学而思教师版第六讲数阵图

第六讲数阵图

教学目标

数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题。本讲除了要讲授填数真阵图的主要技巧，还有以下注意点：

1. 引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；

2. 教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整体性质的数学方法；

3. 锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；

4. 培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力。

经典精讲

数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：

第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）

第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积得和得代数式，即数阵图关系线（关系区域）上喝的中和，这个合适关系线（关系区域）的个数的整数倍。

第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和。

第四步：运用已经得到的信息进行尝试：

数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键， 基本类型的数阵图

【例1】 将1~6填入左下图的六个○中，是三角形每条边上的三个数之和都等于k ，请指出k 的取值范围。

1

62435 163254 254163 435162

【分析】设三角形三个顶点的数字之和为s ，因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍，于是有（1+2+3+4+5+6）+ s = 3k ，化简后为213S k +=。由于s 是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出912k ≤≤。s 和k 有四组取值：

96k s =??=? 109k s =??=? 1112k s =??=? 1215

k s =??=? 通过实验，每组取值都相应一种填数方法（见右上图）。

点亮设计：（1）求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键词的方法是最重要的。

（2）设计问题：三角形每条边之和等于1~6的和吗？为什么？

不等于，因为三条边上所有数相加的过程中三个角上的数都被重复加一次，也就是说三个角上的数是重复数，三个重复数的和可求为：3(12...56)321k k -++++=-。

（3）强调分组法与试验法：知道了三个数的和，通过分组可以知道k 的取值范围，进一步采用实验法，将它们一一进行试验，选择正确的结果。

（4）小结：对于封闭型的数阵，重复数其本上都是两条线相交的点，就在后面的例题中有大量体现。

【铺垫】将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.

【分析】 此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11 333?=，而1+2+…+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在1~6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法如图。

像例题中的数阵图，它的各边相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”天这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系方式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图。 一般地，有m 条边，每条有n 个数的图形称为封闭型（或辐射型或复合型）m n -图，封闭型m n -图有m 个重叠数，重叠次数都是1次。对于封闭型数阵图，因为重叠一次，所以：已知各数之和+重叠之和=每边各数之和?边数

【例2】 把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，是每条线上3个圆内所填的和都相等。如果中心圆内

填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法。

[分析]将五条边上的和相加，得数一定是5的倍数，其中中间的数被重复计算了5次，而10+11+12+…+20=165.所以中间的数必须是5的倍数，才能使在中间的数多被计算了4次后，综合仍能被5整除。所以中间的数只能是10、15、20.。

亮点设计：（1）建议老师首先让学生进行试做，并让学生尝试多种填法。

（2）当要求将20、22、24、…38、40十一个数字填入数阵，应该怎么填？

分析：如例题。将五条边上的和相加，得数一定是5的倍数，其中中间的数被重复计算了5次，而20+22+24+…+40=330，所以中间的必须是5的倍数，才能使在中间的数多被计算了4次后，总和仍能被5整除。所以中间的数只能是20、30、40.

（3）将这个数阵进行变形，变为如下形式：填入10~20十一个数，使得每条线断和每个圆周上所有数的和相等，如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法。问中间的数有多少种填法？

分析：计算7个和的和，这个和一定是7的倍数，其中中心圆上的数被计算了5遍，其它数只是被计算了2遍，设中心圆上的数为x ，因此这个数等于

(1011++?…+19+20）2+ 31653x x +?=+?，3x ?取31+7k ，31+3k 可以被3整除，经试验，x 只能是15。

[铺垫]将1~7这七个数字，分别填入图中各个○内，使每条线段上的三个○

内数的和相等。

【分析】设中心○内填a ，由于三条线上的数字和相加应是3的倍数，其中a 一共加了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2a =28+2a 一定是3的倍数。而28391÷=……，那么2a 3÷的余数应该是2，因此，1,a =，4或7.

（1） 当1,a =28+2=30，30310÷=，10-1=9，除中心外，其它两数的和应是9，只要把2，3，4，5，6，7，六

个数按“和”是9分成三组填入相应的，○内就可以了。填法如图（1）

（2） 当4a =时，28+8=36，36312÷=。填法如图（2）

（3） 当7a =时，28+14=42，42314÷=。填法如图（3）

像例题中的数阵图，它的特点是从一个中心出发，想外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解。辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即1m -，对于辐射型数阵图，有已知各数之和+重叠数?重叠次数?直线上各数之和?直线条数。

【例3】 下图中有三个正三角形，将1~9填入它们顶点处的九个○种，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，

并且通过四个○的每条直线上的四数之和也相等。

【分析】每个正三角形顶点的三数之和为（1+2+…+9）315÷=,每条直线上的三数之和为

（45+15）320÷=。将1~9九个数分为三个一组，且每组三个数的和为15只有如下两种分法：

（1）1，5，9；2，6，7；3，4，8；

（2）1，6，8；2，4，9；3，5，7；

对于（1），中心小正三角形三个顶点数为1，5，9时，可得中间图的解；

对于（2），中心小三角形三个顶点数为3，5，7时，可得右上图的解。

【巩固】将1~9填入下图的九个○内，使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上。

【分析】每个圆周和每条直线上三数之和应为15，其中有9的只有9+1+5和9+2+4.分别对应右上图的两个解。