对误差可以从绝对误差求出。
7．近似值的规格化表示形式如何？答：一般地，对于一个精确值*x ，其近似值x 的规格化形式为m p x x x x 10.021⨯±=Λ，其中{}),2,1(9,2,1,0,01p i x x i ΛΛ=∈≠，p 为正整数，m 为整数。
8．有效数字的概念是什么？掌握有效数字与误差的关系。
答：若近似值x 的（绝对）误差限是它的某一位的半个单位，也就是说该近似值准确到这一位，且从该位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字。
若近似值x 的（绝对）误差限为n m x x e -⨯≤-=1021*，则称x 为具有n 位有效数字的有效数，或称它精确到nm -10位，其中的每一位数字n x x x Λ,,21都是x 的有效数字。
设精确值*x 的近似值x 的规格化形式为mp x x x x 10.021⨯±=Λ，若x 具有n 位有效数字，则其相对误差限为n r x e -⨯≤111021；反之，若x 的相对误差限为n r x e -⨯+≤1110)1(21，则x 至少有n 位有效数字。
9．下列各数都是对真值进行四舍五入后获得的近似值，试分别写出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数。
（1）024.01=x （2）4135.02=x （3）50.573=x （4）600004=x （5）55108⨯=x ；解：（1）0005.01*1≤-=x x e ；0021.0*≤=-=xex x x e r ；有三位有效数字。
（2）00005.02*2≤-=x x e ；000121.0*≤=-=xex x x e r ；有四位有效数字。
（3）005.03*3≤-=x x e ；000087.0*≤=-=xex x x e r ；有四位有效数字。
（4）5.04*4≤-=x x e ；0000084.0*≤=-=xex x x e r ；有五位有效数字。
（5）5.05*5≤-=x x e ；000000625.0*≤=-=xex x x e r ；有六位有效数字。
10．为了使19的相对误差≤0.1%，问至少应取几位有效数字？解：由19的首位数是 4.设近似数*x 有n 位有效数字，由定理4.1可知，相对误差001.010421)(1*≤⨯⨯≤-n r x e ，解得097.3≥n ，即取4位有效数字，近似数的相对误差不超过0.1%。
11．已知33,3100,1150)(*2==-+==x x x x x P y ，计算)3100(*p y =及)33(P y =，并求x 和y 的相对误差。
解：Λ55555.51150)3100()3100()3100(2*-≈-+==p y 281150)33()33()33(2-=-+==P y Λ333.0)(*≈-=x x x e Λ0101.0)()(≈=xx e x e r Λ44444.22)(*≈-=y y y e Λ801587.0)()(≈=yy e y e r 12．写出误差估计的一般公式（以二元函数),(y x f z =为例）。
解：二元函数),(y x f z =的绝对误差：)(|)(|)(),(),(y e yfx e x f z e y x y x ⋅∂∂+⋅∂∂≈二元函数的相对误差： z y e y f z x e x f z z e z e y x y x r )(|)(|)()(),(),(⋅∂∂+⋅∂∂≈=)(|)(|),(),(y e yfz y x e x f z x r y x r y x ⋅∂∂⋅+⋅∂∂⋅=13．用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为V V 2220±=，A I 1.010±=，求这个电阻的阻值R ，并估算其绝对误差和相对误差。
解：2)(≤V e ，1.0)(≤I e ，又2,1,IV I R I V R I V R -=∂∂=∂∂=。
所以： 42.01.01002202101)(|)(|)(|)(|)(),(),(),(),(=⨯+⨯=⋅∂∂+⋅∂∂≤⋅∂∂+⋅∂∂≈I e I R V e V R I e IRV e V R R e I V I V I V I V21099.1)()(-⨯≈=RR e R e r 。
14．若01.045.0,01.003.1*2*1±=±=x x ，计算22121x e x y +=的近似值，并估计)(y e 及其上界。
解：45.0221)03.1(e y +≈ )(21))(()21()21()(2*22*21*11*11*1*x x x x e e x x x x e x e x y y y e -++-=+-+=-= ),(,01.0211006.2)(21))((*2221*11*12*2x x e e e x x x x x x ∈⨯⨯+⨯=-++-≤-ξξ15．已测得某场地长为m l 110=，宽d 的值为m d 80=，已知m l l l e 2.0)(*≤-=，m d d d e 1.0)(*≤-=，试求面积ld s =的绝对误差限和相对误差限。
解：由ld s =,l ds d l s =∂∂=∂∂,，m l l l e 2.0)(*≤-=，m d d d e 1.0)(*≤-=。
可得：301.0802.0110)(|)(|)(|)(|)(),(),(),(),(=⨯+⨯=⋅∂∂+⋅∂∂≤⋅∂∂+⋅∂∂≈d e ds l e l s d e d s l e l s s e d l d l d l d l 3104.3)()(-⨯≈=ss e s e r 。
16．掌握二元函数的加、减、乘、除和开方运算的绝对误差和相对误差估计公式。
解：（1）加、减运算： 由于()1/=∂+∂x y x ()()(),1/,1/,1/-=∂-∂=∂-∂=∂+∂y y x x y x y y x ，所以()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()|||/|||/|||,//,,//,y e y x y x e y x x y x e y e y x y x e y x x y x e y e x e y x e y e y x y x e y x x y x e y e x e y x e r r r r r r r r r ⋅-+⋅-≤-⨯--⨯-≈--≈-⨯++⨯+≈++≈+从而有（2）乘法运算： 由于()()，x yxy y x xy =∂∂=∂∂,所以()()()()()()y e x e xy e y xe x ye r r r +≈+≈,x y e ，从而()()()|||||||||y e x x e y xy e ⋅+⋅≤（3）除法运算： 由于2)(,1)(yx y y x y x yx-=∂∂=∂∂，所以)()(1)(2y e yxx e y y xe -≈，)()()(y e x e yxe r r r -≈（4）乘方及开方运算：由于()1-=∂∂n nnx xx ，所以()()()()x ne x e x e nx x e r n r n n ≈≈-,1 17．求方程01562=+-x x 的两个根，使它至少具有4位有效数字（982.27783≈）。
解：782.55982.272812114)56(5621=+≈⨯⨯⨯--+=x017863.0782.55112≈==x c x 19．求方程01162=+-x x 的较小正根，要求有3位有效数字。
解：937.15937.7812114)16(1621=+≈⨯⨯⨯--+=x062747.0937.15112≈==x c x 所以较小正根为062747.02≈x 。
20．设4110,,2,1,0,Λ==⎰n dx e xI x nn 。
（1）证明：4110,,2,1,0,Λ=-=-n nI e I n n ；（2）给出一个数值稳定的算法，并证明算法的稳定性。
（1）证明：11111---=-===⎰⎰⎰n x n xn xnn nI e x d e nx e e d x dx e xI（2）)(11n n I e nI -=-设n n n I I e -=*，则n nnn n n n n n n e n I I e e nI I e e n I I e 1110*0022*221*11=-==-==-=------ΛΛ 当n 无限大时，n e 越小，所以该算法稳定。